Współrzędne kolektywne i całkowanie gaussowskie

W celu zbadania problemu modu zerowego na początku rozpatrzymy standardową całkę, dla której wyrażenie podcałkowe jest inwariantne względem pewnej ciągłej grupy przekształceń – w podanym przypadku są to obroty na płaszczyźnie. Pokażemy, jak problem może zostać rozwiązany poprzez wprowadzenie współrzędnych kolektywnych przy użyciu metody Faddewa –Popowa, w dalszej kolejności metodę tę uogólnimy na przypadek całek po trajektoriach.

8.3.1 Mody zerowe w prostych całkach.

Rozpatrzmy całkę podwójną o postaci (3.33) :

I(g) =

∫

d2x exp( –S(x)/g ) ; S(x) = – ½ x2 + (x2 )2 /4 (8.24)

Gdzie x – dwuskładnikowy wektor (x1, x2 ), wyrażenie podcałkowe jest funkcją tylko x2

Przy g → 0+ całka taka może zostać obliczona przy użyciu metody najszybszego spadku. Naiwna metoda jest następująca : punkty siodłowe są rozwiązaniami równania :

∂S/∂xµ = –xµ (1 – x2 ) = 0 (8.25)

Początek współrzędnych x = 0, odpowiadający lokalnemu maksimum jest nieruchomym punktem siodłowym.

Minimum odpowiada :

| x | = 1 (8.26)

Na mocy inwariantności wyrażenia podcałkowego względem obrotów, znaleźliśmy również jednoparametrową rodzinę zdegenerowanych punktów siodłowych, leżących an okręgu – wynika to z tego, że równanie punktu siodłowego określa tylko długość wektora x. Jeśli wybrać pewien konkretny punkt siodłowy i obliczyć jego wkład w przybliżeniu

gaussowskim, to otrzymamy wynik do którego wchodzi wyznacznik macierzy :

Mµν = ∂2S/ ∂xµ∂xν ||x| =1 = 2xµxν (8.27)

Macierz ta reprezentuje sobą projektor na x. Wektor, ortogonalny do x odpowiada kierunkowi płaskiemu wyrażenia podcałkowego i dlatego jest wektorem własnym o zerowej wartości własnej.

W danym przypadku istnieje proste rozwiązanie zadania – całka po zmiennej kątowej, parametryzującej zbiór wszystkich punktów siodłowych, należy obliczyć dokładnie, tylko całka po długości wektora może być znaleziona przy pomocy metody najszybszego spadku.

8.3.2 Metoda Faddeewa- Popowa.

Ponieważ nie zawsze udaje się tak prosto zfaktoryzować miarę całkowania na zmienne, parametryzujące punkty siodłowe tj. współrzędne kolektywne i zmienne dla których można zastosować metodę najszybszego spadku, często wykorzystuje się tzw. metodę Faddeewa –Popowa.(odgrywająca również ważną rolę w kwantowych nieabelowych teoriach z cechowaniem ).

Na początku wprowadzamy nieinwariantną funkcje zmiennych całkowania tj. w danym przypadku funkcje nieinwariantną względem obrotów i uśredniamy po grupie symetrii. W przykładzie (8.24) można wybrać funkcje δ(x2), gdzie δ – funkcja Diraca. Wtedy to :

2π 2π

∫

dθ δ[ x1sin(θ) + x2cos(θ)] = 2/ | x | ⇔ | x | /2

∫

dθ δ[ x1sin(θ) + x2cos(θ)] = 1 0 0

Wynik całkowania reprezentuje sobą inwariantna funkcje – w danym przypadku zależy ona tylko od długości wektora x.

Wprowadzimy ostatnią tożsamość do całki wejściowej w sposób następujący : 2π

I(g) = ½

∫

d2x

∫

dθ | x | δ[ x1sin(θ) + x2cos(θ)] exp( –S(x)/g ) 0

Teraz zmienimy porządek całkowania I dokonamy zamiany zmiennych x → y, przyjmując : y1 = x1cos(θ) – x2sin(θ) , y2 = x1sin(θ) + x2cos(θ)

przy czym taka zamiana zmiennych przedstawia sobą obrót.

