Opiszemy teraz te stany oraz odpowiadające im warunki brzegowe dla funkcji Greena, które pojawiają się najczęściej przy rozpatrywaniu efektów kwantowych w czarnych dziurach (* Ogólną analizę problemu określenia próżni w czasoprzestrzeni w przypadku obecności horyzontów można znaleźć w pracach Fullinga (1977a, b) i Sciamy (1981) *) Dla uproszczenia ograniczymy się do rozpatrzenia skalarnego pola bezmasowego.
Szczególne zainteresowanie stanowi przypadek, kiedy czarna dziura pojawia się w wyniku kolapsu, a do chwili jej powstania układ kwantowy znajduje się w podstawowym stanie próżniowym. Odpowiednia funkcja Greena ma wtedy postać :
Gin (x, x’ ) = i < 0 ; in | T( φ^(x) φ^(x) ) | 0 ; in > (10.2.1) I jest ona jak wszystkie pozostałe funkcje Greena (10.1.5), symetryczna i jednoznacznie określona poprzez tą własność, że w oddalonej przeszłości ( w obszarze in- ) pokrywa się ze swobodną przyczynową funkcją Greena w przestrzeni Minkowskiego. Oczywiście, że zachowanie Gin zależy, ogólnie mówiąc, od szczegółów procesu kolapsu prowadzącego do powstania czarnej dziury. To sprawia, że zagadnienie znajdowania Gin jest złożone i trudne, ale poddaje się
rozwiązaniu. Przypomnijmy jednak, że wraz z upływem czasu czarna dziura staje się stacjonarną (* ściśle – prawie stacjonarną, ponieważ w wyniku parowania kwantowego jej parametry cały czas się zmieniają, jednakże jak już
mówiliśmy, szybkość tej zmiany jest zaniedbywalnie mała, do tej pory aż masa czarnej dziury przekracza znacznie masę Plancka *). Na podstawie tych argumentów, które wykorzystywaliśmy przy dowodzeniu uniwersalności własności promieniowania Hawkinga, możemy wnioskować, że Gin przez wystarczająco długi czas po powstaniu czarnej dziury określane jest tylko poprzez parametry samej czarnej dziury.
Dla opisania własności tej „uniwersalnej” funkcji Greena dogodnie jest wykorzystać następującą okoliczność.
Rozpatrzmy mianowicie czasoprzestrzeń wiecznej czarnej dziury, posiadającej te same parametry co stacjonarna czarna dziura. Zdefiniujemy w tej przestrzeni funkcje Greena GU(x, x’ ) jako rozwiązanie równania (10.1.7), pokrywające się w późniejszym czasie z asymptotyką Gin (x, x’ ), a w pozostałej czasoprzestrzeni funkcje tą otrzymujemy jako
przedłużenie analityczne tej asymptotyki.
Unruh (1976b) pokazał, ze w czasoprzestrzeni wiecznej czarnej dziury dla wartości parametrów x, x’ , leżących w przestrzeni zewnętrznej lub na horyzoncie zdarzeń, funkcja Greena GU (x, x’ ) jest określona jednoznacznie poprzez następujące warunki brzegowe :
- przy ustalonej wartości x’ w obszarze I (rys. 80 ) funkcja ta jest ujemnie częstościowa względem parametru afinicznego U na H- dla x na H- i ujemnie częstościowa względem czasu adwansowanego ν na ℑ- dla x na ℑ-.
Odpowiedni stan | U >, dla którego :
GU (x, x’ ) = i < U | T( φ^(x) φ^(x’) ) | U > (10.2.2) otrzymał nazwę próżni Unruh.
