W niniejszym paragrafie zaznajomiliśmy się z podstawami i zastosowaniem teorii grup w MQ. Przy tym przyjmiemy, że czytelnik jest już zaznajomiony z abstrakcyjnym sformułowaniem teorii grup. W pierwszej kolejności przypomnimy pewne potrzebne nam wiadomości.
(* Zobacz tekst pt. Teoria grup i jej zastosowania w fizyce *) 1. Pewne ogólne pojęcia abstrakcyjnej teorii grup.
1. Grupą nazywa się skończony lub nieskończony zbiór elementów a, b, c, ... spełniający następujące warunki : a) zdefiniowano operacje iloczynu elementów :
ab = c
b) pośród elementów grupy jest element jednostkowy E, określony poprzez następującą zależność : Ea – aE = a
c) słuszna jest zasada łączności mnożenia elementów grupy : (ab)c = a(bc)
d) każdy element a, grupy posiada element odwrotny a-1:
aa-1 = a-1a = E Przykłady.
1) Grupa inwersji, składająca się z dwóch elementów : i ( operator inwersji ) i elementu jednostkowego E, jest przykładem grupy drugiego rzędu. Grupę tę oznaczamy jako I.
2) Grupa obrotów w 3-wymiarowej przestrzeni względem dowolnej osi o dowolny kąt. Grupę tę oznaczamy jako R3.
Zawiera ona nieskończenie wiele elementów i stanowi przykład grupy ciągłej.
3) Grupa obrotów o dowolny kąt wokół ustalonej osi ( grupa obrotów na płaszczyźnie ). Oznaczamy ją jako R2.
4) Grupa odbić na płaszczyźnie - jest to grupa drugiego rzędu. Oznaczymy ją jako σh. Zawiera ona operator odbicia na płaszczyźnie σh i element jednostkowy E.
5) Grupa obrotów o kąt, będący krotnością 2π/n ( n – liczba całkowita ), wokół ustalonej osi – jest to grupa n-tego rzędu.
Oznaczymy ją jako σCn. Element tej grupy, reprezentujący obrót o kąt 2πk/n ( k – liczba całkowita ), oznaczymy jako Ckn .
2. Podgrupą nazywa się część elementów danej grupy, które same stanowią grupę. Przykładowo grupa R2 jest podgrupą grupy R2. ( fakt ten oznaczamy następująco R2 ⊂ R3 )
3. Niech dwie grupy G, G’ nie posiadają wspólnych elementów ( oprócz jedności grupowej ) i wszystkie elementy jednej grupy ( a, b, c , ... )komutują z elementami drugiej grupy ( a’, b’, c’, ... )
Wtedy, zbiór elementów aa’, ab’, ... również stanowi grupę. Rząd tej grupy jest równy iloczynowi rzędów grup G i G’.
Ta nowa grupa nazywa się iloczynem prostym grup G i G’. Iloczyn ten oznaczamy jako G × G’.
Przykład. Iloczyn prosty grupy inwersji i grupy trójwymiarowych obrotów, iloczyn ten oznaczamy jako O3 = R3 × I.
4. Niech w pewnej przestrzeni liniowej L zadano zbiór operatorów T^(g ), gdzie g = a, b, ... – są elementami pewnej grupy G. Jeśli spełniony jest warunek :
T^(ab) = T^(a)T^(b) (54.1)
to T^(g ) – jest reprezentacją grupy G.
Ogólne własności reprezentacji grupy : a) T^(E) = I^
b) T^(a–1 ) = [ T^(a )]–1 (54.2)
Przestrzeń L nazywa się w takim przypadku przestrzenią reprezentacji T^(g ) grupy G.
5. Jeśli w L istnieją podprzestrzenie, inwariantne dla wszystkich T^(g ), to reprezentacje T^(g )nazywa się przywiedlną.
Piszemy wtedy : ⊕
L =
Σ
Lα (54.3)α
tj. przestrzeń L jest sumą prostą takich inwariantnych podprzestrzeni L(α).
Jeśli L nie można rozłożyć na podprzestrzenie inwariantne, to reprezentacje T^(g ) nazywa się nieprzywiedlną.
