Dobrze znanym następstwem nieliniowości układu równań Einsteina-Maxwella jest efekt wzajemnego przekształcania fal EM i grawitacyjnych w zewnętrznym polu elektrycznym [ Sibgatullin (1984*) ].
W niniejszym paragrafie, krótko zastanowimy się na opisie tego efektu i zastosowaniu go do zagadnienia rozprzestrzeniania się fotonów i grawitonów w polu naładowanej czarnej dziury.
Niech dana będzie metryka gµν i pole EM Aµ, spełniające układ równań Einsteina-Maxwella, niech hµν = δgµν i aµ = δAµ – będą małymi zaburzeniami na tym tle. Wtedy z warunku, że gµν + hµν i Aµ + aµ również są rozwiązaniami tych równań, wynika następujący linearyzowany układ dla zaburzeń :
kµν; λ ; λ – kλµ ; ν ; λ – kλν; µ ; λ – ½ gµν k; λ ; λ - 2kαβ Fµα Fνβ – ½ kµν Fαβ Fαβ + gµν kαγ Fαβ Fβν +
podniesienie I opuszczenie indeksów ora różniczkowanie kowariantne wykonywane jest za pomocą metryki gµν , a Tµν – jest tensorem energii pędu pola Fµν [ zobacz (d.48) ].
Układ ten jest inwariantny względem przekształceń cechowania :
fµν→ hµν – ξµ; ν – ξν; µ (8.4.3)
aµ→ aµ + λ; µ – ξα
Aµ; α – ξα
; µ Aα (8.4.3)
Aby zlikwidować dowolność cechowania wygodnie jest nałożyć następujące dodatkowe warunki : kαβ; β = 0 , aα
; α = 0 (8.4.4)
Rozpatrzymy teraz efekt oddziaływania zaburzeń EM I grawitacyjnych, związany z pojawieniem się członów, zawierających pole elektryczne f, w równaniu (8.4.1a) oraz członów zawierających zaburzenie grawitacyjne k, w równaniu (8.4.1b), w przybliżeniu , kiedy długość fali λ, fal EM i grawitacyjnych jest dużo mniejsza od wymiaru charakterystycznego L niejednorodności pól tła gµν i Aµ. Wykorzystując przybliżenie optyki geometrycznej zaburzenia kµν i aµ zapiszemy w następującej postaci :
aµ = Re [ ( αα + εβµ + … ) eiS/ε ] (8.4.5a)
kµν = Re [ (κµν + επµ + … ) eiS/ε ] (8.4.5b)
gdzie : ε – pewien parametr, charakteryzujący stopień małości rozpatrywanego członu w stosunku do bezwymiarowego parametru λ/L.
Funkcje fazowe S w wyrażeniach (8.4.5) wybrane są tak, że pokrywają się one ze sobą. Można to osiągnąć poprzez przedefiniowanie czynników przed wykładnikami w przypadku jeśli ich różnice są rzędu O(ε). W przeciwnym wypadku, jeśli różnica w fazach Sa i Sk w wyrażeniu dla aµ i kµν nie jest mała ( Sa - Sk = O(ε0 ) ) człony odpowiedzialne za przemieszanie wchodzą z czynnikiem wysoko częstotliwościowym e( Sa – Sk ) /ε i przemieszanie w porządku niższym względem ε nie występuje.
Jeśli oznaczymy lα = S, α , to przy podstawieniu (8.4.5) do równania (8.4.1) , a warunkach cechowania (8.44) przyrównamy do zera człony rzędu ε-2 i ε-1, to otrzymamy następującą zależność ( równanie eikonału ) :
lα lα = 0 (8.4.6) Warunek (8.4.6) pokazuje, że powierzchnia stałej fazy S = const. jest izotropowa. Dlatego linie całkowe xµ = xµ(λ), określone równaniem :
dxµ /dλ = lµ (x) (8.4.10)
leżące na tej powierzchni, są geodezyjnymi izotropowymi, a parametr λ – jest afiniczny.
