W SPRAWIE ZAGADNIENIA INDUKCJI
I. Zagadnienie indukcji w tym znaczeniu, w jakim je dzisiaj rozumiemy, po
stawił dopiero Dawid Hume. Nie znali go dawniejsi teoretycy indukcji Arystoteles i Franciszek Bacon. Dla Arystotelesa indukcja była pomocniczym narzędziem heurystycznym, które drogą wykrycia tego, co wspólne wielości rzeczy, dawało wskazówkę dla uchwycenia tego, co w nich jest istotne. Podobnie Bacon upatrzywał w indukcji narzędzie do wykrycia składników (form) stanowiących naturę rzeczy.
Gdy ową istotę lub naturę udało się uchwycić w badanych przypadkach zręcznym zastosowaniem zabiegu badawczego, uogólnienie odkrycia nie stanowiło już proble
mu, gdvż owa istota lub natura była ex definitione wspólna wszystkim rzeczom, które były objęte uogólnieniem. Tak więc sama biegłość techniczna dawała gwa
rancję prawdziwości twierdzeń indukcyjnych i wszystkie wysiłki Bacona szły w kie
runku udoskonalenia tej biegłości.
Hume pierwszy zapytał o uzasadnienie konkluzji indukcyjnych, a pytanie to wiąże się u niego z nowym ujęciem celu w rozumowaniu indukcyjnym. Nie o to chodzi, co jest istotne w badanych przypadkach i co jako istotne musi przynależeć wszystkim przypadkom tego samego rodzaju, lecz o przenoszenie wyników obser
wacji na przypadki nieznane. Hume odrzuca przeto założenie indukcji arystotele- sowskiej i bakonowskiej, że istnieje istota wspólna przypadkom badanym i wszel
kim nieznanym przypadkom tego samego rodzaju, którą wystarczy wykryć, aby być pewnym, że się ją później wszędzie w przypadkach tego samego rodzaju od
najdzie. To, co tam było założeniem, staje 'się u niego problemem: „Dlaczego wy
prowadzamy z tysiąca przypadków wniosek — czytamy w Badaniach dotyczących rozumu ludzkiego, rozdz. V ust. 73 — którego nie możemy wyprowadzić z jednego przypadku, niczym się od tamtych nie różniącego. Rozum niezdolny jest popełniać takich niekonsekwencji. Wnioski, które on wyprowadza z rozważania jednego koła, są te same, które by utworzy! na podstawie przeglądu wszystkich kol na świccie.
Natomiast nikt, kto widział tylko jedno ciało poruszające się wskutek potrącenia przez inne, nie mógł wnosić, że każde ciało, potrącone przez inne, poruszy się . Jak wiemy, Hume rozwiązał problem negatywnie, uznał uogólnienia indukcyjne za nieuzasadnione i twierdził, że nie są one wynikiem rozumowania, lecz powstają jako rezultat nawyknienia, tzn. są korelatami wytworzonych skojarzeń.
Ten sceptyczny wynik analizy Hume’a nie jest słuszny. Hume nie dostrzegł, żc rozumowanie indukcyjne jest rozumowaniem o całym zbiorze przypadków objętych uogólnieniem indukcyjnym, który zawiera przypadki znane i nieznane, nie zaś o poszczególnym nieznanym przypadku. Przypadki znane to jakby próbki informu
jące nas o zawartości zbioru; im więcej znamy próbek, tym lepiej znamy zbiór, z którego są wzięte, i dopiero ta znajomość zbioru pozwala nam przewidywać, jakie będą dalsze czerpane zeń egzemplarze. Ale jakkolwiek Hume sam nie potrafił
roz-78
wiązać postawionego przez siebie zagadnienia, to jednak wszedł —• może nie zdając sobie z tego sprawy — na drogę do jego rozwiązania, drogę nie dostrzeżoną także przez jego następców aż do Milla włącznie. Droga ta zas to teoria prawdopodo
bieństwa, której Hume był pierwszym filozoficznym badaczem. Jego rozważania na ten temat są zawarte w rozdz. X I, X II i X III części trzeciej z pierwszej księgi Traktatu o naturze ludzkiej oraz w rozdz. VI Badań dotyczących rozumu ludzkiego.
Po odrzuceniu rzeczy mniej ważnych i szaty psychologicznej, w którą Hume ubiera swoje wywody, można sądzić, że jego teoria prawdopodobieństwa pokrywa się mniej więcej z tzw. częstościową teorią prawdopodobieństwa. Ilustruje to własny pizy- kład Hume’a: Obserwujemy okręty, wyruszające w podróż z pewnego portu i usta
lamy, że na 20 okrętów jeden nie wraca z podróży, ulegając rozbiciu. Stosunek 1/20 jest miarą prawdopodobieństwa (lub, jak mówi Hume. siły naszego przekonania), że pewien okręt wyruszający z tego portu ulegnie rozbiciu. Otóż dopiero, gdy roz
winęła się logiczna teoria prawdopodobieństwa, w latach dwudziestych naszego wieku, problem uzasadnienia zdań indukcyjnych mógł byc należycie ujęty.
