Ćwiczenia do wykładu 8
Dodatek 10 Zdegenerowana funkcja hipergeometryczna. Uogólnione wielomiany Laguerre’a
eikz =
Σ
ił sqrt [ 4π( 2ł +1) ] jł(kr) Ył 0(θ ) =Σ
ił ( 2ł +1)jł(kr) Pł ( cos(θ) ) (D9.2) ł=0 ł=0gdzie : z = r cos(θ).
Dodatek 10 Zdegenerowana funkcja hipergeometryczna. Uogólnione wielomiany Laguerre’a.
Zdegenerowana funkcja hipergeometryczna F(a, c; z) określona jest poprzez szereg :
F(a, c; z ) = 1 + (a/c) (z/1!) + [ a(a +1)/ c(c+1)] (z2/2!) + [ a(a + 1)(a + 2)/ c( c + 1 )(c + 2 )] (z3/3!) + … (D10.1) Gdzie : a, c – stałe, przy czym c ≠ -k , k = 0, 1, 2, 3, ...
Funkcja ta spełnia równanie :
z (d2F/dz2 ) + ( c – z )dF/dz – a F(z) = 0 (D10.2)
jeśli a = –n ( n= 0, 1, 2, ... ), to F(a, c; z ) sprowadza się do wielomianu stopnia n :
F(–n, c; z ) = 1 − (n/c)z + [ n(n − 1)/ c(c+1)] (z2/2!) − [ n(n − 1)(n − 2)/ c( c + 1 )(c + 2 )] (z3/3!) + … +
+ (–1)n [ 1 / c( c + 1 )(c + 2 )... ( c + n –1 )] zn) (D10.3) który można przedstawić w postaci :
F(-n, c; z ) = [ Γ(c )/ Γ(c + n ) ] Lc–1n (z) (D10.4)
Gdzie :
Lc–1n (z) = z–c ec dn/dzn ( zc+n e–z ) (D10.5)
Jest uogólnionym wielomianem Laguerre’a, Γ(x) – funkcja gamma.
Jeśli a ≠ -n, to asymptotyka zdegenerowanej funkcji hipergeometrycznej ma postać :
F(a, c; z ) ≈ ( Γ(c) / Γ(a) ) za–c ez przy z →∞ (D10.6) Jeśli c ≠ –k ( k = 0, 1, 2, ... ), to drugie liniowo niezależne rozwiązanie równania (D10.2) ma postać :
F1(z) = z1–c F( a – c + 1, 2 – c ; z ) (D10.7)
Uogólnione wielomiany Laguerre’a spełniają następujący warunek ortonormalności :
∞
∫
Lcm (z) Lcn (z) e–z zc dz = n!Γ( n + c + 1)δmn (D10.8)
0
Często okazuje się użyteczną następująca wartość całki :
∞ σ
∫
( Lµλ-µ (z))2 e-z zµ+σ dz = (-1)n [ λ!σ!/ ( λ – µ )! ]Σ
(-1)β ( σ ) ( λ + β ) ( λ + β – µ ) (D10.9) 0 β =0 ( β ) ( σ ) ( σ )gdzie :
σ ≥ 0 , ( σ ) – liczba połączeń (?) z σ po β
*************************************************************************************************
Wykład 9
34. Wyobrażenie o „orbitach kwantowych”.
W MK orbitą cząstki nazywa się trajektorię (tor ) jej ruchu. W MQ pojęcie „orbita” wykorzystywane jest dla oznaczenia stanu stacjonarnego | nłm > ruchu cząstki w polu sferycznie symetrycznym. Każdemu poziomowi energetycznemu En odpowiadają 2ł + 1 „kwantowe orbity”.
Gęstość rozkładu przestrzennego cząstki znajdującej się na orbicie | nłm >, jest dana :
ρnłm(r, t) = | ψnłm(r, t) |2 = | Rnł(r ) Yłm(θ, φ) e-(i/ħ) Ent |2 = | Rnł(r ) |2 (2π)-1 | Θłm(θ ) |2 (34.1) tj. nie zależy ona od kąta azymutalnego φ ( wykorzystaliśmy tutaj wzory (D7.4) i (D7.7) )
Stąd widać, że | Rnł(r ) |2 jest gęstością rozkładu radialnego, a | Θłm(θ ) |2 – jest gęstością rozkładu kąta biegunowego cząstki, poruszającej się po orbicie | nłm >.
