16.1 Wskazać wszystkie przekształcenia, tworzące grupę symetrii kostki sześciennej.
16.2 To samo dla dowolnego sześcianu.
16.3 Pokazać, ze składowe wektora wodzącego x, y tworzą bazę dwuwymiarowej reprezentacji grupy C4 ( obroty wokół osi z ). Znaleźć macierze tej reprezentacji.
16.4 To samo dla grupy C3.
16.5 Znaleźć zależności komutacyjne dla operatora wektora Runge-Lenza ( ćwiczenie 9.11 ) i operatora momentu orbitalnego cząstki w polu coulombowskim.
*************************************************************************************************
Wykład 17
55. Grupa trójwymiarowych obrotów i jej reprezentacje.
Reprezentacja grupy trójwymiarowych obrotów R3 ( jak również szerszej grupy O3 = R3 × I ) realizują operatory obrotu (53.21) :
R^( n, α ) = e(i/ħ )α (nł^ ) (55.1)
W charakterze bazy reprezentacji nieprzywiedlnej tej grupy można wziąć wektory stanów | jm >, w których to określony jest całkowity moment układu i jego rzut na oś z :
R^(n , α ) | jm > =
Σ
Dm’m(j ) (n, α ) | jm’ > (55.2)m’=–j
Macierze nieprzywiedlnych reprezentacji grupy R3 :
Dm’m(j )(n, α ) = < jm’ | e(i/ħ )α (nł^ ) | jm > (55.3)
mają wymiar ( 2j + 1 ) × (2j + 1 ) i nazywają się macierzami skończonych obrotów. Posiadają one własność unitarności : j
Σ
Dm1m(j )(n, α ) D*m2m(j )(n, α ) = δm1m2 (55.4)m =–j
Istnieją dokładne tablice macierzy skończonych obrotów, podające jawne wyrażenia ich elementów macierzowych poprzez parametry obrotu. Jednakże w pewnych szczególnych przypadkach nie stanowi większej trudności zbudowanie macierzy Dm1m2(j )(n, α ) bezpośrednio korzystając ze wzoru (55.3), bez używania tablic.
Niech np. oś n będzie miała kierunek zgodny z osią z. Wtedy macierz Dm’m(j )(nz , α ) jest diagonalna :
tj. posiada postać macierzy przywiedlnej. Stanowi to przykład tego, jak nieprzywiedlna reprezentacja pewnej grupy ( w danym przypadku grupy R3 ) okazuje się być przywiedlna względem jej podgrupy ( w danym przypadku – podgrupy R2 wszystkich obrotów wokół osi z ).
W przypadku ogólnym, kiedy α, n są dowolnymi parametrami, macierz Dm’m(j )(n , α ) jest nieprzywiedlna, a obliczenia jej elementu macierzowego jest znacznie trudniejsze niż w rozpatrzonym powyżej przypadku.
Dla obliczenia macierzy skończonych obrotów w przypadku ogólnym, okazuje się dogodniejsze wykorzystywać w miejsce parametrów obrotu (n, α ) inne równoważne parametry – typu kąty Eulera α, β, γ.
Przypomnijmy, że osie wejściowego układu współrzędnych można uzgodnić z osiami dowolnie obróconego układu za pomocą trzech obrotów : o kąt α ( 0 ≤ α ≤ 2π ) wokół osi z układu wejściowego; o kąt β ( 0 ≤ β ≤ π ) wokół osi y nowego układu; o kąt γ ( 0 ≤ γ ≤ 2π ) wokół nowej osi z. Odpowiednie elementy macierzy skończonego obrotu obliczamy zgodnie ze wzorem :
Dm’m(j )(α, β, γ ) = < jm’ | e(i/ħ )γJ^z e(i/ħ )βJ^y e(i/ħ )αJ^z | jm > = eim’γ < jm’ | e(i/ħ )βJ^y | jm >eimα (55.6) tj. odpowiednie elementy mogą być łatwo wyrażone poprzez prostsze macierze :
Dm’m(j )(β ) ≡ < jm’ | e(i/ħ )βJ^y | jm > (55.7)
Zależne tylko od jednego parametru – kąta β; kąty α i γ wchodzą tylko do czynników eksponencjalnych eimγ i eimα :
Dm’m(j )(α, β, γ ) = eim’γ dm’m(j )(β ) eimα (55.8)
Obliczymy teraz macierze d^i dla przypadku j = ½. W tym celu wykorzystamy następującą zależność ( zobacz ćwiczenie 10.7 ) :
e(i/ħ )βs^y = ei(β/2)σ^y = I^ cos( ½β ) + iσ^z sin( ½β ) (55.9)
gdzie σ^z - macierz Pauliego.
