( uniqueness theorem for static black holes )
Omówimy teraz zagadnienie dotyczące statycznych rozwiązań próżniowych równań Einsteina. Wybierzemy
współrzędne w statycznej czasoprzestrzeni tak jak omówiono to powyżej i zapiszemy statyczną metrykę w formie (6.2.5)
ds2 = - V2 dt2 + hij dxidxj (6.3.1)
i = 1, 2, 3 , V = V( x1, x2, x3 ) , hij = hij ( x1, x2, x3 )
Przez (3)Rij oznaczymy tensor trójwymiarowej przestrzeni Σ, opisywanej równaniem t = const. i posiadającej metrykę hij. Wtedy próżniowe równania Einsteina będą równoważne następującym równaniom :
hij V;ij = 0 (6.3.2a)
V;ij - (3)Rij V = 0 (6.3.2b)
Symbolem ; - oznaczono pochodną kowariantną w metryce hij.
Założymy, że rozpatrywana czasoprzestrzeń o metryce (6.3.1) : 1) jest asymptotycznie płaska
2) posiada horyzont zdarzeń
3) nie zawiera osobliwości leżących na zewnątrz lub na horyzoncie zdarzeń.
Dokładnie złożenia te oznaczają ,że :
1) przestrzeń Σ jest asymptotycznie euklidesowa tj. istnieje taki układ współrzędnych xi, w których :
hij = δij + O( r -1) , ∂khij = O( r –2 ) , V = 1 – (M/r + η ) (6.3.3) M = const. , η = O( r –2 ) , ∂iη = O( r –3 ) , ∂i ∂j η = O( r –4 ) (6.3.3) Przy r ≡ ( δij xi xj ) → ∞
2) Funkcja V zeruje się na Σ, przy czym zbiór V(xi ) = 0 jest spójną regularną powierzchnią gładką.
Ściśle mówiąc, punkty gdzie V = 0, nie są pokrywane przez współrzędne t, x1, x2, x3 ponieważ w tych współrzędnych metryka (6.3.1) ma osobliwość. Założenie o istnieniu regularnego horyzontu zdarzeń oznacza, że istnieje możliwość z pomocą przejścia do nowych współrzędnych, otrzymać przedłużenie metryki na część czasoprzestrzeni, zawierająca horyzont zdarzeń. Powierzchnię V = 0 można rozpatrywać jako brzeg Σ pojawiający się w wyniku przejścia granicznego V = δ = const. przy δ → +0.
Funkcja V spełnia równanie eliptyczne V;i ;i = 0 i odpowiednio do tego jest funkcją harmoniczną. Ponieważ przy r → ∞ V = 1, to przy skończonych wartościach na zewnątrz horyzontu przyjmuje ona wartości dodatnie, mniejsze od 1.
3) Wszędzie na Σ ( przy 0 ≤ V < 1 ) inwariant ℜ2 = Rαβγδ Rαβγδ , zbudowany z czterowymiarowego tensora krzywizny ma wartości skończone.
Twierdzenie o jednoznaczności dla statycznych czarnych dziur w próżni mówi :
Każde statyczne rozwiązanie próżniowych równań Einsteina, spełniające warunki 1-3, jest sferycznie symetryczne i pokrywa się z metryką Schwarzschilda.
Twierdzenie to przy spełnieniu dodatkowego warunku :
4) powierzchnie równego potencjału V = const. > 0 są regularnymi jednospójnymi dwu wymiarowymi, zamkniętymi powierzchniami został udowodnione przez Israela (1967). Później dowiedziono, że warunek ten oznaczający w szczególności, że V,α ≠ 0 wszędzie przy 0 ≤ V < 1 wynika z warunków 1-3.
Podstawowe etapy dowodu twierdzenia Israela są następujące.
Wybieramy funkcje V ( V,α ≠ 0 ) jako współrzędną. Pozostałe dwie współrzędne θ2 i θ3 na powierzchniach V = const.
wybieramy tak aby linie współrzędnościowe V przecinają prostopadle powierzchnie V =const.
W takich współrzędnych metryka (6.3.1) może być zapisana następująco :
ds2 = - V2 dt2 + ρ2 dV + bXY dθ2 dθ2 (6.3.4)
gdzie : X, Y = 2, 3 ; ρ i bXY są funkcjami V, θ2, θ3 a równanie (6.3.2a) przyjmuje postać :
∂V ( √b / ρ) = 0 , b = det ( bXY ) (6.3.5)
Zdefiniujemy dwuwymiarowy tensor krzywizny zewnętrznej KXY powierzchni V = const. zależnością :
KXY = (1/2ρ) (∂bXY /∂V ) (6.3.6)
Dla śladu tego tensora K = bXY KXY możemy otrzymać następujące wyrażenie : K = ρ-1 ∂( ln √b) /∂V, które po uwzględnieniu (6.3.5) daje :
∂ρ/∂V = ρ2 K (6.3.7)
Można pokazać, że równanie (6.3.2b) jest równoważne równaniom : ( ∂/∂V + 1/V ) KXY = -ρ| X | Y + ½ ρ(2)RδYX - ρKKY
X (6.38)
(2)R = - KXY KXY + K2 + 2K/ρV (6.3.9)
∂Xρ = ρ2V ( ∂XK - KXY
| Y ) (6.3.10)
gdzie : (2)R – krzywizna skalarna dwuwymiarowej powierzchni V= const. ; ( )| X – oznacza pochodną kowariantną w metryce bXY.
