Będziemy rozpatrywali pola EM na tle zadanej metryki tj. będziemy przyjmowali te pola wystarczająco słabymi aby miały one wpływ na metrykę. Zwykle w astrofizyce warunek ten jest spełniony (* O powolnej zmianie parametrów czarnej dziury na skutek procesów elektromagnetycznych będziemy mówili w paragrafie 7.4 *)
Równania elektrodynamiki zapisane w czterowymiarowej postaci wykorzystujące tensor Fαβ ( zobacz Dodatek ), są mało intuicyjne, ich zastosowanie do rozwiązania konkretnych , jakkolwiek złożonych zadań fizycznych jest skrajnie trudne. Thorne i Macdonald (1982) przepisali te równania elektrodynamiki wykorzystując „3+1-rozczepienie” dla zewnętrznej czasoprzestrzeni rotującej czarnej dziury ( zobacz paragraf 4.2 ). W ich formalizmie wykorzystuje się standardowe pojęcia – natężenie pola, gęstość ładunku, gęstość prądu elektrycznego itd.
W tym podejściu równania elektrodynamiki zapisane być mogą w postaci analogicznej do tej jaką mają one w płaskiej czasoprzestrzeni w układzie odniesienia Lorentza. To pozwala nie tylko zastosować dobrze opracowane metody rozwiązań zagadnień elektrodynamiki, ale również – co najistotniejsze – pozwalają one „pracować’ z intuicyjnymi pojęciami wyrobionymi przy rozwiązywaniu zadań standardowej elektrodynamiki. Oprócz tego, w cytowanej pracy wykorzystywane jest tzw. podejście „membranowe” do czarnych dziur. Jego istota zawiera się w tym ,że z punktu widzenia zewnętrznego obserwatora ( nie spadającego na czarną dziurę ) brzeg czarnej dziury w wielu przypadkach można traktować jako cienką membranę, posiadająca pewne określone własności elektromagnetyczne, termodynamiczne i mechaniczne. Na takim podejściu dokładniej skupimy się z paragrafie 7.3. Należy jednak podkreślić, że w
rzeczywistości nie występuje żadna „membrana” , pojęciem tym należy posługiwać się bardzo ostrożnie i cały czas pamiętać, że jest ono tylko umowne i wygodne dla rozwiązywania pewnych zagadnień. Omawiane metody pozwalają względnie prosto stosować elektrodynamikę czarnych dziur w astrofizyce , nawet przez tych astrofizyków którzy nie są specjalistami w teorii relatywistycznej. Przegląd tych problemów zobacz Thorne (1986).
W niniejszym paragrafie przedstawiamy wyniki cytowanej pracy Thorne i Macdonald’a. Wszystkie wielkości fizyczne o których będziemy mówili, będą trójwymiarowymi wektorami ( lub tensorami ), będziemy je charakteryzować poprzez podanie położenia w „absolutnej” trójwymiarowej przestrzeni ( na zewnątrz czarnej dziury ) i w absolutnym „czasie” t ( zobacz paragraf 4.2 ). Są to te wielkości, które mierzymy za pomocą standardowych przyborów przez lokalnie nie rotujących obserwatorów ( zobacz paragraf 4.3 ).
Wprowadzimy następujące oznaczenia dla elektrodynamicznych wielkości fizycznych :
E – natężenie pola elektrycznego, B – natężenie pola magnetycznego ρe – gęstość ładunku elektrycznego, j – gęstość prądu elektrycznego.
Równania Maxwella zapiszemy następująco :
(* Mając na uwadze stosowanie wzorów elektrodynamiki do astrofizyki zapiszemy te zależności w standardowym układzie jednostek wykorzystując stałą c *) ( jest to wektor Killinga odzwierciedlający symetrię osiową czasoprzestrzeni ; w oddali od czarnej dziury jest on równy r sinθ eφ^ ) ; £m E – pochodna Liego od E ( lub B ) wzdłuż wektora m :
£m E ≡ ( m∇ )E – ( E∇ )m (7.1.5) opisująca zmianę wektora E w stosunku do pola wektora m ( dodatek wzór d.7 ) ( pochodna ta jest równa zeru , kiedy przy przemieszczeniu o mdφ początek i koniec wektora E „przyklejony” jest do wektora mdφ ) ; ω – jest prędkością kątową obrotu ( w czasie t ) lokalnie nie rotujących obserwatorów [ zobacz (4.3.10) ]. Kropką • oznaczono pochodną po czasie t , ∇ - operator nabla w zakrzywionej „absolutnej“ przestrzeni.