Funkcja exp(–S/g) i miara całkowania przy takiej zamianie zmiennych nie zmieniają się.

Zatem : 2π

I(g) = ½

∫

dθ

∫

d2y | y | δ(y2) exp( –S(y)/g ) = 0

2π +∞ +∞

= ½

∫

dθ

∫

dy1| y1| exp( –S(y1)/g ) = 2π

∫

y1 dy1exp( –S(y1)/g ) 0 –∞ –∞

W powyższym wyrażeniu rozpoznajemy całkę kołową, która może być obliczona przy pomocy metody najszybszego spadku.

8.3.3 Współrzędne kolektywne w całkach po trajektoriach.

W przypadku całki po trajektoriach należy również całkować jawnie po zmiennych, parametryzujących punkty siodłowe – tzw. współrzędne kolektywne. W przypadku rozwiązań instantonowych równania (8.18) parametr przesunięcia po czasie jest współrzędną kolektywną. I ponownie należy jawnie sfaktoryzować całkowanie po kolektywnym parametrze czasowym w mierze całkowania. Na tym właśnie polega idea metody współrzędnych kolektywnych.

Omawiane zagadnienie okazuje się być nieco bardziej subtelne, niż w przykładzie (8.24), ponieważ teraz liczba zmiennych całkowania jest nieskończona.

Współrzędne kolektywne i metoda Faddeewa- Popowa. Aby sfaktoryzować całkowanie po kolektywnym parametrze czasowym (współrzędnej kolektywnej), adaptujemy metodę Faddeewa- Popowa, opisaną w podrozdziale 8.3.2.

Przy pomocy xc(t) oznaczymy rozwiązanie szczególne równania punktu siodłowego (8.18), odpowiadające t0 = 0, przy tym rozwiązaniem ogólnym będzie xc(t – t0 ).

Rozpoczniemy od tożsamości : +∞

1 = [1/ sqrt(2πξ )]

∫

dλ exp(–λ2 /2ξ ) –∞

gdzie ξ - dowolny parametr.

Dalej dokonamy zamiany zmiennej λ → t0, gdzie : λ =

∫

_{dt xc}^•(t) [ x(t + t0 ) – xc(t)]

W ten sposób otrzymamy nową tożsamość :

[1/ sqrt(2πξ )]

∫

_{dt0 [}

∫

_{dt xc}^•(t) x^•(t + t0 )] exp{ – (1/2ξ) [

∫

_{dt xc}^•(t) [ x(t + t0 ) – xc(t)]2 } = 1 (8.28) Stała ξ została wprowadzona dla celów estetycznych, ale zakładamy że ma ona rząd h.

Wprowadzimy tożsamość (8.28) do całki po trajektoriach (8.15) :

tr P exp(–τH/h) = [1/ sqrt(2πξ )]

∫

_dt0

∫

[dx(t)] [

∫

_{dt xc}^•(t) x(t + t0 )] exp[ –Sξ(x)/h]

gdzie pełne działanie ma postać :

Sξ(x) = S(x) + (h/2ξ)[

∫

_{dt xc}^•(t) x(t + t0 ) – xc(t)]2

I nie jest inwariantne względem przesunięć w czasie, dlatego że czas wchodzi jawnie poprzez funkcje xc(t).

Funkcje x(t + t0 ) możemy teraz przemianować na x(t).

Przy tym zmienia się S(x), ale przy tym w działaniu dokonamy zamiany zmiennej t – t0 → t.

Wtedy przy τ = ∞ ponownie otrzymamy wejściowe działanie, dlatego że obszar całkowania nie zmienia się.

Wyrażenie podcałkowe już dalej nie zależy od zmiennej t0 i całkowanie po t0 może być wykonane natychmiastowo.

