Odwrócenie czasu

Równania MK nie zmieniają się przy „odwróceniu czasu” , tj. zamianie t → - t, związane jest to z tym, że funkcja Hamiltona, makroskopowego układu mechanicznego jest inwariantna względem takiej zamiany. W elektrodynamice klasycznej pojecie odwrócenia czasu również odgrywa ważną rolę, jednak tu warunki odwracalności ruchu są bardziej złożone, niż w MK – jak bowiem wiadomo, inwariantność równań ruchu przy odwróceniu czasu zachodzi tylko w tym przypadku, jeśli to przekształcenie powodowane jest zmianą kierunku pola magnetycznego.

W niniejszym paragrafie rozpatrzymy zagadnienie dotyczące odwrócenia czasu w MQ. Dokładnie – będzie to tylko zapoczątkowanie tego rozważania ( dalszą jego część wprowadzimy w drugim tomie, przy rozważaniu prostych i odwrotnych procesów zderzeń )

Wyjdziemy z tego faktu, że hamiltonian nierelatywistycznego układu kwantowego, jeśli tylko jest on umieszczony w polu magnetycznym, jest inwariantny względem zamiany „przeszłości” na „przyszłość” : t → - t ( w tym szczególnym przypadku będziemy przyjmowali, że hamiltonian układu : wejściowego i „obróconego w czasie”, różnią się między sobą kierunkiem pola magnetycznego. )

Oczywiście, inwariantność względem odwrócenia czasu jest szczególną własnością symetrii danego hamiltonianu.

Zbadajmy do jakich fizycznych następstw własność ta prowadzi.

Rozpoczniemy od wyjaśnienia tego, jak wygląda operator odwrócenia czasu dla funkcji falowej. Na pierwszy wzgląd może się wydawać, że wystarczy w samej funkcji falowej dokonać zamiany t → – t.

Niech ψ(ξ, t ) spełnia równanie Schrödingera o hamiltonianie H^ :

iħ ∂ψ(ξ, t )/∂t = H^ ψ(ξ, t ) (58.1)

Uwzględniając, że H^ - jest inwariantne względem zamiany t → - t, otrzymujemy stąd , że funkcja ψ(ξ, -t ) spełnia równanie :

-iħ ∂ψ(ξ, –t )/∂t = H^ ψ(ξ, –t ) (58.2)

które pokrywa się z równaniem Schrödingera.

Zgodnie z podstawowym postulatem MQ to oznacza, ze funkcja ψ(ξ, -t ) nie opisuje, ogólnie mówiąc, stanu tego samego układu fizycznego, któremu odpowiadała funkcja falowa ψ(ξ, t ).

Jednakże łatwo zauważyć, że jeśli H^ = H^*, to równanie Schrödingera spełnia funkcja otrzymywana z ψ(ξ, -t ) na drodze jej sprzężenia zespolonego :

ψodwrotny (ξ, t ) ≡ ψ*(ξ, -t ) (58.3)

W istocie, bowiem dokonując sprzężenia zespolonego obu części równania (58.2), otrzymujemy :

iħ ∂ψodwrotny (ξ, t )/∂t = H^ ψodwrotny (ξ, t ) (58.4)

Porównajmy fizyczne charakterystyki przy t = 0, dwóch stanów układu fizycznego, opisywanych funkcjami falowymi ψ(ξ, t = 0 ) i ψodwrotny (ξ, t = 0 ). W tym celu znajdziemy wartości średnie wielkości fizycznej F w stanie

ψodwrotny (ξ, t = 0 ) :

Fodwrotny− = < ψodwrotny (ξ, t = 0 ) | F^ | ψodwrotny (ξ, t = 0 ) > = < ψ*(ξ, t = 0 ) | F^ | ψ*(ξ, t = 0 ) > =

= < ψ(ξ, t = 0 ) | F^* | ψ(ξ, t = 0 ) >* = < ψ(ξ, t = 0 ) | F^* | ψ(ξ, t = 0 ) > (58.5) ( ostatnia równość została zapisana na podstawie własności operatora hermitowskiego wielkości fizycznej F^ )

W x-reprezentacji wyrażenie dla operatora współrzędnej x^i jest rzeczywiste, podczas gdy wyrażenia dla operatorów pędu p^i i momentu pędu ł^i są czysto urojone. poprzez operacje odwrócenia czasu, związane są między sobą tak jak odpowiednie charakterystyki cząstki klasycznej : współrzędna, energia kinetyczna, całkowita energia cząstki – są inwariantne względem odwrócenia czasu;

pęd moment pędu – zmieniają znak przy odwróceniu czasu.

