Ćwiczenia do wykładu 4
22. Ruch swobodny i liniowy oscylator harmoniczny w reprezentacji Heisenberga
W charakterze przykładu wykorzystania reprezentacji Heisenberga rozpatrzymy jednowymiarowy ruch cząstki o masie µ w polu o energii potencjalnej V(x). Znajdziemy heisenbergowskie operatory współrzędnej i pędu takiej cząstki.
Aby to zrobić można wykorzystać ogólny wzór (21.7), ale prościej jest rozwiązać równania ruchu (21.12) dla tych operatorów :
dx^H(t) /dt = (i/ħ ) [ H^H , x^H(t) ] (22.1)
dp^H(t) /dt = (i/ħ ) [ H^H , p^H(t) ] (22.2)
gdzie :
H^H = ( p^H2 /2µ ) + V(x^H ) (22.3)
Aby obliczyć wartości komutatorów występujących w tych równaniach wykorzystamy inwariantność wszystkich
zależności operatorowych względem zmiany reprezentacji , oraz znanymi wartościami tych komutatorów w reprezentacji Schrödingera. Z tych własności otrzymujemy :
[ H^H , x^H ] = (1/2µ) [ p^H2 , x^H ] = – ( i/ħ ) p^H
[ H^H , p^H ] = [ V(x^H ), p^H ] = ( i/ħ ) ∂V(x)/∂x | x= x^H Podstawiając te wyrażenia do (22.1) i (22.2) otrzymujemy :
dx^H(t) /dt = p^H(t)/ µ (22.4)
dp^H(t) /dt = ∂V(x)/∂x | x= x^H (22.5)
Jest to właśnie układ dwóch operatorowych rr względem nieznanych funkcji x^H(t) i px^H(t), przy czym warunki początkowe zgodnie z (21.13) mają postać :
x^H(0) = x^S ; p^H(0) = p^S (22.6)
Rozwiążemy ten układ równań dla przypadku ruchu swobodnego :
dx^H(t)/dt = p^H(t)/µ (22.7)
dp^H(t)/dt = 0 (22.8)
Ponieważ równania te są nieliniowe względem nieznanych operatorów można je rozwiązać dokładnie w ten sposób jak gdyby w miejsce operatorów podstawić standardowe funkcję. Korzystając z tego sposobu otrzymamy :
p^H(t) = p^S ; x^H(t) = x^S + (t/µ) p^S (22.9)
Widać, że heisenbergowski operator pędu cząstki swobodnej nie zależy od czasu i pokrywa się z schrödingerowskim operatorem pędu. Jest to zgodne z (21.9), ponieważ przy ruchu swobodnym pęd jest zachowany. Heisenbergowski operator współrzędnej cząstki swobodnej zależy liniowo od czasu.
Teraz rozpatrzymy równania ruchu dla heisenbergowskich operatorów współrzędnej i pędu cząstki, znajdującej się w polu liniowego oscylatora harmonicznego :
V(x) = ½ µω2x2 (22.10)
Odpowiednio mamy :
dx^H(t)/dt = p^H(t)/µ (22.11)
dp^H(t)/dt = – µω2x^H(t) (22.12)
Rozwiązując takie nieliniowe równania o warunkach początkowych (22.6), otrzymamy :
x^H(t) = x^S cos(ωt) + ( p^H/µω ) sin(ωt ) (22.13)
p^H(t) = p^S cos(ωt) − µωx^S sin(ωt ) (22.14)
W tym przypadku oba operatory zależą periodycznie od czasu.
W paragrafie 13 rozpatrzono ruch jednowymiarowy pakietu falowego w polu oscylatora harmonicznego, a w paragrafie 16 – ruch swobodny takiego pakietu. Obecnie rozpatrzymy te zagadnienia ,ale w reprezentacji Heisenberga.
Funkcja falowa rozpatrywanego stanu w reprezentacji Heisenberga przy t = 0 zgodnie z (16.10) ma postać :
ψS(x , t = 0 ) = ( b√π )– ½ exp[ – ½ (x − x0 )2 / b2 ] exp[ (i/ħ ) p0x ] (22.15) gdzie : b – pewna stała, która zgodnie z (16.12) określa dyspersje rozkładów współrzędnościowego i pędowego w danym stanie.
