W celu sprawdzenia możliwości usprawnienia wyceny opcji europejskich w modelu Hestona (1993) porównywane są trzy podejścia, tj. pierwotnie zapropono-wane przez S.L. Hestona (1993), P. Carra i D. Madana (1999) przy α = 1 dla modelu Hestona (1993) (metoda określana dalej jako H-FTCM α = 1) oraz D.S. Batesa (2006) również dla modelu Hestona (1993) (metoda określana dalej jako H-FTBa-tes). Pomijane są natomiast koncepcje:
• G. Bakshi i D. Madana(2000), która wymaga nie tylko wyznaczenia dwóch trans-format Fouriera, lecz także oddzielnego ich odwrócenia;
• M. Attari’ego (2004) i A. Lewisa (2001), które pomimo że zbliżone do podej-ścia D.S. Batesa (2006), są bardziej skomplikowane i już na poziomie modelu F. Blacka i M. Scholesa (1973) nie pozwalają uzyskać korzyści w postaci szyb-szego generowania cen teoretycznych;
• A. Liptona (2002), która, po uproszczeniu, nie zawiera transformat Fouriera.
Na potrzeby niniejszego opracowania podejścia H-FTCM α = 1 i H-FTBates zestawiane są z modelem zaproponowanym przez S.L. Hestona (1993). Warto przy R y s u n e k 1. Funkcje wypłat europejskich opcji kupna w modelach F. Blacka
i M. Scholesa oraz S. L. Hestona
20 40 60 80
Price of underlying asset S
Option price C
Payoff functions of European call in Heston and Black-Scholes models
T – t = 0,01
XIV. Arkadiusz Orzechowski – Model Hestona – wycena opcji europejskich i analiza alternatywnych… 189
tym zauważyć, iż w przypadku koncepcji H-FTCM wybór parametru na poziomie α = 1 umożliwia minimalizację zarówno błędu obliczeniowego, jak i czasu poświęco-nego na otrzymanie wyniku końcowego.
Dysponując wiedzą na temat alternatywnych sposobów określania wartości opcji, można przystąpić do porównania szybkości generowania wyników. Czas potrzeb-ny do wyznaczenia cen modelowych wyznaczapotrzeb-ny jest wyłącznie w odniesieniu do podejść wymienionych na początku części 5. Podobnie jak poprzednio, wszystkie obliczenia przeprowadzane są przy wykorzystaniu pakietu Mathematica 7.0 na komputerze z procesorem Pentium DualCore 1,73 MHz z pamięcią RAM równą 1GB. Rezultaty otrzymane dla kontraktów in – the – money (ITM), at – the – money (ATM) oraz out – of – the – money (OTM) w różnych okresach do wykupu prezen-tuje tabela 1.
Ta b e l a 1. Porównanie szybkości obliczeniowej wyceny europejskich opcji kupna metodami S.L. Hestona, H-FTCM α = 1 i H-FTBates
Okres do wykupu dla różnych kategorii opcji (w sekundach) OTM (S0 = 40) ATM (S0 = 60) ITM (S0 = 80)
T – t = T – t = T – t =
0,01 0,5 1,5 0,01 0,5 1,5 0,01 0,5 1,5 S.L. Heston 0,047 0,046 0,031 0,031 0,032 0,047 0,047 0,031 0,031 H-FTCM α = 1 4,109 0,016 0,797 0,016 0,015 0,219 0,016 0,016 0,219 H-FTBates 0,016 0,016 0,015 0,015 0,016 0,031 0,015 0,015 0,016 Źródło: opracowanie własne.
Na postawie rezultatów wykonanych eksperymentów (zob. tab. 1) można stwier-dzić, iż model H-FTBates najszybciej generuje wartości teoretyczne opcji. Warto zauważyć, iż prawidłowość taka występuje bez względu na to ile czasu pozostaje do wykupu instrumentów finansowych bazujących na prawach pochodnych oraz jaka jest relacja notowań bieżących aktywów bazowych do ceny rozliczenia.
Zakończenie
Spośród modeli stochastycznej zmienności podejściem najczęściej wykorzystywa-nym do wyceny opcji jest to zaproponowane przez S.L. Hestona (1993). Pozwala ono z jednej strony uzyskać formułę analityczną, za pomocą której można wygenerować cenę teoretyczną kontraktów bazujących na prawach pochodnych, z drugiej zaś – obliczenia konieczne do otrzymania wyniku końcowego są na tyle proste, aby móc zrozumieć proces wyceny analizowanych instrumentów finansowych.
