Ćwiczenia do wykładu 6
29. Operator statystyczny i macierz gęstości jako narzędzia dla opisu stanu mieszanego
W celu opisania stanu mieszanego należy sformułować nowy układ postulatów, który w przypadku stanu czystego powinien przechodzić w te postulaty, które były rozpatrzone na wykładzie 1 i przeformułowane w paragrafie 28.
Każdemu stanowi układu kwantowego przyporządkujemy pewien dodatnio określony operator hermitowski ρ^ o śladzie równym jeden, działający w przestrzeni Hilberta. Nazwiemy go operatorem statystycznym danego stanu. Macierz tego operatora nazywamy macierzą gęstości stanu.
W analizie funkcjonalnej dowodzi się, że dowolny dodatnio określony operator hermitowski o skończonym śladzie posiada spektrum czysto dyskretne.
Oznaczmy przez {ρn } i { ψn } odpowiednio zbiór wartości własnych i wektorów własnych operatora statystycznego danego stanu :
ρ^ | ψn > = ρn | ψn > , < ψn | ψm > = δnm (29.1)
Z faktu dodatniej określoności ρ^ wynika, że :
ρn ≥ 0 (29.2)
sumowanie prowadzimy po wszystkich wartościach własnych operatora statystycznego.
Zbiór wektorów własnych {ψn } operatora ρ^ jako zbiór wektorów własnych operatora hermitowskiego o spektrum czysto dyskretnym jest zbiorem zupełnym. Dlatego zgodnie z (23.21) mamy :
Σ
ℜ^n = I^ (29.5)n gdzie :
ℜ^n = | ψn >< ψn | (29.6)
jest operatorem rzutowania na wektor własny operatora ρ^. Działając operatorem ρ^ na obie strony równości (29.5) otrzymujemy :
ρ^ =
Σ
ρn ℜ^n (29.7)n
Jest to rozkład operatora statystycznego według operatorów rzutowania ℜ^n na jego wektory własne.
W dalszej kolejności zilustrujemy fakt, że wartości średnie wielkości fizycznej F w stanie, opisywanym przez operator statystyczny ρ^ zadany jest przez następujący wzór :
F− = Tr (ρ^F^ ) (29.8)
Podstawiając tutaj rozkład (29.7), otrzymujemy :
F− =
Σ
ρn Tr ( ℜ^n F^ ) (29.9)n
Załóżmy teraz, że operator F^ posiada spektrum czysto dyskretne :
F^ | φn > = Fn | φn > (29.10)
Jest operatorem rzutowania na wektor własny operatora F^. Podstawiając rozkład (29.11) do (29.8), otrzymamy :
F− =
Σ
Fn W( Fn ) (29.13)n gdzie :
W(Fn ) = Tr ( ρ^P^n ) = < φn | ρ^ | φn > (29.14)
Porównując (29.13) z (2.8), widać, że W(Fn ) jest prawdopodobieństwem tego, że wielkość fizyczna F w stanie ρ^
przyjmuje wartość Fn , jeśli Fn – jest niezdegenerowaną wartością własną. Jeśli Fn – jest zdegenerowaną wartością własną, aby otrzymać to prawdopodobieństwo należy analogicznie do (2.24) dokonać sumowania W(Fn ) po wszystkich tych wartościach n, dla których Fn są jednakowe. Zatem, operator statystyczny pozwala zgodnie ze wzorem (29.14) otrzymać rozkłady dowolnych wielkości fizycznych, charakteryzujących dany układ, tj. daje pełny opis stanu.
Teraz rozpatrzymy przypadek szczególny, kiedy tylko jedna wartość własna ρj operatora statystycznego jest różna od zera. Przyjmując do wiadomości warunek (29.4), w takim przypadku możemy zapisać :
ρn = δnj (29.15)
Podstawiając (29.15) do (29.7), otrzymujemy :
ρ^ = ℜ^j = | ψj >< ψj | (29.16)
tj. operator statystyczny sprowadza się do operatora rzutowania (28.4) i określany jest całkowicie poprzez jeden wektor
| ψj > należący do przestrzeni Hilberta. Zatem, warunek (29.15) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym przekształcenia stanu mieszanego ρ^ w stan czysty | ψj >. Łatwo zauważyć, że w tym przypadku wzór (29.14) przechodzi w (28.13). Zatem, postulat (29.8) w przypadku szczególnym stanu czystego daje ten sam rozkład
prawdopodobieństwa dowolnej wielkości fizycznej, co postulat o wartości średniej (2.11) wprowadzony na wykładzie 1.
Zauważmy, że własności (29.2), (29.3), (29.4) operatora statystycznego dowolnego stanu mieszanego pokrywają się z własnościami (28.7), (28.8), (28.10) operatora statystycznego stanu czystego, wprowadzonego w paragrafie 28.