Zgodnie z (21.8) funkcja falowa stanu w reprezentacji Heisenberga pokrywa się z funkcją falową w reprezentacji Schrödingera przy t = 0 , tj. :
ψH(x) = ψS(x, t = 0 ) (22.16)
Wykorzystując (21.14) i (21.15) łatwo możemy znaleźć wartości średnie oraz dyspersje dowolnej wielkości fizycznej w dowolnej chwili czasu, jeśli tylko znany jest operator tej wielkości w reprezentacji Heisenberga.
Rozpoczniemy od ruchu swobodnego. Dla operatorów współrzędnej i pędu cząstki zgodnie z (22.9) mamy następujące wyrażenia w heisenbergowskim współrzędnościowym przedstawieniu :
p^H(t) = - i/ħ d/dx , x^H(t) = x - i/ħ (t/µ) d/dx (22.17)
Podstawiając (22.17) i (22.15) do (21.14) i (21.15) znajdujemy :
p− (t) = p0 , x− (t) = x0 + p0t /µ (22.18)
Dp(t) = ħ2/2b2 , Dx(t) = ½ b2 [ 1 + ( ħ2t2 /µ2b4 )] (22.19)
Wyniki te pokrywają się z tymi jakie otrzymaliśmy w paragrafie 16.
Dla operatorów współrzędnej i pędu liniowego oscylatora harmonicznego zgodnie z (22.13) i (22.14) w heisenbergowskim współrzędnościowym przedstawieniu mamy :
x^H(t) = x cos(ωt) + [ sin(ωt)/ µω ] ( – i/ħ d/dx ) (22.20)
p^H(t) = cos(ωt) ( - i/ħ d/dx ) − µω sin(ωt) (22.21) Podstawiając (22.20), (22.21) I (22.15) do (21.14) I (21.15) znajdujemy :
p− (t) = p0cos(ωt) − x0 µωsin(ωt) (22.22)
x− (t) = x0cos(ωt) + p0 [ sin(ωt)/µω ] (22.23)
Dp(t) = ( ħ2/2b2 ) cos2(ωt) + ½ ( b2µ2ω2 sin2(ωt) (22.24)
Dx(t) = ½ b2 cos2 (ωt) + ½ ( ħ2/2b2 ) sin2(ωt)/ µ2ω2 (22.25)
Gdzie : b, p0 , x – dowolne parametry.
W paragrafie 13 rozpatrywaliśmy ruch oscylatora ze specjalnie wybranymi wartościami parametrów :
p0 = 0, b = sqrt( ħ/µω ) (22.26)
Podstawiając takie wartości do (22.22) – (22.25) otrzymujemy :
p−(t) = – x0µω sin(ωt) , x−(t) = x0 cos(ωt) (22.27)
Dp(t) = ħ2/2b2 , Dx(t) = ½ b2 (22.28)
Widać, że w przypadku szczególnym b = sqrt( ħ/µω ) dyspersja pędu i współrzędnej jest zachowana w czasie. Wyniki te pokrywają się oczywiście z tymi jakie osiągnęliśmy w paragrafie 13.
Zatem, przejście do reprezentacji Heisenberga pozwala znacznie uprościć znajdowanie niższych momentów rozkładu wielkości fizycznych.
23. Pojęcie wektora stanu. Oznaczenia Diraca „bra” i „ket”.
W paragrafie 18 pokazaliśmy, ze jeden i ten sam stan może być opisywany przez różne funkcje falowe w zależności od wybranej reprezentacji. Przykładowo w reprezentacji współrzędnościowej może to być pewna funkcja Ψ( r, t), a w reprezentacji pędowej ten sam stan w tej samej chwili t będzie opisywany zupełnie inną funkcję a(p , t).
Przy tym wartość funkcji falowej w jakieś konkretnej reprezentacji określa jednoznacznie jej postać w dowolnej innej reprezentacji. Przykładowo znając Ψ( r, t), zgodnie ze wzorem (18.1) znaleźć a( p, t).
