Modele wieloczynnikowe

-=

/

gdzie X_i,t jest i-tym czynnikiem na moment t, a  βi jest wrażliwością na i-ty czynnik;

• oparte na badaniach ankietowych, często zawierające systematyczne obciążenie, skorelowane negatywnie z przyszłymi stopami zwrotu oraz pozytywnie z po -przednimi.

W tym artykule premię za ryzyko mierzymy w  sposób oparty na czynnikach i  regresjach. Wybór konkretnej miary premii za ryzyko może w  naturalny sposób wpłynąć na końcowe rezultaty. Zanim powrócimy do tej kwestii, omówimy alterna-tywne modele czynnikowe wykorzystywane w niniejszym badaniu.

2.3. Modele wieloczynnikowe

Analizę rozpoczynamy od klasycznego czteroczynnikowego modelu Carharta (1997):

R_i-Rf _t=a_i+b_{MKT i,} Rm-Rf _t+b_{HML i,} HML_t+b_{SMB i,} SMB_t+b

^ h ^ h

(4)

:, WML ,

WML i t i t

b f

+ + ,

gdzie:

(R_i – Rf)_t – nadwyżkowa tygodniowa stopa zwrotu ponad tygodniową stopę procen-tową wolną od ryzyka,

(Rm – Rf)_t – tygodniowa średnia stopa zwrotu, z  równymi wagami, ze wszystkich indeksów ponad stopę procentową wolną od ryzyka,

HML_t – tygodniowa premia czynnika wartości księgowej do ceny rynkowej, SMB_t – tygodniowa premia czynnika wielkości spółki,

WML_t – tygodniow a premia czynnika zwycięzców ponad przegranych (czynnik momentum).

X. Paweł Sakowski, Robert Ślepaczuk, Mateusz Wywiał – Analiza wieloczynnikowa stóp zwrotu… 135

Czynnik WML jest liczony jako różnica równo ważonej średniej z  indeksów o najlepszych wynikach oraz równo ważonej średniej z indeksów o najniższych sto-pach zwrotu (Carhart, 1997).

Następnie do modelu dodajemy dodatkowy czynnik oparty o zmienność zrealizo-waną (VMC – volatile minus calm):

R_i-Rf _t=a_i+b_{MKT i,} Rm-Rf _t+b_{HML i,}HML_t+b_{SMB i,} SMB_t+

Czynnik VMC to tygodniowa premia indeksów zmiennych ponad indeksy spokoj-niejsze, która jest uzyskiwana poprzez odjęcie równo ważonej średniej stopy zwrotu najbardziej zmiennych indeksów od równo ważonej średniej stopy zwrotu z najbar-dziej spokojnych indeksów. Indeksy zmienne oraz spokojne rozumiane są jako te z odpowiednio najwyższą bądź najniższą 63-dniową zmiennością zrealizowaną, obli-czoną osobno dla każdego z nich.

Szczegółowa procedura obliczania każdego z  czynników (HML, SMB, WML i  VMC), wraz z  definicją portfeli zerokosztowych opartych na nich jest opisana w sekcji 3.1.

Ponieważ chcemy wziąć pod uwagę wpływ różnych warunków rynkowych na wrażliwości powiązane z czynnikami, w kolejnych iteracjach dodajemy do modelu mechanizm przełącznikowy pomiędzy stanami rynku.

Pierwszy sposób ujęcia wpływu zmiany reżimu zmienności koncentruje się na uwzględnieniu dynamiki premii za ryzyko z akcji w: 1) warunkach wysokiej i niskiej zmienności oraz 2) podczas okresów hossy oraz bessy. W tym celu dodajemy odpo-wiednie zmienne binarne wraz z  interakcjami, otrzymując w  rezultacie poniższą formę funkcyjną modelu:

Rozważamy dwie alternatywne definicje zmiennej binarnej D_t pojawiającej się w równaniu (6):

1) D_t = 1 dla okresów wysokiej zmienności, D_t = 0 dla okresów niskiej zmienności, gdzie podział ten jest oparty o zmienność zrealizowaną portfela rynkowego obli-czoną z uwzględnieniem kursu walutowego względem USD, a wybór poziomów i dokonanie podziału odbywa się ex ante;

2) identyfikacja ex post okresów hossy (D_t = 1) oraz bessy (D_t = 0)²; ten podział jest szczególnie istotny wobec tego, że badana próba (2000–2015) charakteryzowała się dwoma silnymi trendami wzrastającymi oraz dwoma okresami recesji, a zjawi-sko to raczej nie występowało poprzednio w tak krótkim okresie.

