Ćwiczenia do wykładu 12
48. Przybliżenie quasi-klasyczne
Takie przybliżenie pozwala sformułować metodę przybliżonego rozwiązania równania Schrödingera, opartego na wykorzystaniu faktu małości stałej Plancka ħ.
Rozpatrzmy ruch jednowymiarowy cząstki w polu o energii potencjalnej V(x). Odpowiednie równanie stacjonarne Schrödingera ma postać:
ψ’’(x) + ( 2µ/ħ2 ) [ E – V(x)] ψ(x) = 0 (48.1)
Jego rozwiązania będziemy poszukiwali w postaci :
ψ(x) = exp[ (i/ħ ) σ(x)] (48.2)
gdzie : σ(x) – pewna funkcja o wymiarze działania. Funkcję tę będziemy nazywali funkcją fazową.
Podstawiając (48.2) do (48.1) otrzymujemy dla niej równanie :
(σ’ )2 – iħσ’’ – p2(x) = 0 (48.3)
gdzie
p(x) ≡ [ 2µ ( E – V(x) )]1/2 (48.4)
jest klasycznym pędem cząstki o masie µ, znajdującej się w punkcie x. Jest to nieliniowe, niejednorodne rr, oczywiście jest ono równoważne wejściowemu równaniu Schrödingera.
Załóżmy, że w pewnym zagadnieniu funkcje fazową można przedstawić w postaci rozkładu względem parametru ħ/i :
σ(x) = σ0(x) + (ħ/i )σ1(x) + (ħ/i )2σ2(x) + ... (48.5)
Podstawiając taki rozkład do równania (48.3) i przyrównując do zera współczynniki przy różnych potęgach ħ, otrzymamy układ równań dla składowych funkcji fazowej :
( σ’0 )2 = p2(x) (48.6)
2σ’0σ’1 + σ’’0 = 0 , 2σ’0σ’2 + ( σ’1 )2 + σ’’0 = 0 , ... (48.7)
Porównując (48.6) z (48.3) widzimy, że odrzucenie wszystkich składowych funkcji fazowej, oprócz σ0(x), odpowiada odrzuceniu w równaniu (48.3) członu iħσ’’. Taka możliwość jest realizowalna, jeśli spełniona jest następująca nierówność :
ħ | σ’’(x) | << ( σ’(x) )2 (48.8)
W tym przypadku :
σ’(x) = σ’0(x) = ± p(x) (48.9)
Podstawiając to wyrażenie do nierówności (48.8), doprowadzamy go do postaci :
ħ | dp(x)/dx | << | p(x) |2 (48.10)
co z uwzględnieniem (48.4) daje :
µħ | dV(x) /dx | << | p(x) |3 (48.11)
Stąd widać, że przybliżenie (48.9) będzie spełnione tym lepiej, im większy jest pęd klasyczny cząstki i im bardziej płynnie zmienia się energia potencjalna.
Dla σ0(x) z (48.9) otrzymujemy :
σ0(x) = ±
∫
p(x) dx + C0 (48.12)gdzie C0 – stała całkowania.
Ponieważ w tym przybliżeniu funkcja fazowa nie zależy od ħ, to można powiedzieć, że odpowiada ono przejściu do granicy ħ → 0, tj. do obszaru klasycznego.
Następną składową funkcji fazowej łatwo możemy znaleźć z (48.7) i (48.12) :
σ1(x) = - ½ ln[ | p(x) | ]+ C1 (48.13)
gdzie C1 – stała całkowania.
Przybliżenie w którym uwzględnia się człony nie wyższe od członów pierwszego rzędu względem ħ w rozkładzie funkcji falowej, nazywa się przybliżeniem quasi-klasycznym. Podstawiając (48.12) i (48.13) do (48.5), otrzymujemy funkcje falową (48.2) w przybliżeniu quasi-klasycznym :
ψ(s) = [ A1/ sqrt( | p(x) | ) ] exp[ (i/ħ )
∫
p(x) dx ] + [ A2/ sqrt( | p(x) | ) ] exp[ - (i/ħ )∫
p(x) dx ] (48.14) gdzie : A1, A2 – dowolne stałe zespolone.Znalezione rozwiązanie jest słuszne tylko w tych obszarach, gdzie spełniona jest nierówność (48.11). Jednakże nierówność ta nie jest spełniona w otoczeniach tych punktów, w których pęd klasyczny zeruje się :
p(x) = [ 2µ( E – V(x)]1/2 = 0 (48.15)
tj. tam gdzie energia całkowita jest równa energii potencjalnej. Takie punkty trajektorii cząstki w MK nazywają się punktami powrotu. Oddzielają one obszar, dostępny dla ruchu klasycznego, od obszaru, gdzie pęd p(x) posiada wartości urojone i ruch klasyczny jest niemożliwy. W tym obszarze wykładniki funkcji exp quasi-klasycznej funkcji falowej (48.14) mają wartości rzeczywiste.
