Dodatek własny A - Całki Gaussa
Rozdział 7 Całki po trajektoriach : fermiony
7.10 Kwantowy gaz Fermiego
W pierwszej kolejności, należy uogólnić powyżej uzyskane wyniki na przypadek niezależnych fermionów, kiedy to możliwe stany kwantowe należą do przestrzeni Hilberta, a nie skończenie wymiarowej zespolonej przestrzeni wektorowej. Następnie włączymy do naszej analizy i przypadek fermionów oddziałujących. W danym podrozdziale pokażemy, jak wystarczająco proste uogólnienia całki po trajektoriach z podrozdziału 7.9 pozwala wyrazić sumę statystyczną nierelatywistycznych układów fermionowych w postaci całki polowej lub funkcjonalnej (w tym przypadku należy całkować po polach grassmannowskich ).
7.10.1 Niezależne fermiony : przestrzeń Hilberta.
Jak już zauważyliśmy, założenie o skończonym wymiarze przestrzeni wektorowej stanów jednocząstkowych jest zbyt sztywnym ograniczeniem, ponieważ w takim przypadku całkowita liczba fermionów jest ograniczona. W bardziej interesujących zastosowaniach należy zamienić dla stanów jednoczątkowych przestrzenie skończeniewymiarowe na przestrzenie Hilberta. Wtedy równanie stanu tak jak wcześniej może być zapisane w postaci (7.88) :
< N > = tr { 1/ exp[ β(H(1) – µ ) + 1] } ale teraz H(1) – jest jednocząstkowym kwantowym hamiltonianem o ogólnej postaci.
W charakterze ilustracji rozpatrzymy gaz swobodnych fermionów w pojemniku o jednakowych rozmiarach L we wszystkich wymiarach n, zatem o objętości Ld ,d – liczba wymiarów przestrzennych.
Jednocząstkowy kwantowy hamiltonian jest to : H(1) = p^2 /2m
W pojemniku pędy są skwantowane, przy czym konkretna postać zależna jest od warunków granicznych.
Wykorzystując, dla wygody periodyczne warunki graniczne, chociaż nie odgrywa to roli w niniejszej analizie, otrzymamy :
p = 2πhn/ L , n ∈ Zd
a odpowiadająca takiemu pędowi energia ma wartość E = p2/2m.
Wyprowadzenie równania stanu w d wymiarach przestrzennych wynika z argumentacji, przedstawionej w podrozdziale 6.8.2. W granicy nieskończonej objętości L → ∞ dla gęstości otrzymamy :
ρ(β, µ ) = < N > / Ld = [1/ (2πd)d ]
∫
ddp / exp[ β( p2/2m – µ)] + 1 (7.89) L→∞W szczególności, w przestrzeni izotropowej powierzchnie Fermiego – jest to sfera p2/2m = µ.
7.10.2 Fermiony oddziałujące : całka po polach.
Teraz rozpatrzymy hamiltonian H, zawierający w sobie oddziaływanie, z podrozdziału 6.9, mający postać (6.85) w n- cząstkowej przestrzeni i podlegający tej samej strategii. Jedyną różnicą jest to, że teraz mamy do czynienia z układami fermionowymi, zatem funkcje falowe ψn są antysymetryczne. Zatem, argumentami funkcjonału tworzącego powinny być funkcje ϕ(x), będące tworzącymi nieskończenie wymiarowej algebry Grassmanna i spełniające zależność : ϕ(x)ϕ(x’) + ϕ(x’)ϕ(x) = 0
Zdefiniujmy funkcjonał :
Ψ(ϕ) = Σ (1/n!) [
∫ Π
ddxi ϕ(xi )] ψn( x1, ... , xn ) (7.90) n=0Teraz realizacja reprezentacji w postaci całki polowej wynika z argumentacji, opisanej dla przypadku bozonowego w podrozdziale 6.9, za tym wyjątkiem, że należy z uwagą śledzić uporządkowanie czynników w iloczynach polowych oraz znaki takich iloczynów.