Dopełnimy pole wektorowe lµ do zespolonej izotropowej tetrady ( lµ , nµ , mµ , m-µ ) , wymagając aby wektory tej tetrady były unormowane przez warunki :
lµ nµ = -1 , mµ m-µ = 1 (8.4.11)
( pozostałe iloczyny skalarne zerują się ), a same tetrady były kowariantnie stałe wzdłuż krzywych całkowych lµ : lµ mν
; µ = lµ nν
; µ = 0 (8.4.12)
Z warunku ortogonalności lµ mµ = 0 wynika, że wektory mµ , m-µ są styczne do powierzchni S = const. Można pokazać, że pozostała dowolność w przekształceniach cechowania (8.4.3), które zachowują warunki (8.4.7), może być wykorzystana po to aby sprowadzić wyrażenia dla αµ i κµν do postaci :
αµ = Am-µ + A-µmµ
½ κµν = H m
-µ m-ν + H-mµ mν (8.4.13)
Mnożąc (8.4.8a) przez mµ i (8.48b) przez mµ mν oraz wprowadzając oznaczenia : Φ0 = Fαβ lα mβ , lβ ; β = - 2ρ, otrzymamy następujący układ równań :
dA/dλ – ρA = Φ
-0 H (8.4.14a)
dH/dλ – ρH = Φ0 A (8.4.14b)
Z takich równań wynika zależność :
[ lµ ( | A |2 + | H |2 ) ]; µ = 0 (8.4.15)
którą można interpretować jako prawo zachowania sumarycznej liczby fotonów i grawitonów.
Układ równań (8.4.14) można nieco uprościć, jeśli od zmiennych polowych A, H przejść do wielkości :
A~ = zA , H~ = zH (8.4.16a)
gdzie :
λ
z = z (λ) ≡ z0 exp [ -
∫
ρ dλ ] (8.4.16b)λ0
Z użyciem tych zmiennych równania (8.4.14) przyjmą postać :
dA~ /dλ = Φ0- H~ , dH~ /dλ = - Φ0- A~ (8.4.17)
W przypadku, kiedy Φ0 = Φ0- , układ ten sprowadza się do równania drugiego rzędu :
( d2A~ /dx2 ) + A~ = 0 (8.4.18)
gdzie : x =
∫
Φ0 dλ .Równanie to pokazuje, że amplituda zarówno pola EM jak i grawitacyjnego doznaje oscylacji, związanych z procesem wzajemnego przekształcania się fotonów i grawitonów. Okres tych oscylacji ∆λ określony jest z warunku :
λ + ∆λ
2π =
∫
Φ0 dλ (8.4.19)λ
Wszystko to co powiedziano powyżej bezpośrednio przenosi się na przypadek, kiedy wysokoczęstotliwościowe fotony i grawitony rozprzestrzeniają się w polu naładowanej czarnej dziury. Równanie eikonału (8.4.6) :
gµν S, µ S, ν = 0 (8.4.20)
w metryce Reissnera-Nordströma (8.2.1) dopuszczalna jest całka zupełna :
S = t ± R(r) ± Ψ(θ) + mφ (8.4.21)
gdzie :
R(r) =
∫
F-1 sqrt [ 1 – (b2 F/ r2 ) ] dr (8.4.22)Ψ(θ) =
∫
sqrt [ b2 – ( m2 / sin2 θ ) ] dθ , F = 1 – (2M/r ) + Q2/ r2 (8.4.22) Promienie świetlne, tworzące powierzchnie S = const. mogą być parametryzowane dowolnymi stałymi b, m mającymi sens parametru zderzenia oraz momentu kątowego , są one opisywane równaniami :S = const. , ∂S/∂b = const. , ∂S/∂m = const. (8.4.23)
Dla danej kongruencji promieni świetlnych, parametr afiniczny λ związany jest z r zależnością :
dλ = dr ( 1 – Fb2r-2 )-1/2 ,a zespolona tetrada zerowa może być wybrana tak, że Φ0 była wielkością rzeczywistą i ma postać :
Φ0 = bQ/r3 (8.4.24)
Przy tym równanie (8.4.19) określające okres oscylacji, przyjmuje postać :
2π = Qb
∫
dr / r3 sqrt ( 1 – Fb2r-2 ) (8.4.25)Jeśli na naładowaną czarną dziurę spada wysokoczęstotliwościowa fala o amplitudzie Ain i parametrem zderzenia b, to zbliżeniu się w pobliże czarnej dziury ( jeśli tylko fala nie zostanie wychwycona ) pojawią się fale wychodzące EM i grawitacyjna o amplitudach Aout i Hout :
∞
Aout = Ain cos [ 2Qb
∫
dr / r2 sqrt( 1 - Fb2r-2 ) ] (8.4.26) r0∞
Hout = Ain sin [ 2Qb
∫
dr / r2 sqrt( 1 - Fb2r-2 ) ] (8.4.26) r0gdzie : r0 – minimalna wartość r dla promienia świetlnego o danym parametrem zderzenia b.