2. Lecz zanim to będzie można rozważyć, trzeba zając się samym pojęciem in
dukcji. Indukcja tradycyjna w różnych swoich odmianach poszukuje czy to cech istotnych w rozmaitości przypadków, jak u Sokratesa i Arystotelesa, czy to związ ków form i natur, iak u Bacona, czy to przyczyn i skutków, jak u Hume a i Mrlla.
Indukcja tego rodzaju ma za przesłanki zdania kategoryczne szczegółowe postaci
„niektóre S są P", a w konkluzji daje zdanie kategoryczne ogólne postaci^..każde S jest P” lub równoważne mu zdanie warunkowe „jeżeli coś jest S, to jest P". Taka tradycyjna indukcja ma jednak w praktyce naukowej zasięg ograniczony, me jest przydatna dla nauk operujących pomiarem, gdzie do uogólnienia dochodzi się inny
mi metodami, graficznymi lub rachunkowymi, i formułuje się je w postaci funkcji matematycznych. Tak np. fizyk, pragnąc sformułować zależność wiążącą jakieś dwie obserwowane wielkości zmienne, przedstawia wyniki poszczególnych pomia
rów w postaci punktów na płaszczyźnie przy pomocy układu spółrzędnych, następnie zaś łączy otrzymane punkty krzywą, której równanie daje mu szukaną zależność.
Równanie to jest uogólnieniem, obejmującym wyniki pomiarów jako poszczególne przypadki. Aby uogólnić pojęcie indukcji także na takie badania, trzeba je rozsze
rzyć poza zakres zdań kategorycznych logiki klasycznej i nazywać indukcją każde rozumowanie, w którym konkluzja jest zdaniem ogólnym w postaci zgeneralizowa- nej funkcji propozycjonalnej jednej zmiennej {x)fx lub większej liczby zmiennych, a przesłanki mają postać spartykularyzowanych funkcji propozycjonalnych {tx)gx tych samych zmiennych, przy czym zachodzi implikacja Cfxgx. Tak np. prawo Boyle’a można przedstawić jako uogólnienie indukcyjne postaci: „Dla każdej masy gazu M o prężności p i objętości v, wielkości p i u są odwrotnie proporcjonalne , otrzymane z przesłanek postaci „dla pewnej masy gazu Af0 o prężności p i objętości v, wielkości p i o są odwrotnie proporcjonalne .
W tak rozszerzonym pojęciu indukcji zawierają się dwa istotne składniki:
•1° konkluzja jest poprzednikiem implikacji, której następnikiem są przesłanki (mó
wi się zwykle, że konkluzja jest racją, przesłanki jej następstwami); 2° konkluzja jest ogólnym prawem, którego szczególnymi przypadkami są przesłanki. Uoa te punkty, jak zobaczymy, są ważne dla uzasadniania twierdzeń indukcyjnych. Pierw
szy w ten sposób, że pozwala przypisać konkluzji jakieś prawdopodobieństwo. Mia
nowicie rozumujemy mniej więcej tak: Wśród racyj prawdziwej przesłanki nie
które przynajmniej są prawdziwe, przeto ta spomiędzy nich, która jest Konkluzją naszego rozumowania indukcyjnego, może być prawdziwa, czyli posiada pewien stopień prawdopodobieństwa. Związek zaś wymieniony w punkcie drugim jest pod
stawą dla sprawdzania konkluzji indukcyjnej i zwiększania stopnia jej prawdopo dobieństwa w ten sposób, że przypadki szczegółowe podpadające pod prawo ogolne
79
Kanta i szukając dla logiki podstawy w apriorycznych tormach czasu i przestrzeni, podobnie jak to Kant czynił dla arytmetyki i geometrii.
Rys. 2
Najprostsza metoda graficznego rozwiązywania sylogizmów polega na tym. by przedstawić graficznie wszystkie możliwe przypadki położenia wzajemnego zakre
sów S, M, P, jakie odpowiadają przesłankom, przy pomocy kół Eulera i zbadać, jak można P orzekać o $ zgodnie we wszystkich tych przypadkach (Por. J. N.
K e y n e s , Słudies and Exercises in Formai Logic, P. III, Ch. IV, sect. 288).
Np-przesłanki trybu Bocardo MoP, MaS obejmują 9 różnych przypadków (rys. 2).
W owych dziewięciu przypadkach powtarzają się trzy różne położenia S wzglę
dem P (rys. 3). Zgodnie z wszystkimi trzema nie można orzec ani SaP, ani SeP, ani SiP, lecz jedynie SoP.