Przy τ → ∞ :

tr P exp(–τH/h) ~ [τ/ sqrt(2πξ )]

∫

[dx(t)] [

∫

_{dt xc}^•(t) x(t)] exp[ –Sξ(x)/h]

gdzie :

Sξ(x) = S(x) + (h/2ξ)[

∫

_{dt xc}^•(t) x(t) – xc(t)]2

8.3.4 Całkowanie gaussowskie.

Równanie punktu siodłowego przyjmuje postać :

δS/δx(t) + (h/ξ ) xc^•(t)

∫

_{dt’ xc}^•(t’) [ x(t’) – xc(t’)] = 0 (8.29)

Jest jasne, że rozwiązaniem tego równania jest x(t) = xc(t).

Druga pochodna funkcjonalna działania w punkcie siodłowym nabywa dodatkowego wkładu : δ2S/δxc(t1)δxc(t2) → Mξ(t1, t2) ≡ δ2S/δxc(t1)δxc(t2) + (h/ξ ) xc^•(t1)xc^•(t2)

Taki dodatek jest projektorem na wektor własny operatora δ2S/δxcδxc, odpowiadającemu zerowej wartości własnej.

Zatem, zmodyfikowany operator posiada te same wektory własne i wartości własne, co wejściowy operator δ2S/δxcδxc, z jednym wyjątkiem – wartość własna odpowiadająca wektorowi własnemu xc^• jest teraz postaci :

µ = h || xc^• ||2 /ξ (8.30)

w miejsce 0. Dlatego też wyznacznik operatora Mξ już nie jest równy zero i problem modu zerowego został rozwiązany.

Normalizacja całki po trajektoriach może być otrzymana poprzez porównanie jej z sumą statystyczną Z0(τ/h) oscylatora harmonicznego :

τ/2

Z0(τ/h) =

∫

[dx(t)] exp { –(1/2h)

∫

_{dt [ xc}^•2(t) + x2(t)] } (8.31) –τ/2

która przy τ → ∞ sprowadza się do exp(–τ/2). W takiej granicy całka gaussowska może być wyrażona z użyciem operatora :

M0(t1, t2) = [ –(dt1)2 + 1 ] δ(t1 – t2) (8.32)

Jak pokażemy dalej, możemy łatwo obliczyć wyznacznik iloczynu operatorów (M + ε)(M0 + ε )–1, gdzie ε – dowolna stała. Przy ε → 0 wyrażenie to dąży do zera liniowo po ε, dlatego przyjmiemy :

lim (1/ε) det (M + ε)(M0 + ε )–1≡ det ‘MM0–1 (8.33)

ε→0

Z drugiej strony, potrzebujemy tutaj (czynnik h skraca się w stosunku dwóch całek gaussowskich ) : det Mξ = det( M + µ | 0 > < 0 | ) M0–1= lim det( M + ε + µ | 0 > < 0 | ) ( M0 + ε )–1

ε→0

gdzie | 0 > - wektor o jednostkowej normie, proporcjonalny do xc^•, oraz µ = || xc^• ||2h/ξ. Po pewnych prostych przekształceniach algebraicznych otrzymujemy :

det ( M + ε + µ | 0 > < 0 | ) ( M0 + ε )–1 = det ( M + ε )( M0 + ε )–1 × det[ 1 + µ | 0 > < 0 | ( M + ε )–1] =

= ( 1 + µ/ε) det(M + ε ) ( M0 + ε )–1

W granicy ε → 0 otrzymujemy : det ‘MM0–1|| xc^• ||2h/ξ

W wyniku pojawia się czynnik : [1/ sqrt(2πξ)] || xc^• ||2

Zbierając wszystkie czynniki, możemy wnioskować, że całkowanie gaussowskie po konfiguracjach w pobliżu punktu siodłowego daje czynnik :

[ τ/sqrt(2πh)] || xc^• || (det ‘MM0–1 )– ½ exp(–θ/2) Tak jak oczekiwaliśmy, zależność od ξ znikła.