Równania (7.1.1) – (7.1.2) maja standardową postać podczas gdy równania (7.1.3) – (7.1.4) różnią się nieco od tych jakie zazwyczaj znamy. Różnice są następujące :
Pojawia się funkcja α, co jest związane z tym ,że czas fizyczny upływa różnie w różnych punktach przestrzeni, a równania napisane są z użyciem globalnego „czasu” t ( przypomnijmy, że przyspieszenie F spadku swobodnego w układzie odniesienia lokalnie nie rotującego obserwatora związane jest z α zależnością : F = - c2∇ lnα ).
Wyrażenia w nawiasach kwadratowych (7.1.3) i (7.1.4) są to pochodne ( po czasie ) typu „Liego” dla zbioru lokalnie nie rotujących obserwatorów , którzy poruszają się w absolutnej przestrzeni i dla których dx/dt = ωm.
Zatem , wyrażenia te odpowiadają pochodnym zupełnym po czasie odpowiednio od E i B z uwzględnieniem ruchu lokalnie nie rotujących obserwatorów.
Równania Elektrodynamiki są wyjątkowo poglądowe i wygodne dla analizy konkretnych zagadnień, wtedy gdy zostają zapisane w formie całkowej. Wprowadzimy teraz jedno z takich wyrażeń całkowych ( będzie ono nam potrzebne w dalszych wywodach ) dla zewnętrznej przestrzeni czarnej dziury – będzie to całkowy zapis prawa Faradaya :
∫
α [ E + (1/c) v × B ) dl = - 91/c) d/dt∫
B dΣ→ (7.1.6)∂A*(t) ∂A*(t)
gdzie : dΣ→ jest wektorem elementu powierzchni , równym co do długości jej powierzchni, A*(t) – dwu wymiarowa powierzchnia, nie przecinająca horyzontu i ograniczona krzywą ∂A*(t) , dl – element ∂A*(t) , v – prędkość fizyczna A*(t) lub ∂A*(t) względem lokalnie nie rotującego obserwatora.
§ 7.2 Stacjonarna elektrodynamika o symetrii osiowej. Pole bez siłowe.
Rotująca czarna dziura i przestrzeń na zewnątrz niej są stacjonarna i posiadają symetrię osiową. W wielu zagadnieniach astrofizycznych ruch materii wokół czarnej dziury z dobrą dokładnością również możemy przyjmować stacjonarnym i osiowosymetrycznym. Naturalnym jest zakładać, że pole EM jest również takie.
W tym paragrafie przyjmujemy, że wymienione warunki są spełnione.
Wtedy pochodne po czasie t i pochodne £m wektorów znikają. W szczególności w nawiasach kwadratowych (7.1.3) i (7.1.4) pozostają tylko ostatnie składowe.
Okazuje się, że przy warunku stacjonarności i osiowej symetrii bezpośrednio mierzalne wartości E, B , ρe , j wyrażają się poprzez trzy dowolne funkcje skalarne, które mogą być wybrane w następujący sposób.
Niech ∂A* - będzie zamkniętą linię współrzędnościową o stałych r i θ w „absolutnej” 3-przestrzeni , A* - dwuwymiarową powierzchnią nie przecinającą czarną dziurę i ograniczoną przez ∂A*.
Wtedy wskazane funkcję :
1) całkowity prąd wewnątrz pętli ∂A* ( wzięty ze znakiem przeciwnym )
I ≡ -
∫
αj dΣ→ (7.2.1) A*Gdzie : dΣ→ - wektor elementu powierzchni ( przyjmujemy go jako dodatni jeśli jest zorientowany w kierunku π, 0 współrzędnej θ )
Gdzie : Φ - potencjał skalarny, A – potencjał wektorowy ( m już zdefiniowaliśmy wcześniej )
Wielkości I i Ψ zależą tylko od wyboru położenia pętli ∂A* a nie zależą od formy A* (* przyjmujemy, że czarna dziura nie posiada ładunku magnetycznego *)
Zanim wyrazimy E i B przez funkcje I ,Ψ , Ă0 rozdzielimy składowe pola poloidalne ( indeks P ) i toroidalne ( indeks T ), odpowiednio prostopadłe i równoległe do wektora m :
ET ≡ ( A sin2θ / ρ2 )-1 ( Em )m (7.2.4)
BT ≡ ( A sin2θ / ρ2 )-1 ( Bm )m (7.2.5)
Ep = E - ET (7.2.6)
Bp = B - BT (7.2.7)
Z prawa Faradaya (7.1.6) oraz warunku stacjonarności wynika :
ET = 0 (7.2.8)
Z równania (7.1.2) oraz warunku osiowej symetrii B ( co daje £m B = 0 ), otrzymujemy :
∇BT = 0 (7.2.9)
∇BP = 0 (7.2.10)
tj. poloidalne i toroidalne magnetyczne linie siłowe można rozpatrywać oddzielnie ( jak nigdzie nie kończące się ) Gęstość prądu j rozdzielimy również na składowe poloidalne ( jP ) i toroidalne ( jT ).