Interesującym jest również inny przypadek w którym czarna dziura umieszczona jest w kąpieli równowagowej promieniowania o spektrum ciała czarnego. Ponieważ stan ten nie jest stanem czystym i opisywany jest przez macierz gęstości ρ^θ (9.5.45), to dla odpowiadającej mu funkcji Greena GH (x, x’ ) mamy :
GH (x, x’ ) = i Tr [ ρ^θ T( φ^(x) φ^(x’) )] (10.2.3)
Taką funkcje Greena możemy poprzez przedłużenie analityczne rozciągnąć na całą czasoprzestrzeń wiecznej czarnej dziury. Przy tym, jak to pokazali Hartle i Hawking (1976), spełnia ona następujące warunki brzegowe :
Przy ustalonej wartości x, jest ona ujemnie częstościową funkcją względem parametru afinicznego U dla x na H- i dodatnio częstościową funkcją względem parametru afinicznego V na H+ ( zobacz rys. 80 ). Chociaż stan taki nie jest ani stanem czystym, ani stanem próżniowym, dla jego oznaczenia wykorzystujemy symbol | H >, zapisując skrótowo (10.2.3) w postaci :
GH (x, x’ ) = i < H | T( φ^(x) φ^(x’) ) | H > (10.2.4) Stan ten nazywamy próżnią Hartle’a-Hawkinga.
Rys. 80 Diagram Penros’a dla rotującej czarnej dziury. Strzałkami ukazano powierzchnie, ograniczające obszary I, na których zadawane są warunki brzegowe dla funkcji Greena, odpowiadających stanom próżniowym Hartle’a-Hawkinga ( | H >), Unruh’a ( | U > ) i Boulware’a ( | B > ).
Jeśli czarna dziura rotuje, to jak już mówiliśmy w poprzednim rozdziale, sytuacja równowagowa jest możliwa tylko w przypadku, kiedy rozmiar kąpieli, wewnątrz której znajduje się czarna dziura jest wystarczająco mały. Przy tym, ogólnie mówiąc, okazuje się ważny wybór warunków brzegowych dla pola φ na powierzchni Σ. Standardowo będziemy
zakładali, że :
φ | Σ = 0 (10.2.5)
Takiemu warunkowi brzegowemu powinna odpowiadać funkcja Greena :
GH (x, x’ )| x∈Σ = 0 (10.2.6)
W tym przypadku, kiedy rola powierzchni ograniczającej Σ jest istotna w miejsce | H > będziemy wykorzystywali oznaczenie | H, Σ >, a w miejsce GH wykorzystamy GH, Σ.
Jak pokazał Hartle i Hawking (1976), funkcja Greena ( podobnie jak i GH, Σ ) charakteryzuje się szczególnymi
własnościami analitycznymi. Aby opisać te własności, zauważymy, że jeśli w wyrażeniu dla elementu długości (4.2.1) w geometrii Kerra dokonamy zamiany :
t = - iτ , a = ib (10.2.7)
to powstała w taki sposób metryka będzie posiadała sygnaturę ++++. Ponadto, okazuje się, że [ Hartle, Hawking (1976), Hawking (1981) ] metryka ta jest wszędzie regularna ( włączając w to powierzchnie r = rE = M + sqrt( M2 + b2 ) odpowiadającą przedłużeniu analitycznemu powierzchni horyzontu zdarzeń ), jeśli tylko współrzędna τ jest cykliczna o okresie równym 2π/ κE ( κE = κ | a = ib ). Przestrzeń regularna, posiadająca podobną metrykę została nazwana euklidesową czarną dziurą. Wynik osiągnięty przez Hartle’a i Hawkinga (1976) polega na tym ,że funkcja Greena GE (x, x’ ) pojawiająca się przy przedłużaniu analitycznym (10.2.7) funkcji GH (x, x’ ) :
GH (x, x’ ) = [ i GE (x, x’ )] τ = it (10.2.8)
b = - ia jest symetrycznym rozwiązaniem równania :
E GE (x, x’ ) = δ(x, x’ ) / √ gE (10.2.9)
w przestrzeni euklidesowej czarnej dziury, zanikającym w nieskończoności i regularnym na powierzchni euklidesowego horyzontu. ( E = |t = iτ , gE = g | t = iτ )
a = -ib a = ib
Wynik ten pozwala w celu uzyskania GE(x, x’ ) wykorzystać następujący schemat : na początku znajdujemy euklidesową funkcje Greena GE, a następnie za pomocą przedłużenia analitycznego (10.2.8) otrzymujemy GH.
Schemat ten jest bardzo podobny do procedury obrotu Wicka i przejścia do euklidesowego sformułowania danego zagadnienia, wykorzystujemy go często w kwantowej teorii pola w płaskiej czasoprzestrzeni, taki chwyt często pozwala istotnie uprościć zagadnienie obliczania GH.