Własnością reprezentacji współrzędnościowej i pędowej jest to, że spektra operatorów współrzędnej i pędu są ciągłe.
Obecnie rozpatrzymy reprezentacje zadaną poprzez pewien operator hermitowski G^ o spektrum czysto dyskretnym :
G^ φn (ξ ) = Gn φn (ξ ) , < φn | φm > = δnm (23.1)
Zbiór wszystkich jego funkcji własnych {φn }1∞ tworzy zbiór zupełny w L2 według którego możemy rozłożyć jednoznacznie dowolną funkcję falową ψ(ξ, t) :
Zbiór współczynników rozkładu {an(t )}1∞ określa całkowicie rozpatrywany stan i nazywa się funkcją falową tego stanu w reprezentacji funkcji własnych operatora G^ lub inaczej G- reprezentacji.
Zbiór takich liczb dogodnie jest przedstawić w postaci macierzy jedno kolumnowej o nieskończonej liczbie elementów : ( a1 )
( a2 )
{ an(t )}1∞ = ( … ) (23.4)
( an ) ( ... )
Zatem, w G- reprezentacji każdemu stanowi przyporządkowujemy jednoznacznie zbiór liczb zespolonych { an(t )}1∞ , który spełnia warunek (D1.5) :
przedstawia sobą nieskończenie wymiarową przestrzeń liniową następujących definicjach operacji dodawania i mnożenia przez liczbę :
f + g = {xn + yn }1∞ , αf = { αxn }1∞ gdzie : α – dowolna liczba zespolona.
Iloczyn skalarny w takiej przestrzeni można wprowadzić za pomocą zależności : ∞
< f | g > =
Σ
x*n yn (23.6)n=1
Wtedy norma wektora f może być określona z pomocą iloczynu skalarnego : ∞
|| f || = + sqrt( < f | f > ) = sqrt (
Σ
| xn |2 ) (23.7)n=1
Ta przestrzeń unormowana w matematyce oznaczana jest symbolem l2. Jest ona nieskończenie wymiarowym analogiem skończenie wymiarowej przestrzeni Euklidesa.
Widać, że każdemu elementowi przestrzeni L2 według wzoru (23.3) można przyporządkować jeden i tylko jeden element przestrzeni l2 i odwrotnie, przy czym algebraicznym operacją nad elementami L2 odpowiadają te operacje, które prowadzimy na ich obrazach w l2 , a normy odpowiadających sobie elementów z L2 i l2 są sobie równe na mocy (23.5).
Zatem, przestrzenie te są algebraicznie izomorficzne i izometryczne, dlatego dla opisania stanów kwantowo- mechanicznych możemy wykorzystać zarówno wektory z L2 jak i z l2.
W paragrafach 18, 19 pokazaliśmy, że wszystkie reprezentacje związane ze sobą przekształceniami unitarnymi są równoważne, dlatego, że rozkład wszystkich wielkości fizycznych jest jednakowy we wszystkich reprezentacjach.
W istocie, jak już widzieliśmy iloczyn skalarny dwóch dowolnych wektorów jest inwariantem przekształcenia unitarnego, a wszystkie rozkłady wielkości fizycznych zawsze można przedstawić w postaci odpowiednich iloczynów skalarnych.
Sytuacja ta jest całkowicie analogiczna do tej, która ma miejsce w skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej przy przejściu od jednej bazy ortounormowanej do drugiej. Jeśli wektor a scharakteryzować poprzez zbiór jego rzutów na wersory bazowe { a1, a2 , ... , an }, to taki zbiór liczb będzie zdefiniowany tylko w tym przypadku, kiedy będziemy posługiwali się ustaloną bazą. Przy przejściu do innej bazy współrzędne wektora a ulegną zmianie. Jednakże przejście takie jest związane z przekształceniem unitarnym, zatem zachowana zostaje wartość iloczynu skalarnego dowolnej pary wektorów.
Widać więc, że jeden i ten sam stan w zależności od wybranej reprezentacji może charakteryzować się różnym zbiorem liczb. Jeśli reprezentacja zadana jest operatorem o spektrum czysto dyskretnym, zbiór ten będzie dyskretny. Jeśli natomiast reprezentacja zadana jest operatorem o spektrum ciągłym to zbiór też będzie ciągły. Możliwe są również przypadki mieszane.
