Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF 4. Funkcje (granice, asymptoty)

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF

4. Funkcje (granice, asymptoty)

1. Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji uzasadnić podane równości a) lim

(

2 7

)

1

4

=

−

→ x

x ;

b) 2

1 lim 2 =

+

∞

→ x x

x ;

c) =∞

→ + x

x

lim 1

0

; d)

(

⁻

)

^=−∞

−∞

→

1 2

lim x

x .

2. Uzasadnić, że podane granice nie istnieją

a) ₃

0

lim 1 x

x→ ;

b) ^x x

sin1 lim

0⁺

→

;

c) limcosx²

x→∞ ;

d)

x x

e

0 1

1 lim 1

+

→ .

3. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć podane granice

a) 1

lim _{3 2} 1

2 3

1 + − −

− +

−

→ x x x

x x x

x ;

b) x

x x

x

3 3

0

1 lim 1+ − −

→ ;

c)

1 2

2 lim 1

x x

x +

+ +

∞

→ ;

d) 3 2

3

10 10

lim 10

6 −

−

→ x

x

x

;

e) x x

x

arcctg1 lim ³

0⁻

→

;

f) _{x x}

x x

x 5 3

9 lim25

0 −

−

→ ;

g) 1

lim ₄ 1

3

1 −

−

→ x x

x ;

h) 3 2

1 lim2

+ +

∞

→ x

x

x ;

i) tg 5

1 lim tg₂

2

2

+ +

−

→ x

x

x π

;

j) x

x x

x 2

1 lim 1

0

−

− +

→ ;

k) ₂

6

11 lim 1

x x

x −

−

→ ;

l)

(

5

)

4 lim 5

2

− +

−

∞

→ x x

x x

x .

4. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić podane równości

a) 1 0

sin lim

0

=

→ x x

x ;

b) 1

cos lim ₂ sin

2

− = +

∞

→ x x

x x

x ;

c)

( )

(

3 1

)

^{log 2}

ln 1 2

limln = ₃

+ +

∞

→ x

x

x ;

d) 1 0

arctg lim ³

0

=

→ x x

x .

5. Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnić podane równości

a)

(

−

)

=−∞

∞

→ x x

x 2sin

lim ;

b) =∞

− −

→ x x

x 0 2

lim 1 ; c) =∞

+

→0 2

sin1 2 lim x

x

x ;

d)

(

⁺

)

^=∞

∞

→ ^x x

x 2 2 cos

lim .

6. Znaleźć asymptoty podanych funkcji a)

( )

x x x

f sin

= ;

b)

( )

1

3 1

−

= − x x x

f ;

c)

( )

₂

1 1 x x

f = − ;

d) f

( )

x =e^−xsinx+x;

e)

( )

9 3

2−

= − x x x

f ;

f)

( )

π

−

= x x x

f sin

; g)

( )

1 1

= _x − x e f