Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT
13. Całkowanie (Zastosowania całek oznaczonych)
1. Obliczyć pole obszaru D ograniczonego a) wykresami funkcji y=x2, y=2x+3;
b) wykresami funkcji y=sinx, y=cos2x oraz osią Oy (x≥0);
c) parabolami y=x2, y=2x2 oraz prostą y=8
(
x≥0)
; d) krzywymi y=e−x, y=e3x, y= e;e) wykresami funkcji y=arctgx, y=arcctgx oraz osią Oy;
f) elipsą 2 1
2 2 2
= + b
y a
x , gdzie a, >b 0.
2. Obliczyć długości łuków podanych krzywych a) = − ∈
2 ,1 0 ,
1 x2 x
y ;
b) ,
[ ]
1,38 1
4 2
4
∈ +
= x
x
y x ;
c)
∈
−
=1 lncos , 0,π4 x x
y ;
d) y=arcsin
( )
e−x , x∈[ ]
0,1 ;e) y=lnx, x∈
[
3,2 2]
;f) ,
[ ]
2,31
ln 1 ∈
−
= + x
e y ex
x
; g) y=2 x3, x∈
[
0,11]
;h)
∈
= ln3
2 ,1 2 2ln , x 1 e
y x .
3. Rozwiązać podane zadania
a) Jaką pracę należy wykonać, aby ciało o masie m podnieść z powierzchni Ziemi na wysokość h?
b) Zbiornik na ropę ma kształt walca o osi pionowej. Średnica walca wynosi D = 2 m, a wysokość H = 3 m. Zbiornik jest napełniony ropą do poziomu h = 1 m. Obliczyć pracę jaką trzeba wykonać, aby górą wypompować ropę ze zbiornika. Masa właściwa ropy wynosi γ =700kg/m3.
c) Ciało wykonuje drgania wzdłuż osi Ox z szybkością v
( )
t =v0cosω0t, gdzie v0 i ω0 są stałymi.Znaleźć położenie ciała w chwili t2, jeżeli w chwili t1 znajdowało się ono w punkcie x1.
d) Samolot zwiadowczy S i rakieta R, która ma go zestrzelić, poruszają się po prostej. W chwili t = 0 odległość między nimi wynosiła d = 9 km. Szybkość samolotu w chwili t, gdzie t≥0, wyraża się wzorem vS
( )
t =1 +16t [km/min], a szybkość rakiety vR( )
t =1+4t3 [km/min]. Po jakim czasie rakieta trafi w samolot?e) Przy rozciąganiu sprężyny siła rozciągania jest proporcjonalna do wydłużenia sprężyny (współczynnik proporcjonalności k). Obliczyć pracę, jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości l rozciągnąć do długości L.
