Wioletta Skrodzka
Streszczenie: Analiza ryzyka jest kluczowym aspektem w nowoczesnych finansach.
Jednym z głównych problemów związanych z nim jest jego pomiar, który stanowi pod-stawowy element zarządzania ryzykiem. Przedmiotem analizy jest pomiar ryzyka fi-nansowego ze szczególnym uwzględnieniem ryzyka związanego z inwestycjami w opcje.
Dzięki takiej wiedzy inwestor jest w stanie odpowiednio zabezpieczyć się przed ryzykiem lub podjąć w odpowiednim czasie działania zmierzające do ograniczenia bądź zminimal-izowania tegoż ryzyka.
Słowa kluczowe: kontrakty terminowe, opcje, miary wrażliwości
Wprowadzenie
Nieprzewidywalne ruchy cen instrumentów wpływają nie tylko na wynik finan-sowy, ale mogą mieć także kluczowe znaczenie dla przetrwania danej instytucji finansowej czy przedsiębiorstwa. Coraz częściej muszą stawiać one czoła podob-nym rodzajom ryzyka. Dziś nie wystarczy dysponować najnowocześniejszą technologią produkcji, najtańszą siłą roboczą czy też najskuteczniejszym zespołem specjalistów od marketingu. Ryzyko, jakim są obarczone wszelkie rodza-je działalności finansowej, rodza-jest dziś większe niż w przeszłości. Zmienność cen może doprowadzić do upadku nawet dobrze zarządzaną firmę. Stosowanie odpo-wiednich metod pomiaru ryzyka ułatwia określenie poziomu strat możliwych do poniesienia w danym przedziale czasowym. Pomiar ryzyka jest też dla wielu instytucji obowiązkiem wynikającym z wymagań instytucji nadzorczych wew-nętrznych (Rada Nadzorcza) bądź zewwew-nętrznych (nadzór bankowy, ubezpiecze-niowy).
Celem publikacji jest analiza miar wrażliwości pod kątem ich wykorzystania w pomiarze ryzyka finansowego, ze szczególnym uwzględnieniem procesu wyceny opcji. Podstawę empiryczną stanowią obliczenia wskaźników greckich dla opcji kupna o kodzie OW20I8310 oraz OW20L8350 i opcji sprzedaży o kodzie OW20X8250 oraz OW20U8270 (opcje te notowane są na Giełdzie Papierów War-tościowych). Instrumentem podstawowym dla wyżej wymienionych opcji jest in-deks WIG 20.
1. Miary wrażliwości w pomiarze ryzyka finansowego
Wśród miar służących do oceny ryzyka finansowego można wymienić: miary zagrożenia, miary wrażliwości oraz miary zmienności. Miary zagrożenia (ang.
downside measures) wywodzą się z definicji ryzyka pojmowanego jako zjawiska wyłącznie negatywnego, czyli biorącego pod uwagę jedynie skutki niekorzystne dla inwestora. Miary te wskazują więc, ile można stracić, lub określają taką war-tość stopy zwrotu, jaką można osiągnąć dla prawdopodobieństwa bliskiego zero1. Podstawowe miary wchodzące w skład tej grupy to: semiodchylenie standardowe, prawdopodobieństwo nieosiągnięcia poziomu aspiracji, poziom bezpieczeństwa oraz najważniejsza w tej grupie wartość narażona na ryzyko, czyli Value at Risk (VaR).
Na potrzeby niniejszej publikacji omówione zostaną szerzej miary wrażliwości (ang. sensitivity measures). Odzwierciedlają one wpływ pewnych zmiennych zwa-nych również czynnikami ryzyka na wartość lub stopy zwrotu2. Im bardziej wraż-liwa jest cena instrumentu finansowego na działanie czynników, które wpływają na cenę, tym większe jest ryzyko rynkowe z nią związane. Podobnie jest w przypadku stopy zwrotu. Im bardziej jest ona wrażliwa na działanie czynników na nią wpły-wających, tym większe jest ryzyko rynkowe3.
Podstawową różnicą pomiędzy miarami wrażliwości a miarami zmienności jest koncepcyjne ujmowanie obu rodzajów miar. Miary zmienności, do których należy między innymi odchylenie standardowe, służą do mierzenia jedynie skutków wy-stępowania ryzyka rynkowego. Objawiają się one jako zmienność cen lub stóp zwrotu. Natomiast miary wrażliwości uwzględniają także przyczyny tegoż ryzyka, które można traktować jako czynniki ryzyka4.