Wartość ta pokrywa się z maksymalnym pierwiastkiem równania :
F(r) = (r/b)2 (8.4.27)
i jest pierwiastkiem wielokrotnym. W tym przypadku całki w (8.4.26) są rozbieżne. Odpowiadający im parametr zderzenia odpowiada niestabilnej zamkniętej orbicie kołowej.
Rozbieżność całek w (8.4.26) związana jest z niewypełnieniem warunków zastosowania przybliżenia optyki
geometrycznej. Uwzględnienie własności falowych światła i promieniowania grawitacyjnego prowadzi do skończonego wyniku. Okazuje się , ze przy | b - bcr | ≤ O(ω-1 ) liczba aktów przekształcenia się wzajemnego fal w pobliżu
ekstremalnej ( Q = M ) czarnej dziury jest rzędu jedności, a sumaryczna intensywność wychodzących fal EM i
grawitacyjnych stanowi kluczową część intensywności padającego promieniowania EM. Pozostała energia jest przy tym pochłaniana przez czarną dziurę.
Dla rotującej, naładowanej czarnej dziury opisany efekt wzajemnego przekształcania się fotonów i grawitonów powodowany jest przez dodatkową rotacje płaszczyzny ich polaryzacji. Podkreślmy, że efekt przekształcania się fotonów i grawitonów może zachodzić tylko w pobliżu naładowanych czarnych dziur. Chociaż, jak już wspominaliśmy wcześniej, ich ładunek w rzeczywistych warunkach astrofizycznych nie może być duży, tym niemniej istnieją procesy prowadzące do pojawienia się dla czarnej dziury niezerowego ładunku elektrycznego. Jeden z takich procesów związany jest z działaniem na rotująca czarną dziurę zewnętrznego pola magnetycznego i został opisany w poprzednim rozdziale.
Drugi możliwy proces przedstawiony przez Szwarcmana (1971*) związany jest z różnicą w działaniu ciśnienia promieniowania na elektrony i jony materii, spadającej na czarną dziurę.
§ 8.5 Czarna dziura w polu zewnętrznym. Oddziaływanie wzajemne czarnych dziur.
Przy działaniu zewnętrznym na czarną dziurę zachowuje się ona w znacznej mierze podobnie jak ciało zwarte. Pewne osobliwości w jej zachowaniu związane są w dużym stopniu z tym, że jej rozmiary jednoznacznie zależą od jej masy, a działanie grawitacyjne jest ekstremalnie duże.
Zanim przejdziemy do szczegółowego opisu zachowania czarnych dziur w polu zewnętrznym, zastanowimy się nad zagadnieniem, które wielokrotnie prowadzi do nieporozumień. Wyobraźmy sobie sytuacje w której występuje spoczywająca pojedyncza czarna dziura ( np. Schwarzschilda ) i w pewnej chwili oddalony obserwator włącza pole zewnętrzne z myślą o tym aby określić jego wpływ na czarną dziurę. Dla konkretyzacji możemy przyjąć, że polem takim jest płaska fala świetlna. Ciśnienie takiej fali na standardowe ciało ( związane z efektami jej pochłonięcia i rozpraszania ) będzie, ogólnie mówiąc, prowadziło do ruchu tego ciała. Z drugie strony, jeśli prześledzić charakter ruchu czoła takiej fali w metryce Schwarzschilda, to można się przekonać, że aby czoło takiej fali osiągnęło promień grawitacyjny potrzeba jest nieskończonego czasu, względem zegara oddalonego obserwatora. Szczegółowe obliczenia pokazują, że czoło fali opływa czarną dziurę i fala rozprzestrzenia się dalej w przestrzeni. Przy tym pojawia się jednak składowa świadcząca o rozpraszaniu fali, a wokół czarnej dziury pojawia się nowe czoło, odpowiadające ruchowi promieniowania padającego na czarną dziurę. Pojawia się zatem pytanie – w jaki sposób czarna dziura może „odczuwać” ciśnienie promieniowania padającego na nią i poruszać się po wpływem niego w skończonym ( względem zegara oddalonego obserwatora ) czasie, jeśli z punktu widzenia tego obserwatora promieniowanie nigdy nie osiąga horyzontu ?
