Spinowa macierz gęstości

W wykładzie 7 pokazaliśmy jak opisuje się stan układu fizycznego za pomocą macierzy gęstości. Przypadkiem szczególnym takiego podejścia jest wykorzystanie tzw. spinowej funkcji gęstości, która jest macierzą względem zmiennych spinowych lub, ogólnie mówiąc, względem zmiennych momentów pędu układu. Dalej zaznajomimy się z podstawowymi własnościami tej teorii.

1. Przypadek stanu czystego.

Podobnie jak to zrobiliśmy w paragrafie 28, rozpoczniemy od przypadku spinowego stanu czystego.

Niech < sms | χ > - będzie spinową funkcją falową cząstki ( lub układu ) o spinie s. Spinowa macierz gęstości takiego stanu jest macierzą o wymiarze ( 2s + 1 ) × ( 2s + 1 ), a jej elementy obliczamy zgodnie z (28.3) według wzoru :

< ms | ρ^ | m’s > = < sms | χ > < χ | sm’s > (45.1)

W przypadku s = ½ spinowa macierz gęstości jest macierzą drugiego rzędu. Zbudujemy ją teraz dla kilku konkretnych przypadków, czystego stanu spinowego, które już rozpatrywaliśmy wcześniej.

Niech rzut spinu cząstki na oś z będzie równy ½. Taki stan opisywany jest przez funkcje falową (40.2), zatem macierz gęstości ma postać:

ρ^ = ( 1 0 ) (45.2)

( 0 0 )

Jeśli rzut spinu jest równy ½ względem osi x, to analogicznie do przypadku powyższego, wykorzystując (40.29), otrzymujemy :

ρ^ = ( ½ ½ ) (45.3)

( ½ ½ )

Jeśli spin cząstki ma kierunek dowolnie zorientowanego wektora n, to podstawiając do (45.1) funkcje falową (40.26), otrzymujemy :

gdzie : θ, φ – kąty – biegunowy i azymutalny wektora n.

Oczywiście (45.2) i (45.3) jest przypadkiem szczególnym tego wyrażenia. Łatwo sprawdzić, że macierz gęstości (45.4) spełnia wszystkie ogólne wymogi (28.6) – (28.8), a oprócz tego warunek (29.25), który powinna spełniać macierz gęstości stanu czystego.

2. Przypadek stanu mieszanego.

Zbudujemy teraz spinową macierz gęstości dla przypadku szczególnego, rozpatrzonego w punkcie 4, paragrafu 41.

funkcja falowa Ψłjm (r, σ) zadana przez zależność (41.31), opisuje jednocześnie ruch cząstki w przestrzeni i jej stan spinowy. Możemy odnieść ten przypadek do przypadku, rozpatrzonego w paragrafie 30, kiedy to funkcja falowa układu, składającego się z dwóch podukładów, nie może być rozbita na iloczyn funkcji falowych poszczególnych podukładów.

Rolę współrzędnej uogólnionej ξ1 pierwszego podukładu odgrywa współrzędna przestrzenna cząstki r , rolę współrzędnej uogólnionej ξ2 drugiego podukładu – zmienna spinowa σ. Zgodnie z ogólną zasadą (30.12) spinową macierz gęstości stanu, opisywanego przez funkcje falową (41.31), budujemy w następujący sposób :

< σ | ρ^ | σ’ > =

∫

Uwzględniając ortonormalność przestrzennych funkcji falowych φłjmł (r ) możemy zauważyć, że spinowa macierz gęstości (45.5) jest diagonalna. Wykorzystując (41.36) i (41.37) otrzymamy jawne wyrażenia spinowej macierzy gęstości dla odpowiednich stanów :

Te macierze nie spełniają warunku (29.25) ρ^2 = ρ^ ( wyjątek stanowi przypadek j = ł + ½ , = ± j ).

Zatem, stan o określonych orbitach ł i całkowitymi j ( momentami cząstek ), jak również o określonych wartościach rzutu całkowitego momentu m na wydzieloną oś nie są, ogólnie mówiąc, czystym stanem spinowym.

3. Parametryzacja spinowej macierzy gęstości.

Powyżej zbudowaliśmy spinową macierz gęstości dla układu o spinie s = ½ w pewnych, konkretnych przypadkach.