Podstawą miar wrażliwości jest jeden z następujących czterech ogólnych modeli5: – w odniesieniu do wrażliwości ceny:
(1) lub:
(2) – w odniesieniu do wrażliwości stopy zwrotu (zwykłej lub logarytmicznej):
(3) lub:
(4)
1 Por. W. Skrodzka, Pomiar ryzyka z zastosowaniem metodologii VaR, [w:] Statystyka i informatyka w nauce o zarządzaniu, pod red. A.W. Mitasa, Wyd. Wyższej Szkoły Zarządzania i Marketin-gu, Sosnowiec 2004 lub E. Wiśniewska, Giełdowe instrumenty pochodne, Wydawnictwo Cedewu, Warszawa 2007, s. 84.
2 K. Jajuga, Elementy nauki o finansach, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2007, s. 142.
3 K. Jajuga, Miary ryzyka rynkowego - część II, Rynek Terminowy 2000, Nr 1, s. 115.
4 Tamże.
gdzie: P - cena instrumentu finansowego;
R - stopa zwrotu instrumentu finansowego;
Xi - i-ty czynnik determinujący cenę bądź stopę zwrotu instrumentu finan-sowego;
g - funkcja;
ε - składnik losowy.
Przedstawione powyżej wzory sugerują, iż istnieją dwie klasy modeli wykorzy-stywane w konstrukcji miar wrażliwości. Różnicą jest to, czy w danym modelu uwzględniony jest składnik losowy. Modele, które nie uwzględniają składnika lo-sowego, to modele deterministyczne, natomiast te, w których występuje składnik losowy, to modele stochastyczne6. Pierwsza klasa modeli wykazuje dokładną rela-cję między ceną lub stopą zwrotu a czynnikami ryzyka. Druga klasa modeli zaś wskazuje na przybliżoną relację pomiędzy ceną lub stopą zwrotu a czynnikami ry-zyka. Odzwierciedlone jest to za pomocą występującego w tych modelach składni-ka losowego, przy czym zakłada się, że wartość oczekiwana tej zmiennej losowej z reguły równa jest 07.
Miara wrażliwości zdefiniowana jest jako pochodna cząstkowa funkcji g względem jednego czynnika ryzyka, tzn.8:
– w odniesieniu do modeli (1) i (2)
(5)
– w odniesieniu do modeli (3) i (4)
(6)
Oznacza to, że można wyznaczyć tyle miar wrażliwości, ile jest czynników ryzyka.
Wskazuje ona na to, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość lub stopa zwrotu, w sytuacji gdy dany czynnik ryzyka wzrośnie o jednostkę, a pozostałe czynniki ry-zyka pozostaną bez zmian. Ryzyko jest tym większe, im wyższa wartość bez-względna miary wrażliwości.
W zależności od badanego instrumentu finansowego możemy wyróżnić różne miary wrażliwości. Możemy je podzielić na miary wrażliwości dla akcji, obligacji, kontraktów terminowych i opcji.
Miarą wrażliwości stosowaną w przypadku zabezpieczenia instrumentu pod-stawowego kontraktem terminowym jest współczynnik zabezpieczenia dla kon-traktu terminowego. Model leżący u podstaw tej miary należy do klasy modeli sto-chastycznych w odniesieniu do ceny. Model ten jest następujący9:
6 E. Wiśniewska, Giełdowe instrumenty ..., s. 80.
7 K. Jajuga, Miary ryzyka …, s. 116.
8 K. Jajuga, Elementy nauki …, s. 142.
9 K. Jajuga, Miary ryzyka ..., s. 119.
Xi
P
∂
∂
Xi
R
∂
∂
(7) gdzie:
S - cena instrumentu podstawowego (cena spot), F - cena kontraktu terminowego (cena futures), α, β - parametry strukturalne,
ε - składnik losowy.