W celu określenia stałych całkowania A1, A2 należy przeprowadzić zszycia wszystkich gałęzi funkcji ψ(x), rozdzielonych przez punkty powrotu. W tym celu należy dysponować funkcją falową we wszystkich otoczeniach punktów powrotu.
Jeśli takie otoczenia są niewielkie, to energię potencjalną V(x) można aproksymować przez funkcje liniową i znaleźć dokładne rozwiązanie równania Schrödingera, wyrażając je przez funkcje Airy’ego.
Jednakże w matematyce opracowano również drugi sposób rozwiązania równania Schrödingera w przypadku, kiedy ħ można przyjąć jako mały parametr. W tej metodzie odpada konieczność rozwiązywania oddzielnie tego równania w otoczeniach punktów powrotu i poza nimi, a następnie zszywania rozwiązań.
Przejdziemy teraz do omówienia tej metody.
Rozpatrzmy równanie :
y’’(x) + λr(x) y(x) = 0 (48.16)
przy dużych dodatnich wartościach parametru λ.
Niech funkcja r(x) na pewnym odcinku może być przedstawiona w postaci :
r(x) = ( x – a )ł r−(x) (48.17)
gdzie : ł ≥ - 2 , r−(x) przyjmuje albo tylko dodatnie, albo tylko ujemne wartości I posiada ciągłą drugą pochodną.
Wtedy przy λ → ∞ rozwiązanie równania (48.16) można przedstawić w postaci :
gdzie : A, B, C, D – dowolne stałe zespolone.
x
ξ (x) ≡ |
∫
sqrt[ λ | r(η) | ] dη | , ν = 1/ ł + 2 (48.19) aJν (z) – jest to cylindryczna funkcja Bessela pierwszego rodzaju, Iν (z) – funkcja Bessela argumentu zespolonego, Kν (z) – funkcja McDonalda.
W otoczeniu tego punktu funkcja r(x) ma postać (48.17) dla ł = 1, czemu odpowiada ν = 1/3.
Zastosujmy rozpatrzoną metodę rozwiązywania równania Schrödingera w celu znalezienia funkcji falowej związanego, stanu stacjonarnego cząstki, poruszającej się z energią E w jednowymiarowej jamie potencjału V(x) ( rysunek 12 )
Rys. 12 Punkty powrotu przy ruchu cząstki w jednowymiarowej jamie potencjału.
Ponieważ w tym przypadku występują dwa punkty powrotu x1i x2 podzielimy odcinek ( x1, x2 ) na dwa odcinki, poprzez punkt x0 tak, aby w każdym z takich pod odcinków był jeden punkt powrotu i można było przedstawić funkcje r(x) w postaci (48.17). Oczywiście końcowy wynik nie powinien zależeć od tego, gdzie umiejscowiono punkt x0, wymagamy jedynie, aby nie było on umiejscowiony zbyt blisko jednego lub drugiego punktu powrotu.
Zatem, otrzymamy cztery obszary :
I) −∞ ≤ x ≤ x1 , II) x1 ≤ x ≤ x0 , III) x0 ≤ x ≤ x2 , IV) x2 ≤ x < ∞.
Rozwiązanie dla (48.18) zapiszemy dla każdego z tych obszarów , a następnie znajdziemy stałe całkowania na drodze zszycia otrzymanych funkcji na granicach zadanych obszarów.
Dla obszaru I) mamy :
a = x1 , r(x) ≤ 0 (48.23)
Wykorzystując (48.18) znajdujemy :
ψI(x) = sqrt[ ħ | ξ(x) | / | p(x) | ] [ C I1/3( ξ(x) ) + D K1/3( ξ(x) )] (48.24) Rozpatrzmy asymptotykę tej funkcji przy x → −∞. W tym celu wykorzystamy znane asymptotyki funkcji Iν (z) i Kν(z) :
Iν (z) ≈ sz / sqrt( 2πz) (48.25)
Kν(z) ≈ sqrt( πe-z / 2z ) przy z → ∞ (48.26)
Ponieważ przy x →− ∞ zgodnie z (48.21) mamy ξ(x) → +∞, dla zapewnienia całkowalności z kwadratem funkcji ψ1(x) należy przyjąć :
C = 0 (48.27)
Odpowiednio :
ψI(x) = D r sqrt[ ħ | ξ(x) | / | p(x) | ] K1/3( ξ(x) )] (48.28) Przy x → −∞ otrzymujemy :
ψI(x) = D r sqrt[ ħ | ξ(x) | / | p(x) | ] exp[ - ( 1/ħ)
∫
| p(η) | dη ] (48.29) Porównując (48.29) z (48.14) widać, że asymptotyka znalezionego rozwiązania jest zgodna z rozwiązaniemquasi-klasycznym.