Metoda ta jest zupełnie poprawna i ścisła, jest jednak dosyć kłopotliwa w sto
sowaniu i mało przejrzysta. Nie czyni przeto zadość potrzebom praktycznym.
2. Inaczej postępuje się stosując następującą metodę, która posługuje się rów
nież schematami Eulera. Szuka ona nie wprost stosunku między S i P , tzn. wza
jemnego położenia tych zakresów określającego konkluzję, jak czyni się w meto
dzie poprzednio omówionej, lecz tego zakresu przedmiotów S. o którym orzeka się w konkluzji. Znalazłszy zaś ten zakres według prostej reguły, dopiero stwierdzić można, w jakim pozostaje on stosunku do zakresu P. Wspomniana zaś reguła brzmi:
a) jeżeli obie przesłanki są twierdzące, to w konkluzji orzekamy o przedmiotach 5
należących do wspólnej części zakresów SMP, b) jeżeli większa przesłanka jest przecząca, to w konkluzji orzeka się o przedmiotach S należących do wspólnej czę
ścią zakresów SMnieP (bo wtedy mniejsza przesłanka twierdząca mówi o tych S, które są M, a o tych stwierdza się w większej przesłance, że nie są P), c) jeżeli mniejsza przesłanka jest przecząca, to w konkluzji orzeka się o przedmiotach S na
leżących do wspólnej części zakresów SnicAfnieE (bo wtedy w mniejszej przesłance mówi się o tych S, które nie są M, w przesłance zaś większej P musi być rozłożone, 7 Odczyty filozoficzne
9 7
bo jest rozłożone w przeczącej konkluzji, tzn. musi być podmiotem zdania PaM czyli że „każde P jest M ", a zatem te S, które nie są M, nie są P). Warunkiem otrzy
mania konkluzji jest, aby przy wszelkich położeniach S, M, P, na jakie pozwalają przesłanki, istniała owa wspólna część zakresów; konkluzji natomiast nie ma, jeżeli schemat wzajemnego położenia zakresów dozwala na takie ich rozmieszczenie przy którym wspólna część SMP lub SMnieP lub SnieMnie/* — zależnie od przesłanek — nie istnieje. Konkluzja jest ogólna, jeżeli owa wspólna część obejmuje cały za
kres S, szczegółowa w przypadku przeciwnym.
Wykreślamy zakresy terminów M i P według większej przesłanki, przy czym jest rzeczą praktycznie obojętną, który wybierzemy z możliwych przypadków, na
stępnie zaś staramy się tak dobrać położenie zakresu S według mniejszej przesłanki, aby okazać, że zakres S, o którym mowa w konkluzji, nie istnieje. Jeżeli to okaże się niemożliwe (co łatwo spostrzec), to dorysowujemy S w którymkolwiek z dopu
szczalnych przypadków, gdyż w każdym z nich zakres S, o którym mowa w
kon-SMnieP SMP
Rys. 4 Rys. 5 Rys. 6
lduzji, jest identyczny. Zacieniowawszy ten zakres, odczytamy konkluzję. Metoda ta pozwala nam rozstrzygać, czy przesłanki dają konkluzję oraz uzyskiwać tę kon
kluzję w sposób niezawodny. Jako przykłady weźmy sylogizmy:
a) Bocardo (rys. 4); MoP O • _ >
s a r — T-• • * ! ^ > ' > v c o (_ r
b) Bamalip (rys. 5):
SoP
i
PaMMaS SiP MaP SeM/ nie ma konkluzji (rys. b)
W sylogizmie c zakres wspólny SnieAfnieP nie istnieje; jeżeli natomiast obie pi zesłanki przestawimy, to otrzymamy konkluzję o przedmiotach należących do zakresu PMmtS. identycznego z zakresem M (Fesapo)
d) MeP
SeM______________
nie ma konkluzji (rys. 7)
Aby zastosować naszą metodę, trzeba jedną z przesłanek zamienić na twierdzącą przez obwersję; uczyńmy to z większą przesłanką ManieP, otrzymamy sylogizm, dla którego zakres SnieAinieniei\ czyli SnieAiP nie istnieje i konkluzji nie ma. Mo
żemy jednak postąpić również inaczej, mianowicie przekształćmy przez obwersję mniejszą przesłankę na twierdzącą, odwróciwszy ją wprzód per conversionem
sim-9 8
plicem dla uniknięcia ąuaternio terminorum: Afffnieó'; dla syłogizmu, który teraz powstanie zakres nieSAfnieP istnieje, będąc identyczny z zakresem M i konkluzja brzmi nieSoP, lecz nie jest to konklu
zja mieszcząca się wśród trybów klasycz
nych, gdyż ma ona w podmiocie negację terminu mniejszego.