6. Zbiór elementów liniowo niezależnych ( wektorów ) {Vµ(α) }fαµ =1 należących do podprzestrzeni inwariantnej L(α) i spełniających zależność :
fα
V~µ(α) ≡ T^(g )Vµ(α) =
Σ
Dµ’µ(α) (g ) Vµ(α) (54.4)µ’=1
nazywa się bazą reprezentacji, a macierze Dµ’µ(α) (g ) – macierzami reprezentacji.
Jak widać z (54.4) i (54.1) macierze reprezentacji grupy spełniają zależność : fα
Dµ’µ(α) (ab ) =
Σ
Dµ’ν(α) (a ) Dν’µ(α) (b ) (54.5)ν =1
tj. same tworzą reprezentacje grupy.
Liczbę fα nazywa się wymiarem reprezentacji.
7. Macierze reprezentacji przywiedlnych mają postać quasi-diagonalną ( klatkową ) :
gdzie elementy różne od zera znajdują się w „kwadracikach” ( klatkach ), każdy z takich kwadracików odpowiada jednej nieprzywiedlnej reprezentacji.
Własność (54.6) zapisuje się również w postaci wzoru rozkładu reprezentacji przywiedlnej na nieprzywiedlną :
D^(g ) =
Σ
a(α) D^(α)(g ) (54.7)α
8. Wektory bazowe różnych reprezentacji nieprzywiedlnych są wzajemnie ortogonalne :
< Vµ(α) | Vν(β) > = λ(α) δαβ δµν (54.7a)
Wektory bazowe jednej nieprzywiedlnej reprezentacji są unormowane jednakowo. Jak wynika z (54.7a) :
< Vµ(α) | Vµ(α) > = λ(α) (54.8)
9. Iloczyny proste wektorów bazowych dwóch reprezentacji danej grupy, również tworzą bazę pewnej reprezentacji tej grupy :
fα fβ
T^(g ) [ Vµ(α) • Vν(β) ] =
Σ Σ
Dµ’µ(α)(g ) Dν’ν(β)(g ) [ Vµ’(α) • Vν’(β) ] (54.9) µ’=1 ν’= 1Takie iloczyny nazywa się iloczynem prostym reprezentacji D^(α)(g ) i D^(β)(g ) i oznacza sieje jako D^(α)(g ) × D^(β)(g )
10. Iloczyn prosty dwóch nieprzywiedlnych reprezentacji danej grupy jest, ogólnie mówiąc, reprezentacją przywiedlną i może być rozłożony na reprezentacje nieprzywiedlne :
⊕
D^(α)(g ) × D^(β)(g ) =
Σ
a(γ) D^(γ)(g ) (54.10)γ
Wektory bazowe reprezentacji nieprzywiedlnych D^(γ)(g ) mają postać kombinacji liniowych iloczynów prostych wektorów reprezentacji D^(α)(g ) i D^(β)(g ) :
[ V(α) • V(β) ]γρ =
Σ
< αµ, βν | γρ > Vµ(α) Vν(β) (54.10a) µ, νWspółczynniki < αβ, βν | γρ , które niekiedy nazywają się uogólnionymi współczynnikami Clebscha-Gordana, tworzą macierz unitarną. Z (54.10a) wynika następująca zależność :
Vµ(α) • Vν(β) =
Σ
< αµ, βν | γρ > [ V(α) • V(β) ]γρ (54.11) γ, ρ2. Teorio-grupowa klasyfikacja stanów stacjonarnych układów kwantowych.
Niech T^(g ) – będzie reprezentacją grupy przekształceń symetrii hamiltonianu H^ danego układu fizycznego.
To oznacza, ze dla wszystkich g ( „na całej grupie” ) spełniona jest zależność (53.11) :
T^(g ) H^ T^-1(g ) = H^ (54.12)
tj. :
[ T^(g ) , H^ ] = 0 (54.13)
Dalej, niech {ψµ(n) }fnµ =1 będzie zbiorem rozwiązań liniowo niezależnych, stacjonarnego równania Schrödingera, odpowiadających poziomowi En :
H^ ψµ(n) = En ψn(m) , µ = 1, 2, .... , fn (54.14) fn – krotność zdegenerowania poziomu.
