W paragrafie 15 przy znajdowaniu rozkładu w dziedzinie pędów w stanie Ψ (r , t) wprowadziliśmy funkcję a( p , t), którą nazwaliśmy amplitudą rozkładu pędowego. Zgodnie z (15.9) jest ona związana z funkcją Ψ (r , t) poprzez przekształcenie Fouriera, które to ustanawia odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną tych dwóch funkcji.
Przy tym na mocy (15.10) obie funkcje są normowane do jedności. Zatem, a(p , t) i Ψ (r , t) dają równoważny opis zadanego stanu układu fizycznego, dlatego też a(p , t) nazywamy funkcją falową stanu w reprezentacji pędowej ( p- reprezentacja ), a Ψ (r , t) – funkcją falową tego stanu w reprezentacji współrzędnościowej ( x- reprezentacja ).
Zatem, z pomocą przekształcenia Fouriera możemy wszystkie funkcje przestrzeni stanów L2 zadane w reprezentacji współrzędnościowej, przeprowadzić do reprezentacji pędowej. Przy takim przekształceniu zachowana zostaje całkowalność z kwadratem, dlatego też zbiór wszystkich funkcji w p- reprezentacji również jest przestrzenią L2.
W istocie bowiem zmiana reprezentacji jest równoważna wykorzystaniu innego zbioru zmiennych dynamicznych, a ich jawna postać nie jest istotna przy definicji przestrzeni L2.
Przy zmianie reprezentacji zmienia się jednak postać operatorów. Oznaczmy przez F^(x) operator hermitowski pewnej wielkości fizycznej F w reprezentacji współrzędnościowej, a przez F^(p) operator hermitowski tej wielkości w reprezentacji pędowej. Znajdziemy teraz związek między tymi operatorami.
Zgodnie z (15.9) funkcji falowej Ψ (r , t) pewnego stanu w x- reprezentacji przyporządkowujemy funkcję falową w p –reprezentacji :
a (p , t ) = < ψp (r ) | Ψ (r , t) > (18.1)
gdzie zgodnie z (15.6) :
ψp (r ) = (2πħ )–3/2 exp[ (i/ħ) pr ] (18.2)
jest normowana zgodnie z warunkiem zupełności uogólniona funkcja własna operatora pędu cząstki w x- reprezentacji.
Teraz rozpatrzmy funkcję F^(x)Ψ (r , t) zadaną w x- reprezentacji.
W p -reprezentacji odpowiada jej pewna funkcja :
A(p , t) = < ψp (r ) | F^(x)Ψ (r , t) > = < F^(x)ψp (r ) | Ψ (r , t) > (18.3) Wykorzystamy tutaj ogólną definicję (18.1) i własność (D2.6) operatora hermitowskiego. Na mocy zależności wzajemnie jednoznacznej funkcje jednego i tego samego stanu w x – i p- reprezentacjach działanie operatora F^(p) na funkcje a(p , t) powinno prowadzić do tej samej funkcji A(p , t), tj. :
F^(p)a(p , t) = A(p , t) (18.4)
Podstawiając tutaj (18.1) i (18.3) otrzymujemy następującą zależność :
F^(p)< ψp (r ) | Ψ (r , t) > = < F^(x)ψp (r ) | Ψ (r , t) > (18.5) ustanawiającą zależność między operatorami F^(p) i F^(x).
Znajdziemy teraz jawną postać operatora p^(p) w p –reprezentacji. W x- reprezentacji dla operatora pędu mieliśmy : p^(x)ψp (r ) = – iħ∇r (2πħ ) –3/2 exp[(i/ħ) pr ] = pψp(r )
Podstawiając tą zależność do (18.5) i wykorzystując (18.1) otrzymujemy :
p^(p) a(p , t) = p a(p, t ) (18.6)
Ponieważ równość ta jest spełniona dla dowolnej funkcji a(p, t ), to otrzymujemy :
p^(p) = p (18.7)
tj. działanie operatora pędu na dowolną funkcję w p- reprezentacji sprowadza się do pomnożenia jej na zmienną niezależną w tej reprezentacji p.
W dalszej kolejności znajdziemy jawną postać operatora r^(p) – operatora współrzędnej w p- reprezentacji. W x – reprezentacji dla tego operatora mamy :
r^(x)ψp (r ) = r (2πħ )–3/2 exp[ (i/ħ) pr ] = –iħ∇p (2πħ )–3/2 exp[ (i/ħ) pr ] tj. :
r^(x)ψp (r ) = –iħ∇p ψp (r )
Podstawimy tę zależność do (18.5) wykorzystując (18.1) :
r^(p) a(p , t) = < ( –iħ∇p ψp (r ) | Ψ (r , t) > = – iħ∇p a(p , t) (18.8) skąd znajdujemy :
r^(p) = iħ∇p (18.9)
Zatem, działanie operatora współrzędnej na dowolną funkcję w p- reprezentacji sprowadza się do różniczkowania po zmiennej niezależnej p i pomnożenia przez czynnik iħ.