Równania (6.3.5) (6.3.6) i (6.3.8) pozwalają określić zależność od V nieznanych funkcji : ρ, bXY i KXY , a (6.3.10) odgrywa rolę więzów – jeśli są ona spełnione przy jednej wartości V, to na mocy pozostałych równań spełnione są przez wszystkie V.
Następny etap polega na znalezieniu warunków, które nakładane są na wprowadzone nieznane funkcje. W tym celu zapiszemy inwariant ℜ2 = Rαβγδ Rαβγδ wykorzystując oznaczenia ρ, bXY i KXY :
1/8 ℜ2 = (Vρ)-2 [ KXY KXY + ( 2ρ|X ρ|X /ρ2 ) + K2 ) (6.3.11) Z równania (6.3.5) wynika, że √b = c( xY )ρ i dlatego z regularności powierzchni V = 0 wynika, że ρ( V = 0, θ2 ,θ2 ) ≠ a z regularności ℜ2 przy V = 0 znajdujemy :
KXY ( V = 0, θ2 ,θ2 ) = 0 , ρ( V = 0, θ2 ,θ2 ) = ρ0 = const.
lim (K/V) = ½ ρ0 (2)R (V = 0, θ2 ,θ2 ) (6.3.12)
V→ 0
Jeśli oznaczymy przez :
A0 =
∫
√b dθ2 dθ3Pole powierzchni czarnej dziury, to całkując (6.3.5) po V od 0 do 1 po uwzględnieniu wartości granicznych (6.3.3) i (6.3.12) otrzymamy :
A0 = 4πMρ0 (6.3.13)
Stąd w szczególności wynika, że M jest zawsze dodatnie.
Z pomocą równań (6.3.5) i (6.3.7) – (6.3.9) możemy otrzymać następujące zależności :
∂/∂V ( √bK/ √ρV ) = - 2 (√b/V ) [ (2)∆ √ρ + ρ-3/2 ( ½ ρ|X ρ|X + ΨXY ΨXY ) ] (6.3.14)
∂/∂V [ (√b/ρ) (KV + 4 /ρ)] = - √bV [ (2)∆ ( lnρ) + ρ-2 ( ρ|X ρ|X + 2ΨXY ΨXY ) + (2)R ] (6.3.15) gdzie : (2)∆ ≡ ( )|X |X , ΨXY = ( KXY – ½ K bXY )ρ
Następny etap dowodu polega na całkowaniu zależności (6.3.14) i (6.3.15) po V od 0 do 1. Jeśli uwzględnimy warunki graniczne (6.3.3) i (6.3.12) oraz tożsamość :
∫
(2)∆f √b dθ2 dθ3 = 0 (6.3.16)V = const.
Słuszną dla dowolnej funkcji f, jak również twierdzenie Gaussa-Boneta :
∫
(2)R√b dθ2 dθ3 = 8π (6.3.17)V = const.
To otrzymamy następujące nierówności :
ρ0 ≥ 4M , A0 ≥ πρ02 (6.3.18)
przy czym równości zachodzą wtedy I tylko wtedy kiedy wszędzie na Σ :
ΨXY = 0 , ρ|X = 0 (6.3.19)
Porównując (6.3.18) i (6.3.13) łatwo przekonać się , że zależności te nie są sprzeczne wzajemnie, tylko w tym przypadku jeśli w (6.3.18) występują znaki równości tj. spełnione są zależności (6.3.19).
Zależności te pokazują, że rozpatrywane rozwiązanie próżniowe równań Einsteina są rozwiązaniami sferycznie symetrycznymi tj. zgodnie z twierdzeniem Birkhoffa (1923) pokrywają się z rozwiązaniem Schwarzschilda.
Analogiczne twierdzenie o jednoznaczności zachodzi w przypadku jeśli odrzucić warunek spełnienia próżniowych równań Einsteina, zamieniając je na równania Einsteina-Maxwella. W tej sytuacji czarna dziura może posiadać ładunek, a odpowiadające jej rozwiązanie jest sferycznie symetryczne i pokrywa się z metryką Reissnera-Nordströma
[ Izrael (1968) ]
§ 6.4 Twierdzenie o jednoznaczności dla stacjonarnych, osiowosymetrycznych czarnych dziur.
Przejdziemy teraz do omówienia własności rozwiązań równań Einsteina-Maxwella, opisujących stacjonarne, osiowosymetryczne czarne dziury.
W takich przestrzeniach razem z polem wektorowym Killinga ξµ
(t) normowanym w nieskończoności warunkiem : ξµ
(t) ξ(t)µ = -1 istnieje również przestrzennopodobne pole wektorowe Killinga ξµ
(φ) odpowiadające symetrii przestrzeni względem obrotów. Pole to komutuje z ξµ
(t) i posiada zamknięte krzywe całkowe.