Iloczyn skalarny dwóch funkcjonałów tworzących zdefiniowany jest z użyciem grassmannowskiej całki po polach, uogólniającej wyrażenie (7.41) :
( Ψ1,Ψ2 ) =
∫
[dϕ(x) dϕ–(x)] Ψ†1(ϕ)Ψ2(ϕ) exp[
∫
ddx ϕ–(x)ϕ(x) ]Odpowiednie jądro operatora jednostkowego, uogólniające wyrażenie (7.44) ma postać :
I(ϕ, ϕ– ) = exp[ –
∫
ddx ϕ–(x)ϕ(x)] (7.91)Formalne wyrażenie dla członu kinetycznego jest takie samo, jak w przypadku bozonowym (zobacz podrozdział 6.9) Składowa potencjalna również pozostaje bez zmian, jednakże z określonym uporządkowaniem pól w iloczynach. W oznaczeniach z podrozdziału 7.8 hamiltonian ma reprezentacje w postaci jądra :
< ϕ | H | ϕ– > = H(ϕ, ϕ– ) I(ϕ, ϕ– ) gdzie
H(ϕ, ϕ– ) = –(h2/2m)
∫
ddx ϕ(x) ∇x2 ϕ–(x) + ½∫
ddx ddy ϕ(x)ϕ(y) V(x – y)ϕ–(x)ϕ–(y) (7.92) Reprezentacja sumy statystycznej gazu Fermiego w postaci całki polowej ma postać :Z(θ/h ) = tr U(τ/2, –τ/2 ) =
∫
(dϕ(t,x) dϕ–(t,x)] exp[ –S(ϕ–,ϕ )/h ] (7.93) z aperiodycznymi warunkami granicznymi :ϕ(τ/2, x ) = –ϕ(–τ/2,x ) ; ϕ–(τ/2, x) = –ϕ–(– τ/2, x) i działaniem euklidesowym :
S(ϕ, ϕ– ) =
∫
dt ddx ϕ–(t, x) [ h ∂/∂t + (h2/2m)∇x2 + µ ] ϕ(t, x ) ++ ½
∫
dt ddx ddy ϕ–(t, x)ϕ(t, x) V(x – y)ϕ–(t, y)ϕ(t, y) (7.94) 7.10.3 Równanie stanu.W pierwszej kolejności przekonamy się, że w swobodnej teorii pola równanie stanu sprowadza się do równania (7.89) dla swobodnych fermionów, a następnie krótko omówimy wpływ oddziaływania.
Swobodna teoria pola. Działanie swobodnej teorii pola sprowadza się do : S(ϕ, ϕ– ) =
∫
dt ddx ϕ–(t, x) [ h ∂/∂t + (h2/2m)∇x2 + µ ] ϕ(t, x )Dogodna reprezentacje otrzymamy z pomocą wprowadzenia przekształcenia Fouriera pola : ϕ(t, x ) =
∫
ddpexp(ipx/h ) ϕ~(t, p)ϕ– (t, x ) =
∫
ddp exp(–ipx/h ) ϕ~†(t, x)W takim przypadku forma kwadratowa w działaniu może być zdiagonalizowana, a działanie przyjmie postać : S(ϕ, ϕ– ) = (2πh)d
∫
dt ddp ϕ~†(t, p) [ h ∂/∂t – (p2/2m)+ µ ] ϕ~(t, p)W swobodnej (gaussowskiej ) teorii wszystkie wielkości mogą być wyrażone poprzez funkcje dwupunktową.
Wykorzystując wynik (7.75), otrzymamy :
< ϕ~†(t, p), ϕ~(t’, p’ ) > = [ 1/(2πh)d ] ∆(t – t’, p ) δd(p – p’ ) gdzie
∆(t, p ) = ½ exp[ –ω(p)t/h] {sgn(t) + [ sh( ½ω(p)τ/h ) / ch( ½ω(p)τ /h) ]}
oraz ω(p) = (p2/2m) – µ
Równanie stanu otrzymujemy na drodze różniczkowania sumy statystycznej (7.93). Jeśli mamy do czynienia z periodycznym pojemnikiem o wymiarze liniowym L, to dla gęstości otrzymamy :
ρ(β, µ ) = (1/βLd ) ∂ ln Z/∂µ = (1/βLdh )
∫
dt ddx < ϕ(t, x)ϕ–(t, x) > = < ϕ(0,0) ϕ–(0,0) >gdzie wykorzystano translacyjną inwariantność w przestrzeni i czasie.
Wprowadzając przekształcenia Fouriera dla pól, otrzymamy :
ρ(β, µ ) = –
∫
ddp ddp’ < ϕ–†(0, p)ϕ~(0, p’) > = – [ 1/(2πh)d ]∫
ddp ∆(0, p ) == – [ 1/(2πh)d ]
∫
ddp ½ {sgn(0) + [ sh( ½βω(p)) / ch( ½βω(p))] }Dane wyrażenie pokrywa się z wynikiem (7.89), otrzymanym bezpośrednio, kiedy sgn(0) przyjmujemy równym –1 i w innych przypadkach różni się od niego na nieskończoną stałą, którą należy wyeliminować, dodając do działania stałą, liniową po µ.
Oddziaływania : δ – funkcjonalny potencjał. Interesujący przykład z oddziaływaniem otrzymamy, kiedy potencjał dwu cząstkowy ma postać :
V(x) = gδ(x)
W takim przypadku działanie staje się lokalne, w tym sensie, że reprezentuje sobą całkę od gęstości lagranżjanu, zależnej tylko od pól i ich pochodnych. W przypadku fermionów bez wewnętrznych stopni swobody oddziaływanie dwu
cząstkowe zeruje się, ponieważ do niego wchodzą kwadraty zmiennych Grassmanna i fermiony okazują się być swobodne.