Łatwo sprawdzić, ze znalezione operatory r^(p) i p^(p) spełniają zależność (3.5).
Teraz rozpatrzmy ważne zagadnienie dotyczące stosunku rozważanych reprezentacji.
Na pierwszy wzgląd może się wydawać, że istnieje asymetria w pojęciach x- i p – reprezentacji. W istocie zgodnie z (18.1) funkcja falowa w p- reprezentacji wprowadzana jest poprzez iloczyn skalarny funkcji falowej
( w x- reprezentacji ) i uogólnionej funkcji własnej operatora pędu ψp (r ) ( również w x- reprezentacji ), podczas gdy funkcja falowa stanu w x – reprezentacji wyprowadzana była dana jako pojęcie pierwotne. W istocie jednak żadnej asymetrii nie ma , ponieważ funkcja falowa w x- reprezentacji może być również przedstawiona w postaci iloczynu skalarnego, zawierającego uogólnioną funkcję własną – funkcję operatora współrzędnej.
Znajdziemy uogólnione funkcje własne operatora współrzędnej :
r^ ψρ(ξ ) = ρ ψρ(ξ ) (18.10) Równanie to prościej rozwiązać w p- reprezentacji. Wykorzystując (18.9) zapiszemy go w postaci :
-iħ∇p ψρ(p ) = ρ ψρ(p ) (18.11) Porównując to równanie z równaniem (15.2) widzimy, że różnią się one tylko oznaczeniem zmiennej niezależnej i znakiem przed jednostką urojoną. Dlatego analogicznie do (15.6) otrzymujemy :
ψρ(p ) = (2πħ )–3/2 exp[ –(i/ħ) pρ ] (18.12) Jest to unormowana zgodnie z warunkiem zupełności uogólniona funkcja własna operatora współrzędnej w
p- reprezentacji, odpowiadająca punktowi spektrum ciągłego r = ρ. Oczywiście znalezione rozwiązanie nie może opisywać żadnego realnego stanu, co jest zgodne z tym, że nie istnieje ani jeden stan o określonej wartości współrzędnej ( zobacz paragraf 5 )
Z pomocą (18.1) można łatwo sprowadzić funkcje (18.12) do reprezentacji współrzędnościowej :
ψρ(r ) = δ( r – ρ ) (18.13)
Jest to unormowana zgodnie z warunkiem zupełności uogólniona funkcja własna operatora współrzędnej w reprezentacji współrzędnościowej. Łatwo zauważyć, że spełnia ona warunek (2.17) ortounormowania funkcji spektrum ciągłego :
∫
ψ*ρ (r ) ψρ’ (r ) d3r = δ( ρ – ρ’ ) (18.14)Zgodnie z (D4.12) dla dowolnej funkcji Ψ (r , t) możemy napisać :
Ψ (r , t) =
∫
ψ*ρ (r )Ψ (r , t) d3r (18.15) To oznacza, ze dowolna funkcja falowa w reprezentacji współrzędnościowej zawsze może być przedstawiona w postaciiloczynu skalarnego typu (18.1) z uogólnioną funkcją własną operatora współrzędnej.
Oczywiście w tym iloczynie skalarnym obie funkcje powinny być wzięte w jednej i tej samej reprezentacji. W danym przypadku jest to x- reprezentacja. Pokażemy teraz, że przy przejściu do reprezentacji pędowej wynik nie zmienia się.
Funkcja falowa stanu w p – reprezentacji dana jest wzorem (18.1). Znajdziemy iloczyn skalarny tej funkcji z uogólnioną funkcją własną operatora współrzędnej w p- reprezentacji :
< ψρ (p) | a( p, t) > =
∫
ψ*ρ (r ) a(p , t) d3p Podstawiając tutaj (18.12) I (18.1) znajdujemy :< ψρ (p) | a( p, t) > = Ψ (ρ , t) (18.16)
Porównując ten wynik z (18.15) widać, że iloczyn skalarny w istocie nie zależy od wyboru reprezentacji.
Zatem, reprezentacje współrzędnościowa i pędowa są równoważne zarówno z punktu widzenia opisu stanów układu fizycznego, jak i struktury odpowiednich matematycznych wyrażeń.