Pole ξµ
(φ) jest różne od zera wszędzie w zewnętrznym obszarze oraz na horyzoncie, oprócz osi obrotu, na której ξµ
(φ) = 0. Jeśli oznaczymy : X = ξµ
(φ) ξ(φ)µ , to warunek regularności ( lokalnej euklidesowości ) czasoprzestrzeni na osi obrotu będzie spełniony wtedy gdy :
( X,α X,α / 4X ) | X = 0 = 1 (6.4.1)
Pola wektorowe ξµ (t) i ξµ
(φ) o wymienionych powyżej własnościach, włączając w to warunek normalizacji (6.4.1), są określone w stacjonarnej, osiowo symetrycznej, asymptotycznie płaskiej przestrzeni jednoznacznie.
W takiej przestrzeni można wprowadzić współrzędne t, φ, xX ( X = 1, 2 ), takie , że spełnione są następujące zależności : ds2 = -Vdt2
Mówimy, że metryka (6.4.2) spełnia warunek krążenia , jeśli za pomocą przekształceń współrzędnych, zachowujących formę (6.4.2), można wyzerować współczynniki g0X i gφX. W tym przypadku dwuwymiarowe powierzchnie t = const.
i φ = const. są dwuwymiarowymi powierzchniami ortogonalnymi, zbudowanymi z krzywych całkowych pól ξµ (t) i ξµ
(φ). Warunkiem koniecznym i wystarczającym aby metryka spełniała warunek krążenia jest spełnienie następujących zależności :
eαβγδ ξ(φ)α ξ(t)βξ(t)γ ;δ = 0 , eαβγδξ(t)α ξ(φ)βξ(φ)γ ;δ = 0 (6.4.4) Można pokazać [ Kundt, Trumper (1966), Carter (1973a) ], że zależności te są spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy tensor Ricciego Rαβ spełnia warunki :
ξδ
(t) Rδ [ αξ(t)β ξ(φ)γ ] = 0 , ξδ
(φ) Rδ [ αξ(φ)β ξ(t)γ ] = 0 (6.4.5)
Oczywiście, że dla próżniowych rozwiązań równań Einsteina warunki te spełniają. Łatwo przekonać się, że są one również słuszne również na zewnątrz źródeł w elektro-próżniowych przestrzeniach. [ Carter (1969) ]. Zatem, w interesującym nas przypadku ( stacjonarne osiowo symetryczne rozwiązania równań Einsteina – Maxwella ) warunek krążenia jest spełniony i element metryczny (6.4.2) dopuszcza następujące przedstawienie :
ds2 = -Vdt2
Carter (1969) pokazał, że jeśli spełniony jest warunek przyczynowości ( nie występują zamknięte linie czasopodobne ), to wielkości :
ρ2 ≡ VX + W2 (6.4.7)
oraz X są dodatnie w całym zewnętrznym obszarze, za wyjątkiem osi obrotu, na której X = W = 0, oraz horyzontu zdarzeń, ograniczającego obszar zewnętrzny, gdzie ρ2 jest równe zeru. Dla statycznej czarnej dziury W = 0 i równanie horyzontu zdarzeń przyjmuje postać V = 0.
Jeśli spełnione są równania Einsteina lub równania Einsteina-Maxwella, to funkcja ρ jest funkcją harmoniczną :
(1/ √γ ) ∂X ( √γ γXY ∂Yρ ) = 0 (6.4.8)
Ponieważ każda dwuwymiarowa metryka jest konforemnie płaska, to dγ2 można zapisać w postaci : dγ2 = U~(x1, x2 ) [ (dx1
)2 + (dx2
)2 ] (6.4.9) Wygodnie jest jedna, dla opisu własności metryki w otoczeniu horyzontu wprowadzić współrzędne λ, µ, które w
asymptotycznie oddalonym obszarze związane są ze standardowymi współrzędnymi sferycznymi r, θ zależnościami :
λ ≈ r – M , µ ≈ cosθ (6.4.10)
gdzie : M – masa czarnej dziury, mierzona przez asymptotycznie oddalonego obserwatora.
Metryka dγ2 w tych współrzędnych ma postać :
dγ2 = U(λ, µ ) dγ02 (6.4.11a)
dγ02 = [ dλ / ( λ2 – C2 ) ] + dµ2 / ( 1 – µ2 ) (6.4.11b)
Carter (1971) pokazał, że współrzędne t, λ, µ, φ pokrywają cały zewnętrzny obszar stacjonarnej czarnej dziury ( za wyjątkiem osi obrotu gdzie współrzędne te mają osobliwość ). Przy tym φ jest współrzędną periodyczną ( o okresie 2π ), t zmienia się od -∞ do +∞, µ przyjmuje wartości od –1 do +1 ( wartości graniczne osiąga na osiach „północnej” i południowej” ), λ > C > 0 ( wartość λ = C odpowiada horyzontowi zdarzeń i λ → ∞ dla punktów asymptotycznie oddalonych ). W takich współrzędnych :
ρ2 ≡ VX + W2 = ( λ2 – C2 ) ( 1 – µ2 ) (6.4.12)
a pole EM Fµν na zewnątrz źródeł możemy zapisać następująco :
Fµν = ∂νAµ - ∂µAν , Aµ dxµ = Φdt + Bdφ (6.4.13)
Wielkości V, X, W, U, Φ i B są funkcjami λ i µ.