Teraz omówimy krótko, jeszcze jeden wybór stanu, który jest wykorzystywany przy opisie efektów kwantowych w czarnych dziurach, przedstawił go Boulware (1975 a, b , 1976 ).
Stan ten oznaczamy jako | B > i nazywamy go próżnią Boulwarea.
Rozpatrzmy mianowicie sytuacje, kiedy dane jest nierotujące, sferyczne ciało o masie M i promieniu R0 niewiele większym niż promień grawitacyjny tego ciała rg. Ponieważ w takiej statycznej czasoprzestrzeni odpowiednie pole wektorowe Killinga ξµ
(t)∂µ = ∂t jest wszędzie czasopodobne, to cząstki posiadają dodatnią energię i kreacja cząstek jest niemożliwa. Odpowiadający tej sytuacji stan próżniowy | B, R0 > jest stabilny, a odpowiadająca temu stanowi funkcja Greena GB; R0 (x, x’ ) spełnia następujące warunki brzegowe :
Przy ustalonej wartości x’ jest ona ujemnie częstościową funkcją ν przy x na ℑ- i dodatnio częstościową funkcją u przy x na ℑ+. Zdefiniujmy funkcje Greena :
GB(x, x’ ) = i< B | T( φ^(x) φ^(x’) ) | B > (10.2.10)
Jako rozwiązanie równania GB (x, x’ ) = -δ(x, x’ ) / √ g w czasoprzestrzeni wiecznej czarnej dziury, spełniające określone powyżej warunki brzegowe.
Dla nierotującej czarnej dziury funkcje Greena GB można rozpatrywać w pewnym sensie jako granicę GB; R0 przy R0 → rg. Oczywiście, że fizyczna realizacja układu statycznego, którego rozmiar jest dowolnie bliski jej promieniowi grawitacyjnemu nie jest możliwa. Cząstki na powierzchni takiego ciała w takiej granicy powinny posiadać nieskończenie duże przyspieszenie i dla ich utrzymania potrzebna jest nieskończenie duża siła. Zgodnie z tym, funkcja Greena GB , posiadająca regularne zachowanie daleko od czarnej dziury i odpowiadająca brakowi promieniowania kwantowego na ℑ+ posiada „kiepskie” zachowanie analityczne w pobliżu horyzontu zdarzeń, a odpowiadające jej renormalizowane wartości < B | Tµν | B > i < B | φ2 | B > są rozbieżne na H+ i H-.
Chociaż opisany powyżej stan i odpowiadające mu funkcje Greena zostały określone tylko dla skalarnego pola bezmasowego, rozciągniecie tych definicji na ogólny przypadek nie jest trudne.
§ 10.3 < Tµµ >ren i < φ2 >ren w czasoprzestrzeni czarnej dziury.
Aby obliczyć zrenormalizowaną wartośćtensora energii-pędu musimy znać funkcje Greena G(x, x’ ) przy wartości jej argumentów x, x’ bliskich jeden od drugiego. Jednak taka wiadomość w żadnym wypadku nie oznacza, że warunki brzegowe nakładane na funkcje Greena daleko od interesującego nas punktu nie wpływają na zachowanie się G(X, x’ ) w granicy pokrywających się punktów (* Zauważmy, ze w przestrzeni Riemanna dla metryki o sygnaturze euklidesowej funkcja Greena pola masywnego wykładniczo zanika wraz ze wzrostem odległości między punktami x, x’. Jeśli punkty te znajdują się daleko od brzegu, to wpływ warunków brzegowych dla takich pól jest zaniedbywalnie mały *)
Aby się o tym przekonać, wystarczy wspomnieć , że funkcja Greena określona jest przez odpowiednie równanie z dokładnością do pewnego rozwiązania jednorodnego równania, które to jednoznacznie ustalamy poprzez właśnie warunki brzegowe. W teorii pola masywnego ( o masie m ), kiedy promień charakterystyczny L, krzywizny czasoprzestrzeni jest znacznie większy od comptonowskiej długości fali λ = ħ/mc, możemy wykorzystać rozkład względem małego parametru ε = (λ/L)2 , tak aby otrzymać równomierne przybliżenie dla funkcji Greena. W przypadku pola bezmasowego taki parametr nie występuje. Ponieważ równania falowe dla pól bezmasowych w metryce Kerra dopuszczają rozdzielenie zmiennych, to naturalną metodą badania funkcji Greena dla takich pól jest przedstawienie ich w postaci rozkładu na wody własne [ Candelans (1980) ].