Uwzględniając (32.22), otrzymujemy :
ρnłm(r, θ) = ρnłm(r, π – θ ) (34.2)
Widać, że gęstość przestrzennego rozkładu jest symetryczna względem płaszczyzny θ = ½ π. Oprócz tego z (D7.12) wynika, że nie zależy ona od znaku, magnetycznej liczby kwantowej m :
ρnłm(r, θ) = ρn,ł, -m( r, θ ) (34.3)
Dla poglądowego przedstawienia zależności kątowej tej wielkości dogodnie jest wykorzystać diagramy biegunowe :
ρnłm(r = const. , θ) ~ | Θłm(θ ) |2 (34.4)
Przykład dla przypadku ł = 0 takiego diagramu to okrąg, a dla ł = 1 mamy :
| Θ10(θ ) |2 ~ cos2(θ) ; | Θ1, ±1(θ ) |2 ~ sin2(θ)
Rys. 11 Diagramy biegunowe rozkładu przestrzennego cząstki w stanach s i p.
Dalej znajdziemy gęstość prądu prawdopodobieństwa (7.5), odpowiadającego ruchowi cząstki na orbicie | nłm > : jnłm = ( ħ /2iµ ) ( ψ*nłm∇ ψnłm – ψnłm∇ ψ*nłm )
W sferycznym układzie współrzędnych operator gradientu ma postać
:
∇ = er ∂/∂r + eθ (1/r ) ∂/∂rθ + eφ (1/r sin(θ) ) ∂/∂φ gdzie : er , eθ , eφ – wersory.
Ponieważ funkcje Rnł(r ) iΘłm(θ ) są rzeczywiste, to : jnłm (r ) = eφ ( ħm /µ ) ( 1/ r sin(θ) ) | ψnłm (r ) |2 tj. :
jnłm (r ) = eφ [ ħm /µr sin(θ)] ρnłm(r, θ ) (34.5)
Zatem, gęstość prądu prawdopodobieństwa nie zależy od kąta azymutalnego φ i zawsze ma kierunek eφ. Przy m = 0 mamy j = 0 , przy m ≠ 0 absolutna wielkość gęstości prądu nie zależy od znaku m, a kierunek prądu przy zmianie znaku m zmienia się na przeciwny :
jnłm(r, θ ) = - jn,ł, -m(r, θ ) (34.6)
Niech po każdej z 2λ + 1 orbicie należących do poziomu energetycznego Enł porusza się jedna cząstka ( zaniedbujemy oddziaływanie cząstek między sobą ), wtedy gęstość rozkładu przestrzennego takich cząstek ma postać :
ł ł
Σ
ρnłm(r, θ) = | Rnł(r ) |2Σ
| Yłm(θ ) |2 = [ ( 2ł + 1)/ 4π ] | Rnł(r ) |2 (34.7) m=-ł m=-łtj. jest ona izotropowa ( wykorzystaliśmy tutaj wzór (D7.15) ).
Wykorzystując (34.3) otrzymujemy : ł ł
Σ
jnłm(r, θ) = eφ [ ħm /µr sin(θ)]Σ
m ρnłm(r, θ) = 0 (34.8)m=-ł m=-ł
tj. gęstość całkowitego prądu prawdopodobieństwa jest w tym przypadku równa zeru.
Omawianie „orbit kwantowych” zakończymy rozpatrzeniem rozkładu pędowego cząstki. W przypadku ogólnym takie zagadnienie zostało omówione w paragrafie 15. Zgodnie z (15.8) i (15.9) gęstość rozkładu pędowego cząstki, znajdującej się w stanie stacjonarnym | nłm >, nie jest zależna od czasu i może być zapisana zgodnie z następującym wzorem :
ρnłm(p) = ( 2πħ )-3
| ∫
e-(i/ħ) pr ψnłm(p) d3r|
2 (34.9)Z powyższego wzoru widzimy, że ρnłm(p) zależy nie tylko od wielkości, ale również i od kierunku pędu, tj. różne kierunki pędu p reprezentowane są w stanie | nłm > z różnym prawdopodobieństwem.
Wektor p scharakteryzujemy poprzez współrzędne sferyczne :
p = { p, θp , φp } (34.10)
Pokażemy dalej, że w stanie stacjonarnym | nłm > gęstość rozkładu pędowego nie jest zależna od kąta azymutalnego φp, a zależność od kąta biegunowego θp posiada uniwersalny charakter.
