Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo jest tym, co kieruje naszym życiem.

Joseph Butler

Badamy prawdopodobieństwa, aby osiągnąć pewność.

[Przypisywane Karlowi Popperowi]

1.11.1. Słowo „prawdopodobieństwo” występuje w każdym dyskursie nasta-wionym na poznawanie prawdy i podejmowanie racjonalnych decyzji. Jest obec-ne w słowniku nie tylko filozofa czy naukowca, ale i „zwykłego” człowieka ko-munikującego czy to swą niepewność, czy większe lub mniejsze zaufanie w stosunku do jakichś zapatrywań. „Prawdopodobieństwo” to słowo wielo-znaczne, bylibyśmy często w kłopocie, gdybyśmy mieli w konkretnym przypad-ku opisać, w jakim znaczeniu go użyliśmy, i w jeszcze większym kłopocie — gdyby przyszło nam znaczenia tego słowa rozdzielać. Prawdopodobieństwo bywa rozumiane jako częstość występowania jakiegoś zdarzenia, jako siła prze-konania o słuszności pewnego poglądu, jako stopień potwierdzenia jakiegoś sądu przez posiadane informacje czy też miara obiektywnej możliwości zajścia zdarzenia⁷⁰.

Intuicyjne wyczucie prawdopodobieństwa stanowczo nie wystarcza do celów naukowych, co więcej, ludzkie intuicje probabilistyczne generalnie charaktery-zują się głęboką nieadekwatnością. Jak dobitnie wykazali w badaniach do-świadczalnych Amos Tversky i Daniel Kahneman⁷¹, ludzie nie potrafią ani

kon-70 Rozmaite teorie prawdopodobieństwa przedstawione są w: T.L. F i n e: Theories of Pro-bability. New York, London: Academic Press, 1973.

71 P.J. S o k o ł o w s k a: Psychologia decyzji ryzykownych. Ocena prawdopodobieństwa i modele wyboru w sytuacji ryzykownej. Warszawa: Wydawnictwo SWPS „Academica”, 2005, i podana w tym dziele literatura.

sekwentnie operować pojęciem prawdopodobieństwa, ani oceniać jego wartości w świetle posiadanych danych.

1.11.2. Niektóre właściwości argumentów i rozumowań omawianych w niniej-szej pracy można precyzyjnie wyrazić z zastosowaniem formalnych metod probabilistyki⁷². Prawdopodobieństwo jest miarą pewnego stosunku między zdaniami, wyrażoną liczbą z przedziału [0, 1]. Będziemy mówić o prawdopodo-bieństwie zdania a wyznaczonym przez inne wskazane zdania b₁, b₂, ..., b_n, co zapisujemy P(a | b₁ Ù b₂ ... Ù b_n) i czytamy „a pod warunkiem, że b₁ i b₂ i ... i b_n”⁷³. Uważamy przy tym, że P(a | b₁ Ù b₂ ... Ù b_n) przypisuje zdaniu a prawdopodobieństwo, które miałoby to zdanie, gdyby było wiadomo tylko to, co głoszą b₁ i b₂ i ... i b_n. Toteż na ogół

P(a | b) ¹ P(a | b’)⁷⁴.

Aby podkreślić fakt, że prawdopodobieństwo jest zawsze liczone względem określonej wiedzy, nie będziemy używać zapisu P(a), lecz zawsze P(a|w), uważając w za wiedzę, względem której wyznacza się prawdopodobieństwo a.

Często będziemy korzystać z następującego wzoru:

(PW) P(a | b Ù w) = P( )

zwanego również wzorem na prawdopodobieństwo warunkowe.