Podziałajmy na obie strony (54.14) operatorem T^(g ). Z uwzględnieniem (54.13) otrzymamy : H^{ T^(g ) ψµ(n)
} = En { T^(g ) ψµ(n) } (54.15) Powyższa zależność pokazuje, że zbiór funkcji falowych każdego poziomu tworzy podprzestrzeń inwariantną ze względu na całą grupę przekształceń symetrii zadanego hamiltonianu :
fn ψ~
µ(n) ≡ T^(g )ψµ(n) =
Σ
Dµ’µ(n)(g ) ψµ’(n) (54.16)µ’=1
Taka podprzestrzeń, jak również odpowiadająca jej macierz reprezentacji Dµ’µ(n)(g ) jest albo nieprzywiedlna, albo można ją rozłożyć na nieprzywiedlne części. Zatem, zbiór liczb kwantowych { n }, numerujących poziom En jest zbiorem indeksów, charakteryzujących nieprzywiedlne reprezentacje odpowiedniej grupy. Krotność takich nieprzywiedlnych reprezentacji określa zdegenerowania odpowiednich poziomów danego układu.
Widać, że przy „symetrycznym” podejściu do klasyfikacji poziomów kwantowych danego układu „dynamiczne”
zagadnienie dotyczące znajdowania wszystkich rozwiązań stacjonarnego równania Schrödingera zamienia się na zagadnienie dotyczące znajdowania wszystkich nieprzywiedlnych reprezentacji grupy symetrii hamiltonianu, które to jest standardowym zagadnieniem abstrakcyjnej teorii grup.
3. Rozczepienie zdegenerowanych poziomów pod wpływem zaburzenia.
Niech { φµ(n) }fnµ =1 – będą funkcjami falowymi niezaburzonego układu o hamiltonianie H^0 , odpowiadającymi zdegenerowanemu poziomowi εn :
H^0 φµ(n) = εn φµ(n) (54.17)
fn – krotność zdegenerowania poziomu.
Wcześniej pokazaliśmy, że takie funkcje tworzą bazę nieprzywiedlnej reprezentacji D^(n) grupy przekształceń symetrii hamiltonianu H^0 , grupę tę nazwiemy G. W paragrafie 49 pokazano, że jeśli układ podlega zaburzeniu V^, to
rozczepienie poziomu εn w niższym rzędzie względem V^ można znaleźć z rozwiązania równania wiekowego (49.40) :
Det || < φµ(n) | V^ | φν(n) > || – ∆En δµν = 0 (54.18)
Każdy pierwiastek tego równania ∆En, λ daje poprawkę pierwszego rzędu do energii εn niezaburzonego układu :
εn → En, λ = εn + ∆En, λ (54.19)
Jeśli równanie (54.18) posiada pierwiastki wielokrotne, to niektóre z podpoziomów En, λ poziomu εn będą zdegenerowane.
Teoria grup pozwala ustanowić charakter rozczepienia poziomów pod wpływem zaburzenia, nie tylko nie rozwiązując równania wiekowego, ale nawet bez obliczania elementów macierzowych zaburzenia, tj. nie przywołując konkretnej postaci funkcji bazowych φµ(n) i operatora zaburzenia V^. Okazuje się, że całe zagadnienie sprowadza się do badania własności stosunku symetrii zaburzenia V^, do symetrii niezaburzonego hamiltoniany H^0. Mamy tutaj dwa przypadki.
W pierwszym z nich symetria zaburzenia jest wyższa ( lub w skrajnym przypadku nie niższa ), niż symetria hamiltonianu H^0. Wtedy to symetria zaburzonego hamiltonianu H^ = H^0 + V^ określona jest tak jak dawniej przez grupę G.
Zatem, klasyfikacja poziomów zaburzonego układu pozostaje taka sama jak w przypadku układu niezaburzonego.
Zaburzenie prowadzi jedynie do przesunięcia każdego poziomu εn , ale nie do jego rozczepienia, krotność jego zdegenerowania pozostaje niezmieniona.
W drugim przypadku symetria zaburzenia V^ jest niższa, niż symetria hamiltonianu H^0 , w takim przypadku również symetria zaburzonego hamiltonianu H^ jest niższa, niż symetria H^0.
Niech będzie ona charakteryzowana przez grupę G’, będącą podgrupą G. W takim przypadku reprezentacja D^(n) będąca nieprzywiedlna ze względu na wszystkie elementy grupy G, okazuje się, ogólnie mówiąc, przywiedlna ze względu na elementy należące do podgrupy G’ :
⊕
D^(n)(η ) =
Σ
aλ D’^ (λ) (η ) , η ∈ G’ (54.20)λ
gdzie : D’^ (λ) (η ) – nieprzywiedlne reprezentacje grupy G’.