Bardziej interesujący przykład pojawia się w przypadku układów, w których fermiony posiadają wewnętrzny stopień swobody z dwoma możliwymi wartościami (np. spin elektronu ).
W takim przypadku działanie zależy od dwóch par pól ϕα(t, x), α = 1, 2 i oddziaływanie już nie zeruje się :
Wtedy działanie i odpowiednia całka polowa są inwariantne względem przekształceń unitarnych : ϕα → Σ Uαβ ϕβ , ϕ–
α → Σ U†αβ ϕ– β β β
gdzie UU† = 1
W istocie, człon kinetyczny – jest to zespolony iloczyn skalarny i dla oddziaływania otrzymamy | det U |2 = 1.
Dana symetria reprezentuje sobą kombinacje U(1) – symetrii zachowania liczby cząstek i symetrii grupy spinowej SU(2).
W przypadku jednowymiarowym taki układ kwantowy jest w pełni całkowalny, w tym sensie, że wszystkie stany własne hamiltonianu są kombinacjami liniowymi skończonej liczby fal płaskich (ansatz Bethego )
Na koniec, zauważmy że dla takiego układu możemy wprowadzić uogólnienie relatywistyczne – model Thirringa, który jest również całkowalny w przypadku jednego wymiaru przestrzennego.
Przybliżenie średniego pola. Interesująca fizyka jest związana z potencjałem przyciągania tj. g < 0. Jednakże w przeciwieństwie do przypadku bozonowego, metoda najszybszego spadku nie daje bezpośrednio rozwiązania danego zagadnienia. Możliwa strategia polega na tym, aby wprowadzić wspomagające pole bozonowe χ(t, x) i przepisać poczwórne oddziaływanie fermionowe w postaci całki po χ z działaniem, kwadratowym po fermionach.
Całka fermionowa staje się całką Gaussa i można ja obliczyć. Pozostała całka po χ może być obliczona przy pomocy metody najszybszego spadku.
7.10.4 Rzeczywiste całki Gaussa. Twierdzenie Wicka.
Całki Gaussa, które obliczaliśmy w podrozdziale 7.4, posiadają własności analogiczne do własności całek zespolonych formalizmu holomorficznego z podrozdziału 6.1. Kiedy liczba fermionów nie jest zachowana, pojawia się konieczność rozpatrzenia również całek ogólniejszej postaci, w szczególności całek gaussowskich o postaci :
2n
Z(A) =
∫
dθ2n ... dθ2dθ1 exp( ½ Σ θi Aijθj ) (7.96)i,j=1
Ponieważ iloczyn θiθj jest antysymetryczny po (ij), to macierz Aij można wybrać jako antysymetryczną :
Aij + Aji = 0 (7.97)
W przeciwieństwie do rozpatrywanych do tej pory całek, teraz omawiane całki posiadają własności, analogiczne do własności całek gaussowskich (1.4). W szczególności, w przypadku ogólnym są one rzeczywiste tylko wtedy, kiedy algebra Grassmanna jest określona na liczbach rzeczywistych.
Rozkładając eksponente w szereg potęgowy, możemy zauważyć, że tylko człon rzędu n, zawierający wszystkie iloczyny potęg 2n po θ daje niezerowy wkład :
Z(A) = (1/2nn!)
∫
dθ2n ... dθ2dθ1 ( θi Aijθj )n (7.98)W rozkładzie iloczynu tylko człony, zawierające permutacje θ1... θ2n są różne od zera.
Komutujac zmienne grassmannowskie aby sprowadzić wszystkie iloczyny do postaci standardowej θ1θ2 ... θ2n, otrzymamy :
Z(A) = (1/2nn!) Σ ε(P) Ai1i2 Ai3i4 … Ai2n–1i2n (7.99)
Permutacje P zbioru {i1... i2n }
gdzie ε(P) = ± 1 – sygnatura permutacji.
Wyrażenie to możemy jeszcze uprościć, zauważając, że różniące się człony odpowiadają wszystkim możliwym parowaniom indeksów 1, 2, ... 2n.
Wielkość w prawej części nazywa się pfaffianem macierzy antysymetrycznej A.
Będziemy wykorzystywali następujące oznaczenie :
Z(A) = Pf(A) (7.101)
Pfaffian i wyznacznik. Technika całkowania grassmannowskiego pozwala wprowadzić klasyczną tożsamość
Wynik ten bardzo przypomina analogiczny rezultat dla rzeczywistych całek gaussowskich.
Aby dowieść taką tożsamość, rozpatrzymy :
Jakobian takiego przekształcenia jest równy (–1)n. Oprócz tego :
θi θj + θ’iθ’j = η–i η–j – η–j ηi (7.105)
Twierdzenie Wicka. Możemy również otrzymać inna formę twierdzenia Wicka dla średnich gaussowskich względem miary exp( Σi,j ½ θi Aijθj )/ Z. Znajdujemy :
Zauważmy, że powyższe wyrażenie różni się od twierdzenia Wicka (1.17) tylko znakami.