1.11.3. Jak już powiedzieliśmy, pojęcie prawdopodobieństwa znajduje zasto-sowanie w badaniach nad argumentacją w ramach tzw. logiki indukcji. Choć metody probabilistyki można stosować w ograniczonym zakresie zagadnień, za pomocą wypracowanych w jej ramach pojęć można wyrazić wiele istotnych charakterystyk argumentów i dotyczących ich prawidłowości. I tak w przypadku argumentu r

P/ K jego moc zwykle wyraża się prawdopodobieństwem P(K | r Ùw)⁷⁵, gdzie w jest wiedzą obejmującą przesłanki dodane. Jeśli więc konkluzjaP wynika z przesłanek, to:

1.11. Prawdopodobieństwo 53

72 Wykład rachunku prawdopodobieństwa łatwo znaleźć w licznych podręcznikach, np. w:

W. F e l l e r: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. T. 1. Warszawa: PWN, 1980, pożyteczne jest też omówienie w: A. H á j e k: Interpretations of Probability...; H. M o r t i m e r: Logika indukcji...; B. S k y r m s: Choice and Chance...

73 Możemy napisać P(a | b), rozumiejąc, że b jest koniunkcją jakichś zdań.

74 Prawdopodobieństwo tego, że Jan jest kawalerem, pod warunkiem, że Jan ma dwadzieścia lat, jest wyższe niż prawdopodobieństwo tego samego pod warunkiem, że Jan ma lat czterdzieści.

75 Najprostszym pomysłem byłoby przyjęcie, że argument jest mocny, gdy implikacja między jego przesłankami a konkluzją jest bardzo prawdopodobna, zatem, gdy:

P(P₁ÙP₂Ù ...ÙP_n®K) jest bliskie 1,

jednak akceptacja tego warunku jako definicji siły argumentu prowadziłaby do paradoksalnych re-zultatów, np. każdy argument o fałszywych czy mało prawdopodobnych przesłankach byłby argu-mentem mocnym.

P(K | r

P Ù w) = 1.

Argument jest wartościowy w sensie, który omówiliśmy w rozdz. 1.3.2, jeśli:

P(K | r

a więc generalnie: im słabsza logicznie konkluzja, tym mocniejszy argument.

1.11.4. Moc argumentu zależy, jak już wspomnieliśmy, od wykorzystanej wie-dzy dodatkowej. Na ogół, gdy brak równoważności mięwie-dzy w₁ i w₂, to:

P(K | r

P Ù w₁) ¹ P(K | r P Ù w₂).

Spostrzeżenie to nawiązuje do właściwości, którą nazwaliśmy (por. rozdz.

1.8.1 oraz rozdz. 1.9.2) otwartością epistemiczną argumentu. Nierówność ta zachodzi niezależnie od wzajemnego stosunku logicznego między w₁ i w₂. Jeśli wiemy na przykład, że w₁ |= w₂, to nie można stąd wywnioskować ani

1.11.5. Jednym z centralnych tematów logiki indukcji jest problem wyboru hi-potezy, który omówimy tu w wielkim uproszczeniu, kierując się wyłącznie po-trzebami niniejszej pracy. Przypuśćmy mianowicie, że mamy pewną liczbę wy-kluczających się i dopełniających wzajemnie hipotez h₁, h₂, ..., h_n, tak więc dokładnie jedna z nich jest prawdziwa, a reszta fałszywa. Zakładamy, że każda z hipotez h_i ma względem „wstępnej” wiedzy w niezerowe prawdopodobień-stwo P(h_i | w), zwane prawdopodobieństwem a priori hipotezy h_i.

Jest oczywiste, że wyniki dalszych badań mogą wpłynąć na naszą ocenę prawdopodobieństw hipotez. Mając dane wyniki eksperymentów (obserwacji) e₁, e₂, ..., e_s, możemy dla każdej hipotezy h_i obliczyć jej prawdopodobieństwo na podstawie wiedzy w wzbogaconej o e₁, e₂, ..., e_s⁷⁶, czyli P(h_i |erÙ w), zwane prawdopodobieństwem a posteriori hipotezy h_i (przez r

e oznaczamy koniunkcję zdań e₁, e₂, ..., e_s).