W charakterze przykładu pokażemy takie przedstawienie dla funkcji Hadamara skalarnego pola bezmasowego w metryce rotującej czarnej dziury (*Podane poniżej wzory są słuszne również dla naładowanej czarnej dziury *)
W charakterze rozwiązań bazowych równania φ = 0 w czasoprzestrzeni wiecznej czarnej dziury, dogodnie jest wybrać układ rozwiązań νωkm , yωkm spełniający następujące warunki brzegowe. Funkcje νωkm zerują się na H- , a na ℑ- posiadają obraz Vωkm ,opisywany wyrażeniem (9.4.5). Obraz yωkm na ℑ- jest równy zeru, a na H+ funkcje te przyjmują wartości :
yωkm | H+ = e-iωu Ykm (θ, φ ) / sqrt[ 4πω~ ( r+2 + a2 )] (10.3.1) W przypadku, jeśli czarna dziura otoczona jest ośrodkiem odbijającym, równanie którego r = r0 ( φ | r0= 0 ), w
charakterze odpowiednich funkcji bazowych wybieramy rozwiązania kωkm , które na H- maja wartości, pokrywające się z yωkm | H- [ wzór (10.3.1) ], a na wspomnianym ośrodku są równe zeru. : kωkm | r0= 0.
Jeśli indeks kolektywny ωkm oznaczymy jako J i wprowadzimy oznaczenia :
νJ (x, x’ ) = νJ (x) ν-J(x’ ) + ν-J(x ) νJ(x’ ) (10.3.2)
to funkcje Hadamara G(1), odpowiadające różnym wyborom stanów „próżniowych”, możemy zapisać następująco :
(10.3.3) Analogiczne przedstawienia dla funkcji Greena dla pola EM i zaburzeń grawitacyjnych podano w pracy Candelansa (1981), zobacz również Frolow (1986*).
Zauważmy, że ponieważ rozbieżności, które zostały wyeliminowane w procesie renormalizacji, posiadają uniwersalną postać, to wartość różnicy dowolnej pary funkcji (10.3.3) w granicy pokrywających się punktów pozostaje skończona.
Dla takich skończonych różnic, mamy w szczególności : ∞
< U | φ2 (x) | U > - < H | φ2 (x) | H > = -2
ΣΣΣΣ
∫
dω | νJ (x) |2 / eω~/θ − 1 (10.3.4) k,m 0∞ ∞
< B | φ2 (x) | B > - < H | φ2 (x) | H > = -2
ΣΣΣΣ
[∫
dω | νJ (x) |2 / eω~/θ − 1] + [∫
dω | yJ (x) |2 / eω~/θ − 1] (10.3.5) k,m 0 Ωgdzie : θ = κ/2π
Przedstawienia postaci (10.3.3) dla funkcji Greena pozwalają przeanalizować zachowanie < Tµµ >ren i < φ2 >ren w pobliżu H± , ℑ± . W szczególności, można pokazać, że wartości tych wielkości w pobliżu H± przy uśrednieniu
względem próżni Boulware’a są rozbieżne. Z asymptotyki w pobliżu czarnej dziury Schwarzschilda we współrzędnych t, r, θ, φ mają postać [ Candelans (1980), Sciama i inni. (1981) ] :
(* W tych wzorach ( i dalej ) opuściliśmy indeks „ren” dla wielkości < φ2 >ren i < Tµµ >ren , ponieważ będziemy mieli do czynienia tylko z wartościami zrenormalizowanymi tych wielkości. Symbol dolny wskazuje na ten stan próżniowy, według którego dokonujemy uśrednienia. Przykładowo < φ2 >B oznacza < B | φ2 | B >ren *)
< φ2(r) >B ~ ( r – rg )-1 (10.3.6)
∞
< Tµν (r) >B ~ { hs / 2π2 [ 1 – (rg / r ) ]2 }
∫
dω ( ω2 + s2 κ2 ) / [ eω/θ − ( −1)2s ] diag ( -1, 1/3, 1/3, 1/3 ) (10.3.7) 0Tu, oraz dalej symbol diag( a, b, c, d) – oznacza macierz diagonalną o elementach równych a, b, c, d na przekątnej głównej, hs – liczba polaryzacji pola o spinie s.
