LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego
PADZIERNIK 2018
SZKOA PONADPODSTAWOWA
ZADANIE 1.
Dany jest odcinek AB o dªugo±ci 4. Punkty A i B s¡ ±rodkami okr¦gów o promieniu 4. Znajd¹ promie« okr¦gu stycznego do prostej AB, stycznego zewn¦trznie do okr¦gu o ±rodku A oraz stycznego wewn¦trznie do okr¦gu o ±rodku B.
ZADANIE 2.
Czy istnieje taka liczba pierwsza p, »e p + 16 jest kwadratem liczby pierwszej? Odpowied¹ uzasadnij.
ZADANIE 3.
Funkcja rzeczywista f : R → R speªnia równanie f(x) + xf(1 − x) = x dla ka»dej liczby rzeczywistej x. Wyznacz f(−2).
ZADANIE 4.
Wysoko±ci pewnego trójk¡ta maj¡ dªugo±ci 156, 65, 60. Oblicz pole tego trójk¡ta.
ZADANIE 5.
Wyznacz liczb¦ czwórek (a, b, c, d) liczb caªkowitych dodatnich speªniaj¡cych warunek ab + bc + cd + da = 2018 + a + b + c + d.