Przejdziemy teraz do przedstawienia podstawowych etapów dowodu twierdzenia o jednoznaczności dla osiowo symetrycznych, stacjonarnych czarnych dziur.
1) Wykorzystując metodę rozwinięta przez Ernst’a ( 1968a, b) [ zobacz również Kramer i inni. (1980) ], zagadnienie rozwiązywania układu równań Einsteina-Maxwella możemy sprowadzić do zagadnienia rozwiązywania układu dwóch równań eliptycznych, drugiego rzędu dla dwóch funkcji zespolonych zmiennych λ, µ ( potencjałów Ernst’a ). Przy tym, okazuje się, że otrzymane równania pokrywają się z równaniami ruchu dla pewnego określonego lagranżjanu.
2) Analizujemy warunki nakładane na współczynniki metryki (6.4.6), (6.4.11) i składowe pola EM (6.4.13), wynikające z wymagania regularności czasoprzestrzeni w otoczeniu horyzontu zdarzeń i na osi obrotu , jak również założenia dotyczące asymptotycznie płaskiej przestrzeni. Warunki te przeformułowujemy w równoważny sposób w postaci wartości granicznych dla potencjałów Ernsta w punktach osobliwych λ = C, λ = ∞, | µ | = 1
3) Wykorzystując własności inwariantności wprowadzonego dla rozpatrywanego zagadnienia lagranżjanu, otrzymujemy warunek różniczkowy wiążący te dwa dowolne rozwiązania. Za pomocą tego warunku dowodzimy, że dowolne dwa rozwiązania spełniające znalezione wartości graniczne pokrywają się ( dla ustalonych wartości wchodzących do nich stałych )
4) Pokazujemy, że rozwiązanie Kerra-Newmana opisujące naładowaną, rotującą czarną dziurę, spełnia wskazane warunki graniczne i zawiera wymagana ilość dowolnych stałych. Tym samym możemy dowieść, że ten zbiór rozwiązań wyczerpuje całkowicie zbiór rozwiązań, opisujących stacjonarne, osiowo symetryczne czarne dziury.
Punktem wyjściowym dla realizacji opisanego powyżej schematu jest następująca uwaga.
Niech dane są funkcje X, W, Φ, B – odpowiadające pewnemu stacjonarnemu, osiowo symetrycznemu, asymptotycznie płaskiemu rozwiązaniu równań Einsteina-Maxwella. Wtedy funkcja V dla tego rozwiązania określona jest z zależności
(6.4.12), a funkcja U może być określona jednoznacznie poprzez rozwiązanie równania wynikającego z pełnego układu równań Einsteina-Maxwella [ Kramer i inni. (1980) ].
Przejdziemy od zmiennych Φ, W do nowych zmiennych E, Y za pomocą następujących zależności :
E ,µ = ( XΦ, λ – WB, λ ) / ( 1 – µ2 ) (6.4.14)
E ,λ = - ( XΦ, µ – WB, µ ) / ( λ2 – C2 ) (6.4.14)
Y ,µ = ( XW, λ – WX, λ ) / ( 1 - µ2 ) + 2 ( BE, µ – EB, µ ) (6.4.14) Y ,λ = - ( XW, µ – WX, µ ) / ( λ2 - C2 ) + 2 ( BE, λ – EB, λ ) (6.4.14) Można pokazać, że wejściowy układ równań Einsteina-Maxwella zapewnia spełnienie warunków zgodności dla tego układu równań i prowadzi do czterech nieliniowych równań o pochodnych cząstkowych dla czterech nieznanych funkcji ( potencjałów Ernsta ) X, Y, E, B , które mogą być otrzymane poprzez wariowanie następującego funkcjonału
„działania” :
S ≡
∫
√γ0 dλdµ £ (6.4.15)Gdzie „lagranżjan” jest dany następująco :
£ = ( 2X2 )-1 { (∇X)2 + [ ∇Y + 2(E∇B - B∇E ) ]2 + 2X-1 [ (∇E )2 + (∇B )2 ] (6.4.16) Tutaj wszystkie operacje zawężania i podnoszenia indeksów dokonujemy z pomocą dwuwymiarowej metryki dγ02 (6.4.11b). Przy braku pola EM aby uzyskać rozwiązania próżniowych równań Einsteina wystarczy podstawić E = B = 0, przy tym „lagranżjan” £ przyjmuje postać :
£ = [ (∇X )2 + (∇Y )2 ] / 2X2 (6.4.17)
Carter (1971, 1973a ) pokazał , że warunki brzegowe, określające jednoznacznie rozwiązanie X, Y, E, B wynikają z następujących założeń :
a) czasoprzestrzeń jest asymptotycznie płaska
b) czasoprzestrzeń jest regularna wszędzie w zewnętrznym obszarze w tym również na osi symetrii.
c) horyzont zdarzeń jest powierzchnią regularną tj. nie występują na nim osobliwości fizyczne.