Przyczyną podobnego osobliwego zachowania wielkości charakteryzujących polaryzacje próżni w tym stanie, jest to, że sam ten stan – tak jak to zauważyliśmy wcześniej – odpowiada sytuacji fizycznie nie realizowalnej.
Niestety nie udaje się zsumować szeregów odpowiadających < φ2 >ren i < Tµν >ren oraz odpowiadającym im szeregów otrzymywanych po renormalizacji, postaci (10.3.3) dla funkcji Greena jak również nie udało się znaleźć skończonych wyrażeń dla tych wielkości w przypadku ogólnym (* do ważnych wyjątków, dla których możliwe jest otrzymanie ścisłych wartości < φ2 >ren i < Tµν >ren ,należą przypadki, kiedy rozpatrywany punkt leży na horyzoncie zdarzeń. Na tych właśnie przypadkach skupimy się poniżej *).
Dlatego też aby otrzymać wymagane wielkości wykorzystuje się albo metody numeryczne, albo stosuje się metody przybliżonego sumowania szeregów. W opublikowanych do tej pory pracach ograniczano się do rozpatrywania przypadku w którym czarna dziura nie rotuje.
Zanim przejdziemy do przedstawienia wyników tych prac, zauważymy, że własności symetrii < Tµν >, związane z symetriami schwarzschildowskiego pola grawitacyjnego tła, oraz prawo zachowania < Tµν >; µ , które spełnia ta wielkość, mocno ograniczają liczbę niezależnych składowych.
Jak pokazali Chistensen i Fulling (1977), każda zachowana wielkość < Tµν > w czasoprzestrzeni nierotującej czarnej dziury dopuszcza następujące przedstawienie :
4
< Tµν > =
ΣΣΣΣ
tµν (10.3.8) i=1 igdzie : tµν we współrzędnych t, r*, θ, φ ma postać : i
tµν = diag ( - (FH/r2 ) + ½ T , FH/r2 , ¼ T , ¼ T ) 1
tµν = diag ( - (FH/r2 ) − 2 Θ , FH/r2 , Θ , Θ ) (10.3.9)
2
tµν = ( W/4πr2 ) ( 1 -1 0 0 ) 3 ( 1 -1 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) tµν = diag ( - NF/r2 , NF /r2 , 0 , 0 ) 4
gdzie :
F = [ 1 –(2M/r ) ]-1 , T(r ) = < Tµµ (r ) > , Θ(r) = < Tθθ ( r ) > - ¼ T(r ) (10.3.10) r r
H(r ) = ½
∫
( r’ − M ) T(r’ ) dr’ , G(r ) = 2∫
( r’ − 3M ) Θ(r’ ) dr’2M 2M Każdy z tensorów tµν spełnia prawo zachowania tµ
ν; µ= 0.
i i Tylko tµν posiada niezerowy ślad, a tylko tµ
ν posiada bezśladową część tµ
ν – ¼ Tδµ
ν , dla której θ-składowa jest różna 1 2
od zera, tylko tµν posiada składowe niediagonalne, opisujące strumienie , a tylko tµ
ν jest nieregularny na H+.
3 4
Innymi słowy, dowolny tensor energii-pędu, spełniający prawo zachowania i warunki symetrii takie jakie przysługują metryce Schwarzschilda, jest charakteryzowany jednoznacznie poprzez zadanie dwóch funkcji T, Θ zmiennej r ( jedna z tych funkcji ( T ) pokrywa się ze śladem tego tensora ), oraz dwóch stałych W, N, wartość jednej z nich ( W ) pokrywa się z natężeniem promieniowania czarnej dziury w nieskończoności ( W = - dM/dt ), a wartość drugiej jest równa zeru ( N = 0 ), jeśli tensor energii-pędu jest regularny na H+.