Dla opisania stanu układu bez względu na wybraną reprezentacje w MQ wprowadza się pojęcie „wektora stanu”, który to jest elementem abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta ℵ. Dla oznaczenia takiego wektora stanu Dirak wprowadził specjalny symbol :
| a > (23.8)
gdzie a odgrywa rolę identyfikatora stanu.
Wektor stanu | a > nie jest liczbą, jest on analogiczny do wprowadzonego powyżej wektora a skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej. W matematyce pokazuje się, ze wszystkie przestrzenie Hilberta są między sobą izomorficzne, dlatego też przestrzenie L2 , l2 , ℵ są równoważne z punktu widzenia ich wykorzystania w celu opisu stanu kwantowego.
Przez { | Fn > } oznaczymy zbiór wektorów własnych operatora F^ wielkości fizycznej F w przestrzeni ℵ, a następnie rozpatrzymy zbiór iloczynów skalarnych { < Fn | a >}. Taki zbiór liczb jest funkcją falową :
ψa ( Fn ) = < Fn | a > (23.9)
stanu | a > w reprezentacji wielkości fizycznej F. Symbol a nazywa się indeksem stanu, a symbol Fn – indeksem
reprezentacji. Przykładowo, w rozpatrywanej wcześniej G –reprezentacji rolę | Fn > odgrywają wektory własne operatora G^ o spektrum czysto dyskretnym, a zależność (23.9) ma teraz postać (23.3). W reprezentacji współrzędnościowej rolę
| Fn > odgrywają uogólnione wektory własne operatora współrzędnej r^, a zależność (23.9) zapisywana jest w postaci (18.15) lub (18.16). W reprezentacji pędowej rolę | Fn > odgrywają uogólnione wektory własne operatora pędu p^, a zależność (23.9) zapisujemy w postaci (18.1). Zbiór liczb < Fn | a >, tj. funkcja skalarna ψa(Fn ) analogicznie do wprowadzonego wcześniej zbioru {a1, a2 , ... , an }, stanowi współrzędne wektora a w skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej.
Zatem, w MQ rolę wersorów odgrywają wektory własne i uogólnione wektory własne operatorów wielkości fizycznych pewnego zbioru zupełnego. W reprezentacji Schrödingera wersory pozostają stałe w czasie, a ewolucja stanu opisywana jest poprzez zmianę w czasie wektora stanu. Odpowiada to zmiana wartości rzutów wektora stanu na wersory bazowe, co odzwierciedla zależność od czasu funkcji falowej. W reprezentacji Heisenberga operatory wielkości fizycznych są zależne od czasu i dlatego zależne od czasu są również odpowiednie wersory. Zatem reprezentacji Heisenberga odpowiada wybór takiego układu wersorów, który w sposób ciągły zmienia swoje położenie w przestrzeni Hilberta w czasie. Przy tym prawo ruchu bazy określone jest poprzez hamiltonian układu. Wektor stanu w reprezentacji Heisenberga nie zależy od czasu, co odzwierciedla stałą w czasie funkcję falową.
Widać więc, że w MQ wszystkie rozkłady wielkości fizycznych wyrażają się poprzez iloczyny skalarne < b | a >
wektorów | a > , | b> abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta ℵ. Samodzielny sens możemy nadać nie tylko prawej części | a >
powyższego wyrażenia < b | a >, ale również jego lewej części < b |.
Aby to pokazać należy rozpatrzyć zbiór wszystkich liniowych i ciągłych funkcjonałów ( funkcji skalarnych ), które można zbudować w przestrzeni Hilberta. W matematyce zbiór ten nazywa się przestrzenią sprzężoną i jest oznaczany przez ℵ*. Istotną własnością pary przestrzeni ℵ i ℵ* jest to, że dowolny element φ przestrzeni ℵ* można przedstawić w postaci :
φ(a) = < b | a > (23.10)
tj. każdemu elementowi φ ∈ ℵ można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie wektor | b > ∈ℵ, odpowiedniość ta jest izomorfizmem. Zatem symbol < b | można rozpatrywać jako oznaczenie pewnego funkcjonału liniowego i ciągłego w przestrzeni stanów ℵ.