Zatem :
d^(1/2) (β ) = ( cos( ½β ) sin( ½β ) ) (55.10)
( –sin( ½β ) cos( ½β ) )
Jawna postać macierzy d^j dla j > ½ podano w dodatku 12.
Z pomocą macierzy skończonych obrotów można rozpatrzyć dowolną sytuacje w doświadczeniu Sterna-Gerlacha dla cząstek o dowolnym spinie.
Niech osią kwantowania przy opisie wyjściowej wiązki cząstek będzie oś pewna z’, a osią przyrządu oś z, między osiami z’ i z mamy kąt β. Poprzez odpowiedni wybór skierowania osi x, y zawsze można doprowadzić do pokrycia osi z’ i z wykonując obrót układu współrzędnych o kąt β wokół osi y. Dlatego, wykorzystując (55.2) i (55.8) otrzymujemy prosty związek między wektorami bazowymi stanu spinowego cząstki w układzie o osi z ( nazwiemy je | sm > ) i wektorami bazowymi w układzie o osi z’ ( nazwiemy je | s~m~ > ) :
s
| s~m~ > =
Σ
dm’m(s )(β ) | sm > (55.11)m’=-s
Stąd widać np. to że jeśli stan spinowy wiązki wchodzącej jest stanem czystym i wszystkie cząstki mają określony rzut spinu m na pewną oś z’, to względne natężenia wiązek na wyjściu z przyrządu określone są wyrażeniem :
W(m’ ) = | dm’m(s )(β ) |2 ; m’ = s, ... , - s (55.12)
gdzie : β – jest kątem między osią z’ i osią przyrządu z.
Jeśli stan spinowy wiązki wychodzącej jest stanem mieszanym i opisywany jest poprzez spinową macierz gęstości, to w celu przeprowadzenia spinowej macierzy gęstości z jednego układu do drugiego dogodnie jest wykorzystać następującą zależność :
< sm’ | s~m~ > = dm’m(s )(β ) (55.13)
która jest po prostu innym sposobem zapisania zależności (55.11).
56. Twierdzenie Wignera-Eckarta
Twierdzenie Wignera-Eckarta stanowi ogólną podstawę otrzymywania zasad wyboru względem liczb kwantowych i jego rzutu na wszelkie możliwe operatory.
Z matematycznego punktu widzenia stanowi ono przypadek szczególny zależności (54.24) zastosowanej do grupy trójwymiarowych obrotów R3.
Zgodnie z ogólną definicją (54.21) nieprzywiedlnym operatorem tensorowym grupy R3 ( „tensorem nieprzywiedlnym” ) jest zbiór ( 2k + 1 ) operatorów liniowych { T^p(k) } przekształcających się przy obrocie układu współrzędnych tak samo, jak wektory stanów o określonym momencie pędu i jego rzucie :
k
T~^p(k) = Σ Dqp(k) (α, β, γ )T^q(k) (56.1)
q=-k
gdzie : D(k) (α, β, γ ) – macierze skończonych obrotów; liczba k nazywa się rzędem nieprzywiedlnego tensora.
Przy k = 0 nieprzywiedlny tensor posiada jedną składową T^0(0) , która nie zmienia się przy obrocie układu
współrzędnych. Jest więc, albo skalar , albo pseudoskalar w zależności od tego czy T^0(0) zmienia znak przy inwersji układu współrzędnych.
Przy k = 1nieprzywiedlny tensor posiada trzy składowe T^0, ±1(0) ,które przekształcają się przy obrotach układu współrzędnych tak samo jak trzy funkcje sferyczne Y1m (θ, φ), tworzące bazę nieprzywiedlnej reprezentacji D^(1).
