Całki gaussowskie i rozkład perturbacyjny

Teraz zdefiniujemy całki Gaussa, w których całkowanie prowadzone jest po dwóch rodzinach generatorów {θi ,θ– i } i = 1, ... , n, analogiczne do zespolonych całek Gaussa, które omawialiśmy w podrozdziale 6.1.

7.4.1 Całki Gaussa.

Na początku zajmiemy się obliczaniem całek Gaussa, w sposób analogiczny jak to robiliśmy w przypadku zmiennych zespolonych – w miarę możliwości dowolna całkę staramy się sprowadzić do sumy formalnej skończonej lub nieskończonej liczby całek gaussowskich.

Na początku rozpatrzmy całkę :

n Z(M) =

∫

_dθ1dθ^–_{1 dθ2dθ}^–2 ... dθndθ–

n exp( Σ θ–i Mij θj ) (7.17)

i,j=1

Zgodnie z zasadami całkowania w algebrze Grassmanna, całka taka jest równa współczynnikowi stojącemu przed iloczynem θ–n θn ... θ–

1θ1 w rozkładzie wyrażenia podcałkowego. W wykładniku eksponenty stoją składowe tylko należące do ℑ+ które komutują. Dlatego wyrażenie podcałkowe może być zapisane następująco :

n n n n n

exp( Σ θ–i Mij θj ) =

Π

_exp(θ–i Σ Mij θj ) =

Π

( 1 + θ–i Σ Miji θji ) i,j=1 i=1 j=1 i=1 ji = 1

Rozkładając iloczyn widzimy, ze w każdym czynniku tylko człon, proporcjonalny do θ–i daje wkład do całki.

Zatem, pozostaje scałkować : n n

Π

_{θ–i (} Σ Miji θji ) i=1 ji = 1

Człony dające niezerowy wkład do całki, to te do których wchodzi iloczyn θn ... θ1 z dokładnością do permutacji czynników θj. Mają one postać :

Σ Mnjn Mn–1jn–1 … M1j1θ–n θjn ... θ–1θjł permutacje

{ j1... jn }

Przy komutacji generatorów w celu przedstawienia ich wszystkich iloczynów w pewnej standardowej postaci, np.

θ–nθn ... θ–1θ1, pojawia się znak – sygnatura permutacji – dlatego we współczynniku łatwo rozpoznać wyznacznik macierzy M. Zatem :

Z(M ) = det M (7.18)

Wynik ten jest odwrotny w stosunku do (6.4), otrzymanym przy całkowaniu po zmiennych zespolonych.

Podane obliczenie jest w dużym stopniu sprawdzeniem, ponieważ przy det M ≠ 0 można również dokonać zamiany zmiennych :

θi → θ’i = Σ Mij θj (7.19)

j

i wykorzystać postać jakobianu (7.15). Można się przy tym przekonać, że : n n Z(M ) = det M

∫

_dθ’1dθ^–1 ... dθ’ndθ–

n exp( Σ θ–i θ’i ) = det M

∫ Π

_dθ’idθ^–_{i ( 1 + θ}^–i θ’i ) = det M i=1 i=1

Hermitowska forma kwadratowa. Zgodnie z definicją (7.7) sprzężenia zespolonego θ–i θi są wielkościami sprzężonymi. Oprócz tego wielkość sprzężona do formy kwadratowej ma postać :

N n n Σ ( θ–i Mijθj )† = Σ θ–j M–

ijθi = Σ θ–i Mij† θj i,j=1 i,j = 1 i,j=1

Jeśli macierz M jest macierzą hermitowską, to forma kwadratowa jest inwariantna względem sprzężenia zespolonego.

Wtedy całka jest równa liczbie rzeczywistej, ponieważ : det M = det M† = (det M )–

zgodnie z analizą przeprowadzoną w podrozdziale 7.3.1.

7.4.2 Całki gaussowskie o ogólnej postaci.

Wprowadzimy jeszcze jedną algebrę Grassmanna ℑ, której generatory będziemy oznaczali jako ηi i η–

i i rozpatrzymy algebrę Grassmanna, generowana przez zbiór {θ, θ–,η, η– }. Działając zgodnie ze strategią z podrozdziału 6.1 na początku znajdziemy wartość całki :

ZG(η, η– ) =

∫ Π

_dθidθ^–i exp[ EG(θ, θ–,η, η– )] (7.20)

gdzie

n n

EG(θ, θ–,η, η– ) = Σ θ–i Mijθj + Σ ( η–i θi + θ–

i ηi ) (7.21)

i,j=1 i=1

tj. EG jest elementem sumy prostej dwóch kopii wejściowej algebry Grassmanna. Oprócz tego, będziemy przyjmowali iż det M ≠ 0