Jak wygląda taka macierz gęstości :

w najogólniejszym przypadku ?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, wykorzystamy to ( zobacz ćwiczenie 10.9 ), że dowolną macierz drugiego rzędu można rozłożyć względem czterech liniowo niezależnych macierzy : I^ ( macierz jednostkowa ), σ^x , σ^y , σ^z ( trzy macierze Pauliego ) :

ρ^ = a( I^ + Pxσ^x + Pyσ^y + Pzσ^z ) (45.9)

Z warunku Tr ρ^ = 1 ( zależności (28.8), (29.3) ) otrzymujemy a = ½. Wtedy wprowadzając wektor P o składowych Px , Py , Pz ,spinową macierz gęstości ρ^ możemy zapisać w postaci :

Jaki jest fizyczny sens wektora P i jakie ograniczenia na jego wartość nakładają ogólne warunki, związane z macierzą gęstości ?

Aby odpowiedzieć na to pytanie obliczymy wartość średnią wektora spinu, dla cząstki ( układu ) w stanie, opisywanym przez macierz gęstości (45.10) :

s− = Tr { ρ^ s^ } = ½ Tr { ρ^s^ } = ½ P (45.11)

Stąd widać, ze wektor P wskazuje średni kierunek spinu cząstki, a jego wielkość P = | P | jest stopniem polaryzacji cząstki. Z ogólnych rozważań jest jasne, że stopień polaryzacji nie może wyjść poza następujące granice :

0 ≤ P ≤ 1 (45.12)

Pokażemy teraz, że tylko przy tym warunku macierz gęstości (45.10) spełnia ogólny wymóg (29.23), w istocie bowiem mamy :

ρ^2 = ¼ ( 1 + P2 ) I^ + ½ Pσ (45.13)

i odpowiednio :

Tr ρ^2 = ½ ( 1 + P2 ) (45.14)

Warunkowi Tr ρ^2 ≤ 1 odpowiada nierówność (45.12).

Z (45.13) widać, ze macierz gęstości stanu w którym stopień polaryzacji cząstki jest maksymalny ( P =1 ), spełnia zależność ρ^2 = ρ^, która stanowi kryterium tego, że stan jest stanem czystym ( zobacz (28.9) ).

Jeśli zadać kierunek wektora P poprzez kąty θ, φ, to przy | P | = 1 z (45.10) otrzymujemy :

co oczywiście pokrywa się z (45.4).

W przeciwnym wypadku, kiedy P = 0, spinowa macierz gęstości jest proporcjonalna do macierzy jednostkowej :

ρ^ = ( ½ 0 ) (45.16)

( 0 ½ )

Taka macierz jest inwariantna względem dowolnych przekształceń unitarnych i w szczególności, względem dowolnych obrotów układu współrzędnych. Stan, opisywany przez macierz gęstości (45.16), jest stanem układu

niespolaryzowanego : żaden kierunek w przestrzeni nie jest wyróżniony. W pośrednim przypadku, kiedy P < 1, ale P > 0, mówimy o układzie częściowo spolaryzowanym.

Rozpatrzyliśmy własności spinowej macierzy gęstości dla układu o spinie ( momencie ) s = ½ i widzimy, że jest on całkowicie określony poprzez wektor polaryzacji układu R. Jeśli moment układu jest większy niż ½, to ogólna parametryzacja spinowej macierzy gęstości okazuje się bardziej złożony niż (45.10). Łatwo pokazać, uwzględniając wymóg hermitowskości ρ^ i warunek Tr ρ^, że macierz ρ^ o wymiarze ( 2s + 1 ) × ( 2s + 1 ) zawiera 4s( s + 1 ) niezależnych parametrów rzeczywistych. Przy s = ½ liczba ta jest równa 3, w charakterze tych trzech niezależnych parametrów wzięliśmy trzy składowe wektora polaryzacji Px , Py , Pz lub trzy wielkości równoważne P, θ, φ. Przy s = 1 liczba ta jest już równa 8, dlatego macierz gęstości :

ρ^ = 1/3 I^ + ½ Ps^ (45.17)

którą można byłoby zbudować analogicznie z (45.10), nie odpowiada przy s = 1 najogólniejszemu przypadkowi, w ogólnym przypadku dla opisania stanu spinowego układu o spinie s = 1 nie wystarczy zadać tylko wektor polaryzacji P.

