Dodawanie momentów pędu

Wykład 11

41. Dodawanie momentów pędu.

1. Współczynniki dodawania wektorowego.

Zasady kwantowania, które spełnia orbitalny i wewnętrzny moment pędu oddzielnej cząstki, okazują się słuszne również dla momentu całkowitego j = ł + s , jak również dla sumarycznych momentów pędu :

Orbitalnego :

Niech J będzie suma dwóch momentów pędu :

J = J(1) + J(2) (41.1)

Przy czym operatory J^(1) i J^(2) spełniają relacje komutacyjne (37.4) , (37.5) :

[ J^i(1) , J^k(1) ] = i Σ eikł J^ł(1) , [ ( J^(1) )2 , J^k(1) ] = 0 (41.2) ł

[ J^i(2) , J^k(2) ] = i Σ eikł J^ł(2) , [ ( J^(2) )2 , J^k(2) ] = 0 (41.2) ł

Z tych zależności, jak zostało już pokazane w paragrafie 37, wynikają zasady kwantowania :

( J^(1) )2 = j1( j1 + 1 ) , J^z(1) = m1 = j1 , j1 – 1 , ... , - j1 (41.3) ( J^(2) )2 = j2( j2 + 1 ) , J^z(2) = m2 = j2 , j1 – 1 , ... , - j2 (41.3) Uzupełnijmy (41.2) zależnością komutacyjną o postaci :

[ J^i(1) , J^j(2) ] = 0 (41.4)

pokazującą, że operatory J(1) , J(2) działają w różnych przestrzeniach. Z (41.4) wynika również, że :

[ J^i(1) , ( J^(2) )2 ] = 0 , [ J^i(1) , ( J^(1) )2 ] = 0 (41.5)

Wprowadzając operator :

J^ = J^(1) + J^(2) (41.6)

otrzymujemy bezpośrednio z (41.2) i (41.4) – (41.6) następujące zależności komutacyjne dla tego operatora :

[ J^i , J^k ] = i Σ eikł J^ł , [ J^2 , J^k ] = 0 (41.7)

Z (41.7) wynika, że sumaryczny moment (41.1) spełnia ogólne zasady kwantowania momentu pędu :

J2 = j( j + 1 ) , Jz = m = j – 1 , ... , - j (41.10)

Zależności komutacyjne (41.8) pokazują, że wskazanie par liczb kwantowych j, m jest równoznaczne ze wskazaniem drugiej pary liczb : j1 , j2. To pozwala zadać pytanie : jakie są możliwe wartości liczby kwantowej j w (41.10) przy ustalonych wartościach liczb j1 , j2 ?

Rozpatrzmy dokładnie to pytanie.

Przy czym odpowiednia wartość własna tego operatora związana jest z m1 i m2 w prosty sposób :

m = m1+ m2 (41.13)

Łatwo sprawdzić, ze całkowita liczba różnych stanów | j1m1, j2m2 > przy ustalonych wartościach j1, j2 jest równa ( 2 j1+ 1 ) ( 2j2 + 1 ). Można się również przekonać bezpośrednio ( a oprócz tego wynika to z (41.9), że | j1m1, j2m2 >

ogólnie mówiąc, nie opisuje stanów o określonej wartości j. Wprowadzimy jeszcze jeden zbiór stanów, które oznaczymy jako | j1j2 jm >, każdy z których jest jednocześnie stanem własnym operatorów ( J^(1) )2 , ( J^(2) )2 , ( J^ )2 i J^z , jak to pokazaliśmy powyżej komutują one między sobą.

Przy ustalonych wartościach j1, j2 stany | j1m1, j2m2 > i | j1j2 jm > przedstawiają sobą zbiory równoważne i dlatego całkowita liczba różnych stanów w każdym z tych zbiorów powinna być taka sama.

Niech Cjmj1m1, j2m2 ≡ | j1m1, j2m2 | j1j2 jm > - będą współczynnikami tworzącymi macierz przekształcenia od jednego zbioru do drugiego :

| j1j2 jm > = Σ Cjmj1m1, j2m2 | j1m1, j2m2 > (41.14) m1m2

| j1m1, j2m2 > = Σ Cjmj1m1, j2m2 | j1j2 jm > (41.15)

jm

Będziemy przyjmowali, że macierz ta jest zawsze rzeczywista, określając z tego warunku czynniki fazowe wektorów

| j1j2 jm >. Liczby kwantowe m, m1, m2 wchodzące do współczynników Cjm

j1m1, j2m2 związane są ze sobą

zależnością (41.13). Aby znaleźć, przy ustalonych j1i j2 możliwe wartości, będziemy postępowali w następujący sposób.