Miarą wrażliwości w tym modelu jest współczynnik stojący przy F. Mimo iż jest on oznaczony jako beta, często nazywany jest optymalnym współczynnikiem zabezpieczenia. Współczynnik ten wskazuje, o ile w przybliżeniu zmieni się cena instrumentu podstawowego, gdy cena kontraktu terminowego wzrośnie o jedną jednostkę. Ryzyko jest tym większe, im większa jest wartość tego współczynnika10. W przypadku opcji miarami wrażliwości są tak zwane współczynniki greckie, które służą do pomiaru wrażliwości wartości wykonania opcji na zmiany wartości takich parametrów, jak: ceny instrumentu podstawowego, czasu pozostającego do terminu wygaśnięcia, zmienności cen instrumentu podstawowego, zmiany rynko-wych stóp procentorynko-wych. Spośród wymienionych czynników jedynym, który nie jest dynamicznym jest wartość wykonania opcji (nie dotyczy to jednak niektórych rodzajów opcji egzotycznych)11. Odpowiadają one matematycznie pochodnym cząstkowym ceny opcji względem wymienionych parametrów. Poszczególne po-chodne określa się literami greckiego alfabetu i dlatego nazywane są współczynni-kami greckimi12. Idea tych współczynników bierze swój początek od klasycznych modeli wyceny opcji w konwencji Blacka, Scholesa, Mertona. Wyjściowy model można zaliczyć do klasy modeli deterministycznych odnoszących się do ceny.
Model klasyczny wyceny opcji dotyczy opcji europejskiej, którego ogólna wer-sja dana jest następującymi wzorami13:
(8)
11 E. Wiśniewska, Giełdowe instrumenty …, s. 83.
12 A. Weron, B. Weron, Inżynieria finansowa, Wycena instrumentów pochodnych, symulacje kompu-terowe, statystyka rynku, WNT, Warszawa 1998, s. 190.
13 K. Jajuga, Miary ryzyka …, s. 119.
gdzie:
c - wartość europejskiej opcji call, p - wartość europejskiej opcji put, S - cena instrumentu podstawowego, X - cena wykonania opcji,
T - długość okresu do terminu wygaśnięcia opcji, σ - zmienność instrumentu podstawowego,
N(d) - wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego w punkcie d, b - parametr określający koszt utrzymania pozycji na rynku instrumentu
pod-stawowego, tzw. stopa cost-of-carry.
Pierwszym współczynnikiem greckim jest delta. Jest to miara wrażliwości war-tości opcji przy zmianach ceny instrumentu podstawowego. Inaczej mówiąc, jest to pochodna wartości opcji względem ceny instrumentu podstawowego. Wskazuje ona zatem, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość opcji w przypadku, gdy cena in-strumentu podstawowego wzrośnie o jednostkę. W zależności od tego, czy mamy do czynienia z opcją kupna czy z opcją sprzedaży, delta przyjmuje odpowiednio wartość dodatnią i ujemną14. Współczynnik delta jest określony w następujący spo-sób15:
S - cena instrumentu podstawowego.
Współczynnik delta można również wyznaczyć dla portfela opcji. Jest ona wów-czas równa sumie współczynników delta dla poszczególnych opcji wchodzących w skład portfela. Może być ona wyznaczona w następujący sposób16:
(13)
14 K. Jajuga, T. Jajuga, Inwestycje, Instrumenty …, s. 190.
15 K. Jajuga, Miary ryzyka …, s. 120.
Drugim współczynnikiem jest gamma. Jest to miara wskazująca na wrażliwości współczynnika delta przy zmianie ceny instrumentu finansowego. Inaczej mówiąc, jest to pochodna delty opcji względem ceny instrumentu podstawowego, a więc druga pochodna wartości opcji względem ceny instrumentu podstawowego.
Wskaźnik ten informuje, o ile w przybliżeniu zmieni się delta opcji w sytuacji, gdy cena instrumentu podstawowego wzrośnie o jednostkę. Wskazuje na tempo zmian wartości opcji, gdy zmieni się cena instrumentu podstawowego17. Niewielka war-tość tego wskaźnika oznacza, że delta zmienia się w bardzo wolnym tempie, co oznacza, że korekty pozycji zabezpieczającej mogą być dokonywane rzadko.
W przeciwnym wypadku, gdy wartość gamma jest wysoka, delta cechuje się wy-soką wrażliwością na zmiany ceny instrumentu podstawowego. W takiej sytuacji ryzykowne jest pozostawienie bez żadnych zmian portfela o zerowym współczyn-niku delta18. Miarę tę możemy zapisać w następujący sposób19:
2
S - cena instrumentu podstawowego.