Założenia te w naszym przypadku możemy sformułować następująco :
a) W asymptotycznie oddalonym obszarze ( przy λ → ∞ )E, B, Y i λ-2X są regularnymi funkcjami λ-2 i µ , o następujących asymptotykach :
E = Qµ + O(λ-1) , B = Pµ + O(λ-1 ) (6.4.18)
Y = 2Jµ ( 3 – µ2 ) + O(λ-1 ) , λ-2X = ( 1- µ2 ) [ 1 + O(λ-1 ) ] (6.4.18) Gdzie : J, Q, P – stałe mające sens odpowiednio momentu pędu oraz elektrycznego i magnetycznego monopolowego ładunku czarnej dziury.
b) na osi symetrii ( przy µ → ± 1 ) E, B, X, Y są regularnymi funkcjami µ i λ , przy tym spełnione są następujące warunki :
E, µ = O(1) , E, λ = O( 1 – µ2 ) , Y, λ = O( 1 – µ2 ) (6.4.19)
Y, µ + (EB, µ – BE, µ ) = O( 1 – µ2 ) (6.4.19)
B, µ = O(1) , B, λ = O( 1 - µ2 ) (6.4.19) X = O( 1 - µ2 ) , X-1X , µ = 1 + O( 1 - µ2 ) (6.4.19) c) na horyzoncie zdarzeń ( przy λ → ∞ ) E, B, X, Y są funkcjami regularnymi µ, λ, takimi, że spełnione są warunki :
E, µ = O(1) , E, λ = O(1) , B, µ = O(1) , B, λ = O(1) (6.4.20)
Y, µ = O(1) , Y, λ = O(1) , X = O(1) (6.4.20)
Przy braku pola EM wymienione powyżej warunki przy E = B = 0 przekształcają się w warunki brzegowe dla zagadnienia (6.4.17).
Następny etap dowodu polega na ustanowieniu tożsamości różniczkowej, wiążącej dwa dowolne stacjonarne, osiowosymetryczne rozwiązania. Przy wyprowadzeniu takiej tożsamości będziemy korzystali z pracy Mazura (1982).
Istotna rolę odgrywać będzie własność inwariantności działania (6.4.15) – (6.4.16) względem grupy SU(1,2) przekształceń zmiennych polowych
(* Działanie (6.4.15) – (6.4.16) jest przypadkiem szczególnym działania o postaci : S[ ZA ] =
∫
dx √γ γAB ∂aZA∂bZB GABGdzie : a, b = 1, ... , n ; A, B = 1, ..., N ; γab = γab(x) ; GAB(Z).
Ekstremalną ZA(x) takiego działania nazywamy odwzorowaniem harmonicznym [ Misner (1978) ].
Wskazana własność inwariantności oznacza, że w rozpatrywanym przypadku niefizyczna przestrzeń, w której ZA – są współrzędnymi a GAB(Z) – metryką, jest jednorodna.
Bunting (1983) przedstawił inny dowód twierdzenia o jednoznaczności, który nie wykorzystuje takiej symetrii, a jest oparty na własności stałości znaku tensora krzywizny w tej przestrzeni. Zobacz Carter (1985) *)
Aby ustanowić tą inwariantność wygodnie jest wprowadzić w miejsce zmiennych X, Y, E, B nowe zmienne zespolone
ξ , η związane z poprzednimi zależnościami :
-X + iY – E2 – B2 = (ξ - 1) / (ξ + 1 ) ; E + iB = η / (ξ + 1 ) (6.4.21) W takich zmiennych gęstość lagranżjanu (6.4.16) ma postać :
£ = 2 ( 1 - ξξ- - ηη- )-1 [ ( 1 – ηη- ) ∇ξ∇ξ- + ( 1 - ξξ- ) ∇η ∇η- + ξ η- ∇η ∇ξ- + ηξ-∇ξ∇η- (6.4.22) a warunek dodatności X jest równoważny nierówności :
ξξ- + ηη- < 1 (6.4.23)
Oznaczmy teraz przez Φ następująca nieosobliwą macierz, która zbudowana jest z ξ i η :
( 1+ ξξ- + ηη- 2ξ- 2η- ) (6.4.24) Φ = ( 1 - ξξ- + ηη- )-1 ( 2ξ 1+ ξξ- + ηη- 2ξη- )
( 2η 2ηξ- 1+ ξξ- + ηη- ) Niech :
jY = ∇Y Φ Φ-1 (6.4.25)
gdzie : ∇Y Φ - macierz otrzymywana z Φ poprzez różniczkowanie jej składowych.
Prostym rachunkiem możemy się przekonać, że gęstość lagranżjanu (6.4.22) dopuszcza następujący, równoważny zapis :
£ = ¼ Sp( jY jY ) (6.4.26)
gdzie : Sp – jest oznaczeniem śladu macierzy, podniesienia indeksu dokonujemy za pomocą metryki γ0XY.
Niech dalej, U będzie macierzą pseudounitarną, spełniająca warunek :
U†ηU = η , n = diag( -1,1,1 ) , det U = 1 (6.4.27)
Wtedy macierz :
Φ~ =UΦU-1 (6.4.28)
ma tą samą formę co (6.4.24) przy nowych przekształconych wartościach ξ~ i η~. Jeśli macierz przekształcenia U nie zależy od xY , to w oczywisty sposób gęstość (6.4.26) nie zmieni się przy przekształceniach (6.4.28). Innymi słowy , zachodzi inwariantność działania (6.4.15), (6.4.22) względem grupy SU(1, 2) przekształceń nieliniowych :
( ξ , η ) → ( ξ~ , η~ ) o liniowej reprezentacji (6.4.24).