Natężenie promieniowania W jest różne od zera tylko dla próżni Unruha , przy tym dla pól : bezmasowego skalarnego (s = 0 ), dwuskładnikowego neutronowego ( s = ½ ), EM (s = 1 ) i grawitacyjnego ( s = 2 ), współczynniki W są odpowiednio równe [ Page (1982), Elster (1983b) ] :
W0 = 7,4 • 10-5 M-2 , W1/2 = 8,2 • 10-5 M-2 , W1 = 3,3 • 10-5 M-2 , W2 = 0,4 • 10-5 M-2 (10.3.11) Współczynnik N jest równy zeru dla próżni Unruha i dla próżni Hartle’a-Hawkinga.
Przeprowadzone do tej pory obliczenia numeryczne, odnosiły się do przypadku pola skalarnego bezmasowego w czasoprzestrzeni schwarzschildowskiej czarnej dziury. Wyniki obliczeń < φ2 >H i < φ2 >U przeprowadzonych przez Fawcetta i Whitinga (1982), pokazano na rysunku 8.1
Rys. 8.1 Wartości ( 8πM )2 < φ2 > w zależności od ξ = (r/M ) – 1 : krzywa I < φ2 >H , krzywa II < φ2 >U.
Wartości składowych < Tµν >H zostały obliczone przez Howarda, Candelansa (1984). Wartości składowych < Tµ ν >H różnych od zera oraz obliczone przez Elstera (1983b) wartości < Tµν >U pokazano na rysunku 8.2
Rys. 8.2 Wartości składowych [ 90 ( 8πM )4 / π2 ] < Tµν > w zależności od ξ. Na rysunkach tych przedstawiono zachowanie : < Ttt > a) ; < Tr
r > b) ; < Tθ
θ > = < Tφ
φ > c) – składowych tensora energii-pędu. Składowe < Tµ ν >H – to krzywe I, < Tµν >P
H – krzywe II , < Tµ
ν >U – krzywe III.
Podstawową własnością tensora < Tµν >H jest skończona wartość jego składowych na horyzoncie zdarzeń.
W szczególności, obserwator spoczywający w punkcie r w pobliżu horyzontu zdarzeń, zarejestruje gęstość energii
< Ttt >H i wartość ta pozostaje skończona przy r → rg. Z drugiej strony, mierzona przez niego temperatura okazuje się równa Tloc = (κ/2π) [ 1 – (rg /r ) ]-1/2. Podobny pomiar temperatury można przykładowo „zrealizować”, biorąc w charakterze termometru układ dwupoziomowy, w którym to przejścia między poziomami związane są z pochłanianiem i promieniowaniem kwantów rozpatrywanego pola ( fotonów). W dostatecznie długim czasie prawdopodobieństwo znalezienia układu na poziomie górnym, będzie exp( ∆E/Tloc ) razy mniejsze, niż na poziomie dolnym ( ∆E – jest różnicą energii między tymi poziomami ). W analogiczny sposób będą zachowywały się inne detektory o małych rozmiarach. [ Unruh (1976b) ]. Łatwo sprawdzić, że w pobliżu rg , Tloc ≈ Ta = a/2π, gdzie a – przyspieszenie obserwatora , a przy r → rg , Tloc →∞ (* W analogiczny sposób przyspieszony obserwator ( o przyspieszeniu a ) w płaskiej czasoprzestrzeni zarejestruje z pomocą opisanego „termometru” temperaturę Ta = a/2π. Dlatego z punktu widzenia takiego obserwatora standardowa próżnia Minkowskiego w znacznej mierze będzie zachowywała się tak, jak promieniowanie cieplne o temperaturze Ta. Należy zauważyć, że rejestrując energię takich cieplnych „cząstek”, nie może on dostatecznie ściśle zmierzyć ich pęd, ponieważ długość charakterystyczna fali takiego „promieniowania” jest rzędu odległości do horyzontu. Uwaga ta jest słuszna również dla „cząstek” promieniowania cieplnego, rejestrowanego przez obserwatora w pobliżu czarnej dziury. Szczegóły zobacz Unhru (1976b), Unhru, Wald (1984) *)
Należy zauważyć, że jak wynika z wyników przedstawionych na rys. 82, gęstość energii promieniowania w otoczeniu Takiego punktu jest ~σ(κ/2π) << σT4a. Przyczyna naruszenia prawa σT4 jest to, że jest ono niesłuszne w pobliżu brzegu, gdzie parametry układu silnie zmieniają się na odległości, rzędu długości charakterystycznej fali
promieniowania. W przypadku czarnej dziury właśnie taka sytuacja ma miejsce w pobliżu jej powierzchni ( na odległości r – rg ~ rg ). Fakt, że wielkość – < Tt
t >H ( w odróżnieniu od σT4
a ) jest skończona na horyzoncie, można interpretować następująco :
Wkład polaryzacji próżni, związanej z niejednorodnością czasoprzestrzeni w pobliżu czarnej dziury, dokładnie kompensuje tę rozbieżność, która miałaby miejsce dla gęstości energii promieniowania , jeśli spełnione byłoby prawo σT4a.