W tym celu wykorzystamy rozkład eksponenty stojącej pod znakiem całki w (34.9), na funkcje sferyczne ( zobacz (D9.1) ) :
ei ar = 4π
Σ
iλ jλ(ar)Y*λµ(θa , φa )Yλµ(θr , φr ) (34.11)λµ
gdzie : jλ(x) – funkcje sferyczne Bessela, z którymi już spotkaliśmy się w paragrafie 33.
Podstawiając (34.11) do (34.9) i uwzględniając ortonormalność funkcji Yłm(θ, φ ), otrzymujemy :
Stąd widać, że zależność gęstości ρnłm(p) od wartości absolutnej pędu p jest jednakowa dla wszystkich ( 2λ + 1) orbit kwantowych, odpowiadających poziomowi energetycznego Enł i jest określony poprzez postać radialnej funkcji falowej Rnł(r ).
W przypadku szczególnym, kiedy ł = 0, rozkład pędu cząstki jest sferycznie symetryczny i może być obliczony według wzoru :
∞
ρn00(p) = ( 1/2π2ħ3 )
| ∫
[ sin(prħ)/ (pr/ħ )] Rn0(r) r2 dr|
2 (34.11) 0Wykorzystaliśmy tutaj zależności Θ00 = 2-1/2 ( zobacz (D7.18) oraz j0(x ) = sin(x)/x ( zobacz (D8.6) )
Oczywiście wzór (34.13) możemy również łatwo otrzymać bez odwoływania się do rozkładu (34.11), obliczając
bezpośrednio całkę stojącą w (34.9). Jednakże jeśli ł ≠ 0, to takie bezpośrednie obliczenie okazuje się bardziej uciążliwe i złożone niż wykorzystanie rozkładu (34.11).
35. Ruch cząstki w polu coulombowskim ( spektrum dyskretne ).
Znajdziemy teraz stany stacjonarne spektrum dyskretnego cząstki w polu coulombowskim o energii potencjalnej :
V(r ) = – Ze2 /r , Z > 0 (35.1)
Będziemy poszukiwali rozwiązania równania (32.26) dla funkcji radialnej u(r ) przy ustalonej wartości ł w postaci :
uł(r ) = rł+1e–κr Wł(r ) (35.2)
gdzie :
κ = (1/ħ ) sqrt( 2µ|E | ) (35.3)
gdzie : Wł(r ) – jest pewnym wielomianem.
Rozwiązaniem odpowiedniego równania dla Wł(r ) jest zdegenerowana funkcja hiperboliczna :
Wł(r ) = F( –sqrt( µe4 Z2 / 2ħ2 |E | ) + ł + 1 , 2λ + 2 , 2κr ) (35.4)
Przy czym całkowalność z kwadratem funkcji uł(r ) ma miejsce tylko w tym przypadku, kiedy F sprowadza się do wielomianu o skończonym stopniu, a ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, kiedy pierwszy argument (35.4) jest liczbą całkowitą ujemną lub zerem :
Z (35.8) wynika, że jeśli ustalimy pewną wartość n ,a nie ł , to ł może przyjmować następujące wartości :
ł = 0, 1, 2, ... , n – 1 (35.10)
Liczba kwantowa n może przyjmować tylko całkowite i dodatnie wartości :
n = 1, 2, 3, ... (35.11)
i zgodnie z (35.7) odgrywa rolę głównej liczby kwantowej.
Funkcje radialne, odpowiadające parze liczb kwantowych n, ł mają postać :
Rnł(r ) = Nnł rł exp( - Zr/ na ) F( ł + 1 – n , 2λ + 2 , 2Zr/na ) (35.12) gdzie :
a = ħ2 /µe2 ≈ 5,29 • 10-9 [cm] (35.13)
nazywa się atomową jednostką długości.
Zauważmy, że zdegenerowana funkcja hipergeometryczna obecna we wzorze (35.12) sprowadza się do uogólnionego wielomianu Laguerre’a ( zobacz Dodatek 10 ) :
F( ł + 1 – n , 2λ + 2 , 2Zr/na ) = [ ( 2ł + 1)! / ( n + ł )! ] L2ł+1n-ł-1( 2Zr/na) (35.14) Czynnik Nnł określamy z warunku normalizacyjnego (32.31).
Widzimy zatem, że dyskretne spektrum energetyczne cząstki w polu coulombowskim (35.7) przedstawia sobą układ poziomów zawężających się ku poziomowi E = 0, który to nie należy do tego spektrum. Energię każdego stanu stacjonarnego określamy jednoznacznie poprzez główną liczbę kwantową i nie jest ona zależna od orbitalnej liczby kwantowej ł.