Zgodnie z pierwszym twierdzeniem Noether inwariantność ta pociąga za sobą prawa zachowania. W rozpatrywanym przypadku są one równoważne spełnieniu zależności :
∇µ ( ρjµ ) = 0 (6.4.29)
dla rozwiązań Φ równań pola.
Rozpatrzmy teraz dwa dowolne pola Φ1 Φ2 postaci (6.4.24) i zbudujmy z nich macierz Φ = Φ1 Φ2 -1. Można wtedy przekonać się, że spełniona jest następująca tożsamość różniczkowa :
Sp{ Φ [ ∇X ( ρj2X ) - ∇X ( ρj1X ) ] } + ∇X [ ρ∇X ( Sp Φ ) ] = ρ SP{ Φ [ j1 X j1X + j2 X j2X - 2 j2 X j1X ] } (6.4.30) Gdzie :
jiX = ∇X Φi Φi-1 (6.4.31)
Tożsamość (6.4.30) pozwala ukończyć dowód twierdzenia o jednoznaczności.
Niech ( X1 , Y1 , E1 , B1 ) i ( X2 , Y2 , E2 , B2 ) ( lub Φ1 i Φ2 ) – będą rozwiązaniami opisującymi dwie stacjonarne osiowosymetryczne czarne dziury spełniające warunki regularności (6.4.18) – (6.4.20). Wtedy pierwszy człon w lewej części (6.4.30) zeruje się tożsamościowo, a drugi jest równy zeru o czym przekonamy się jeśli scałkujemy wyrażenie (6.4.30) względem zewnętrznego obszaru λ > C , - 1 ≤ µ < 1 oraz uwzględnimy warunki brzegowe (6.4.18) – (6.4.20).
Z drugiej strony można pokazać [ Mazur (1982, 1984 ) ], że wyrażenie po prawej stronie tożsamości (6.4.30) jest nieujemne i odpowiednio zeruję się ono dla rozwiązań Φ1 i Φ2. Dalej dowodzi się ,że po uwzględnieniu warunków brzegowych (6.4.18) – (6.4.20) zerowanie się prawej strony (6.4.30) pociąga za sobą równość :
Φ1 = Φ2 (6.4.32)
która oznacza, że istnieje tylko jedno rozwiązanie równań pola w teorii (6.4.15), (6.4.22) spełniające zadane warunki brzegowe. Tym samym dowodzi się , że każda stacjonarna osiowo symetryczna czarna dziura jednoznacznie określona jest przez zadanie wartości czterech dowolnych parametrów : C, J, Q, P.
Aby zakończyć dowód zauważmy, że następujące stacjonarne, osiowo symetryczne rozwiązanie równań Einsteina-Maxwella ( rozwiązanie Kerra-Newmana ) :
ds2 = -( ∆/ρ2 ) ( dt – a sin2θ dφ )2 + ( sin2θ/ ρ2 ) [ a dt – ( r2 + a2) dφ ]2 + ρ2[ (dr2 / ∆) + dθ2 ] (6.4.33)
∆ = r2 – 2Mr + a2 + Q2 + P2
Aµ dxµ = - ρ-2 { Qr ( dt – a sin2θdφ ) + P cosθ [ a dt – ( r2 + a2 ) dφ ] }
spełnia warunki brzegowe (6.4.18) – (6.4.20) i zawiera cztery dowolne parametry : M, a, Q, P ( związane z parametrami J i C zależnościami : J = Ma , C = ( M2 – a2 – Q2 – P2 )1/2. Odpowiednio zatem, rozwiązanie to jest najogólniejszym rozwiązaniem opisującym pojedynczą stacjonarną , osiowosymetryczną czarną dziurę w teorii Einsteina-Maxwella.
Zazwyczaj przyjmuje się ,że monopolowy ładunek magnetyczny nie występuje dla czarnej dziury ( P= 0 ). W tym przypadku rozwiązanie (6.4.33) – (6.4.34) przechodzi w rozwiązanie (4.2.1) (4.8.1), (4.8.2).
Opisany dowód twierdzenia o jednoznaczności znacznie się upraszcza w przypadku nie naładowanej czarnej dziury.
Aby przejść do tego przypadku wystarczy podstawić η = E = B = 0 i w miejsce macierzy (6.4.24) oznaczyć przez Φ macierz 2 × 2 , otrzymaną z (6.4.24) po odrzuceniu ostatniej kolumny i ostatniego wiersza. Przy tym tożsamość (6.4.30) przechodzi w tożsamość otrzymaną przez Robinsona (1975) przy dowodzeniu twierdzenia o jednoznaczności dla nie naładowanych , stacjonarnych osiowo symetrycznych czarnych dziur.
Zanim przejdziemy do rozpatrzenia możliwości istnienia nie elektromagnetycznych „włosów” dla czarnych dziur, omówimy zagadnienie dotyczące globalnej struktury czasoprzestrzeni Kerra-Newmana.