(* Obserwator spadający na czarną dziurę, naturalnie zobaczy, że względem jego zegara czoło fali świetlnej przecina horyzont zdarzeń w skończonym czasie *)
Aby odpowiedzieć na to pytanie użytecznym będzie przeanalizowanie zbliżonej sytuacji pojawiającej się przy
rozpraszaniu fali świetlnej na ciele o rozmiarze r0, dla materii, której współczynnik załamania n wzrasta w sposób ciągły od 1 na granicy ośrodków ( przy r = r0 ) osiągając nieskończoną wartość na pewnej powierzchni wewnątrz tego ciała ( przy r = r1 ). Podobnie jak w przypadku czarnej dziury rozprzestrzenianie się światła do granicy r = r1może zajmować nieskończenie dużo czasu. Ciało jednakże zacznie się poruszać nie oczekując zakończenia tego procesu. Można pokazać, że jak tylko czoło fali osiągnie powierzchnie r = r0, strumień energii-pędu przez tą powierzchnię staje się, ogólnie mówiąc różny od zera, a związana z tym strumieniem siła będzie prowadziła do ruchu ciała jako całości.
W analogiczny sposób, jeśli otoczymy ( w wyobraźni ) czarną dziurę sferą o promieniu r >~ rg , to przy przechodzeniu fali świetlnej pojawia się strumień energii-pędu przez tą powierzchnię i cały obszar wewnątrz r0 ( czarna dziura ora część otaczającej jej przestrzeni ) przejdzie w stan ruchu względem oddalonego obserwatora. Dla standardowej fali świetlnej jej energia w objętości rzędu rg3 jest dużo mniejsza niż rgc4 /G i wpływ takiej fali na metrykę czarnej dziury jest pomijalnie mały. Dlatego w układzie odniesienia związanym z czarną dziurą wszystkie zjawiska w bezpośredniej jej
bliskości zachodzą praktycznie tak jakby nie występowało promieniowanie. Oddalony obserwator zauważy pojawienie się ruchu tego układu odniesienia względem jego układu własnego.
Chociaż ogólne zagadnienie dotyczące ruchu czarnej dziury w polu zewnętrznym nie dopuszcza rozwiązania analitycznego w tym przypadku szczególnym, kiedy czarna dziura nie oddziałuje ze swym otoczeniem nadzwyczaj silnie, istnieje możliwość szczegółowego opisu jej ruchu w ramach szczególnego rodzaju teorii zaburzeń.
Jest to możliwe w szczególności dla ruchu w zewnętrznym polu grawitacyjnym, jeśli charakterystyczny rozmiar czarnej dziury, określony przez jej masę M, jest dużo mniejszy od rozmiaru charakterystycznego L – niejednorodności pola grawitacyjnego w którym się ona porusza. (* Ogólnie mówiąc niejednorodności pola grawitacyjnego charakteryzowane są zarówno przez promień krzywizny L1 czasoprzestrzeni , jak i poprzez te skale w przestrzeni ( L2 ) i czasie (L3 / c), na których krzywizna ta istotnie się zmienia. Pod L będziemy rozumieli minimalną z tych wielkości tj.
L = min (L1 , L2 , L3 ) *)
W tym przypadku działanie zewnętrznego pola grawitacyjnego prowadzi do małej zmiany metryki w otoczeniu czarnej dziury. Dlatego na zewnątrz czarnej dziury , w obszarze określonym przez rozmiar charakterystyczny M, metrykę gµν możemy zapisać następująco :
gµν = gµν[0] + ε gµν[1] + ε2 gµν[2] + ... (8.5.1)
gdzie : gµν[0] – metryka nie zaburzonej czarnej dziury ( metryka Kerra ), ε = M/L.
W analogiczny sposób wpływ czarnej dziury na zewnętrzną metrykę w skali rzędu L można przyjąć jako mały i uwzględnić go w postaci poprawki, zapisując zewnętrzną metrykę w postaci :
gµν = gµν(0) + ε gµν(1) + ε2 gµν(2) + ... (8.5.2)
Założenie dotyczące braku w otoczeniu czarnej dziury materii, spadek której może wystarczająco szybko zmieniać jej parametry oraz warunek słabości oddziaływania czarnej dziury z polem zewnętrznym prowadzi do tego, że rozkłady (8.5.1) i (8.5.2) mają ogólny obszar zastosowania. Innymi słowy, istnieje obszar odległości od czarnej dziury określony przez skale charakterystyczną : l ~ εα M ( 0 < α < 1 , M << l << L ) w której słuszne są takie rozkłady jednocześnie.