Przy danej wartości energii En , tj. przy ustalonej wartości n, orbitalna liczba kwantowa ł przyjmuje n różnych wartości (35.10), każdej z których odpowiada 2ł + 1 liniowo niezależnych funkcji :
ψnłm(r) = Rnł(r ) Yłm(θ, φ)
Zatem, pomimo zdegenerowania względem magnetycznej liczby kwantowej m, obowiązkowego dla dowolnego pola sferycznie symetrycznego ( zobacz paragraf 32 ), w polu coulombowskim dla wszystkich poziomów, oprócz
podstawowego, zachodzi dodatkowe zdegenerowanie względem orbitalnej liczby kwantowej ł, które to w paragrafie 32 nazwaliśmy „zwyczajnym”.
Łatwo sprawdzi, że krotność zdegenerowania każdego poziomu energetycznego jest dana przez liczbę :
Nn = n2 (35.15)
W tabwli 1 pokazano liczby kwantowe niższych stanów stacjonarnych cząstki w polu coulombowskim oraz przedstawiono krotność zdegenerowania Nn każdego poziomu energetycznego.
Zauważmy, że każdemu poziomowi energetycznemu, oprócz podstawowego, przynależą stany zarówno z dodatnią ( ł – parzyste ) , jak i ujemną ( ł – parzyste ) parzystością.
Tabela 1
. Niższe stany stacjonarne w polu coulombowskim.(* symbol stanu *)
Rozpatrzmy teraz liniową kombinacje ś funkcji własnych należących do pewnego poziomu energetycznego : ψ = αψnł + βψnł’
Niech przy tym parzystości liczb ł i ł’ będą przeciwne. Funkcja ψ jest funkcją własną, należącą do zadanego poziomu energetycznego, ale nie posiada ona określonej parzystości. Dlatego cząstka, poruszająca się w polu coulombowskim z pewną określoną wartością energii, może znajdować się nie tylko w stanach o określonej parzystości , ale również w takich stanach w których parzystość nie posiada określonej wartości ( wyjątek stanowi najniższy poziom energetyczny, któremu odpowiada tylko stan parzysty ). Przykładowo w stanie ψ = ( ψ2s + ψ2p ) / √2 parzystość nie posiada określonej wartości. Taka sytuacja jest analogiczna do tej, którą rozpatrywaliśmy w paragrafie 32 w związku ze zdegenerowaniem względem liczby m w dowolnym polu o symetrii sferycznej.
Wypiszmy wartości średnie r±1 i r±2 w dowolnym stanie stacjonarnym ( nł ) :
Wzory te można otrzymać z pomocą zależności podanych w dodatku 10.
Z pomocą (35.16) i (35.17) możemy znaleźć dyspersje współrzędnej r w dowolnym stanie (nł ) :
< nλ | ( r – r− ) |2 nł > = ¼ (a/Z )2 { n2 ( n2 + 2 ) – ł2( ł + 1)2 } (35.18)
Stąd widać, że przy ustalonym n współrzędna r posiada minimalny rozrzut, jeśli ł posiada maksymalną możliwą wartość ł = n – 1. Takie orbity coulombowskie nazywają się „kolistymi”
Na zakończenie zauważmy, że funkcje falowe (35.12), obliczone przy dowolnym Z, nazywają się wodoropodobnymi.
Przy Z = 1 opisują one stany stacjonarne atomu wodoru. Należy pamiętać ( zobacz ćwiczenie 8.8 ), że w tym przypadku do równania Schrödingera, a zatem i do zależności (35.9) i (35.13) wchodzi nie masa elektronu, a zredukowana masa atomu wodoru :
µ = me mp / me + mp (35.19)
Ponieważ me << mp, to pojawiająca się przy tym poprawka do widma (35.7) i do funkcji falowych (35.12) jest niewielka, jednakże niekiedy należy ją uwzględniać ( zobacz ćwiczenie 9.8 )
36. Trójwymiarowy izotropowy oscylator harmoniczny.
Znajdziemy teraz stany stacjonarne ruchu cząstki o masie µ w polu o energii potencjalnej :
V(r) = ½ µω2r2 (36.1)
Będziemy poszukiwali rozwiązania równania (32.26) dla funkcji radialnej u(r ) przy ustalonej wartości ł w postaci :
uł(r ) = rł+2 exp( - ½ (r/r0 )2 ) Wł (r ) (36.2)
gdzie :
r0 = ( ħ/µω)1/2 (36.3)
Wł (r ) – jest pewnym wielomianem.