Trzy współrzędne kartezjańskie dowolnego wektora lub pseudowektora a = ( ax, ay , az ) można sprowadzić do trzech składowych nieprzywiedlnego tensora 1-go rzędu :
T1(1) = (1/√2 ) ( ax + iay ) , T0(1) = az , T–1(1) = (1/√2 ) ( ax – iay ) (56.2) Przy k = 2 mamy już pięć niezależnych składowych itd.
Niech będzie dany do obliczenia element macierzowy < j1m1 | T^χ(k) | j2 m2 > ,gdzie T^χ(k) – jest nieprzywiedlnym operatorem tensorowym grupy R3.
Zgodnie z (54.22) każdy wektor T^χ(k) | j2 m2 > jest kombinacją liniową wektorów, reprezentujących stany o określonym momencie pędu i jego rzucie ( oznaczmy je jako | T^(k) ⊗ j2 : jm > ) :
T^χ(k) | j2 m2 > = Σ < kχ , j2m2 | jm > | T^(k) ⊗ j2 : jm > (56.3) jm
gdzie : < kχ , j2m2 | jm > - są znanymi nam współczynnikami dodawania wektorowego ( współczynniki Clebscha-Gordana )
Wektory | T^(k) ⊗ j2 : jm > mogą służyć jako baza ( ogólnie mówiąc, jest to baza nieunormowana ) reprezentacji nieprzywiedlnej D^(j) . Są one ortogonalne do wektorów | j1m1 > przy j ≠ j1 i m ≠ m1. Jeśli j = j1 , m = m1 , to zgodnie z (54.8) iloczyn skalarny takich wektorów nie zależy od m. Wychodząc z tego faktu, zdefiniujemy przywiedlny element macierzowy < j1 || T^(k) || j2 > operatora T^χ(k) jako :
< j1m1 | | T^(k) ⊗ j2 : jm > = [ 1/ sqrt( 2j1 + 1 )] < j1 || T^(k) || j2 > δj1j δm1m (56.4) ( czynnik 1/ sqrt( 2j1 + 1 ) wprowadzono dla uproszczenia dalszych rachunków )
Zestawiając iloczyn skalarny wektorów | j1m1 > i T^χ(k) | j2 m2 > oraz wykorzystując (56.4) otrzymujemy wzór, który wyraża twierdzenie Wignera-Eckarta :
< j1m1 | T^χ(k) | j2 m2 > = [ 1/ sqrt( 2j1 + 1 )] < kχ, j2m2 | j1m1 > < j1 || T^(k) || j2 > (56.5)
Łatwo pokazać, wykorzystując własność ortogonalności współczynników Clebscha-Gordana (41.19), że przywiedlny element macierzowy spełnia następującą zależność :
< j1 || T^(k) || j2 > = [ 1/ sqrt( 2j1 + 1 )]
Σ
< kχ, j2m2 | j1m1 > < j1m1 || T^(k) || j2m2 >χm1m2
Rozważmy teraz sens twierdzenia Wignera-Eckarta. Zależność (56.5) pokazuje, że element macierzowy
nieprzywiedlnego operatora tensorowego może być zawsze rozbity na iloczyn dwóch czynników. Pierwszym z nich jest współczynnik Clebscha-Gordana, który zawiera wszystkie liczby kwantowe elementu macierzowego i nie jest on zależny od żadnych innych własności fizycznych, ani rozpatrywanego układu kwantowego, ani od rozpatrywanych operatorów.
Drugi czynnik - to macierzowy element operatora , nie zależny od magnetycznych liczb kwantowych m1i m2 , jak również od indeksu χ, niesie on całą informacje o specyfice układu kwantowego układu i operatora.
Z własności współczynników Clebscha-Gordana wynikają zasady wyboru dla elementów macierzowych (56.5) :
j1+ j2 + k = 0 (56.7)
χ + m2 = m1 (56.8)
Jest to nic innego jak uogólnienie „zasady trójkąta” (41.23), w którym rolę jednego z momentów i jego rzutu odgrywa rząd operatora k oraz dolny indeks nieprzywiedlnego tensora χ. Zależności (56.7) i (56.8) nazwiemy „uogólnioną zasadą trójkąta”.
Rozpatrzmy teraz przykłady zastosowania twierdzenia Wignera-Eckarta.