Porównanie ( zszycie ) tych rozkładów we wskazanym obszarze pozwala jednoznacznie określić same te rozkłady.
Opisana metoda zszywania asymptotycznych rozkładów dla badania ruchu czarnych dziur w polu zewnętrznym oraz ich oddziaływania wzajemnego był opracowany przez D’Eath’a ( 1975a, b , 1978, 1979 )
W zastosowaniu do rozpatrywanego zagadnienia metoda ta prowadzi do następujących wyników [ Demiański, Griszuk (1974), Damur (1983) ].
Człon ε gµν[1] w rozkładzie (8.5.1) zeruje się. Chociaż czasoprzestrzeń globalnie nie musi być asymptotycznie płaska, można określić masę M, pęd P i moment pędu J czarnej dziury względem parametrów nie zaburzonej metryki gµν[0].
Nieokreśloność w definicji tych parametrów, związana z członami ε2 gµν[2] maja następujący rząd :
∆M ~ ε2 M , ∆P ~ ε2 M , ∆J ~ ε2 M2 (8.5.3) Metryka przestrzeni zewnętrznej gµν(0) jest wszędzie regularna, podczas gdy poprawki do niej przy formalnym
rozciągnięciu ich na całą przestrzeń prowadzą do osobliwości na czasopodobnej linii świata γ, odpowiadającej ruchowi czarnej dziury. W otoczeniu tej linii γ można wprowadzić współrzędne t, xi, w których metryka może być zapisana następująco :
j0 – „elektryczna“ i „magnetyczna“ część tensora krzywizny
Zmiana tej części zaburzenia gµν - gµν(0) , która jest skończona na linii ruchu czarnej dziury, prowadzi do niedużej nieścisłości w określeniu wielkości Eij i Bij.
W niższym przybliżeniu względem ε linia ruchu czarnej dziury jest geodezyjną, a spin czarnej dziury przenosi się wzdłuż niej równolegle. Poprawki opisujące odchylenie ruchu czarnej dziury od geodezyjnej i prawa przenoszenia jej spinu ( tj. poprawki od przeniesienia Fermiego-Walkera ) (D.12 ) określone są przez następujące równania :
dPi / dt = -Bij Jj (8.5.5)
dJi / dt = -εijk Ek
l (1/M) Jj Jl (8.5.6)
Zmiany pędu i spinu czarnej dziury opisywane przez te równania znacznie przekraczają nieokreśloności ∆Pi i ∆Ji (8.5.3) :
∆Pi ~ (1/M) εijk Bj
l Jk Jl (8.5.7)
∆Ji ~ M2Eij Jj (8.5.7)
związane ze zmianami Eij i Bi
j. Dlatego wskazane efekty niegeodezyjności ruchu rotującej czarnej dziury i precesji jej momentu kątowego w zasadzie mogą być obserwowalne.
Należy podkreślić, ze równania (8.5.5) i (8.5.6) pokrywają się co do ich formy z równaniami ruchu próbnych, rotujących cząstek w zewnętrznym polu grawitacyjnym. Istotnym faktem jest to, że uwzględnienie ekstremalnie silnego
oddziaływania grawitacyjnego charakterystycznego dla czarnej dziury, nie zmienia postaci tych równań i z punktu widzenia oddalonego obserwatora porusza się ona w polu zewnętrznym tak, jak małe próbne ciało.
W analogiczny sposób można pokazać [ Bicak (1980) ], że przy działaniu na czarną dziurę o ładunku Q i masie M zewnętrznego pola elektrycznego E doznaje ona przyspieszenia a = QE/M. Interesującym jest zauważyć, że Ernst (1976b) otrzymał ścisłe rozwiązanie równań Einsteina-Maxwella opisujące ruch naładowanej czarnej dziury w jednorodnym polu elektrycznym. Odpowiadająca mu metryka we współrzędnych retardowanych ma postać :
ds2 = B ( - Hdu2 – 2dudr – 2wr2dudx + r2G-1dx2 ) + B-2r2G dz2 (8.5.8) gdzie :
B = 1 + QE0x + ¼ E02 ( r2G + Q2 x2 ) (8.5.9)
G = 1 – x2 – 2Mwx3 - Q2w2x4 (8.5.9)
H = -w2r2 G + wr (dG/dx) + 1 + 6Mwx + 6Q2w2x2 – 2( M + 2Q2wx )r-1 + Q2r-2 (8.5.9) Gdzie : w – przyspieszenie czarnej dziury, E0 – natężenie zewnętrznego pola elektrycznego.