§ 6.5 Asymptotyczne przedłużenie metryki Kerra-Newmana wewnątrz horyzontu zdarzeń.
Stacjonarną metrykę , rotującej nie naładowanej czarnej dziury na zewnątrz horyzontu zdarzeń rozpatrzyliśmy w paragrafie 4.4. Wyłożyliśmy tam przyczyny dla których metryka Kerra przedłużona do wnętrza horyzontu zdarzeń nie może opisywać czasoprzestrzeni wewnątrz czarnej dziury. Te same wywody mogą być zastosowane do ogólnej sytuacji naładowanej rotującej czarnej dziury, opisywanej metryką Kerra-Newmana ( zobacz paragraf 4.8 ) (* Chociaż w tym paragrafie zakładamy, że dla czarnej dziura nie posiada ładunku magnetycznego, to wszystkie wyłożone tutaj wyniki możemy łatwo rozciągnąć na przypadek kiedy taki ładunek jest różny od zera *)
Tym niemniej w tym paragrafie rozpatrzymy formalne przedłużenie metryki Kerra-Newmana wewnątrz horyzontu zdarzeń. Przyczyny tego możemy streścić następująco :
1) Sama struktura tego przedłużenia okazuje się być nadzwyczaj interesująca. Jej badanie pokazuje, na ile topologicznie złożoną może być pełna czasoprzestrzeń w OTW. Na podstawie podobnego, pełnego rozwiązania sformułowano hipotezy o możliwości podróży z jednej przestrzeni do drugiej, przedstawianej na podstawie pewnych wyobrażeń opartych na pełnych rozwiązaniach Kerra-Newmana ( lub im podobnych ). Należy jednak pamiętać, ze po udowodnieniu niestabilności takich rozwiązań wewnątrz horyzontu zdarzeń, prawdopodobieństwo poprawności takich hipotez stało się problematyczne.
2) Aby dowieść niestabilność rozwiązania Kerra-Newmana wewnątrz czarnej dziury musimy wyprowadzić samo to rozwiązanie, a potem dowieść jego niestabilności.
Własności rozwiązania wewnątrz horyzontu zdarzeń rozpatrzymy teraz, dowód jego niestabilności podamy w rozdziale 12.
Pełną czasoprzestrzeń metryki Kerra-Newmana badamy w zasadzie podobnie jak czasoprzestrzeń metryki Schwarzschilda. Trudność związana jest tutaj jedynie z brakiem symetrii sferycznej. Przyjmiemy, że : M2 > Q2 + a2 , ponieważ tylko w tym przypadku rozwiązanie opisuje czarną dziurę.
W pierwszej kolejności przypomnimy (zobacz paragrafy 4.3, 4.4, 4.8 ), że horyzont zdarzeń we współrzędnych (4.2.1), (4.8.1) znajduje się przy :
r = r+ = M + ( M2 - Q2 - a2 )1/2
Metryka (4.2.1) posiada w tym punkcie osobliwość, jednak jest to osobliwość współrzędnych, co wyjaśnia przejście do współrzędnych Kerra (4.4.2), w przypadku naładowanej czarnej dziury do wyrażenia dla ∆ wchodzi Q2 [ zobacz (4.8.1)]
Wszystkie inwarianty krzywizny przy r = r+ mają skończone wartości zatem i czasoprzestrzeń w tym punkcie nie posiada osobliwości istotnej.
Przy badaniu metryki wewnątrz czarnej dziury ( r < r+ ) powinniśmy pamiętać, że współrzędne t, r, θ, φ nie koniecznie muszą mieć sens współrzędnych – czasowej i sferycznych przestrzennych ( taki jaki miały one w nieskończoności przestrzeni zewnętrznej ). Z podobną własnością spotkaliśmy się już przy badaniu metryki Schwarzschilda (zobacz paragraf 2.4 ), gdzie np. zmienna r przy r < rg stawała się współrzędną czasową. W metryce Kerra-Newmana fizyczny sens współrzędnych jest jeszcze bardziej złożony.
Siatka współrzędnych – to linie „naniesione” na zakrzywionej czterowymiarowej rozmaitości i ich fizyczny sens w każdym jej miejscu może być wyjaśniony poprzez rozpatrzenie ich orientacji względem stożka świetlnego.
Przy r < r+ metryka (4.2.1) , (4.8.1) ma osobliwość przy :
r- ≡ M + ( M2 - Q2 - a2 )1/2 (6.5.1) oraz przy :
ρ2 ≡ r2 + a2 cos2θ = 0 tj. R =0 , θ = π/2 (6.5.2)
Osobliwość (6.5.1) jest osobliwością współrzędnych, podobną do osobliwości r = r+ .
Osobliwość (6.5.2) jest istotną osobliwością czasoprzestrzeni. Jakościową strukturę przekroju czasoprzestrzennego t = const. , φ = const. w pobliżu r =0 pokazano na rys. 66.
