Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT

12. Całkowanie (całki oznaczone)

1. Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć podane całki

a)

_∫ ( )

−

+

−

1

1

3 x 1 dx

x ;

b)

_∫

¹

(

⁺

)

0

3 2

dx x

x ;

c)

∫

4

0

sin2 π

dx x ;

d)

∫

² ₊⁻

03 1

1

3 dx

x

x ;

e)

∫

^



 



 +

2

1

1 dx

x x ;

f)

∫

+

9

0

2 9

x dx ;

g)

∫

^e

e

dx x

1

ln .

2. Obliczyć podane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień

a) ²

4

0

1 , x t

x

dx =

∫

+ ^;

b) ²

2 ln

0

1 ,

1dx e z

e^x− ^x − =

∫

^;

c)

∫

x xdx x=v

−

sin , cos sin

6

2

3 5 π

π

;

d) dx x u

x

e x

∫

^{ln , ln} =

1

;

e)

( )

2 4

1

0

1 , x t

x x

dx =

∫

− ^;

f) dx x t

x

x , cos

1

2 1

1

0

− =

∫

+ ^;

g)

∫

¹x ¹+xdx^{, 1}+x=t

0

;

h) sinxe ^xdx, v cosx

0

cos =

∫

π

. 3. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych przedziałach

a) f

( )

x =sin³x,

[

0,^π

]

; b) f

( )

x =e^x,

[

−2,2

]

;

c)

( )

_









−

= 2

, 2 0 , 1 x² x x

f ;

d)

( )





= +

,2 0 4, 1

4

π x x

f ;

e)

( )

= _^− _^ ,2 , 2

cos π π

x x

f .

4. Metodą całkowania przez części obliczyć podane całki oznaczone

a)

∫

¹

0

arctg dxx

x ;

b)

∫

^π

0

2cos dxx

x ;

c)

∫

−

− 0

1

dx xe ^x ;

d)

∫

− 3

1

arcctg dxx .