Innymi słowy, przestrzeń wektorów bazowych { φµ(n) }fnµ =1 rozbija się na inwariantne względem przekształceń podgrupy G’ podprzestrzenie, których sumaryczny wymiar jest równy fn. Każdej nieprzywiedlnej reprezentacji D’^ (λ) podgrupy G’ odpowiada, zgodnie z (54.15) wartość własna En, λ hamiltonianu H^ o krotności zdegenerowania f ’λ Liczba takich nieprzywiedlnych reprezentacji w rozkładzie (54.20) daje liczbę podpoziomów En, λ , na które rozczepia się poziom εn pod wpływem zaburzenia.
Widzimy ponownie, że przy „symetrycznym” podejściu do zagadnienia rozczepienia poziomów procedura rozwiązania równania Schrödingera zamienia się na pewną , standardową procedurę teorii grup – mianowicie jest to procedura (54.20) rozłożenia reprezentacji nieprzywiedlnej grupy na reprezentacje nieprzywiedlne jej podgrupy. Takie podejście, jest oczywiście bardziej ogólne.
4. Teoria grup i zasady wyboru.
Stosując teorię grup do ustanowienia zasad wyboru dla kwantowo-mechanicznych elementów macierzowych, będziemy się opierali na pojęciu nieprzywiedlnego operatora tensorowego.
Zbiór fk operatorów { F^χ(k) }fk1 nazywa się nieprzywiedlnym operatorem tensorowym ze względu na pewną grupę G, jeśli spełnia on następującą zależność
F~^χ(k) =
Σ
Dχ’χ(k) (g ) F^χ’(k) (54.21)χ’
tj. jeśli w wyniku przekształceń, tworzących grupę G, składowe tensora F^χ(k) przekształcają się względem siebie według nieprzywiedlnej reprezentacji D(k) tej grupy.
Rozpatrzmy element macierzowy nieprzywiedlnego operatora tensorowego F^χ(k) grupy G w obłożeniu wektorów bazowych dwóch dowolnych nieprzywiedlnych reprezentacji D(α) i D(β) tej grupy :
< ψµ(α) | F^χ(k) | ψν(β) >
Wektory | F^χ(k) ψν(β) >, gdzie χ = 1, 2, ... , fk , ν = 1, 2, ..., fβ tworzą bazę reprezentacji D(k) × D(β) grupy G, która to, ogólnie mówiąc, jest przywiedlna. Zgodnie z (54.11) można je przedstawić w postaci kombinacji liniowych wektorów bazowych reprezentacji przywiedlnych D(γ), na które rozbija się iloczyn prosty reprezentacji D(k) × D(β).
Aby to wykonać należy wykorzystać współczynniki Clebscha-Gordana grupy G :
| F^χ(k) ψν(β) > =
Σ
< kχ , βν | γρ > { F^(k) ψ(β) }γρ (54.22) γρPodstawiając (54.22) do elementu macierzowego < ψµ(α) | F^χ(k) | ψν(β) >, oraz wykorzystując własność ortogonalności wektorów bazowych różnych nieprzywiedlnych reprezentacji grupy G ( zależność (54.7a) ) :
< ψµ(α) | { F^(k) ψ(β) }γρ > ~ δαβ δµρ (54.23)
otrzymujemy :
< ψµ(α) | F^χ(k) | ψν(β) > ~ < kχ , βν | αµ > (54.24) Zależność (54.24) może służyć jako uniwersalna podstawa w celu otrzymania zasad wyboru w MQ. Pokazuje ona
bowiem, że warunkiem koniecznym istnienia niezerowego elementu macierzowego < ψµ(α) | F^χ(k) | ψν(β) > jest wymaganie, aby nieprzywiedlna reprezentacja D(α) zawierała się w rozkładzie iloczynu prostego reprezentacji D(k) i D(β) :
D(α) ⊂ D(k) × D(β) (54.25)
Praktyczne zastosowanie zasady (54.25) w celu ustanowienia zasad wyboru dla dowolnych operatorów, zakłada, że mamy wyrazić dowolny operator F^ poprzez nieprzywiedlne operatory tensorowe F^χ(k) odpowiedniej grupy.
Z procedurą tą zaznajomimy się na następnym wykładzie, na przykładzie grupy trójwymiarowych obrotów.