Teraz zajmiemy się ważnym zagadnieniem przekształcenia równania Schrödingera z reprezentacji współrzędnościowej do reprezentacji pędowej. Jeśli hamiltonian cząstki w reprezentacji współrzędnościowej ma postać (8.1) :
H^(x) = ( p^2/2µ) + V(r ) , p^ = –iħ∇r (18.17)
To w reprezentacji pędowej zgodnie z (18.7) i (18.9) może on być zapisany następująco :
H^(p) = ( p2/2µ) + V(r^(p) ) , r^(p) = iħ∇p (18.18)
Gdzie : V(r^(p) ) – jest funkcją operatorową , a jej działanie na dowolną funkcje falową a(p, t) w reprezentacji pędowej opisywane jest przez zależność (D3.6).
Aby zapisać to w jawnej postaci powinniśmy wziąć w charakterze funkcji χf (ξ ) uogólnione funkcje własne ψρ(p ) operatora współrzędnej r(p) w reprezentacji pędowej. Wtedy to otrzymamy :
V(r^(p) )a(p, t) =
∫
< ψρ (p’ ) | a(p’, t) > V(ρ) ψρ (p ) d3ρ Podstawiając tutaj ψρ (p ) z (18.12) znajdujemy :V(r^(p) )a(p, t) =
∫
W (p’ – p ) a(p‘, t ) d3ρ (18.19)Gdzie :
W (p’ – p ) = (2πħ )–3
∫
V(r ) exp[ (i/ħ) ( p’ – p )r ] d3r (18.20) Jest operatorem energii potencjalnej w reprezentacji pędowej. Otrzymywany jest on z operatora V(r ) energiipotencjalnej w reprezentacji współrzędnościowej za pomocą przekształcenia Fouriera. Widać, że operator ten jest liniowym operatorem całkowym. Zależy on od dwóch zmiennych niezależnych p i p’. Takie potencjały nazywają się nielokalnymi w odróżnieniu od lokalnych potencjałów będących funkcją tylko jednaj zmiennej niezależnej.
Widać, zatem, że w x- reprezentacji operator energii potencjalnej V(r ) jest lokalny, a w reprezentacji pędowej staje się nielokalny.
Rozpatrzmy sferycznie symetryczny potencjał V(r ) = V( | r | ). W tym przypadku całkowanie po zmiennych kątowych w (18.20) można łatwo wykonać, jeśli tylko biegunową oś układu sferycznego skierujemy zgodnie z wektorem :
q = (1/ħ )( p’ – p ) (18.21)
Wtedy otrzymujemy : ∞
W (p’ – p ) = (1/2π2 ħ3 )
∫
V(r ) [ sin(qr)/q ] r dr (18.22) 0tj. w tym przypadku W nie zależy od skierowania wektora q. Ważny przypadek szczególny to :
V(r) = A e–χr / r (18.23)
gdzie : A, χ - to pewne stałe , przy czym χ ≥ 0.
Podstawiając (18.23) do (18.22) otrzymujemy :
W (p’ – p ) = (1/2π2 ħ ) [ A / ħ2 χ2 + (p’ – p )2 ] (18.24)
Jeśli potencjał V(r ) przedstawimy w postaci szeregu Taylora, to nie ma konieczności wykorzystania ogólnego wzoru (18.20). Znacznie prościej jest wykorzystać wzór (3) dla operatora funkcji i zapisać potencjał w p –reprezentacji.
Zrobimy to dla przypadku szczególnego potencjału oscylatora :
V(r ) = const. r2 (18.25)
W p- reprezentacji przyjmuje on postać :
V( r^(p) ) = const. ( r^(p) )2 , r^2 = iħ∇p (18.26)
Zatem, jeśli potencjał w x- reprezentacji może być rozłożony w szereg Taylora, to w p- reprezentacji może on być przedstawiony w postaci operatora różniczkowego.
W przypadku ogólnym, w reprezentacji pędowej równanie Schrödingera jest równaniem różniczkowo- całkowym.
W przypadku szczególnym, potencjału (18.25) może ono być przedstawione w postaci równania różniczkowego.
Równanie Schrödingera w p- reprezentacji oczywiście, jest równoważne równaniu Schrödingera w x- reprezentacji, ponieważ jest ono otrzymywane z tego drugiego poprzez przekształcenie Fouriera. Jednakże w pewnych przypadkach równanie w p- reprezentacji jest łatwiej rozwiązać i dlatego jest ono często wykorzystywane w praktycznych
obliczeniach.