Nietrudno obliczyć, posiłkując się PW (por. 1.11.2), że dla każdego i =1, 2, ..., n:

76 Dla uproszczenia przyjmujemy, że wiedza w obejmuje również dane odnoszące się do wa-runków, w jakich przeprowadzono obserwacje czy eksperymenty e₁, e₂, ..., e_s.

zatem: ze względu nae? Nasuwa się intuicyjnie oczywista odpowiedź: Należy wybraćr hipotezę o największym prawdopodobieństwie a posteriori. Patrząc na wzór (H), widzimy, że prawdopodobieństwo to zależy od trzech innych prawdopodo-bieństw, a mianowicie: P(r

e |h_iÙw), P(h_i|w), P(r

e|w). Jednak wielkości P(r e |w) nie musimy znać, by wyznaczyć hipotezę o największym prawdopodobieństwie a posteriori. Dowolne dwie hipotezy h_i i h_j możemy bowiem porównać z sobą przez obliczenie stosunku ich prawdopodobieństw, który na mocy (H) wynosi:

(W) P( )

Oznacza to, że wybór hipotezy wymaga znajomości, odnośnie do każdej z hipotez h_i, jej prawdopodobieństwa a priori P(h_i|w) oraz prawdopodobień-stwa P(r

e |h_iÙw). Niestety, z wyjątkiem bardzo szczególnych przypadków, je-dynie to drugie prawdopodobieństwo można efektywnie wyliczyć, natomiast prawdopodobieństwo a priori hipotezy można wyznaczyć tylko szacunkowo, a często — jak twierdzą niektórzy autorzy — wyrażenie P(h_i|w) w ogóle nie ma operacyjnego sensu. Jak bowiem ustalić prawdopodobieństwo a priori hipo-tezy, że badane lekarstwo jest w większości przypadków skuteczne? Albo że znalezione na miejscu zbrodni odciski palców należą do sprawcy? Prawdopodo-bieństwo a priori hipotez nastręcza poważnych trudności w indukcji statystycz-nej. W bardzo wielu przypadkach dogodnym wyjściem jest odwołanie się do koncepcji tzw. prawdopodobieństwa subiektywnego, wyrażonego w terminach zakładów. W myśl tej koncepcji to, że prawdopodobieństwo zdania z dla osoby a wynosi p oznacza, że osoba a jest skłonna do założenia się o prawdziwość z w stosunku p: (1 – p). Taka interpretacja, choć obarczona różnymi niedogod-nościami, dostarcza jednak wygodnej podstawy do mówienia o prawdopodo-bieństwie hipotez nawet wtedy, gdy brak danych pozwalających na wyliczenie jej w duchu interpretacji częstościowej⁷⁷.

Rozpatrzmy prosty przykład. Abiturient odpowiedział prawidłowo na 8 z 10 wylosowanych pytań egzaminacyjnych. Oznaczmy ten „rezultat eksperymentu”

jako e. Porównajmy z sobą dwie hipotezy: pierwsza, hr ₈₀, mówi, że abiturient zna między 75% a 85% materiału, natomiast druga, h₅₀, że abiturient zna

mię-1.11. Prawdopodobieństwo 55

77 Por. H. M o r t i m e r: Logika indukcji...

dzy 45% a 55% materiału⁷⁸. Wtedy, stosując schemat Bernoulliego⁷⁹, łatwo

Do ustalenia, która z hipotez jest lepsza, brakuje nam wprawdzie jeszcze stosunku prawdopodobieństw a priori obu hipotez (por. (W)), ale zauważmy, że aby obie hipotezy „zrównoważyły się”, potrzeba, by

P(h₅₀|w) » 3,6 P(h₈₀|w).

Jednak w zwykłych okolicznościach nie przypuszczamy, by istniała aż tak duża różnica prawdopodobieństw. Jesteśmy raczej skłonni przypuszczać, że P(h₅₀|w) mniej więcej równa się P(h₈₀|w) i wobec tego wydaje się rozsądne przyjęcie, że hipoteza h₈₀ góruje nad h₅₀ — i takie rozwiązanie jest zgodne z tym, co w praktyce czynią wszyscy egzaminatorzy.