1. Rozpoczniemy od czysto technicznego ćwiczenia na ustanowienie zasad wyboru dla niektórych prostych operatorów.
Niech zmuszeni będziemy do znalezienia zasady wyboru dla elementów macierzowych < nłm | F^ | n’ł’m’ > operatorów F^ = x, y, z , z2 – 1/3 r2 , z2 między stanami cząstki bezspinowej w sferycznie symetrycznej jamie potencjału.
Operator x zgodnie z (56.2) jest superpozycją dwóch składowych nieprzywiedlnego tensora 1-go rzędu :
x ~ T^1(1) – T^-1(1) (56.9)
Dlatego, na podstawie „uogólnionej zasady trójkąta” (56.7), (56.8) otrzymujemy : ł + ł’ + 1 = 0 tj. ł = ł’ ( oprócz ł = ł’ = 0 ) ; ł’ ± 1; m = m’ ± 1
Wraz z zasadą wyboru względem parzystości ( -1)ł = - (-1)ł ostatecznie mamy :
ł = ł’ ± 1 (56.10)
m = m’ ± 1 (56.10)
Łatwo pokazać, z pomocą zależności (56.2), że takie same zasady wyboru spełnia element macierzowy operatora y^ i że operatorowi z^ odpowiadają następujące zasady wyboru :
ł = ł’ ± 1 (56.11)
m = m’ (56.11)
Operator F^ = z2 – 1/3 r2 jest proporcjonalny do funkcji sferycznej Y20(θ ) : z2 – 1/3 r2 = 2/3r2 P2 (cos(θ) ) ~ Y20(θ )
tj. przedstawia sobą składową nieprzywiedlnego tensora 2-go rzędu :
z2 – 1/3 r2 ~ T^0(2) (56.12)
W oparciu o uogólnioną zasadę trójkąta otrzymujemy :
ł + ł’ + 2 = 0 tj. ł = ł’ ( oprócz ł = ł’ = 0 ) ; ł’ ± 1, ł ± 2 ; m = m’
Wraz z zasadą wyboru względem parzystości ( -1)ł = (-1)ł’ ostatecznie mamy :
ł = ł’ ( oprócz ł = ł’ = 0 ) , ł ± 2 (56.13)
m = m’ (56.13)
Zatem, podstawowa idea ustanowienia zasad wyboru zawiera się w tym, aby rozbić dany operator na sumę nieprzywiedlnych operatorów tensorowych. Zastosowanie takiej zasady do operatora z2 oznacza, że :
z2 – ( z2 – 1/3r2 ) + 1/3 r2 ~ T^0(2) T^0(0) (56.14)
Zasady wyboru dla takiego operatora otrzymujemy poprzez nałożenie zasad wyboru (56.13) dla operatora T^0(2) i zasad wyboru dla skalara T^0(0) :
ł = ł’ ; m = m’ (56.15)
W wyniku ostatecznym dla operatora z2 mamy :
ł = ł’ , ł’ ± 2 ; m = m’ (56.16)
2. W charakterze drugiego przykładu rozpatrzymy postać wzoru (51.28), który wykorzystywaliśmy już w paragrafie 51 :
< JM | A^z | JM > = [ M/ J(J + 1 ) ] < JM | A^J^ | JM > (56.17) Niech A^ - będzie dowolnym pseudowektorem ( jeśli A^ jest wektorem, to diagonalny element macierzowy jest równy zeru na mocy zasady wyboru względem parzystości ).
Operator A^J^ zapiszemy w postaci zawężenia tensorów 1-go rzędu :
A^J^ =
Σ
(-1)q A^1(1) J^-q (56.18)q=0, ±1
gdzie związek składowych A^1(1) i J^q ze współrzędnymi kartezjańskimi operatorów A^ i J^ zadany jest poprzez wzory (56.2). Następnie podstawimy (56.18) do prawej strony zależności (56.17) :
< JM | A^J^ | JM > =
Σ
(-1)qΣ
< JM | A^q(1) | JM’ > < JM’ | J^-q | JM > (56.19) q=0, ±1 M’Opierając się na twierdzeniu Wignera-Eckarta (56.4), możemy związać element macierzowy dowolnego pseudowektora A^ z elementem macierzowym operatora momentu :
< JM | A^q(1) | JM’ > = [ < J | A^ | J > / < J | J^ | J > ] < JM’ | J^q | JM > (56.20) Podstawiając (56.20) do (56.19), otrzymujemy :
< JM | A^J^ | JM > = [ < J | A^ | J > / < J | J^ | J > ] < JM’ | J^2 | JM > = [ < J | A^ | J > / < J | J^ | J > ] J( J + 1 ) (56.21) Z drugiej strony, stosując wzór (56.20) do lewej strony zależności (56.17), mamy :
< JM | A^z | JM > = [ < J | A^ | J > / < J | J^ | J > ] < JM’ | J^z | JM > = [ < J | A^ | J > / < J | J^ | J > ] M (56.22) Teraz, wykluczając zależność < J | A^ | J > / < J | J^ | J > z zależności (56.21) i (56.22), otrzymujemy wzory (56.17).