Trzecim współczynnikiem jest vega20. Współczynnik ten jest miarą wrażliwości wartości opcji przy zmianie zmienności instrumentu podstawowego. Jest to po-chodna wartości opcji względem odchylenia standardowego cen instrumentu pod-stawowego. Wskazuje zatem, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość opcji, w przypadku gdy odchylenie standardowe cen instrumentu podstawowego wzro-śnie o jednostkę. Współczynnik vega przyjmuje wartości dodatnie. Vega opcji, zbliżając się do terminu wygaśnięcia, przybliża się do zera21. Współczynnik ten można zapisać w sposób następujący22:
σ
σ - zmienność instrumentu podstawowego.
17 K. Jajuga K., Jajuga T., Inwestycje, Instrumenty …, s. 191.
18 J. Hull, Kontrakty terminowe …, s. 378.
19 K. Jajuga, Miary ryzyka …, s. 120.
20 Nazywany jest także lambda, kappa, epsilon lub eta.
21 K. Jajuga, T. Jajuga, Inwestycje, Instrumenty …, s. 191-192.
22 K. Jajuga, Miary ryzyka …, s. 120.
Czwartym współczynnikiem jest theta. Jest to miara wrażliwości wartości opcji przy zmianie czasu do terminu wygaśnięcia. Jest to pochodna wartości opcji względem długości okresu pozostającego do terminu wygaśnięcia opcji. Wartość ta w przybliżeniu wskazuje, o ile spadnie wartość opcji, w sytuacji gdy długość okre-su pozostającego do terminu wygaśnięcia spadnie o jednostkę. Wartość tej miary jest dodatnia i nie przekracza wartości opcji. Theta jest coraz większa w miarę zbliżania się do terminu wygaśnięcia. Wniosek z tego jest taki, że opcja traci naj-bardziej na wartości w terminie tuż przed wygaśnięciem23. Współczynnik theta można zapisać następująco24:
T c
∂
= ∂ θ
(16) gdzie:
θ - współczynnik theta,
∂ - pochodna, c - wartość opcji,
T - długość okresu do terminu wygaśnięcia opcji.
Piątym i zarazem ostatnim współczynnikiem jest rho. Jest to miara wrażliwości wartości opcji przy zmianie stopy wolnej od ryzyka. Jest to pochodna ceny opcji względem stopy procentowej. Współczynnik ten wskazuje, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość opcji, w sytuacji gdy stopy procentowe na rynku wzrosną o jed-nostkę25. Jest on określony następująco26:
r c
∂
=∂ ρ
(17) gdzie:
ρ - współczynnik rho,
∂ - pochodna, c - wartość opcji,
r - stopa wolna od ryzyka.
Omówione miary służą do pomiaru ryzyka finansowego. Miary zmienności warto wykorzystać, chcąc zmierzyć jedynie skutki występowania ryzyka. Miary zagrożenia, których konstrukcja w znaczący sposób odbiega od pozostałych miar, wykorzystuje się głównie przy pomiarze jedynie niekorzystnej wartości dla inwe-stora. Jednak, aby poznać przyczyny występowania tego ryzyka, warto sięgnąć po miary wrażliwości, które odzwierciedlają wpływ pewnych zmiennych będących czynnikami ryzyka na jego poziom. Zastosowanie miar wrażliwości w zarządzaniu ryzykiem polega na tworzeniu odpowiedniego portfela instrumentów finansowych
23 K. Jajuga, T. Jajuga, Inwestycje, Instrumenty …, s. 192.
24 K. Jajuga, Miary ryzyka …, s. 120.
25 K. Jajuga, T. Jajuga, Inwestycje, Instrumenty …, s. 192.
26 K. Jajuga, Miary ryzyka …, s. 120.
w taki sposób, aby portfel był niewrażliwy, co oznaczałoby brak ryzyka. Celem wszystkich omówionych miar jest jak najlepsze zmierzenie ryzyka, w celu lepsze-go zarządzania nim. Jest to problem niezwykle ważny, szczególnie w świetle glo-balnego kryzysu finansowego.