Przy spełnieniu warunku QE0 = Mw osobliwości metryki (8.5.8) nie pojawiają się. Zauważmy, że brak jawnej zależności od czasu metryki opisującej ruch przyspieszony czarnej dziury, związany jest z odpowiednim wyborem współrzędnych. Analogiczną własność posiada metryka płaskiej przestrzeni we współrzędnych Rindlera, związanych z ruchem jednostajnie przyspieszonym obserwatora.
Metoda zszywania asymptotycznych rozkładów pozwala również badać oddziaływanie wzajemne dwóch czarnych dziur.
W przypadku , kiedy odległość między nimi znacznie przekracza ich promienie grawitacyjne, a same dziury poruszają się względem siebie z prędkością dużo mniejszą od prędkości światła, równania ruchu oddziałujących czarnych dziur zostały uzyskane przez D’Eath’a (1975b, 1979).
Pole grawitacyjne w pobliżu każdej takiej czarnej dziury opisywane jest metryką Kerra, a daleko od nich metrykę znajdujemy za pomocą przybliżenia postnewtonowskiego ( o odpowiednim rzędzie przybliżenia ).
Zszywanie takich rozkładów prowadzi do następującego układu równań dla ruchu jednej z czarnych dziur i precesji jej momentu kątowego w polu drugiej czarnej dziury :
m1 (d2x1/dt2 ) = F1(1) + F1(2) + O(ε4 ) (8.5.10a)
dJ1/dt = [ ( Ω→1(1) + Ω→1(2) + Ω→1(3) × J1 ] (8.5.10b)
Teraz i dalej wykorzystujemy następujące oznaczenia : xi - położenie, vi- prędkość i-tej czarnej dziury posiadającej masę M i moment pędu Ji ; r21 = x2- x1 , v21 = v2- v1- położenie i prędkość drugiej czarnej dziury względem pierwszej, Ji = | Ji | , ji = Ji / Ji – wielkość oraz wektor jednostkowy kierunku momentu pędu i-tej czarnej dziury.
Parametr małości ε jest równy stosunkowi maksymalnego z promieni grawitacyjnych do charakterystycznej odległości między czarnymi dziurami. F1(1) – wartość siły znaleziona przez Einsteina, Infelda i Hoffmana (1938) odpowiadającej geodezyjnemu prawu ruchu jednego ciała w polu grawitacyjnym, generowanym przez drugie ciało :
F1(1) = ( M1 M2 / r2 ) { n [ 1 – ( 4M2 + 5M1 / r ) + v12 + 2v22 - 4v1v2 – 3/2 ( v2 n )2 ] – v21[ n (3v2 - 4v1)] } (8.5.11) Człon F1(2) w (8.5.10a) jest równy :
F1(2) =( M1 J2 / r3 ){ 6n ( [ j2 × n ] v12 ) + 4 [ j2 × v12 ] – 6 [ j2 × n ] (v12 n ) } + ( M2 J1/ r3 ){6n ( [ j1 × n ] v12 ) +
+ 3 [ j1 × v12 ] – 3 [ j1 × n ] (v12 n ) } (8.5.12)
opisuje on dodatkową siłę, związaną z oddziaływaniem spin-orbitalnym.
Człon O(ε4 ) w tym równaniu odpowiada oddziaływaniu spin-spin oraz oddziaływaniu związanemu z momentem kwadropulowym czarnej dziury – oba mają rząd wielkości małości ε4.
Równanie (8.5.10b) opisuje precesje momentu kątowego czarnej dziury w stosunku do współporuszającego się układu ortonormowanego, który nie doznaje obrotu względem nieskończenie oddalonego obserwatora.
Składowe prędkości kątowej – grawimagnetyczna Ω→1(1) i geodezyjna Ω→1(2) tej precesji jak również składowa Ω→1(3) związana z oddziaływaniem momentu kwadropulowego czarnej dziury z krzywizną , równe są odpowiednio :
Ω→1(1) = (1/r3 ) [ -J2 + 3n (nJ2 ) ] (8.5.13)
Ω→1(2) = ( M2 / r2 ) [ ( 3/2 v1 -2v2 )× n ] (8.5.13)
Ω→1(3) = ( 3M2 / M1 r3 ) n ( nJ1 ) (8.5.13)
W granicy, kiedy M1 << M2 wzory te pokrywają się z równaniami ruchu rotującej cząstki próbnej w polu masywnego rotującego ciała ( Dokładny opis rozwiązania tego zagadnienia można znaleźć w książce Misnera, Thorne’a, Wheelera (1973), gdzie również zawarte są odsyłacze do wielu oryginalnych prac ).