Teraz możemy wprowadzić wyrażenia dla wszystkich wielkości EM przez I, Ψ , Ă0 :
Ep = α-1[ ∇ Ă0 + ( ω/2πc ) ∇Ψ ] (7.2.11)
Podkreślmy, że ostatnie trzy równania można rozpatrywać jako równania różniczkowe definiujące I, Ψ , Ă0 ( a to oznacza , że również E i B ), jeśli źródła pola jp , jT , ρe przyjąć za zadane stacjonarne i osiowosymetryczne , ale pod innymi względami dowolne. Zauważmy, że zadanie prądu j w przypadku stacjonarnym i osiowo symetrycznym powinno spełniać warunek ∇(αj ) = 0 na mocy prawa zachowania ładunku tj. αjP powinno mieć zerową dywergencję.
Rozpatrzmy teraz warunki fizyczne w plazmie, otaczającej czarną dziurę.
Najważniejszym przypadkiem dla astrofizyki jest przypadek, kiedy przewodność plazmy jest na tyle wysoka, że w układzie współporuszającym się z plazmą nie występuje pole elektryczne , a linie sił magnetycznych są „wmrożone” w plazmie. W tym przypadku w dowolnym układzie odniesienia pole elektryczne jest prostopadłe do pola magnetycznego ( pole zdegenerowane ) :
EB = 0 (7.2.18)
Jeszcze bardziej specyficzna sytuacja występuje, kiedy siły inercji ( i grawitacji ) działające na plazmę, są małe w porównaniu z siłami EM. W tym przypadku konfiguracja pól i prądów jest taka, że w układzie współporuszającym się z plazmą, prądy są równoległe do magnetycznych linii siłowych i nie występuje siła Lorentza, działająca na poruszające się ładunki. Takie pola nazywamy bezsiłowymi. W dowolnym układzie warunek pola bezsiłowego możemy zapisać następująco :
ρeE + (1/c) j × B = 0 (7.2.19)
W tym paragrafie będziemy przyjmowali, że w pobliżu czarnej dziury warunek (7.2.19) [ a to oznacza, że również (7.2.18) ] są spełnione (* Warunek (7.2.19) nie jest spełniony na horyzoncie zdarzeń – zobacz następny paragraf *) Podkreślmy, że warunek (7.2.19) może być naruszany w zewnętrznej przestrzeni czarnej dziury w pewnych obszarach.
W standardowej sytuacji zewnętrzne pole magnetyczne utrzymuje się w przestrzeni wokół czarnej dziury ponieważ końce magnetycznych linii siłowych są „wmrożone” w gęstą, masywną plazmę. W plazmie tej spełniony jest warunek (7.2.18) ale nie warunek (7.2.19). Ciążenie czarnej dziury ( oraz bezwładność ) utrzymują tą plazmę wraz z
„wmrożonym” w nią polem magnetycznym. Jego linie siłowe wychodzą z gęstej plazmy do obszaru gdzie jest ona rozrzedzona w którym spełniony jest warunek (7.2.19), mogą one przebiegać w pobliżu czarnej dziury a część z nich może do niej przenikać. Taka sytuacja zachodzi np. w modelu szeroko omawianej dyskowej akreacji materii na czarną dziurę ( rys. 68)
Jeśli w którymś miejscu został naruszony warunek (7.2.19) i gęsta plazma nie utrzymałaby pola magnetycznego to jego ciśnienie sprawiłoby, że plazma wraz z tym polem uciekłaby ku przestrzeni zewnętrznej.
W oddali od czarnej dziury powinien być naruszony również warunek (7.2.18) ( obszar 3 na rys. 68 ) – tam gdzie pole magnetyczne jest wystarczająco słabe, a siły inercji są wystarczająco mocne ( zobacz na ten temat następny paragraf ) Na zakończenie zauważmy, że warunki (7.2.18) i (7.2.19) są oczywiście tylko przybliżone. Dla rozwiązania zadania dotyczącego konfiguracji pól, prądów i rozkładu ładunków konieczne jest tylko aby w miejsce (7.2.18) i (7.2.19) były spełnione odpowiednie nierówności :
| EB | << | E2 – B2 | (7.2.20)
| ρeE + (1/c) j × B | << | j / c | | B | (7.2.21)
Małe odchylenia od ścisłych równań (7.2.18) i (7.2.19) w otoczeniu czarnej dziury mogą okazać się istotne dla pewnych procesów astrofizycznych.