2. Greckie współczynniki dla opcji kupna i sprzedaży oparte o indeks WIG20
Współczynniki greckie obliczono dla opcji kupna o kodzie OW20I8310 oraz OW20L8350, a także dla opcji sprzedaży o kodzie OW20X8270 oraz OW20U8250 notowanych na GPW. W celu oszacowania poszczególnych wskaźników greckich policzono stopę wolną od ryzyka dla każdego z terminów wygaśnięcia opcji we-dług następującego algorytmu. Przeliczono stopy procentowe WIBOR/WIBID wy-rażone przy kapitalizacji rocznej na stopy przy kapitalizacji ciągłej wg następują-cych wzorów:
ci. ln(1 _ *( / 365)) / ( / 365)
kapitalizacja kapitalizacja roczna
WIBOR = +WIBOR t t
. _
ln(1 *( / 365)) / ( / 365)
kapitalizacja ci kapitalizacja roczna
WIBID = +WIBID t t
gdzie:
t - termin, na jaki jest wyznaczona dana stopa procentowa (np. WIBOR 1 miesiąc
= 30 dni)
W kolejnym etapie wyznaczono stopę WIMEAN, która stanowi średnią ze stóp procentowych WIBOR oraz WIBID. A następnie wyznaczono stopy procentowe dla poszczególnych terminów wygaśnięcia opcji, która odbywa się poprzez inter-polację liniową stóp WIMEAN według poniższego wzoru:
2 1 1 2 1 1
((( ) * ( )) / ( ))
s s
r = r −r t −t t −t +r (18)
gdzie:
rs - szukana stopa procentowa,
ts - czas do wygaśnięcia opcji (termin dla szukanej stopy procentowej), t1 - termin wcześniejszy,
t2 - termin późniejszy,
r1 - stopa procentowa dla terminu t1, r2 - stopa procentowa dla terminu t2.
W kolejnym etapie na podstawie danych wyliczono poszczególne wskaźniki greckie.
Stopa wolna od ryzyka jest wyznaczana dla każdego terminu wygaśnięcia opcji (opcje wygasają w miesiącach: marzec, czerwiec, wrzesień, grudzień). Dane po-trzebne do kalkulacji to:
– Stopa procentowa WIBOR dla terminów - 1 tydzień, 2 tygodnie, 1 miesiąc, 3 miesiące, 6 miesięcy, 9 miesięcy,
– Stopa procentowa WIBID dla terminów - 1 tydzień, 2 tygodnie, 1 miesiąc, 3 miesiące, 6 miesięcy, 9 miesięcy.
Poniżej przedstawiono notowania stopy procentowej WIBOR oraz WIBID w dniu 02.06.2008 r.
Tabela 1. Notowania stopy procentowej WIBOR i WIBID na dzień 02.06.2008 r.
ON TN SW 1 mies. 3 mies. 6 mies. 9 mies. 1 rok WIBOR 6.0200 6.0200 6.0200 6.2100 6.5100 6.6200 6.6600 6.7000
WIBID 5.790 5.790 5.820 6.020 6.310 6.420 6.460 6.500 Źródło: http://www.bankier.pl, 02.06.2008 r.
Następnie wszystkie ww. stopy procentowe WIBOR/WIBID wyrażone przy ka-pitalizacji rocznej przeliczono na stopy przy kaka-pitalizacji ciągłej i obliczono stopę WIMEAN.
W przypadku opcji OW20I8310 oraz OW20U8250 termin wygaśnięcia przypa-da na 19.09.2008 r. Różnica między momentem, na który przeprowadzane są obli-czenia, a momentem wygaśnięcia opcji wynosi 109 dni (02.06.2008 r. - - 19.09.2008 r.). Wyznaczono więc stopę procentową dla opcji o terminie wygaś-nięcia przypadającym za 109 dni. Dostępne terminy stóp procentowych WIBOR oraz WIBID wcześniejsze oraz późniejsze od terminu 109 dni to 3 miesiące (3 x 30 dni = 90 dni) oraz 6 miesięcy (6 x 30 dni = 180 dni).