O 3. Może być również stosowana do rozwiązywania sylogizmów metoda Ven
na (J. Ve n n . Symbolic Logis, 1881, ch.
V; por. też K e y n e s , op. cit7 sect. 128 i 290). Ta metoda jest oparta o założe
nia algebry logicznej Boole’a, w której zdanie ogólne „każde S jest P" jest in
terpretowane jako egzystencjalnie prze
czące „nie istnieją S, które są nie-/’” , zdanie szczegółowe „niektóre S są P"
jako egzystencjalnie twierdzące „istnieją S, które są P "; interpretacja zdań ogól
nych jest tu więc różna od arystotele-
sowskiej, na której została zbudowana teoria klasyczna sylogizinu i w której za
kłada się, że istnieją S. Algebra logiki Boole’a jest teorią ogólniejszą od logiki klasycznej.
Dla objaśnienia metody Venna trzeba najpierw poświęcić chwilę uwagi za
stosowaniu logiki Boole’a do sylogizmów. Przypuśćmy, że dane są przesłanki trybu Baroco PaM, SoM. Przedstawiamy je w postaci egzystencjalnej: Nie istnieją P, które by były nie-Af, czyli P m ~0 („w” piszemy zamiast „nieAi”), istnieją S, które nie są M, czyli Sm40. Następnie zestawiamy wszystkie możliwe zestawienia zakre
sów S, M, P i ich negacji s, m, p, czyli tworzymy rozwinięcie zakresu uniwersal- nego 1 według trzech terminów S, Ai, P, tzn. dzielimy go na osiem zakresów czę
ściowych, zwanych konstytuensami: 1 = SMP + SMp -f SmP + Smp + sMP -f + sMp + smP + smp (co czytamy — „każdy przedmiot jest S i M i P lub S i M i nie-P lub ltd.” ). W tym rozwinięciu wykreślamy wyrazy trzeci i siódmy według większej przesłanki i wybieramy wyrazy zawierające składnik Sm według prze
słanki mniejszej; taki jest tylko jeden wyraz, mianowicie czwarty, Smp 4 0, który daje żądaną konkluzję SoP.
(Graficzne przedstawienie tej metody przez schematy Venna otrzymuje się, rysując trzy koła S, M, P przecinające się w ten sposób, by podzieliły płaszczyznę rysunku na osiem obszarów (rys. 8) odpowiadających ośmiu konstytuensom:
1 — SMP
5 — sMP 2 — SMp
ti — sMf> 3 — SmP
7 — smP 4 — Smp
8 — smb
Ry». 9
9 9
, Na ta!t.lm schemacie przedstawiamy przesłanki stosownie do zasady że każde zdame ogolne każe skreślić niektóre czyści schematu przez zacieniowank, a każde
m T T ^ f Wyr0Żni' l niekt°re jego części, co czynimy oznaczając je znakiem * . Zgodnie przeto z przesłankami trybu B aro c o P m = 0, Sm 4= 0 skreśli
*» /> p
-W trybie C e sare obie przesłanki są ogólne: P e M i S aM , czyli P M = ^ 0 Sm = 0 w n £ lk Te s i - 0 el°n S ytTUeT ^ ^ S M P + S m P = °- skąd łatwy wniosek, ze S P - 0 , tzn. S e P . Jeżeli zaś nadto założymy S 4= 0 (w myśl logiki
Arvsto-Rya. 10 Rys. 11
Podobnie we wszystkich trybach, w których z dwóch przesłanek ogólnych wy
nika tylko wniosek szczegółowy, trzeba zakładać, że terminy nie są puste, tzn. że istnieją zakresy S, Af, P ; np. w trybie B a m a lip przesłanki są P a M i AiaS, czyli
, e° . u u ? ' P° Wycieniowaniu o g a r ó w zerowych (rys. 11) każdy z zakre
sów S i M składa się co najmniej z dwóch konstytuensów alternatywnych tak iż me wiemy, który z nich wyróżnić, ale zakres P jest jedynym konstytuensem i ten trzeba oznaczyć jako istniejący S M P 4= 0, stąd S P 4= 0 czyli S iP .
P™yt° cz(ony poprzednio sylogizm nieklasyczny o przesłankach M e r , S eM i konkluzji so P (z terminem zanegowanym w podmiocie) rozwiązuje się
1 0 0
•#<sr.v
, • i i » _ n SAf —O i wyróżniając (w myśl założenia, że A r n iijlr te n n in e m pStym ) obszar s M p * 0 (rys. 12). . . .
W przypadkach, w których sylogizm nie
o schematy pVenna d a j* J onJ J “^ uj ą onc wyróżnić alternatywy trójczłonową S
T U itMP
“ t , * ** f r * a & * 4
w postaci zdania kategorycznego {rya. 13).
19Ó4
¡ 0 1