W wielu przypadkach rozsądne jest skorzystanie, i rzeczywiście korzysta się, z tzw. zasady racji niedostatecznej⁸⁰, która w przypadku, gdy nic nie prze-mawia za wyróżnieniem którejkolwiek z hipotez, zaleca przypisanie im jedna-kowego prawdopodobieństwa a priori. Gdyby przyjąć tę zasadę, to porównanie hipotez na mocy (W) odwoływałoby się wyłącznie do stosunku:

(MW) P( )

W olbrzymiej liczbie praktycznych zastosowań ten właśnie stosunek stanowi o wyborze hipotezy. Najlepsza jest ta hipoteza, w świetle której wyniki obser-wacji są najbardziej prawdopodobne. Ostatnie stwierdzenie stanowi treść tzw.

78 Z ogólnych zasad teorii miary wynika, że prawdopodobieństwo, iż abiturient zna dokład-nie x% materiału wynosi 0 dla „prawie każdego” x; dlatego dokład-nie możemy przyjmować hipotezy tego rodzaju.

79 Prawdopodobieństwo ośmiu sukcesów w dziesięciu próbach przy prawdopodobieństwie

„sukcesu” p = 0,75, p = 0,85 oraz p = 0,45, p = 0,55.

80 Zasadę tę sformułował Laplace.

zasady największej wiarygodności⁸¹, faktycznie stosowanej w badaniach nauko-wych. Jej ukrytym założeniem jest to, że różnica prawdopodobieństw a priori porównywanych hipotez nie jest znaczna. W praktyce założenie to traci jednak na znaczeniu, gdyż stosunek (MW) jest częstokroć tak duży (lub bliski 0), że prawdopodobieństwa a priori przestają odgrywać istotną rolę, jeśli chodzi o wybór hipotezy.

1.11. Prawdopodobieństwo 57

81 Por. K. S z a n i a w s k i: Interpretacje zasady największej wiarogodności. W: I d e m:

O nauce, rozumowaniu i wartościach. Pisma wybrane. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994, s. 422—430.

R o z d z i a ł

2

Podobieństwo i analogia

2.1. Wprowadzenie

Twórcze przewidywanie na podstawie analogii jest tak po-wszechne, że zwykle go w ogóle nie zauważamy.

Jeff Hawkins

2.1.1. Zastosowania analogii i podobieństwa spotykamy w rygorystycznie upo-rządkowanych dziedzinach formalnych oraz w sferach aktywności intelektualnej niepoddanych reżimowi ścisłych kryteriów i jasnych rozgraniczeń. Korzystają z nich zarówno naukowcy i filozofowie, jak i poeci, politycy czy psychoterapeu-ci. Zdaniem wielu autorów¹, analogia przynależy do centrum ludzkiego aparatu poznawczego. Jej rola i znaczenie rozciągają się na różnorodne, przenikające się wzajemnie pola zastosowań. Przedmiotem niniejszej pracy jest argumenta-cja, jednak o niektórych ważnych z tego punktu widzenia aspektach podobień-stwa i analogii wspomnimy już teraz, a w dalszej części pracy będziemy często do nich nawiązywać.

(1) Odkrywanie — rola heurystyczna. Myślenie analogiczne jest ważnym źródłem nowych hipotez naukowych, zarówno w naukach empirycznych, jak i formalnych; jest narzędziem, za pomocą którego dokonano bardzo wielu od-kryć i wynalazków. Bogata literatura opisuje fenomen analogicznego myślenia w nauce i technice².

1Por. np.: J.K. H o l y o a k, P. T h a g a r d: Mental Leaps: Analogy in Creative Thought.

Cambridge, Massachusetts, London: A Bradford Book, The MIT Press, 1996; D.R. H o f s t a d -t e r: Analogy as -the Core of Cogni-tion. In: The Bes-t American Science Wri-ting. New York: Ecco Press, 2000, s. 116—144.