Po pierwsze, przekonamy się o tym, że j nie może być większe od sumy arytmetycznej j1+ j2 . Zakładając przeciwnie, przyjmiemy, że j > j1 + j2. Wtedy zgodnie z (41.10) pośród możliwych wartości m będą takie, które co do wielkości bezwzględnej są większe niż j1+ j2. To zaś wymaga spełnienia zależności | m1+ m2 | > j1 + j2 , co jest sprzeczne z (41.3). Po drugie, łatwo zauważyć, że wartość maksymalna j nie może być mniejsza, niż j1 + j2 , bowiem w przeciwnym wypadku nie można byłoby spełnić zależności (41.15), jeśli w jej lewej części wziąć np. wartości maksymalne liczb m1 i m2 : m1 = j1 i m2 = j2. Zatem, wartość maksymalna j jest równa j1+ j2.

Całkowita liczba stanów | j1j2 jm >, odpowiadających wartości jmax = j1+ j2 i mających różne m, jest równa 2jmax + 1 = 2( j1 + j2 ) + 1. Dołączając do nich wszystkie stany | j1j2 jm >, odpowiadające wartościom j = jmax – 1 , j = jmax – 2 itd. oraz ustanawiając ich odpowiedniość do stanów drugiego zbioru | j1m1 j2m2 > wyczerpujemy cały ten zbiór, w sytuacji, kiedy przejdziemy cały szereg kolejnych wartości od j do jmax = j1+ j2 do jmin = | j1 – j2 |.

W rzeczywistości całkowita liczba różnych stanów | j1j2 jm >, odpowiadających takiemu szeregowi jest równa : j1+ j2

Σ ( 2j + 1 ) = ( 2j1+ 1 ) ( 2j2 + 1 ) (41.16)

j = | j1 – j2 |

co jest równe liczbie różnych stanów | j1m1 j2m2 > przy tych samych wartościach j1 i j2.

Zatem, przy ustalonych wartościach j1 i j2 współczynniki Cjm

j1m1, j2m2 spełniają warunek :

j = j1+ j2 , j1 + j2 – 1 , ... , | j1 – j2 | ; m = m1 + m2 (41.17) i tworzą macierz kwadratową. Współczynniki Cjmj1m1, j2m2 nazywają się współczynnikami dodawania wektorowego ( współczynnikami Clebscha-Gordana ).

Istnieje wiele różnych ich oznaczeń, w szczególności następujące :

Cjmj1m1, j2m2 ≡ < j1m1 , j2m2 | jm > (41.18)

Z unitarności przekształcenia (41.14) – (41.15) wynikają zależności :

Σ < j1m1 , j2m2 | jm > < j1m1 , j2m2 | j’m’ > = δjj’δmm’ (41.19) m1m2

Σ < j1m1 , j2m2 | jm > < j1m’1 , j2m’2 | jm > = δm1m’1 δm2m’2 (41.20) jm

wyrażające własności ortounormowania i zupełności współczynników dodawania wektorowego. Szereg innych użytecznych zależności dla tych współczynników, których nie będziemy szczegółowo wyprowadzać, pokazano w dodatku 11. Istnieją tablice wartości liczbowych współczynników Clebscha-Gordana, istnieją również proste wzory dla ich obliczeń ( Dodatek 11 )

Współczynniki dodawania wektorowego posiadają prosty fizyczny sens. Jak widać z (41.14) wielkość

( Cjmj1m1, j2m2 )2 jest prawdopodobieństwem tego, że wstanie | j1j2 jm > ( w którym moment sumaryczny dwóch podukładów jest równy j, a jego rzut na oś z jest równa m ) rzut momentu pierwszego podukładu na oś z posiada określoną wartość m1 , a rzut momentu drugiego podukładu – wartość m2 = m – m1. Zatem wielkość

( Cjmj1m1, j2m2 )2 jest zgodnie z (41.15) prawdopodobieństwem tego, że w stanie | j1m1 , j2m2 > ( ( w którym zadano wartości rzutów momentów każdego z podukładu ) sumaryczny moment całego układu jest równy j.

2. „Zasada trójkąta”.

Powróćmy do zależności (41.17). Pierwsza z nich określa przy ustalonych wartościach j1 i j2 możliwe wartości j.

Jednakże można ją odczytać również inaczej. Niech ustalone będą j1 i j2 , wtedy zgodnie z (41.17) liczba j2 zmienia się w granicach :

j2 = j1 + j , j1 + j – 1 , ... , | j1 – j | (41.21)

I odwrotnie, jeśli ustalone są j2 i j, to dla j1 mamy :

j1 = j2 + j , j2 + j – 1 , ... , | j2 – j | (41.22)

Trzy zależności (41.17), (41.21) i (41.22) wyrażają jedną i tą samą zasadę dodawania wektorowego dwóch momentów pędu w MQ. Zasadę tą będziemy nazywać „zasadą trójkąta” i będziemy ją zapisywali w postaci następującego

symbolicznego równania :

j1 + j2 + j3 = 0 (41.23)

3. Wektorowe dodawanie spinu s1 = ½ ze spinem s2 = ½

Jest to bardzo ważny przykład szczególny dodawania dwóch momentów pędu. Spotykamy się z nim np. przy opisie stanu spinowego protonu i elektronu w atomie wodoru, przy dodawaniu spinów lub izospinów dwóch nukleonów itp.