Aby wyzerować składowe, liniowe po θ, θ– rozwiążemy równania :

∂EG /∂θi = 0 , ∂EG/∂θ–i = 0 Wprowadzając macierz odwrotną :

∆ = M–1

możemy zapisać rozwiązania θs ,θ–s w postaci : θsi = – Σ ∆ij ηj , θ–s

i = – Σ η–j ∆ij

Podobnie jak w przypadku standardowych całek, dokonamy zamiany zmiennych {θi } → { θ’i }, przyjmując : θi = θ’i – Σ ∆ij ηj , θ–

i = θ’–

i – Σ η–j ∆ij (7.22)

Po takim przesunięciu całka po θ’, θ’– przyjmuje postać całki (7.17), obliczonej wcześniej (równanie (7.18)).

W ostateczności otrzymujemy : n

ZG(η, η– ) = det M exp( – Σ η–j ∆ij ηj ) (7.23)

i,j=1

7.4.3 Gaussowskie wartości średnie, twierdzenie Wicka.

Poprzez < • >η będziemy oznaczali wartości średnie względem miary Gaussa, odpowiadającej wyrażeniu podcałkowemu (7.20). Z definicji (7.20), (7.21) wynika, że :

< θi >η = ZG–1 ∂/∂η–i ZG (7.24)

< θ–i >η = – ZG–1 ∂/∂ηi ZG (7.25)

Proszę zwrócić uwagę na znak w równaniu (7.25).

Drugą użyteczną tożsamość otrzymujemy przy dwukrotnym różniczkowaniu (proszę zwrócić uwagę na porządek ) :

< θ–i θj >η = ZG–1 ∂/∂η–j ∂/∂ηi ZG – ( ZG–1 ∂/∂η–j ∂/∂ηi ZG ) ( ZG–1 ∂/∂ηi ZG ) (7.26) W charakterze uogólnienia, różniczkując η i η– można dowieść twierdzenia Wicka dla zmiennych Grassmanna.

Twierdzenia Wicka. Wprowadzimy następującą definicje :

n det M < θ–i1θj1θ–i2 θj2 ... θip θjp > =

∫

(

Π

_dθidθ^–_{i ) θ}^–_{i1θj1θ–i2 θj2 ... θip θjp} exp ( Σ Mijθ–

i θj ) (7.27) i i,j=1

gdzie p ≤ n.

Możemy ograniczyć się do obliczania całek o jednakowej liczbie czynników θ i θ– ponieważ pozostałe całki są równe zero.

W pierwszej kolejności, równość (7.26) w granicy η = η– = 0 daje :

< θ–i θj >η = ∆ji

Powtórnie różniczkując całkę (7.20) po η i η– i wykorzystując (7.24) – (7.26) otrzymamy następującą tożsamość : det M < θ–i1θj1θ–i2 θj2 ... θip θjp > = [ ∂/∂η–j1∂/∂ηi1... ∂/∂η–jp ∂/∂ηip ZG(η, η– ) ] |

η = η– = 0 (7.28)

Zamieniając ZG na jawny wynik (7.23), otrzymamy :

< θ–i1θj1θ–i2 θj2 ... θip θjp > = { ∂/∂η–j1∂/∂ηi1... ∂/∂η–jp ∂/∂ηip exp[ – Σ η–j ∆ij ηj ] } | η = η– = 0 (7.29) Wszystkie zmienne η i η– po których nie prowadzimy różniczkowania, mogą być od razu odrzucone.

Wtedy macierz ∆ sprowadza się do macierzy p × p o elementach ∆jłik. Tożsamość różniczkowania i całkowania pozwala sprowadzić jawny rachunek do całkowania gaussowskiego. W wyniku tego, otrzymamy :

< θ–i1θj1θ–i2 θj2 ... θip θjp > = det ∆jłik = Σ ε(P) ∆jP1i1 ∆jP2i2 ... ∆jPpip = permutacje P zbioru

{ j1 ... jp}

= Σ ε(P) < θ–i1θjP1> < θ–i2θjP2> ... < θ–ipθjPp>

permutacje P zbioru { j1 ... jp}

gdzie ε(P) = ± 1 – sygnatura permutacji P.

Dany wynik, który reprezentuje sobą twierdzenie Wicka dla przypadku „zespolonych” zmiennych Grassmanna, różni się od wyrażenia (6.9a), otrzymanego dla przypadku standardowych zmiennych zespolonych, tylko obecnością sygnatury.