Zauważmy, że przy wykorzystaniu p-reprezentacji, zależność (58.3) nie otrzymamy takiego wyniku, związane jest to z tym, ze sama zmienna funkcji falowej ξ ( pęd cząstki ) w tym przypadku zmienia znak przy zamianie t → - t.

Zależność (58.5) można rozpatrywać jako definicje nowego operatora F^odwrotny , który w obłożeniu funkcją falową stanu wejściowego ψ(ξ, t = 0 ) daje wartość średnią Fodwrotny− w stanie ψodwrotny (ξ, t = 0 ) :

Fodwrotny− = < ψ (ξ, t = 0 ) | F^odwrotny− | ψ (ξ, t = 0 ) > (58.7) Zgodnie z (58.5) znajdujemy F^odwrotny w postaci :

F^odwrotny = K^0 F^ K^0-1 (58.8)

Gdzie poprzez symbol K^0 oznaczyliśmy operator sprzężenia zespolonego. Jednakże łatwo zauważyć, że zależności (58.6) dopuszczają szerszą klasę przekształceń :

F^odwrotny = K^ F^ K^-1 (58.9)

Gdzie Operator K^ różni się od operatora sprzężenia zespolonego o dowolny operator unitarny W^, komutujący z operatorami współrzędnych i pędu :

K^ = W^K^0 (58.10)

W^W^† = W^† W^ = I^ (58.11)

[ W^, x^i ] = 0 , [ W^, p^i ] = 0 (58.12)

Oczywiście, że wraz z (58.9) możemy rozszerzyć również klasę przekształceń (58.3) :

ψodwrotny (ξ, t ) = K^ ψ(-t ) = W^K^0 ψ(-t ) (58.13)

Czy istnieją jakieś ograniczenia dotyczące wyboru operatora W^ ?

Z (58.12) widać, ze W^ nie może zawierać ani operatora współrzędnej, ani operatora pędu. To znaczy, ze przy opisie cząstki bezspinowej W^ może być tylko liczbą, a zatem operator odwrócenia czasu K^ pokrywa się z operatorem sprzężenia zespolonego :

K^ = K^0 (58.14)

Jeśli cząstka posiada spin s, to W^ można wyrazić przez operator spinowy. Oczywiście w tym przypadku powinniśmy dołączyć dodatkowy wymóg do przekształcenia (58.9), analogiczny do warunku (58.6) :

si− |odwrotny = -si− (58.15)

Zgodnie z (58.9) i (58.10) takiemu wymogowi odpowiada zależność operatorowa :

W^s^*i− W^† = -s^i− (58.16)

Przypomnijmy, że w reprezentacji w której operator s^z jest diagonalny operatory s^x i s^z przedstawiają się poprzez macierze czysto rzeczywiste, a operator s^y – poprzez macierz czysto urojoną. ( zobacz (38.8) – (38.10) ).

Dlatego (58.16) można przepisać do postaci :

W^s^xW^† = -s^x (58.17)

W^s^yW^† = s^y W^s^zW^† = -s^z (58.17)

Stąd widać, ze przekształcenie unitarne W^ zmienia znaki rzutu spinu na osie x i z, a nie zmienia rzutu spinu na oś y.

Jest jasne, że jest to przekształcenie obrotu w przestrzeni spinowej wokół osi y o kąt π :

W^ = R^(y, π ) = exp( iπs^y ) (58.18)

( zobacz (53.20) )

Dla cząstki o spinie ½ otrzymujemy stąd :

W^ = R^(y, π ) = iσ^y (58.19)

Gdzie : σ^y – są macierzami Pauliego.