Weźmy układ, składający się z dwóch cząstek ( podukładów ) o spinach s1 = ½ , s2 = ½. Wprowadzimy następujące skrócone oznaczenia dla spinowych funkcji falowych χs1s2 (σ1 ) i χs1s2 (σ2 ) każdej z cząstek :

χ ½, ½ (σ1 ) ≡ χα (1 ) , χ ½, -½ (σ1 ) ≡ χβ (1 ) (41.24) χ ½, ½ (σ2 ) ≡ χα (2 ) , χ ½, -½ ( σ2 ) ≡ χβ (2 ) (41.24) jak również dla spinowej funkcji falowej całego układu :

| s1s2 SMS ( σ1, σ2 ) > ≡ | SMS > (41.25) Zgodnie z “zasadą trójkąta” spin całkowity całego układu może mieć dwie wartości : S = 0 i S =1. Obliczając za pomocą tablicy (D11.5) wartości odpowiednich współczynników dodawania wektorowego, otrzymujemy zgodnie ze wzorem (41.14) dla stanów trypletowych ( S = 1, MS = 1, 0, -1 ) : Zwróćmy uwagę na następującą ważną okoliczność : wszystkie stany trypletowe opisywane są przez symetryczną, a singletowe – przez antysymetryczną, względem przestawienia cząstek 1, 2 spinową funkcje falową :

| SMS ( σ1, σ2 ) > = ( -1 )S+1 | SMS ( σ1, σ2 ) > (41.30)

4. Wektorowe dodawanie momentu orbitalnego o spinie s = ½.

Jeśli cząstka o spinie s = ½ znajduje się w stanie, w którym jej moment orbitalny jest równy ł, to zgodnie z „zasadą trójkąta” jej moment całkowity j = ł + s może mieć dwie wartości : j = ł + ½ i j = ł – ½.

Niech Ψłjm (r , σ ) – będzie funkcją falową stanu w którym moment całkowity cząstki jest równy j, a jego rzut na oś z jest równy m. Zgodnie z (41.14) taką funkcję falową można przedstawić w postaci sumy iloczynów przestrzennej i spinowej funkcji falowych cząstki :

Ψłjm (r , σ ) = Σ < łmł , ½ ms | jm > φłjmł (r ) χ ½ms (σ ) (41.31) mł ms

Przestrzenna funkcja falowa φłjmł (r ) ma postać iloczynu funkcji radialnej i kątowej ( zobacz (32.23) ) :

φłjmł (r ) = Rłj (r ) Yłmł (θ, φ ) (41.32)

Liczby mł = - ł , ł – 1 , ... , - ł oraz ms = ± ½ w (41.31) – są to rzuty momentu orbitalnego i spinu cząstki na oś kwantowania ( oś z ), względem której rzut momentu całkowitego j jest równy m.

Obliczmy teraz współczynniki dodawania wektorowego | łmł , ½ms | jm > z pomocą tablicy (D11.5). Przy ustalonych j , m liczba kwantowa ms ( a zatem i mł ) przyjmuje, ogólnie mówiąc, dwie wartości :

ms = ± ½ , mł = m – ms = m -/+ ½ (41.33)

Zatem, macierz współczynników | łmł , ½ms | jm > ma wymiar 2 × 2 :

W reprezentacji, gdzie σ = sz ,funkcje spinowe χ ½, ± ½ (σ ) mają postać (40.2) i funkcje falowe (41.34), (41.35) dogodnie jest zapisać w postaci dwu spinorów o następującej postaci :

W takiej reprezentacji operatory j^ 2 i j^z mają postać :

Wykorzystując te wyrażenia, łatwo przekonać się w tym, że funkcje falowe (41.36) i (41.37) opisują stany o określonych wartościach kwadratu pełnego momentu i jego rzutu na oś z, tj. :

j^2 Ψłjm = j( j + 1 )Ψłjm (41.40)

j^z Ψłjm = mΨłjm (41.41)

W paragrafie 32 umówiliśmy się wykorzystywać standardowe oznaczenia stanów o określonej wartości momentu orbitalnego, wykorzystywane w spektroskopii : s, p, d itd. Będziemy wykorzystywali również symbol łj dla oznaczenia stanów cząstki o momencie orbitalnym ł i momentem całkowitym j. Przykładowo, symbol p1/2 oznacza stan o : ł = 1, j = ½ , symbol p3/2 oznacza stan o : ł = 1 , j = 3/2 ; symbol d5/2 oznacza stan o : ł = 2 , j = 5/2 itp.