Fawcett i Whiting (1982), analizując wyniki obliczeń, zwrócili uwagę na to, że wartości wielkości <φ2 >H na całym odcinku od rg do ∞ można dobrze aproksymować poprzez proste wyrażenie :
< φ2 >H = (1/786π2 M2 ) [ ( 1 – z2 )/ ( 1 – z ) ] (10.3.12)
gdzie : z = 2M/r.
Wychodząc z tego faktu, Page (1982) przedstawił metodę przybliżonego obliczania < φ2 >H i < Tµ ν >H.
Dla < φ2 >H otrzymana w takim przybliżeniu wartość < φ2 >PH pokrywa się z (10.3.12).
Candelans, Howard (1984) pokazali, że wielkości < φ2 >PH i < Tµ ν >P
H, obliczane w ramach przybliżenia Page’a bardzo dobrze odtwarzają rzeczywiste zachowanie < φ2 >H i < Tµ
ν >H, ( dla < φ2 >PH różnica od rzeczywistej wartości
< φ2 >H nie przekracza 1%, dla składowych < Tµ ν >P
H odchylenie nie przekracza 20% ), Kluczowymi dla budowy przybliżenia Page’a są dwa założenia :
1) Niech będą dane dwie przestrzenie konforemne i niech w każdej z nich dokonujemy obliczenia zrenormalizowanych średnich < φ2 > i < Tµν > dla stanów, otrzymywanych jeden z drugiego za pomocą takiego samego przekształcenia konforemnego. Wtedy to następujące kombinacje zawierające < φ2 > i < Tµν >, są inwariantami ( tj. nie zależą od tego w jakich przestrzeniach są one obliczane ) :
Z = g1/4 [ < φ2 > + ( 1/288π2 ) R ] (10.3.13)
związane są ze współczynnikami as i bs wchodzącymi do wyrażenia dla anomalii konforemnych (101.3), poprzez zależności :
αs = as , βs = bs , γs = 2/3 as (10.3.16)
2) Niech metryka :
ds2 = −V2dt2 + hij dxi dxj (10.3.17)
jest statycznym rozwiązaniem próżniowych równań Einsteina ( V2 = -ξ(t)µξµ (t) , ξµ
(t) – pole wektorowe Killinga ).
Wtedy w przestrzeni o metryce ds~2 = V-2 ds2 nie występują anomalie konforemne ( tj. wyrażenia w nawiasach po prawej stronie (10.1.3), obliczane w takiej przestrzeni zerują się ).
Page założył, aby prowadzić obliczenia < φ2 > i < Tµν > na początku w przestrzeni ds~2 , wykorzystując w niej dla funkcji Greena rozwiązanie, otrzymywane za pomocą WKB-przybliżenia, a następnie, przyjmując do wiadomości inwariantność wielkości (10.3.13) i (10.3.14), powrócić do wejściowej przestrzeni fizycznej.
Przy tym dla skalarnego pola bezmasowego w metryce Schwarzschilda dla wielkości < φ2 >H otrzymujemy wyrażenie (10.3.12), a dla < Tµν >H – następujące przybliżone wyrażenie :
< Tµν >PH = (π2 / 90) θ { [ 1 – ( 4 – 3z)2 z6 / (1 – z )2 ] ( δµν – 4δµ0 δ0ν ) + 24 z6 ( 3 δµ0 δ0ν + δµk δkν ) } (10.3.18) gdzie : θ = (8πM )-1 – temperatura czarnej dziury.