Rozwiązaniem odpowiedniego równania dla Wł (r ) jest zdegenerowana funkcja hipergeometryczna :
Wł (r ) = F( ½ ( ł + 3/2 – E/ħ ), ł + 3/2 , (r/r0 )2 ) (36.4)
Przy czym całkowalność z kwadratem funkcji uł (r ) ma miejsce tylko w tym przypadku, kiedy F sprowadza się do wielomianu o skończonym stopniu, tj. wtedy i tylko wtedy, kiedy pierwszy argument zdegenerowanej funkcji hipergeometrycznej jest liczbą całkowitą ujemną :
½ ( ł + 3/2 – E/ħ ) = - n (36.5)
gdzie :
n = 0, 1, 2, 3, ... (36.6)
Stąd otrzymujemy spektrum energetyczne trójwymiarowego izotropowego oscylatora harmonicznego :
EΛ = ħω ( Λ + 3/2 ) (36.7)
Gdzie :
Λ = 2 n + ł = ł , ł + 2, ł + 4, ... (36.8)
dla wybranej wartości ł.
Z (36.8) wynika, że Λ może przyjmować tylko wartości całkowite nieujemne :
Λ = 0,1, 2, 3, ... (36.9)
i odgrywa rolę głównej liczby kwantowej.
W celu oznaczenia stanów stacjonarnych trójwymiarowego izotropowego oscylatora harmonicznego przyjęto wykorzystywać w miejsce pary liczb kwantowych ( Λ, ł ) symbol ( ½ (Λ− ł ) + 1 , ł ) : 1s, 1p, 2s, 1d, itd.
Kombinacja liczb kwantowych ½ (Λ - ł ) posiada prosty sens – wskazuje ona który raz stan z daną wartością ł pojawia się w takim układzie. Przy ustalonym Λ orbitalna liczba kwantowa ł może przyjmować następujące wartości :
ł = { 0, 2, 4, ..., Λ - 2 , Λ jeśli Λ jest parzyste (36.10)
{ 1, 3, 5, ..., Λ - 2 , Λ jeśli Λ jest nieparzyste przy czym każdej wartości ł odpowiada jedna wartość ł :
n = ½ ( Λ - ł ) (36.11)
oraz 2ł + 1 wartości magnetycznej liczby kwantowej m. Łatwo sprawdzić, że krotność zdegenerowania każdego poziomu energetycznego jest :
NΛ = ½ ( Λ + 1) (Λ + 2 ) (36.12)
Funkcje radialne mają postać :
Rnł(r ) = Nnł rł exp[ - ½ ( r/r0 )2 ] F( ł + 3/2 , – n , ( r/r0 )2 ) (35.13) F( ł + 3/2 , – n , ( r/r0 )2 ) = [ Γ( ł + 3/2 ) / Γ( n + λ + 3/2 ) ] Lnł+ ½ ( r/r0 )2 (36.14) gdzie : Γ(x) funkcja gamma , Lαβ (x ) – uogólniony wielomian Laguerre’a, Nnł – czynnik normujący, określony poprzez warunek normalizacji (32.31).
W tabeli 2 ukazano liczby kwantowe oraz funkcje radialne Rnł (r ) niższych stanów stacjonarnych zadanego oscylatora, wskazano również krotność zdegenerowania NΛ każdego poziomu energetycznego.
Tabela 2
. Niższe stany stacjonarne trójwymiarowego izotropowego oscylatora harmonicznego.Widać zatem , że spektrum energetyczne trójwymiarowego izotropowego oscylatora harmonicznego przedstawia sobą układ poziomów o odległościach między nimi ħω, przy czym minimalna wartość energii jest równa 3/2ħω.
