Zadania uzupełniające z Analizy I.2 (do 15.06.2018)
Można oddać wybrane z poniższych zadań, żeby podwyższyć liczbę punktów za prace domowe. Każde zadanie z tej serii jest warte 1 punkt, tak jak zadania domowe.
Zadanie 1. Zdefiniujmy funkcję f : [0, 1] → R wzorem f =
(0 dla x = 0,
1 x−1
x
w pozostałych punktach.
Wykaż, że f jest całkowalna w sensie Riemanna na [0, 1].
Zadanie 2. Oblicz
Z x2(x2− x + 2) (x2+ 1)2(x + 1)dx.
Zadanie 3. Oblicz
Z 1
cos3xdx.
Zadanie 4. Oblicz
n→∞lim
sin n
n2+ 1+ sin n
n4+ 4+ . . . + sin n n2+ n2
.
Wskazówka: mogą się przydać oszacowania funkcji sin otrzymywane z wielomianów Taylora.
Zadanie 5. Oblicz granicę
x→0lim
1 x
x
Z
0
(1 + sin t)1tdt
.
Zadanie 6. Oblicz granicę
n→∞lim
π
Z2
0
x sinnx
√1 + sinnxdx.
Zadanie 7. Zbadaj, czy istnieje całka
∞
Z
π
sin(x2)
√x2− π2dx.
Zadanie 8. Zbadać, dla jakich wartości wykładnika c całka niewłaściwa jest zbieżna:
∞
Z
1
x ln x
c
· dx 1 + x4c.
Zadanie 9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji 1. f (x) = x2− 3x i g(x) = −x2+ 9x − 10,
2. f (x) = x2− 3x i g(x) = −x2+ 9x − 10 i, z prawej strony, prostą x = 4.
Zadanie 10. Obliczyć długość wykresu funkcji f (x) =
√x
R
2
t2√
2t4− 6dt w przedziale [2, 7].
1