Teraz rozpatrzymy obszar II) :
a = x1 , a ≤ x < x0 (48.30)
Zgodnie z (48.17) otrzymujemy :
r−(x) > 0 (48.31)
Odpowiednio :
ψII(x) = sqrt[ ħ | ξ(x) | / | p(x) | ] [ A J1/3( ξ(x) ) + B J-1/3( ξ(x) )] (48.32) Dokonajmy teraz zszycia ψI(x) i ψII(x) w punkcie powrotu x = x1. Ponieważ p(x1) = 0, wygodnie jest wykorzystać rozkład wszystkich funkcji w otoczeniu tego punktu :
| p(x) | ≈ sqrt( 2µ | V’(a) | | x – a | ) , x → a (48.33)
ξ(x) ≈ 2/3 (1/ħ ) sqrt( 2µ | V’(a) | ) | x – a |3/2 (48.33) Wykorzystując znane reprezentacje przy z → 0 :
Jν (z) ≈ ( ½z )ν / Γ( 1 + ν ) , Iν (z) ≈ ( ½z )ν / Γ( 1 + ν ) (48.34)
oraz definicje :
Kν (z) = [ π / 2sin(πν )] [ I-ν (z) − Iν (z ) ] (48.35)
przy z → 0 otrzymujemy :
Kν (z) ≈ [ π / 2sin(πν )] {[ ( ½z )-ν / Γ( 1 + ν )] – [ ( ½z )ν / Γ( 1 + ν ) ] } (48.36) Podstawiając (48.33), (48.34), (48.36) do (48.28) i (48.32) przy x → a znajdujemy :
Zszywając te dwie funkcje w punkcie a = a, otrzymujemy :
A = B = D( π/√3 ) (48.38)
Odpowiednio :
ψII(x) = A sqrt[ ħ | ξ(x) | / | p(x) | ] [ J1/3( ξ(x) ) + J-1/3( ξ(x) )] (48.39) Asymptotyka tej funkcji ma postać :
ψII(x) ≈ sqrt[ 6ħ / | p(x) | π ] sin[ ξ(x) + ¼ π ] przy x → ∞ (48.40) ponieważ :
Jν(z) ≈ sqrt( 2/πz ) cos( z – ½ πν − ¼ π ) przy z → ∞ Wynik ten jest zgodny z (48.14).
Prowadząc analogiczne obliczenia w obszarach (III) i (IV) , znajdujemy :
ψIII(x) = A sqrt[ ħ | ξ(x) | / | p(x) | ] [ J1/3(ξ(x) ) + J-1/3(ξ(x) )] (48.41) Załóżmy, że odległość między punktami powrotu x1 i x2 jest wystarczająco duża, tak że w punkcie x0 funkcje
ψII(x) i ψIII(x) wychodzą na asymptotyki :
Zszywając te funkcje w punkcie x = x0, otrzymujemy :
Ten układ jednorodnych równań liniowych posiada nietrywialne rozwiązania tylko w tym przypadku, jeśli jego wyznacznik jest równy zeru :
x2
sin[ (1/ħ )
∫
p(η ) dη + ½ π ] = 0 (48.44)x1 Stąd otrzymujemy : x2
∫
p(x ) dx = πħ ( n + ½ ) ; n = 0, 1, 2, ... (48.45)x1
gdzie zgodnie z (48.4) : p(x) = [ 2µ ( E – V(x) )]1/2
Ten warunek określa energie stanów stacjonarnych układu w przybliżeniu quasi-klasycznym.
Zauważmy, że otrzymany wynik, jak należało oczekiwać, nie zależy od x0.
Warunek kwantowania (48.45) może być rozciągnięty na przypadek układu z dowolną liczbą N stopni swobody i ma postać :
∮
p dq = (2πħ )N ( n + ½ ) (48.46)gdzie kwantowanie prowadzimy po zamkniętym konturze w klasycznej przestrzeni fazowej układu.
Jest to właśnie zasada kwantowanie Bohra-Sommerfelda, znana już przed powstaniem MQ.
Warunek (48.45) jest przypadkiem szczególnym (48.46), dla N = 1, a kontur całkowania odpowiada jednowymiarowemu ruchowi cząstki o energii całkowitej E od punktu x1 do x2 i odwrotnie.
Podobnie jak i (48.45), warunek kwantowania (48.46) jest słuszny tylko w przypadku wystarczająco dużych wartości pędu, tj. przy dużych wartościach liczby kwantowej n.
Z (48.46) widać, że przy przejściu od jednego stanu stacjonarnego do drugiego objętość klasycznej przestrzeni fazowej zwiększa się o (2πħ )N, stąd można wnioskować, że przy dużych wartościach n liczba stanów związanych układu jest równa objętości jego przestrzeni fazowej, mierzonej w jednostkach (2πħ )N.