4. Wartości własne spinowej macierzy gęstości.

Zgodnie z paragrafem 29 stan mieszany układu można rozpatrywać jako niekoherentną mieszaninę stanów czystych, które są stanami własnymi operatora statystycznego; wagi statystyczne takich stanów czystych równe są odpowiednim wartościom własnym operatora statystycznego ( macierzy gęstości ).

Znajdziemy wartości własne ρn i odpowiednie funkcje własne ψn operatorów (45.10), (45.15) :

Gdzie : θ, φ – kąty wektora P.

Porównując (45.19) z (40.26), widzimy, że funkcje własne operatora statystycznego dowolnego stanu spinowego cząstki o spinie ½ są funkcjami własnymi operatora rzutu spinu na wektor polaryzacji stanu P :

ψ1 = | ½ , sP = ½ > , ψ2 = | ½ , sP = -½ >.

W przypadku szczególnym P = 0 z (45.18) mamy :

ρ1 = ρ2 = ½ (45.20)

tj. wagi statystyczne obu stanów czystych są jednakowe. Jednakże w tym przypadku funkcje (45.19) nie mogą być wykorzystane w charakterze funkcji własnych ρ^, ponieważ kąty θ, φ nie są określone. Łatwo zauważyć, że dowolny nietrywialny spinor jest funkcją własną operatora jednostkowego I^. Dlatego przy braku polaryzacji istnieje pełna nieokreśloność w wyborze trzech stanów czystych z których zbudowany jest stan mieszany ( ρ^ = ½ I^ ).

5. Jeszcze raz o doświadczeniu Sterna-Gerlacha.

Z pomocą spinowej macierzy gęstości możemy w prosty sposób opisać wszystkie możliwe sytuacje pojawiające się w doświadczeniu Sterna-Gerlacha.

Niech wektor n = ( nx , ny , nz ) = ( sin(θ) cos(Φ) , sin(θ)sin(Φ) , cos(θ) ) zadaje kierunek osi przyrządu.

Znajdziemy teraz rozkład W(sn ) rzutu spinu cząstki na ten kierunek przy warunku, że cząstki wpadające do przyrządu opisywane są przez macierz gęstości ρ^. Zgodnie z (29.14) szukany rozkład prawdopodobieństwa zadany jest wzorem :

W(sn ) = Tr ( ρ^P^sn ) (45.21)

Gdzie :

P^sn = | s, sn > < s, sn | (45.22)

Jest operatorem rzutowania na stan | s, sn >, będący stanem własnym operatora rzutu spinu na kierunek n.

Niech s = ½ , wtedy zgodnie z (40.26) mamy :

i odpowiednio :

Podstawiając (45.24) i (45.25), jak również (45.10) do (45.21) znajdujemy :

W( ± ½ ) = ½ ( 1 ± Pn ) (45.26)

Rozpatrzmy teraz przypadki szczególne.

a) P ⊥ n Dla tego przypadku mamy :

W( ± ½ ) = ½ (45.27)

Przy dowolnym P ( w szczególności przy P ⊥ n wynik nie zależy od tego, czy cząstka znajduje się w stanie czystym lub mieszanym ).

Porównajmy teraz otrzymane wyniki z wynikami eksperymentów myślowych, rozpatrzonych w paragrafie 44.

W wariancie 1 rozpatrywaliśmy przypadek, kiedy wszystkie cząstki miały określoną wartość mz = ½ rzutu spinu na oś przyrządu. To oznacza, że cząstki znajdowały się w stanie czystym, moduł wektora polaryzacji każdej z tych cząstek jest równy P = 1, przy czym P || n Zatem jest to przypadek b. Wynik (45.29), oczywiście pokrywa się z wynikiem wariantu 1.

W wariancie 2 rozpatrywaliśmy przypadek, kiedy połowa cząstek znajdowała się w stanie czystym o mz = +½, a połowa w stanie czystym o mz = - ½. Dlatego wynik doświadczenia Sterna-Gerlacha W( +1/2 ) = W( - ½ ) = ½ otrzymujemy na drodze prostego dodania wyników dwóch kolejnych doświadczeń , prowadzonych najpierw z cząstkami dla których mz = ½ , a następnie z cząstkami dla których mz = - ½. Łatwo zauważyć, że ten wynik otrzymujemy z (45.26), jeśli dla P = 1 przyjąć, że w pierwszym przypadku P jest równoległe do wektora n, a w drugim anty równoległe.