Wykorzystaliśmy tutaj zależność :

eiασ^y = I^ cos(α) + iσ^y sin(α) (58.20)

( ćwiczenie 10 )

Zatem, dla cząstki o spinie ½ operator K^ ma postać :

K^ = iσ^y K^0 (58.21)

Zatem, operator odwrócenia czasu K^ nie posiada w MQ uniwersalnej postaci, a zależny jest od tego w jakim układzie fizycznym jest on stosowany i wtedy opisywany jest takim lub innym wyrażeniem.

Zastosujemy teraz otrzymane wyniki do rozpatrzenia jednoelektronowego atomu, znajdującego się w zewnętrznym polu EM ( bez uwzględniania spinu elektronu ) :

H^ = (1/2µ) [ - p^ – (e/c)A ]2 + eφ + V(r ) (58.22)

Gdzie : A , φ – potencjały wektorowy i skalarny.

Dla hamiltonianu odwróconego w czasie, zgodnie z (58.9) i (58.14) otrzymujemy :

H^odwrotny K^0H^K^0-1= 1/2µ) [ - p^ – (e/c)A ]2 + eφ + V(r ) = (1/2µ) [ p^ + (e/c)A ]2 + eφ + V(r ) (58.23) Operator ten różni się od operatora (58.22) skierowaniem wektora A, tj. skierowaniem pola magnetycznego.

Na zakończenie zaznajomimy się z metodą Kramersa, wskazującą na interesujące własności fizyczne stanów stacjonarnych niektórych układów, których pochodzenie „symetryczne” związane jest z odwróceniem czasu.

Niech n-elektronowy atom znajduje się w dowolnym stałym polu elektrycznym. Nie zakładamy, że pole to jest jednorodne lub że ma jakąś inną symetrię przestrzenną. Ruch w takim układzie jest odwracalny

( A = 0, H^odwrotny = H^ ), a operator odwrócenia czasu K^ może być zapisany w postaci :

K^ = inσ^1y σ^2y ... σ^ny K^0 (58.24)

Gdzie : σ^1y ... σ^ny – operatory Pauliego dla poszczególnych elektronów.

Niech ψ(ξ ) – będzie funkcją falową dowolnego stanu stacjonarnego atomu w zadanym polu elektrycznym :

H^ψ(ξ ) = Eψ(ξ ) (58.25)

Inwariantność hamiltonianu rozpatrywanego układu względem odwrócenia czasu : H^odwrotny = K^0H^K^-1 = H^

oznacza, że operatory H^ i K^ komutują między sobą. Podziałajmy na obie strony równania (58.25) operatorem K^, wykorzystując własność komutowania operatorów H^ i K^ , otrzymujemy :

H^( K^ψ ) = E( K^ψ ) (58.26)

Zatem, stan K^ψ ≡ ψ’ należy do tego samego poziomu, co stan ψ’. Pokażemy teraz, że jeśli atom posiada nieparzystą liczbę elektronów, to stan ψ’ jest ortogonalny do stanu ψ niezależnie od tego, jaki poziom rozpatrujemy i bez względu na to jaki jest wewnętrzny hamiltonian atomu.

Mamy bowiem :

< ψ | ψ’ > = < ψ | K^ψ > = < W^ψ | W^K^ψ > = < K^0W^ψ | K^0W^K^ψ >* = < K^0W^K^ψ | K^0W^ψ > =

= < K^2ψ | K^ψ > = < K^2ψ | ψ’ > (58.27)

Uwzględniając, dalej, że zgodnie z (58.24) :

K^2 = (-1)n I^ (58.28)

Z (58.27) otrzymujemy :

< ψ | ψ’ > = (-1)n < ψ | ψ’ > (58.29)

Przy nieparzystym n oznacza to, że :

< ψ | ψ’ > = 0

co właśnie chcieliśmy pokazać.

Zatem, jeśli poziomowi energetycznemu E przynależna jest funkcja falowa ψ(ξ ), to zawsze można znaleźć jeszcze jedną, ortogonalną do niej i należącą do tego poziomu funkcje falowa ψ’, które otrzymywana jest z ψ za pomocą operatora odwrócenia czasu. Jest to właśnie twierdzenie Kramersa.

Zatem, dowolny poziom energetyczny atomu z nieparzystą liczbą elektronów, znajdującego się w dowolnym stałym polu elektrycznym jest zdegenerowany. Krotność takiego zdegenerowania jest równa liczbie parzystej.