2Por. W. B i e g a ń s k i: Wnioskowanie z analogii. Lwów: Wydawnictwo Polskiego Towarzystwa Filozoficznego, 1909; A. B i e l a: Analogia w nauce. Warszawa: PAX, 1989; I. D ą b

-(2) Rozumienie i uczenie się. Analogie ułatwiają nam zrozumienie i oswo-jenie się z nowymi pojęciami, koncepcjami, konstrukcjami myślowymi. Czynią możliwym zrozumienie nowego w kategoriach tego, co już jest znane. Myślenie analogiczne jest nieodłącznym czynnikiem rozwoju intelektualnego człowieka, zarówno w zakresie budowania systemu pojęć, jak i zdobywania życiowego do-świadczenia. Rozumienie innych ludzi, ich uczuć, doznań i motywów postępo-wania zawdzięczamy przede wszystkim założeniu, że inni ludzie są „tacy, jak my”.

(3) Porządkowanie i konsekwencja. Jednym z najważniejszych czynników zapewniających spójność naszym decyzjom i ocenom jest podobieństwo sytua-cji, w których podejmujemy działania. Przed podjęciem decyzji na ogół przy-wołujemy na myśl przypadki podobne, starając się odnaleźć w nich wskazówki mogące zaowocować nowymi, trafnymi decyzjami. „Podobne traktować podob-nie” stanowi osiową zasadę zarówno ferowania ocen moralnych, jak i koncep-cji sprawiedliwości, również praktyczny drogowskaz w procesie stosowania prawa.

(4) Modele i paradygmaty. Podobieństwo i analogia obecne są wszędzie tam, gdzie kierujemy się wzorami, „przypadkami idealnymi”, do których należy

„zmierzać”, albo też paradygmatami wyznaczającymi określony sposób wy-pełniania jakiejś funkcji: tworzenia nowych form i struktur na podobieństwo ustalonego wzorca.

(5) Język i komunikacja. Niektórych treści nie sposób przekazać, nie odwołując się do analogii i podobieństwa. Opiera się na nich niezliczona liczba metafor, idiomów, porównań, przysłów i zwrotów przysłowiowych. Wielka rola przypada podobieństwu i analogii w perswazji i argumentacji. Mechanizmy analogii obecne są w warstwie składniowej i semantycznej języka (np. analogia słowotwórcza).

2.1.2. Rozważanie zjawisk z dziedziny podobieństwa i analogii, a w szczególno-ści tych związanych z argumentacją, wymaga użycia pewnej liczby niezbędnych terminów, takich jak: „cecha”, „podobieństwo”, „różnica”, „analogia”, „podo-bieństwo (różnica) pod względem x”. W większości przypadków materiał przedstawiony w tej pracy nie będzie wymagał większej precyzji czy rygory-stycznego formalizmu w artykułowaniu spostrzeżeń dotyczących podobieństwa bądź analogii niż te, które oferuje język ogólny. Korzystne jest posiadanie teore-tycznego zaplecza, w ramach którego objaśniona będzie treść pojęć analogii i podobieństwa wraz z metodami adekwatnego ich reprezentowania i analizowa-nia. W niniejszym rozdziale poczynimy właśnie podstawowe ustalenia w tym

2.1. Wprowadzenie 59

s k a: Dwa studia z teorii naukowego poznania. Toruń: Towarzystwo Naukowe w Toruniu, 1962;

M.B. H e s s e: Models and Analogies in Science. London, New York: Sheed And Ward, 1963;

W.H. L e a t h e r d a l e: The Role of Analogy, Model, and Metaphor in Science. North-Holland, Amsterdam 1974; R. O p p e n h e i m e r: Analogy in Science. „American Psychologist” 1956, 11, s. 127—135.

względzie. W kolejnych podrozdziałach omówimy więc najogólniejsze aspekty podobieństwa, przedstawimy rozmaite ustalenia terminologiczne odnoszące się do pojęć takich, jak: cecha, relacja, stosunek, aspekt itp. Ostatnie cztery pod-rozdziały prezentują koncepcję analogii, na której opieramy się w tej pracy, a także pewne formalne aspekty wnioskowania przez analogię.