Uwzględniając dwie rodziny punktów siodłowych i stosunek dwóch wielkości Z0(τ/h) i tr exp(–τH/h) przy τ → ∞, otrzymamy :

tr P exp(–τH/h) /tr exp(–τH/h) ~ [τ/sqrt(2πh)] || xc^• || [ det ‘M( det M0 )–1 ] – ½ exp(–Λ/h) (8.34) skąd, wykorzystując wynik (8.8), otrzymamy rozczepienie poziomów :

E– – E+ ~ 2sqrt(h/2π) || xc^• || [ det ‘M( det M0 )–1 ] – ½ exp(–Λ/h)

8.3.5 Zastosowanie : potencjał z dwoma jamami.

Rozwiązanie klasycznego równania ruchu ma postać:

xc(t) = ½ th(t/2)

Oprócz tego (równość (8.19)) :

|| xc || = √A = 1/√6 Na koniec :

M = – dt2 + 1 – [ 3/ 2ch2(t/2)]

Operator M ma postać hamiltonianu Bargmanna –Wignera : odpowiednie równanie Schrödingera można rozwiązać jawnie i rozpraszanie kwantowe okazuje się być bezodbiciowym (macierz S podana w ćwiczeniu 9.2; jej bieguny dają spektrum hamiltonianu )

Wyznacznik również może być obliczony jawnie. W przypadku ogólnym, kiedy : M = –dt2 + 1 – [ λ(λ + 1)ω2/ch2(ωt)]

Znajdujemy :

det( M + ε) ( M0 + ε )–1 = [ Γ(1 + z)Γ(z)/ Γ(1 + λ + z )Γ(z – λ )] (8.35)

gdzie

z = sqrt(1+ ε )/ω

W danym przypadku ω = ½ , λ = 2 zatem z – 2 ~ ε. Wtedy : det( M + ε) ( M0 + ε )–1 = [(z – 2)(z – 1)/ (z + 1)(z + 2)] ~ ε/12 ε→0 W wyniku otrzymujemy :

E– – E+ ~ 2sqrt(h/2π)exp(– 1/6h)

Uwagi.

i) Obliczyliśmy wkład instantonowy tylko w granicy τ = ∞, w której warunki graniczne dla działania są inwariantne względem translacji czasowych. Przy obliczeniach dla dużych, ale skończonych τ, pojawiają się pewne dodatkowe subtelności.

ii) Możemy analizować efekty quasiklasyczne we wszystkich rzędach rozkładu względem potęg exp(–1/6h).

Prowadzi to do hipotezy, dowiedzionej później, uogólniającej standardowy wzór Bohra-Sommerfelda na przypadek potencjałów z zdegenerowanymi minimami. Wartości własne E hamiltonianu reprezentują sobą rozwiązania równania sekularnego (* równanie wiekowe – mechanika nieba *), które w przypadku potencjałów czwartego rzędu z podwójną jamą może być zapisane w postaci :

Γ2( ½ – B(E, h)) (–2/h)2B(E, h) = exp[–A(E, h)] + 2π = 0 (8.36) gdzie :

∞

B(E, h) = –B(E, –h) = (E/h) + Σ hk bk+1(E/ h) (8.37)

k=1 ∞

A(E, h) = –A(E, –h) = (1/3h) + Σ hk ak+1(E/ h) (8.38)

k=1

Współczynniki ak(s) i bk(s) są parzystymi lub nie parzystymi wielomianami zmiennej s, w zależności od potęgi k.

Rozkład perturbatywny przy h → 0 zastosowany do wartości własnych energii E = O(h), jednocześnie rozkład quasiklasyczny zakłada E = O(1). Prowadzi to do sumowaniu członów wyższego rzędu po E we wszystkich rzędach po h.

W dokumencie Całki po trajektoriach w mechanice kwantowej (Stron 143-147)