Oznaczenia | a > i < b | zostały wprowadzone przez Diraca. Wprowadził on również specjalne nazwy dla tych obierków
„bra” dla < b | i „ket” dla | a >. Terminy te stanowią części angielskiego słówka bracket ( nawias ) i odpowiadają temu faktowi, że wartość funkcjonału < b | na wektorze | a > zadana jest poprzez pełny symbol < b | a >.
Ponieważ zgodnie z (1.5) :
< b | a > = < a | b >* (23.11)
wartość funkcjonału < b | na wektorze | a > pokrywa się z sprzężoną zespolenie wartością funkcjonału < a | na wektorze
| b >.
W charakterze przykładu, ilustrującego dogodności oznaczenia Diraca, znajdziemy uogólnioną funkcję własną operatora współrzędnej na znanej uogólnionej funkcji własnej operatora pędu. Zgodnie z (15.6) dla tej ostatniej funkcji mamy : ψp (r) = < r | p > = (2πħ )–3/2 exp[ (i/ħ ) pr ] (23.12) Wykorzystując (23.11), otrzymujemy stąd :
< p | r > = < r | p >*
tj. uogólniona funkcja własna operatora współrzędnej w reprezentacji pędowej jest dana :
φr (p) = < p | r > = (2πħ )–3/2 exp[ –(i/ħ ) pr ] (23.13)
Wynik ten oczywiście pokrywa się z (18.2) ( zobacz również ćwiczenie 4.6 )
Zatem, zapis < b | a > stanowi zapis iloczynu skalarnego, tj. jest liczbą. Określony sens ma również zapis :
P ≡ | b > < a | (23.14)
Niech | ξ > będzie pewnym ketem, wtedy :
P |ξ > = | b > < a |ξ > (23.15)
tj. P jest operatorem liniowym, przeprowadzającym ket | ξ > w ket | b >, pomnożony przez liczbę zespoloną < a |ξ >.
Niech teraz < ξ | będzie pewnym bra, wtedy :
< ξ | P = < ξ | b >< a | (23.16)
tj. P jest teraz operatorem antyliniowym, przeprowadzającym bra < ξ | w bra < a |, pomnożony przez liczbę zespoloną
< ξ | b >.
Rozpatrzmy przypadek szczególny :
P^m = | φm >< φm | (23.17)
Gdzie : { | φm > }1∞ - pewien zupełny i ortounormowany zbiór wektorów.
Niech | ξ > - będzie pewnym dowolnym wektorem, wtedy :
P^m | ξ > = | φm >< φm | ξ > (23.18)
Łatwo zauważyć, że jest to ket, który stanowi rzut wektora | ξ > na wektor bazowy | φm > , tj. P^m jest operatorem rzutowania dowolnego wektora | ξ > na wektor bazowy | φm >.
Rozpatrzmy następnie operator : ∞ ∞
P^ =
Σ
P^m =Σ
| φm >< φm | (23.19)m=1 m=1
Zgodnie z (23.18) otrzymujemy : ∞ ∞
P^ | ξ > =
Σ
P^m | ξ > =Σ
| φm > < φm | ξ > (23.20) m=1 m=1Ponieważ zbiór { | φm > }1∞ zgodnie z umową jest zupełny, powyższe wyrażenie posiada sens rozkładu wektora | ξ >
względem bazy ortonormalnej. Dlatego też :
tj. operator jednostkowy zawsze może być przedstawiony w postaci sumy operatorów rzutowania na każdy z wektorów dowolnego zbioru zupełnego.
Załóżmy, że wektory { | φm > }1∞ są wektorami własnymi pewnego operatora F^, tj. :
F^| φm > = Fm | φm > (23.22)
Działając operatorem F^ na obie części równości (23.21) i przyjmując do wiadomości (23.22), otrzymujemy : ∞
F^ =
Σ
Fm P^m (23.23)m=1
Takie rozłożenie operatora F^ względem operatorów P^m rzutowania na jego wektory własne nazywa się reprezentacją spektralną operatora F^.