Tabela 2. Stopy WIMEAN dla opcji OW20I8310 oraz OW20U8250
WIBOR WIBID WIMEAN
3 mies. 6,46% 6,26% 6,36%
6 mies. 6,51% 6,32% 6,42%
Źródło: Opracowanie własne
Natomiast w przypadku opcji OW20X8270 oraz OW20L8350 termin wygaś-nięcia przypada na 19.12.2008 r. Różnica między momentem, na który przeprowa-dzane są obliczenia, a momentem wygaśnięcia opcji wynosi 200 dni (02.06.2008 r.
- 19.12.2008 r.). Wyznaczono więc stopę procentową dla opcji o terminie wyga-śnięcia przypadającym za 200 dni. Dostępne terminy stóp procentowych WIBOR oraz WIBID wcześniejsze oraz późniejsze od terminu 200 dni to 6 miesięcy (6 x 30 dni = 180 dni) oraz 9 miesięcy (9 x 30 dni = 270 dni).
Tabela 3. Stopy WIMEAN dla opcji OW20X8270 oraz OW20L8350
WIBOR WIBID WIMEAN
6 mies. 6,51% 6,32% 6,42%
9 mies. 6,50% 6,31% 6,41%
Źródło: Opracowanie własne
Wyznaczenie stopy procentowej dla terminu 109 dni przeprowadzono poprzez interpolację liniową stóp WIMEAN 3-miesięczny oraz 6-miesięczny. Stopa ta wy-nosi: rs = 6,37%.
Stopa procentowa dla terminu 200 dni odbywa się poprzez interpolację liniową stóp WIMEAN 6 miesięczny oraz 9 miesięczny i wynosi: rs = 6,41%.
Zestawienie danych potrzebnych do obliczenia greckich współczynników za-warte zostało w tabeli 4.
Tabela 4. Specyfikacja instrumentów użytych do obliczenia wskaźników greckich
Wyszczególnienie Opcje kupna Opcje sprzedaży
OW20I8310 OW20L8350 OW20U8250 OW20X8270
Kurs wykonania opcji 3100 pkt 3500 pkt 2500 pkt 2700 pkt
Wartość indeksu WIG20 2892,23 pkt 2892,23 pkt 2892,23 pkt 2892,23 pkt
Stopa dywidendy indeksu WIG20 3,60% 3,60% 3,60% 3,60%
Zmienność indeksu WIG2027 26,61% 16,48% 27,69% 19,32%
Stopa wolna od ryzyka 6,37% 6,41% 6,37% 6,41%
Data wygaśnięcia opcji 2008-09-19 2008-12-19 2008-09-19 2008-12-19 Data kalkulacji 2008-06-02 2008-06-02 2008-06-02 2008-06-02 Źródło: Opracowanie własne
Obliczone poszczególne współczynniki greckie dla poszczególnych opcji za-warto w tabeli 5.
Tabela 5. Greckie współczynniki dla opcji kupna i sprzedaży
Wyszczególnienie Opcje kupna Opcje sprzedaży
OW20I8310 OW20L8350 OW20U8250 OW20X8270
DELTA 0,3602 0,0827 –0,1356 –0,2496
GAMMA 0,0009 0,0004 0,0005 0,0008
THETA –0,7792 –0,1500 –0,4004 –0,2580
KAPPA/VEGA 5,8725 3,2480 3,4310 6,7349
RHO 2,8252 1,2411 –1,2677 –4,3217
Źródło: Opracowanie własne
27 Zmienność implikowana indeksu WIG20 jest zmiennością indeksu kalkulowaną na podstawie kur-sów opcji na indeks WIG20.
Jeśli notowania WIG20 zmienią się o 1 punkt, można oczekiwać zmiany noto-wań opcji kupna OW20I8310 o 0,3602 pkt. i zmiany opcji kupna OW20L8350 o 0,0827 pkt. W przypadku opcji sprzedaży współczynnik ten jest zawsze liczbą ujemną. Dla opcji OW20U8250 wynosi on –0,1356, a dla opcji OW20X8270 wy-nosi –0,2496. Oznacza to, że jeśli notowania WIG20 zmienią się o 1 punkt, to mo-żemy oczekiwać, że wartość opcji sprzedaży spadnie odpowiednio o –0,1356 pkt.
i –0,2496 pkt.