W przeciwnym wypadku, kiedy prędkość względna v, dwóch czarnych dziur jest bliska prędkości światła, można wykorzystać rozkład względem małego parametru γ-1 , γ = ( 1 – v2 )-1/2. Metoda ta została zastosowana przez D’Eath’a (1975b, 1979 ) w celu rozwiązania zagadnienia dotyczącego rozpraszania dwóch ultrarelatywistycznych czarnych dziur, poruszających się równolegle naprzeciw siebie.
Punktem wyjściowym tej analizy jest wyrażenie dla metryki pojedynczej, nierotującej i jednostajnie poruszającej się czarnej dziury w granicy, kiedy jej prędkość ruchu dąży do prędkości światła. Metryka ta może być otrzymana z metryki Schwarzschilda, zapisanej we współrzędnych izotropowych, za pomocą pewnego przekształcenia :
ds2 = - [ ( 1- M/2r )/ ( 1+ M/2r) ]2 dt2 + ( 1+ M/2r)4 ( dx2 + dy2 + dz2 ) (8.5.14) Z takiej postaci metryki widać, że odpowiadające jej pole grawitacyjne przedstawia sobą szczególny przypadek osiowo symetrycznej, płaskiej fali grawitacyjnej, ześrodkowanej na powierzchni v = 0, rozdzielającej dwie płaskie przestrzenie : v > 0 i v < 0.
Wypełnienie tej granicznej procedury prowadzi do zmiany algebraicznego typu tensora Weyla – metryka (8.5.19) ma typ N zamiast typu D, który posiadała wejściowa metryka (8.5.14) (* Ta własność metryki Schwarzschilda została
ujawniona przez Pirani’ego (1959). Później Penrose (1976) pokazał, że taką własność posiada czasoprzestrzeń o
ogólniejszej postaci, mianowicie z punktu widzenia obserwatora prędkość ruchu którego zbliża się do prędkości światła i który wykorzystuje parametr czasu γτ, γ = ( 1 - v2 )-1/2 , τ - czas własny, geometria otaczającej go czasoprzestrzeni dąży do geometrii płaskiej fali grawitacyjnej. W granicy γ → ∞ linia świata tego obserwatora jest geodezyjną zerową, a γτ - jest parametrem afinicznym wzdłuż tej linii *)
Odpowiedni tensor krzywizny zeruje się wszędzie, za wyjątkiem powierzchni v = 0, na której jego niezerowe składowe mają osobliwości typu δ(v).
W przypadku kiedy istnieją dwie ultrarelatywistyczne czarne dziury, poruszające się naprzeciw siebie ich pole
grawitacyjne aż do ich oddziaływania skoncentrowane jest w postaci dwóch płaskich fal, opisywanych metryką (8.5.19), po ich oddziaływaniu na siebie fale te doznają zaburzenia spowodowanego ich wzajemnym rozpraszaniem.
D’Eath (1978) pokazał, że jeśli parametr zderzenia porównamy z wielkością Mγ2 , M – masa charakterystyczna czarnych dziur, γ – typowy współczynnik Lorentza w układzie środka masy , to pojawia się promieniowanie
grawitacyjne o mocy charakterystycznej ~ 1 ( w jednostkach c5 / G ) w postaci wąskich wiązek o kącie bryłowym ~ γ -2 w kierunku ruchu czarnych dziur. Przyczyną tego promieniowania jest pojawienie się szybkozmiennego przyspieszenia czarnych dziur w chwili ich bliskiego przechodzenie koło siebie.
Jeśli parametr zderzenia porównamy z wielkością µ = Mγ, to promieniowanie jest stosunkowo małe wzdłuż kierunku ruchu czarnych dziur aż do katów θ ≤ γ-1. Przy dużych kątach ( o rozpiętości γ-1<< θ << 1 )sumaryczna energia promieniowania grawitacyjnego na jednostkę kąta bryłowego ma wielkość dE/dΩ ≈ 0,248Mγ/2π
Przy założeniu dowolnego zderzenia czarnych dziur o równej masie, promieniowanie grawitacyjne jest dowolnie izotropowe. D’Eath (1978) wywnioskował, że efektywność przekształcenia energii czarnych dziur 2µ w energię promieniowania ∆E jest ok. 25% : ∆E/2µ ≈ 0,248.