Wszystkie poziomy o Λ ≥ 2 mają „zwyczajne zdegenerowanie” względem orbitalnej liczby kwantowej ł, które uwarunkowane jest specyfiką oddziaływania. Zauważmy, że w odróżnieniu od ruchu w polu coulombowskim teraz, każdej wartości własnej hamiltonianu przynależą tylko takie funkcje własne, które posiadają jednakową parzystość ( zobacz (36.10) ), dlatego też dowolny stan stacjonarny oscylatora posiada określoną parzystość, która określona jest jednoznacznie przez energię stanu :
P = ( –1 )Λ (36.15)
Teraz rozpatrzymy zagadnienie ruchu oscylatora harmonicznego we współrzędnych kartezjańskich. W tym celu energię potencjalną (36.1) przedstawimy w następującej postaci :
V(r ) = ½ µω2 (x2 + y2 + z2 ) (36.16)
Hamiltonian układu przyjmuje postać :
H^ = H^x(x) + H^y(y) + H^z(z) (37.17)
Gdzie :
H^i(xi ) = - ( ħ2 /2µ) ∂2/∂xi2 + ½ µω2xi2 (36.18)
{ xi }13 ≡ { x, y, z }
Wtedy dowolne rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera : H^ψ(r ) = Eψ(r )
możemy przedstawić w postaci :
ψ(r ) = ψ^x(x)ψy(y)ψz(z) (37.19) przy czym każda funkcja ψi(xi ) spełnia jednowymiarowe równanie :
H^i(xi) ψi (xi) = Eiψi (xi) , i = 1, 2 , 3 (37.20)
Gdzie :
E = E1 + E2 + E2 (36.21)
Zatem, we współrzędnych kartezjańskich dane zagadnienie sprowadza się do zagadnienia o liniowym oscylatorze harmonicznym, które to rozpatrzyliśmy w paragrafie 11. Wykorzystując otrzymane tam wyniki otrzymujemy :
ψnx nynz(x, y, z ) = ψnx(x) ψny(y) ψnz(z) (36.22)
gdzie :
ψni(xi) = ( √π 2ni ni! r0 )-1/2 Hni ( xi /r0 ) e- ½ ( xi / r0 )2
r0 = sqrt( ħ / µω ) (36.23)
Eni = ħω ( ni + ½ ) , ni = 0, 1, 2, 3 ,...
Zatem, każdy stan stacjonarny określony jest jednoznacznie przez trzy liczby kwantowe | nx , ny , nz >, a jego energia dana jest przez wyrażenie :
EΛ = ħω ( Λ + 3/2 ) (36.24)
Gdzie :
Λ = nx + ny + nz (36.25)
Widać, że do każdego poziomu energetycznego EΛ przynależy tyle liniowo niezależnych stanów NΛile istnieje różnych trójek liczb nx , ny , nz spełniających równanie (36.25).
Możliwe wartości takich liczb dla Λ = 0, 1, 2 pokazano w tabeli 3.
Tablica 3.
Niższe stany stacjonarne trójwymiarowego izotropowego oscylatora harmonicznego ( współrzędne kartezjańskie )Łatwo sprawdzić, ze przy dowolnym Λ, krotność zdegenerowania NΛ pokrywa się z krotnością zadaną poprzez wzór (36.12). Ponieważ parzystość wielomianu Hermite’a Hn(ξ ) jest ( -1)n , dla parzystości funkcji ψnx nynz(x, y, z ) ( zobacz (36.22) ) otrzymujemy :
P = (-1)nx + ny + nz = (-1)Λ
Co pokrywa się z wynikiem (36.15), otrzymanym przy rozwiązywaniu danego zagadnienia we współrzędnych sferycznych.
Zatem, znaleźliśmy dwa zbiory zupełne ortonormalnych funkcji własnych hamiltonianu trójwymiarowego izotropowego oscylatora harmonicznego :
1) ψnłm(r) = Rnł(r ) Yłm(θ, φ) (36.26)
gdzie Rnł(r ) zadane jest wzorem (36.13).
2) ψnx nynz(x, y, z ) = ψnx(x) ψny(y) ψnz(z) (36.27)
gdzie ψni(xi) zadane jest wzorem (36.23).
Każdy stan ze zbioru pierwszego (36.26) zadany jest poprzez wartości trzech wielkości fizycznych : energii całkowitej, kwadratu momentu pędu i jego rzutu na oś z.
Każdy stan ze zbioru drugiego (36.27) zadany jest poprzez wartości trzech liczb kwantowych nx , ny , nz. Liczby te określają energię stanu (36.24) i mogą być rozpatrywane jako liczby drgań kwantowych ( fononów ) o energii ħω wzdłuż osi odpowiednio x, y, z. Zbiory | nłm > i | nx ny nz > dają równoważne opisy stanów stacjonarnych trójwymiarowego oscylatora, a przejście od jednego opisu do drugiego dokonywane jest za pomocą przekształcenia unitarnego ( zobacz paragraf 24 ).