3. W charakterze trzeciego przykładu zastosowania twierdzenia Wignera-Eckarta rozpatrzymy zagadnienie o momencie kwadropulowym układu cząstek naładowanych.
Z elektrodynamiki klasycznej wiemy, że oddziaływanie układu cząstek naładowanych ze stałym, niejednorodnym polem elektrycznym :
V = - dЄ – 1/6
Σ
Qij ( ∂Є/ ∂xi )0 (56.23)ij
które określone jest nie tylko poprzez wektor elektrycznego momentu dipolowego d tego układu, ale również przez tensor elektrycznego momentu kwadropulowego :
N
Qij =
Σ
en ( 3xi(n) xj(n) – rn2 δij ) (56.24)n=1
gdzie : n – numer cząstki w układzie, en – jej ładunek ; i, j = x, y, z
W MQ moment kwadropulowy Qij staje się operatorem Qij → Q^ij Nie komutuje on z hamiltonianem układu i dlatego ma sens mówić jedynie o jego wartości średniej w różnych stanach układu.
Przykładowo : Qij−
|JM = < JM | Q^ij | JM > (56.25)
Z (56.24) widać, że tensor Qij jest symetryczny ( Qij = Qji ), a jego ślad jest równy zero (
Σ
Qii = 0 ).Zatem, tensor Qij posiada w ogólnym przypadku pięć niezależnych składowych. Można je wyrazić poprzez pięć składowych nieprzywiedlnego operatora tensorowego 2-go rzędu :
Q^q ≡
Σ
en sqrt(16π/5)rn2 Y2q (θn , φn ) ; q = 0 , ±1, ±2 (56.26) n( będziemy nazywać go nieprzywiedlnym tensorowym operatorem elektrycznego momentu kwadropulowego ).
Przykładowo : N
Q^zz =
Σ
en ( 3zn2 – rn2 ) = Q^0 (56.27) n=1( zobacz ćwiczenie 17.5 )
Zatem, wartość średnia dowolnej składowej Q^ij tensora momentu kwadropulowego wyraża się poprzez wartości średnie pięciu operatorów Q^q. Z takich operatorów w stanie | JM > różny od zera jest tylko jeden :
Qij−
|JM = < JM | Q^0 | JM > (56.28)
Dlatego w celu obliczenia wartości średniej elektrycznego momentu kwadropulowego danego układu w stanie o określonym całkowitym momencie J wystarczy podać jedną liczbę.
W charakterze takiej liczby przyjęto wykorzystywać wartość średnią operatora Q^0 w stanie o maksymalnej wartości rzutu całkowitego momentu pędu układu :
N
Q ≡ < J, M = J | Q^0 | J, M = J > = < J, M = J |
Σ
en ( 3zn2 – rn2 ) J, M = J > (56.29) n=1( przypomnijmy sobie analogiczne wyrażenie wartości liczbowej momentu magnetycznego układu w paragrafie 42 ) Stosując do (56.29) „uogólnionej zasady trójkąta” (56.7), otrzymamy :
J + J + 2 = 0 (56.30)
Jeśli j < 1, to powyższa zasada nie może być spełniona.
Zatem, układ kwantowy o całkowitym momentem J mniejszym od jedności nie posiada momentu kwadropulowego.
Wynik ten posiada „symetryczne” pochodzenie i jest słuszny dla dowolnych układów – dla atomu, molekuły, jądra atomowego, cząstki elementarnej.