Ogólne ograniczenie na maksymalną efektywność takiego przekształcania w energię promieniowania grawitacyjnego ∆E energii czarnych dziur przy ich dowolnym zderzeniu można otrzymać, wychodząc od twierdzenia Hawkinga [ Penrose (1974) ]. Jeśli czarne dziury posiadają jednakową masę M, a ich prędkość i ruchu w nieskończoności naprzeciw siebie w układzie środka masy jest równa v, to dla maksymalnej efektywności ε = ∆E/2µ otrzymamy :
ε ≤ 1 – sqrt( ½ - ½ v2 )
Jak pokazują powyższe szacunki, realna efektywność dla ultrarelatywistycznych czarnych dziur jest równa ≈ 25%
efektywności maksymalnej ε( v = 1 ) = 1. Przy zderzeniu nierelatywistycznych czarnych dziur jest ona prawie dwa rzędy mniejsza. Dla energii promieniowania grawitacyjnego przy dowolnym zderzeniu dwóch nie rotujących czarnych dziur o jednakowej masie, posiadających zerową prędkość względna w nieskończoności obliczenie numeryczne daje wyrażenie
∆E = 2,5 • 10-3 M
Przypomnijmy, że ( zobacz paragraf 3.3 ) ilość promieniowanej energii przy spadku radialnym o prędkości parabolicznej, cząstki próbnej o masie m na czarną dziurę opisywane jest wzorem :
∆E = 0,01 m2/ M
Zauważmy, że wzór ten dobrze tłumaczy wskazane wcześniej wyniki obliczeń numerycznych, jeśli w nim w charakterze m podstawimy zredukowana masę czarnych dziur m = ½ M.
Przy oddziaływaniu pola zewnętrznego czarna dziura doznaje deformacji. Rozpatrzymy ( krótko ) jak zmieniają się własności czarnej dziury przy „wniesieniu” jej w pole grawitacyjne, zadawane przez stacjonarny rozkład materii.
Zagadnienie to dopuszcza pełne rozwiązanie w tym przypadku, kiedy czarna dziura nie rotuje, a pole grawitacyjne jest osiowo symetryczne [ Israel, Khan (1964), Doroszkiewicz i inni (1965*); Myzak, Szekers (1966)]. Uogólnienie na przypadek rotującej czarnej dziury można znaleźć w pracy Tomimatsu (1984).
Na początku przypomnimy, że statyczne , osiowo symetryczne, próżniowe pole grawitacyjne opisywane jest za pomocą metryki Weyla :
ds2 = -e2Udt2 + e2U [ e2V ( dρ2 + dz2 ) + ρ2 dφ2 ] (8.5.20) gdzie : U, V są funkcjami ρ, z i spełniają równania :
U, ρρ + (1/ρ )U, ρ + U, zz = 0 (8.5.21a)
V, ρ = ρ ( U, ρ2 – U, z2 ) , V, z = 2ρU, ρ U, z (8.5.21b) Łatwo się przekonać, że (8.5.21a) zapewnia spełnienie warunków całkowalności układu (8.5.21b). Ponieważ
rozwiązanie układu (8.5.21b) dla znanej funkcji U(ρ, z) łatwo jest znaleźć w kwadraturach, metryka próżniowa (8.5.20) jest jednoznacznie określona poprzez wybór rozwiązania równania (8.5.21a). W szczególności, metryka Schwarzschilda W tych współrzędnych odpowiada następującemu rozwiązaniu :
U = US ≡ ½ ln[ (λ – 1)/( λ + 1) ] , V = VS ≡ ½ ln[ (λ2 – 1)/( λ2 + 1) ] (8.5.22) Gdzie :
λ = R+ + R- / 2M , µ = R+ - R- / 2M , R± = sqrt[ ρ2 + ( z ± M )2 ] (8.5.23) przy tym horyzont zdarzeń określony jest poprzez warunek :
λ = R+ + R- / 2M , µ = R+ - R- / 2M , R± = sqrt[ ρ2 + ( z ± M )2 ] (8.5.23) przy tym horyzont zdarzeń określony jest poprzez warunek :