Zachowanie składowych różnych od zera < Tµν >P
H przedstawiono na rys. 82 ( linia przerywana ). To przybliżone wyrażenie zostało wykorzystane w pracy Yorka (1985) w celu zbadania odwrotnego wpływu polaryzacji próżni na pole grawitacyjne czarnej dziury.
Metodę Page’a można wykorzystać również w celu znajdowania wartości przybliżonych < φ2 > i < Tµν > w próżni Boulware’a. Obliczenia dają wynik [ Frolow, Zelnikow (1985a) ] :
< φ2 >PB = - M2 / 48π2 r4 ( 1 – z ) (10.3.19)
< Tµν >PB = (M2 / 1440π2 r6 ) { [ ( 4 – 3z ) / 2 (1 – z )]2 ( – δµν + 4δµ0 δ0ν ) + 6( 3δµ0 δ0ν + δµk δkν ) } (10.3.20) Wyrażenia (10.3.19) – (10.3.20) są zgodne z asymptotykami (10.3.6) – (10.3.7) w pobliżu horyzontu zdarzeń i posiadają prawidłową asymptotykę w nieskończoności. Jak widać, dokładność z jaka (10.3.19) i (10.320) odtwarza dokładne wartości < φ2 >B i < Tµ
ν >B , jest tego samego rzędu ,co w przypadku próżni Hartle’a-Hawkinga.
W pracy Browna i Ottewilla (1985) przedstawiono nieco inna metodę obliczania wielkości < φ2 > i < Tµν > dla pól konforemnie inwariantnych, która to w przypadku pola skalarnego prowadzi do tych samych wyrażeń (10.3.12), (10.3.18) – (10.3.20), co w przybliżeniu Page’a. Autorzy ci zwrócili uwagę na to, że anomalie konforemne znikają nie tylko w przestrzeniach o metryce ds~2 = V-2 ds2 , ale również w szerszej klasie przestrzeni, dla których metryki mają postać ds-2 = exp(at) V-2 ds2. Jeśli przyjmiemy, że przestrzeni ds-2 stan jest wybrany tak, że znikają nie tylko ślad
( < Tµν > = 0 ), ale również pozostałe składowe < T-µ
ν >, to po powróceniu do wejściowej przestrzeni fizycznej otrzymujemy w pełni określoną wartość < Tµν >. Brown i Ottewill pokazali, ze przy a = 0 otrzymywane w ten sposób wyrażenie pokrywa się z < Tµν >P
B, a przy a = -2κ = - (2M)-1 – prawidłowo odtwarza < Tµν >P
H. W ramach tego podejścia można otrzymać również analogiczne przybliżenie wyrażenia dla wkładów pól : neutronowego i EM do
< Tµν >.
Wyniki osiągnięte przez Page’a, Browna i Ottewilla jak się wydaje wskazują na to, że podstawowy wkład do
próżniowego tensora energii-pędu dla pól konforemnie inwariantnych w polu czarnej dziury dają konforemne anomalie i jeśli je uwzględniać, to tensor energii-pędu wystarczająco dobrze odtwarza ścisła wartość < Tµν > (* Zauważmy w związku z tym, że w dwuwymiarowej czasoprzestrzeni anomalia konforemna ma postać :
< Tµν > = (Cs / 24π) R
gdzie R – jest krzywizną skalarną, Cs – współczynnik zależny od spinu s , pola ( C0 = 1 ). Całkowity tensor energii-pędu
< Tµν > określany jest poprzez swój ślad z dokładnością do dwóch funkcji jednej zmiennej, odpowiadających dowolności w wyborze warunków brzegowych. Okoliczność ta pozwala obliczyć ściśle < Tµν > w różnych dwu wymiarowych modelach, imitujących czarną dziurą *).
Jak już wspominaliśmy wcześniej, w szeregu przypadków kiedy rozpatrywany punkt leży na horyzoncie zdarzeń, udaje się obliczyć ściśle wartości < φ2 > i < Tµν >. Ten bardzo miły fakt związany jest z osobliwymi własnościami
czasoprzestrzeni w pobliżu horyzontu zdarzeń. Teraz zastanowimy się dokładniej na tych własnościach.
czasoprzestrzeni w pobliżu horyzontu zdarzeń. Teraz zastanowimy się dokładniej na tych własnościach.