Zatem, opis stanu mieszanego za pomocą operatora statystycznego można rozpatrywać jako uogólnienie opisu stanu czystego za pomocą wektora należącego do przestrzeni Hilberta. Patrząc na (29.7) widzimy, że dowolny stan mieszany w określonym sensie jest „mieszanką” stanów czystych | ψn >, przy czym role wag statystycznych odgrywają wartości własne ρn operatora statystycznego ρ^ danego stanu mieszanego ( zgodnie z (29.2) wszystkie { ρn } są nieujemne ).
Przy tym zależność (29.4) odgrywa rolę warunku normującego.
Podstawiając (29.7) do (29.14) otrzymujemy : zgodnie z (28.13) jest funkcją rozkładu wielkości fizycznej F w stanie czystym | ψm >.
Widać, że funkcja rozkładu w stanie mieszanym jest sumą ważoną funkcji rozkładu w stanach czystych, tworzących dany stan mieszany. Przy tym odpowiednimi wagami są wartości własne operatora statystycznego danego stanu mieszanego.
Interesujące będzie teraz porównanie otrzymanego prawa składania rozkładów z prawem, które jest słuszne dla stanu czystego o następującej, szczególnej postaci :
| ψ > =
Σ
√ρm | ψm > (29.19)m
Zależność powyższa zbudowana jest z tych samych stanów czystych i z tymi samymi wagami, co stan mieszany (29.7).
Operator statystyczny takiego stanu ma postać :
ρ^ = | ψ >< ψ | = (
Σ
√ρm | ψm > ) (Σ
√ρk | ψk > ) =Σ
√ρm | ψm > < ψm | +Σ
sqrt( ρm ρk ) | ψm > < ψk | (29.20) m k m m ≠ kPodstawiając taki operator do wzoru (29.14) otrzymamy :
W( Fn ) =
Σ
ρm Wm( Fn ) +Σ
sqrt( ρm ρk ) < ψk | P^n | ψm > (29.21) m m ≠ kPorównując to wyrażenie z (29.17) widać, że różni się ono członem :
Σ
sqrt( ρm ρk ) < ψk | P^n | ψm > (29.22) m ≠ kCzłon ten zależy od względnego przesunięcia fazowego funkcji {ψk } i można go nazwać członem interferencyjnym w odróżnieniu od pierwszego członu (29.21), który nie zależy od takiego przesunięcia funkcji { ψm }. Dlatego mówimy, że stan czysty (29.19) jest koherentną mieszanką stanów czystych | ψm > w odróżnieniu od stanu mieszanego (29.7), który można rozpatrywać jako mieszankę niekoherentną tych samych stanów czystych.
Zatem, operator statystyczny może być wykorzystany w celu opisu, zarówno stanów mieszanych jak i czystych.
Zauważmy, że dla danego stanu jest on określony w sposób jednoznaczny w odróżnieniu od wektora stanu, który określony jest z dokładnością do dowolnego czynnika zespolonego o module równym jeden ( paragraf 2 )
Istnieje proste kryterium, pozwalające łatwo określić jaki stan – czysty lub mieszany opisuje dany operator statystyczny lub równoważna mu macierz gęstości :
Zgodnie z (28.9) w stanie czystym spełniona jest silniejsza zależność :
ρ^2 = ρ^ (29.25)
Do tej pory rozpatrywaliśmy opis i własności stanu mieszanego w pewnej ustalonej chwili. Z upływem czasu stan, ogólnie mówiąc, będzie się zmieniał. W MQ postuluje się, że ewolucja dowolnego stanu mieszanego w reprezentacji Schrödingera określona jest przez wprowadzony w paragrafie 6 operator ewolucji :
U^(t, t0 ) = exp[ −( i/ ħ) H^ (t − t0 ) ] (29.26)
Gdzie : H^ - jest hamiltonianem danego układu.
Operator statystyczny ρ^t w chwili t związany jest z operatorem statystycznym ρ^t0 w chwili t0 w następujący sposób :
ρ^t = U^( t, t0 )ρ^t0 U^† (t, t0 ) (29.27)
Różniczkując tą równość po czasie i przyjmując do wiadomości wzór (29.26), otrzymujemy rr dla operatora ρ^t w reprezentacji Schrödingera :
iħ ∂ρ^t /∂t = [ H^, ρ^t ] (28.28)
Równanie to wraz z warunkiem początkowym :
ρ^t=t0 = ρ^t0 (29.29)
jest równoważne zależności (29.27).
W przypadku szczególnym stanu czystego jest to równanie ruchu dla operatora statystycznego, które już wyprowadziliśmy we wzorze (28.14).