Współczynnik gamma wyrażony jest w wartościach bezwzględnych. Gamma wynoszący 0,0009 oznacza, że jeżeli wartość indeksu WIG20 wzrośnie (spadnie) o 1 punkt, to wartość współczynnika delta zwiększy się (zmniejszy się) o tę war-tość. Przykładowo, jeżeli wartość indeksu WIG20 wzrośnie o jednostkę (1 pkt), czyli do poziomu 2893,23 (2892,23 + 1 = 2893,23), to współczynniki delta opcji OW20I8310 wzrośnie o 0,0009. Wówczas delta wyniesie 0,3611 (0,3602 + + 0,0009). W takiej sytuacji można spodziewać się, że notowania opcji wzrosną o 0,3611 pkt. Zmiana wartości współczynnika delta opcji OW20L8350 pod wpły-wem zmiany wartości indeksu WIG20 wyniesie 0,0004. Natomiast dla opcji sprze-daży OW20U8250 i OW20X8270 zmiana ta wyniesie odpowiednio 0,0005 i 0,0008.
Theta równa –0,7792 dla opcji kupna OW20I8310 i –0,1500 dla opcji kupna OW20L8350 oznacza, że w przypadku upływu jednego dnia i stałości pozostałych czynników wycena opcji kupna spadnie odpowiednio o 0,7792 pkt. i 0,1500 pkt.
dla poszczególnych opcji. W przypadku opcji sprzedaży OW20U8250 i OW20X8270 w przypadku upływu jednego dnia i stałości pozostałych czynników wycena opcji sprzedaży spadnie odpowiednio o 0,4004 pkt. i 0,2580 pkt.
Wartości 5,8725 i 3,2480 współczynnika vega/kappa dla opcji kupna OW20I8310 i OW20L8350 oznaczają, że w przypadku spadku (wzrostu) zmien-ność indeksu WIG20 o jeden punkt procentowy i stałości pozostałych czynników wycena opcji kupna spadnie (wzrośnie) odpowiednio o 5,8725 pkt. i 3,2480 pkt.
W przypadku opcji sprzedaży OW20U8250 i OW20X8270 wartości 3,4310 oraz 6,7349 oznaczają, że w przypadku spadku (wzrostu) zmienność indeksu WIG20 o jeden punkt procentowy i stałości pozostałych czynników wycena opcji kupna spadnie (wzrośnie) odpowiednio o 3,4310 pkt. oraz 6,7349 pkt.
Wartości 2,8252 oraz 1,2411 opcji kupna OW20I8310 i OW20L8350 oznacza-ją, że jeśli stopa procentowa zwiększy się przykładowo o jeden punkt procentowy, to zgodnie z modelem teoretycznym wartość opcji kupna zwiększy się odpowied-nio o 2,8252 pkt. i 1,2411 pkt. Natomiast wartości –1,2677 i –4,3217 współczyn-nika rho oznaczają, że jeśli stopa procentowa zwiększy się przykładowo o jeden punkt procentowy, to zgodnie z modelem teoretycznym wartość opcji sprzedaży zmniejszy się odpowiednio o 1,2677 pkt. i 4,3217 pkt.
Powyższe wyliczenia wskazują, że wśród analizowanych opcji kupna i sprzedaży najbardziej wrażliwą na zmianę stopy procentowej jest opcja sprzedaży OW20X8270. Zmiana stopy procentowej o jeden punkt procentowy powoduje największą zmianę wartości tej opcji.
Podsumowanie
Podejmowanie ryzyka jest wpisane w każdą działalność gospodarczą. Istnieje ścisły związek między wielkością dochodów a ryzykiem. Wyższe ryzyko oznacza wyższą rentowność. Dzięki zastosowaniu odpowiednich metod pomiaru można we właściwy sposób kontrolować to ryzyko oraz poszukiwać skutecznego antidotum na wahania rynkowych cen instrumentów finansowych.
Celem publikacji była analiza miar wrażliwości w aspekcie pomiaru ryzyka fi-nansowego podczas inwestowania w opcje Obliczone współczynniki greckie po-zwalają przewidzieć, jak zachowa się analizowana opcja pod względem zmiany
Celem publikacji była analiza miar wrażliwości w aspekcie pomiaru ryzyka fi-nansowego podczas inwestowania w opcje Obliczone współczynniki greckie po-zwalają przewidzieć, jak zachowa się analizowana opcja pod względem zmiany