7.4.4 Rozkład perturbacyjny.

Aby obliczyć wartość średnia z wagą exp(E(θ, θ– ))/Z, gdzie : n

E(θ, θ– ) = Σ Mij θ–

i θj + V(θ, θ– ) (7.31)

i,j=1

normalizacja Z dana jest przez całkę :

Z =

∫ Π

_dθidθ^–i exp(E(θ, θ– )) (7.23)

Należy dokonać rozkładu względem potęg wielomianu V, a następnie obliczyć gaussowskie wartości średnie, stosując twierdzenie Wicka w formie (7.30).

Przykład. Rozpatrzmy następujący przykład : n

E(θ, θ– ) = Σ Mij θ–

i θj + ½ Σ Vij θ– i θi θ–

j θj

i,j=1

Pierwsze człony rozkładu ln Z, gdzie Z – jest unormowaną całką (7.32), względem potęg V maja postać : ln Z – ln det M = ½ Σ Vij < θ–

i θi θ–

j θj >0,c + 1/8 Σ Vij Vkł < θ– i θiθ–

j θj θ– k θkθ–

ł θł >0,c + O(V3 ) i,j i,j,k,ł

gdzie < • >0,c – oznacza spójną gaussowską wartość średnią.

Wykorzystując twierdzenie Wicka, otrzymamy :

ln Z – ln det M = ½ Σ Vij ( ∆ii ∆jj – ∆ji ∆ij ) + ¼ Σ Vij Vkł ( –2∆ki ∆ik ∆jj ∆łł + 4∆ki ∆ił ∆łk ∆jj – i,j i,j,k,ł

– 2∆ki ∆ij ∆jł ∆łk + ∆ik ∆ki ∆łj ∆jł – ∆ki ∆ił ∆łj ∆jk ) + O(V3 )

gdzie znaki odpowiadają parzystości liczby pętli fermionowych w diagramach Feynmanna (rys 7.1 )

Rys. 7.1 Diagramy Feynmanna : wkłady rzędu V, linie ciągłe odpowiadają ∆ (fermiony), linie punktowe V.

Dwupunktowe wartości średnie. W rzędzie V2 spełniona jest zależność : Z<θ–k θł > = ∆łk + ½ Σ Vij < θ–

k θł θ– i θi θ–

j θj >0 + 1/8 Σ Vij Vab < θ– k θł θ–

i θi θ– j θjθ–

a θa θ–

bθb >0 + O(V3 ) i,j i,j,k,ł

gdzie < • >0 – oznacza gaussowską wartość średnią.

Stosując twierdzenie Wicka, po skróceniu członów normalizujących, otrzymamy (porządek V przedstawiono na rysunku 7.2 )

<θ–k θł > = ∆łk + Σ Vij ( ∆łj ∆ji ∆ik – ∆łi ∆ik ∆jj ) + Σ (∆łjVjb ∆bb ∆ji Via ∆aa∆ik – ∆łj Vjb ∆jb ∆ja ∆ia ∆ai ∆ik – i,j i,j,a,b

– ∆łj Vjb ∆jb ∆bi Via ∆aa ∆ik + ∆łjVjb ∆jb ∆ba Vai ∆ai ∆ik + ∆łi Via ∆aj Vjb∆bb ∆ja∆ik – ∆łjVji ∆ab ∆bb ∆ai∆ik – – ∆łj Via ∆aj Vjb ∆jb ∆ba ∆ik + ∆łjVji ∆ja ∆ab ∆bi ∆ik – ∆łjVjb ∆ab ∆ba Vai ∆ji ∆ik + ∆łj Vja ∆jb ∆bi ∆ba ∆ai∆ik ) + + O(V3 )

Rys. 7.2 Diagramy Feynmanna : wkłady rzędu V, linie ciągłe odpowiadają ∆ (fermiony), linie punktowe V.

Funkcja tworząca. Wartości średnie o ogólniejszej postaci, mogą być również otrzymane z funkcji tworzącej :

Z(η, η– ) =

∫

(

Π

_dθidθ^–i ) exp[ E(θ, θ– , η, η– )] (7.33)

Gdzie :

n n E(θ, θ– , η, η– ) = Σ Mij θ–

i θj + V(θ, θ– ) + Σ ( η–i θi + θ–

i ηi ) (7.34)

i,j=1 i =1

Rozkład w szereg potęgowy po V sprowadza obliczenie do średnich gaussowskich.

Wykorzystując wyniki (7.24), (7.25), otrzymamy dla rozkładu perturbacyjnego zwarte wyrażenie formalne :

Z(η, η– ) = exp[ V( –∂/∂η, ∂/∂η– )] ZG(η, η– ) (7.35)

W dokumencie Całki po trajektoriach w mechanice kwantowej (Stron 115-119)