Pomimo, że model Hestona (1993) pozwala wycenić opcje w poprawny spo-sób (przy przyjętych założeniach), to samej wyceny nie można uznać za efektywną.
Problem polega na tym, że wyznaczanie funkcji charakterystycznych dla dwóch funk-cji gęstości prawdopodobieństw z formuły (9) oraz ich odwracanie wiąże się z dużym nakładem obliczeniowym (computationally costly method). Zastosowanie procedury wyznaczania transformaty Fouriera i odwracania jej zgodnie z podejściem D.S. Bate-sa (2006) pozwala na szybsze wygenerowanie cen modelowych opcji. Ma to nieba-gatelne znaczenie w świetle stale rosnącej efektywności rynków finansowych oraz wykorzystania handlu wysokich częstotliwości do osiągania zysków kapitałowych.
Bibliografia
Attari, M. (2004). Option Pricing Using Fourier Transform: A Numerically Efficient Simplifica-tion. Pozyskano z: http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=520042 (5.11.2015).
Bakshi, G. i Madan, D. (2000). Spanning and Derivative – Security Valuation. Journal of Financial Economics, 55, http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.153908.
Bates, D.S. (2006). Maximum Likelihood Estimation of Latent Affine Processes. Review of Financial Studies, 19, http://dx.doi.org/10.1093/rfs/hhj022.
Black, F. i Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 81, http://dx.doi.org/10.1086/260062.
Carr, P. i Madan, D. (1999). Option Valuation Using the Fast Fourier Transform. Journal of Computational Finance, 2(4).
Cox, J. (1975). Notes on Option Pricing I: Constant Elasticity of Diffusions. Unpublished draft. Stanford University.
Cox, J.C., Ingersoll, J.E. i Ross, S.A. (1985). A Theory of the Term Structure of Interest Rate. Econometrica, 53(2), http://dx.doi.org/10.1142/9789812701022_0005.
Dupire, B. (1994). Pricing with a Smile. Risk, 1.
Emanuel, D.C. i MacBeth, J.D. (1982). Further Results of the Constant Elasticity of Vari-ance Call Option Pricing Model. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 4.
Geman, H. i Shih, Y.F. (2009). Modeling Commodity Prices under the CEV Model. The Journal of Alternative Investments, 11(3), http://dx.doi.org/10.3905/JAI.2009.11.3.065.
Heston, S.L. (1993). A Closed – Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review of Financial Studies, 6(2), http://dx.doi.org/10.1093/rfs/6.2.327.
Hull, J. i White, A. (1987). The Pricing of Options On Assets with Stochastic Volatilities.
Journal of Finance, 42(2), http://dx.doi.org/10.1111/j.1540-6261.1987.tb02568.x.
Gatheral, J. (2006). Volatility Surface. New Jersey: John Wiley & Sons, http://dx.doi.
org/10.1002/9781119202073.
Johnson, H. i Shanno D. (1987). Option Pricing When the Variance is Changing. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 22, http://dx.doi.org/10.2307/2330709.
Kou, S.G. (2002). A Jump – Difussion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8).
Lipton, A. (2002). The Vol Smile Problem. Risk, 15.
Lewis, A. (2001). A Simple Option Formula for General Jump-Diffusion and other Expo-nential Levy Processes. Pozyskano z: http://optioncity.net/pubs/ExpLevy.pdf (5.11.2015).
Merton, R.C. (1976). Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous.
Journal of Financial Economics, 3(1–2), http://dx.doi.org/10.1016/0304-405X(76)90022-2.
XIV. Arkadiusz Orzechowski – Model Hestona – wycena opcji europejskich i analiza alternatywnych… 191
Rogers, L.C.G. i Veraart, L.A.M. (2008). A Stochastic Volatility Alternative to SABR.
Journal of Applied Probability, 45(4), http://dx.doi.org/10.1239/jap/1231340234.
Scott, L. (1987). Option Pricing When the Variance Changes Randomly: Theory, Estimation and An Application. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 22, http://dx.doi.
org/10.2307/2330793.
Stein, E. i Stein, J. (1991). Stock Price Distributions with Stochastic Volatiliy: An Analytic Approach. Reviews of Financial Studies, 4(4).
Schöbel, R. i Zhu, J. (1999). Stochastic Volatility with An Ornstein-Uhlenbeck Process: An Extension. European Financial Review, 3, http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.100831.
Wiggins, J.B. (1987). Option Values Under Stochastic Volatility: Theory and Empiri-cal Estimates. Journal of Financial Economics, 19(2), http://dx.doi.org/10.1016/0304-405X(87)90009-2.
PIOTR GIRUĆ*