Ostatnią wersją modelu wieloczynnikowego poddanego testom w niniejszej pracy jest prosty model przełącznikowy Markova z  dwoma stanami świata. W tym celu rozszerzamy model z równania (5). Zastosowanie tego ostatniego rozszerzenia jest podyktowane wynikami prezentowanymi w dotychczasowej literaturze, które sugeru-ją, że wykorzystanie modeli przełącznikowych jest przydatne między innymi w wyja-śnieniu premii za ryzyko z akcji (Tan, 2013). Ammann i Verhofen (2009) wskazują, że inwestowanie w wartość jest racjonalną strategią w środowisku wysokiej wariancji, natomiast momentum jest racjonalnym wyborem w sytuacji, gdy mamy do czynienia z ogólnie niską wariancją.

W związku z  tym, poniżej przedstawiamy kompletną listę wykorzystywanych modeli w niniejszym badaniu:

1) Carhart.4F.localcurncy (model czteroczynnikowy, stopy zwrotu w walucie lo kalnej), 2) Carhart.4F.USD (model czteroczynnikowy, stopy zwrotu w USD),

3) Carhart+VMC.5F.USD (model pięcioczynnikowy z  uwzględnieniem czynnika VMC, stopy zwrotu w USD),

4) Carhart+VMC.5F.dummyRVinteract.USD (model pięcioczynnikowy z uwzględ-nieniem VMC oraz zmienną binarną opartą na zmienności, stopy zwrotu w USD), 5) Carhart+VMC.5F.dummyUp&Downinteract.USD (model pięcioczynnikowy

z uwzględnieniem VMC oraz zmienną binarną opartą na okresach hossy i bessy, stopy zwrotu w USD),

6) Carhart+VMC.5F.MarkovSwitch2Reg.USD (model pięcioczynnikowy z uwzględ-nieniem czynnika VMC oraz mechanizmem przełącznikowym opartym o model Markowa, stopy zwrotu w USD).

3. Dane

Zebraliśmy dane z najszerszego możliwego zbioru inwestowalnych indeksów gieł-dowych z lat 1990–2015. W badaniu wykorzystujemy jednakże tylko dane z okresu 2000–2015, z uwagi na brak dłuższych szeregów czasowych potrzebnych do oblicze-nia czynników ryzyka, w szczególności w przypadku krajów rozwijających się.

2 W trakcie naszego badania okazało się, że okresy wysokiej/niskiej zmienności nakładają się na trend wzrostowy/spadkowy występujący na rynku.

X. Paweł Sakowski, Robert Ślepaczuk, Mateusz Wywiał – Analiza wieloczynnikowa stóp zwrotu… 137

Analiza została przeprowadzona na danych tygodniowych 81 najbardziej repre-zentatywnych indeksów, po jednym dla każdego kraju, ze wszystkich kontynentów i regionów. W skład zbioru danych wchodzi 27 krajów rozwiniętych oraz 54 rynki wschodzące. Dokładna lista wszystkich krajów, odpowiadających im indeksów oraz ich statystyk opisowych jest dostępna na życzenie.

Głównym powodem wyboru danych tygodniowych, zamiast miesięcznych, był zamiar oceny wartości oczekiwanej nadwyżkowych stóp zwrotu na częstszych podokresach, a co za tym idzie, na mniej wygładzonych danych. W przypadku wszystkich modeli, z wyjąt-kiem Carhart.4F.localcurncy, stopy zwrotu indeksów oraz czynników ryzyka zostały obliczone z uwzględnieniem zmian kursu walutowego względem USD. Co zaskakujące, uzyskane wyniki nie różniły się znacznie od przypadku, w którym te same modele wyko-rzystywały stopy zwrotu wyrażone w walucie lokalnej (bez konwersji na USD).