Istotna osobliwość na przekroju t = const jest „pierścieniem” r = 0, θ = π/2 leżącym na płaszczyźnie równikowej. Tutaj krzywizna czasoprzestrzeni jest nieskończona. Jeśli posuwać się ( w matematycznym sensie ) wzdłuż linii
θ =const. ≠ π/2, to nie napotkamy na tej drodze żadnej osobliwości, przy r = 0 czasoprzestrzeń jest regularna i można kontynuować posuwanie się do obszaru r < 0. Czasoprzestrzeń jest przedłużalna aż do r = - ∞. Jednakże nie należy myśleć, że przekrój pokazany na rys. 66 jest przestrzennopodobny. Jak widać z (4.2.1) przy dostatecznie małych co do modułu, ujemnych r i przy θ bliskich π/2 współczynnik przy dφ2 staje się ujemny, a to oznacza, że φ staje się
współrzędną czasopodobną. Jednak φ jest zmienną periodyczną o okresie 2π (* aby metryka (4.2.1) w nieskończoności
r → ∞ była asymptotycznie płaska, zmienna φ powinna zmieniać się od 0 do 2π, a θ od 0 do π *)
To oznacza, że przy wskazanych warunkach przekrój zawiera zamknięte linie czasu ( ułożone wzdłuż osobliwego pierścienia i w pobliżu niego )
Rys. 66 Jakościowa struktura przekroju t = const. , φ = const. w pobliżu r = 0.
( opis na rysunku – osobliwość pierścieniowa )
Rys. 67 Diagram Penrose’a dla pełnej czasoprzestrzeni Kerra-Newmana.
( opis na rysunku (o góry ) – linia świata cząstki, Σ = 0 osobliwość pierścieniowa, S, hiperpowierzchnia Cauchy’ego ) Pełną strukturę analitycznego przedłużenia czasoprzestrzeni Kerra-Newmana przedstawioną w postaci diagramu konforemnego, pokazuje rys. 67
(* Struktura maksymalnego analitycznego przedłużenia dla ekstremalnej czarnej dziury ma nieco inną postać [ Carter (1966a), Hawking, Ellis 1973) ]. Dla metryki Reissnera-Nordströma maksymalne analityczne przedłużenie otrzymał Grave’s i Brill (1960). Ogólną metodę budowy maksymalnego analitycznego przedłużenia dla stacjonarnych metryk z horyzontem przedstawiono w pracy Walkera (1970) *)
Podobny diagram dla czasoprzestrzeni Schwarzschilda zawiera cztery różne obszary ( zobacz rys. 50c ) : białą dziurę, dwa zewnętrzne obszary - asymptotycznie płaskie w nieskończoności i czarną dziurę.
Diagram dla rozwiązania Kerra-Newmana zawiera nieskończona ilość obszarów. Obszary I i I’ odpowiadają obszarom zewnętrznym dla schwarzschildowskiej czarnej dziury. Obszar II’ odpowiada białej dziurze, obszar II – czarnej dziurze.
Jednakże obszary te nie są ograniczone przestrzennopodobnymi osobliwościami istotnymi, tak jak to ma miejsce w przypadku rozwiązania Schwarzschilda. Obszar II, przez dwa różne brzegi r = r- łączy się z obszarami III i III’.
W każdym z tych obszarów istnieje osobliwość pierścieniowa, omawiana wcześniej i w każdym z tych obszarów można mijając osobliwość przejść do obszaru r < 0 ( obszar III~ i III’ ~ ) ku r → -∞. Przy r → -∞ przestrzenie III~ i III’ ~ są asymptotycznie płaskie. W tych przestrzeniach osobliwości pierścieniowe ρ2 = 0 przejawiają się jako „gołe osobliwości”
o ujemnej masie.
Obszary III i III’ poprzez brzeg r- łączą się z obszarem V’ ,będącym białą dziurą, co do własności tożsamym z własnościami obszaru II’. Obszar V’ poprzez brzeg r+ łączy się z obszarami IV i IV’ co do własności tożsamymi z własnościami I i I’ itd. ( aż do nieskończoności )
Czasopodobna linia cząstki wpadającej z obszaru I do czarnej dziury ( obszar II ), będzie przecinała się z jednym z brzegów r = r- . W obszarze II możliwe są ruchy tylko o coraz mniejszych wartościach r. Po przecięciu brzegu r = r- cząstka wpada do obszaru III’ lub III (* przecinając brzeg r- z obszaru II można od razu wpaść do obszaru V *) Tutaj możliwe są ruchy zarówno ze zmniejszającym się r ( aż do r → -∞ ) jak i ze zwiększającym się r. W ostatnim przypadku cząstka przecina brzeg r = r- wpadając do obszaru V’, gdzie możliwe są ruchy tylko ze zmniejszającym się r a
Czasopodobna linia cząstki wpadającej z obszaru I do czarnej dziury ( obszar II ), będzie przecinała się z jednym z brzegów r = r- . W obszarze II możliwe są ruchy tylko o coraz mniejszych wartościach r. Po przecięciu brzegu r = r- cząstka wpada do obszaru III’ lub III (* przecinając brzeg r- z obszaru II można od razu wpaść do obszaru V *) Tutaj możliwe są ruchy zarówno ze zmniejszającym się r ( aż do r → -∞ ) jak i ze zwiększającym się r. W ostatnim przypadku cząstka przecina brzeg r = r- wpadając do obszaru V’, gdzie możliwe są ruchy tylko ze zmniejszającym się r a