Powróćmy teraz do przypadku pola bezsiłowego, przyjmując warunki (7.2.18) i (7.2.19) jako ściśle spełnione w otoczeniu czarnej dziury. Pole E można przedstawić jako iloczyn wektorowy BT i pewnego wektora – vF/ c, zależny tylko od r, θ i kierunku m :
E ≡ EP = – vF/c × BP (7.2.22)
Rys. 68 Schemat akreacji dyskowej materii na czarną dziurę : 1 – rotująca czarna dziura, 2- obszar pola bez siłowego (7.2.19) , 3 – „obszar przyspieszenia” w którym spełnione są warunki (7.2.18) i (7.2.19). linią przerywaną zaznaczono granicę obszarów 2 i 3, linią punktową przykład linii prądu elektrycznego (* opis na rysunku „dysk plazmowy” *)
Przypomnijmy, że E i B są to pola mierzone przez nie rotującego obserwatora. Zatem , z (7.2.22) wynika, że obserwator poruszający się z prędkością vF względem obserwatora nie rotującego, mierzy tylko pole magnetyczne, pole elektryczne dla niego jest równe zeru co jest wynikiem wzorów transformacyjnych Lorentza. A to oznacza, że vF można
interpretować jako prędkość liniową punktów magnetycznych linii siłowych względem obserwatora nie rotującego.
Pole E jest całkowicie indukowane przez ten ruch.
Jeśli wektor vF zapiszemy w postaci :
VF = [ ( ΩF – ω ) / m ] m (7.2.23)
To ΩF będzie prędkością kątową ruchu cząstek linii siłowych poloidalnego pola magnetycznego a przestrzeni
„absolutnej”. Można pokazać, że każda linia siłowa obraca się cała wokół czarnej dziury ze stałą prędkością ΩF w
„czasie” t w przestrzeni „absolutnej”.
Powierzchnię, którą otrzymujemy przy obrocie magnetycznej linii siłowej , wokół osi symetrii nazywamy „powierzchnią magnetyczną”. Wielkość Ψ, jest oczywiście stała na tej powierzchni i odpowiednio ΩF jest funkcją Ψ : ΩF = ΩF (Ψ).
Okazuje się ,że wielkość Ă0 teraz nie jest już niezależna , a jest również funkcją Ψ : dĂ0 /dΨ = - ΩF/ 2πc Można pokazać, że z warunku (7.2.19) wynika również zależność I od Ψ.
Równania dla jT (7.2.16) i ρe (7.2.17) można teraz nieco uprościć :
jT = ( A sin2θ / ρ2 )1/2 (1/8π2α ) [ - c∇ ( ρ2 α∇Ψ / A sin2θ ) + (1/αc) ( ΩF- ω )∇Ψ∇ ( ΩF- ω ) – (1/αc) ( ΩF- ω )
(dΩF/dΨ) (∇Ψ )2 ] (7.2.24)
ρe = - (1/8π2α ) ∇ { [ ( ΩF- ω ) / ω]∇Ψ } (7.2.25)
Najważniejszym i interesującym faktem jest to, że I, Ψ, Ă0 teraz nie są dowolnymi i niezależnymi , a to znaczy, że nie są dowolne i niezależne również jT i ρe oraz bezdywergencyjna część α jP , tak jak to miało miejsce przy wymaganiu stacjonarności i osiowej symetrii. Teraz dowolność w ich wyborze nie występuje – dla istnienia pola bez siłowego koniecznym ( i wystarczającym ) jest aby wielkość Ψ spełniała równanie, które nazywamy równaniem linii prądu ( stream equation ) :
∇ {( αρ2/ A sin2θ ) [ 1 - [ ( ΩF- ω ) / α2c2 ] ( A sin2θ / ρ2 ) ] ∇Ψ } + [ ( ΩF- ω ) / α2c2 ] (dΩF/dΨ) (∇Ψ )2 +
+ (16π2 ρ2 / αρ2 A sin2θ ) I (dI/dΨ) = 0 (7.2.26)
Zatem, jeśli Ψ, ΩF (Ψ) , I(Ψ) zostały wybrane tak, że spełniają (7.2.26), to dla obszaru z bez siłowym polem, E obliczamy według (7.2.22), gdzie podstawiamy (7.2.23) i (7.2.13), B obliczamy według (7.2.13) i (7.2.14), jp – według (7.2.15), jT i ρe – odpowiednio według (7.2.24) , (7.2.25).