O(N)- symetryczny potencjał czwartego rzędu przy N → ∞

W charakterze drugiego zastosowania formalizmu całki po trajektoriach rozpatrzymy własności O(N)- symetrycznych układów kwantowych w granicy dużych N.

Rozpatrzmy cząstkę kwantową w N wymiarach przestrzennych. Współrzędna q i pęd p, są zatem N –składowymi wektorami. Wybierzmy hamiltonian o szczególnej postaci :

H = ½ p2 + NU(q2/N) (3.28)

Gdzie p2, q2 – są odpowiednio kwadratami długości wektorów p i q.

Potencjał U jest potencjałem centralno- symetrycznym oraz w rozpatrywanych poniżej przykładach jest on typu wielomianowego.

Zatem, hamiltonian posiada symetrię ortogonalną O(N) (obroty i odbicia w N- wymiarowej przestrzeni )

Jedna z metod analizy własności podanego układu kwantowego polega na rozbiciu U na człon czwartego rzędu i resztę i wykorzystaniu teorii zaburzeń, tak jak było to opisane w podrozdziale 3.1. Jednakże w przypadku układów O(N)- symetrycznych o postaci (3.28) może być zastosowany inny – nieperturbatywny sposób. Jest on oparty na analizie układu w granicy dużych N.

Wiemy, że hamiltonian kwantowy (3.28) komutuje z N(N – 1)/2 generatorami grupy SO(N) i własność ta pozwala sprowadzić wejściowe równanie Schrödingera do jednowymiarowego radialnego równania Schrödingera.

W tym przypadku liczba wymiarów N wchodzi do równania bezpośrednio jako parametr i łatwo można się przekonać, że równanie Schrödingera można rozwiązać w granicy dużego N.

Jednakże metoda ta może być zastosowana jedynie dla danego jednocząstkowego hamiltonianu. W przeciwieństwie do tego, sformułowanie z użyciem całki po trajektoriach daje prosta i intuicyjna strategię, która cechuje się wieloma interesującymi uogólnieniami na inne O(N)- symetryczne modele. Metoda, którą opiszemy poniżej, jest wystarczająco ogólna, chociaż jawne obliczenia zostaną przeprowadzone tylko dla przypadku zaburzenia czwartego rzędu oscylatora harmonicznego :

U(q2 ) = ½ ω2q2 + (1/24)g (q2 )2 (3.29)

Inna interpretacja fizyczna. Istnieje inna możliwa interpretacja fizyczna hamiltonianu (3.28) z potencjałem (3.29) – możemy przyjąć, że zmienne qi są związane z N węzłami sieci. Wtedy potencjał (3.29) odpowiada sumie potencjałów jednocząstkowych w każdym takim węźle i potencjałów oddziaływań sparowanych, wiążących wszystkie N węzłów sieci :

U(q2 ) = Σ ( ½ω2qi2

+ (1/24)gqi4

) + (1/12)g Σ qi2 qj2

(3.30)

i i <j

Dal takiego układu, mówiąc ogólnie, nie istnieje granica termodynamiczna (tj. N → ∞), dlatego że energia potencjalna rośnie proporcjonalnie do liczby par, a zatem do kwadratu „objętości” N.

Istnienie granicy termodynamicznej zapewniane jest przez zależność potencjału od liczby N, tak jak to ma miejsce w wyrażeniu (3.28).

Suma statystyczna. Suma statystyczna zadana jest przez całkę po trajektoriach :

Z(β) =

∫

[dq] exp[ –S(q)] (3.31)

q(0) = q(β) z działaniem : β

S(q) =

∫

dt [ ½ q^•2(t) + NU(q2(t)/N )] (3.32)

0

Działanie jest jawnie O(N) –symetryczne, ponieważ zależy tylko od iloczynów skalarnych.

Granica dużego N. Metoda, którą obecnie przedstawimy daje możliwość oszacowania sumy statystycznej, a zatem i możliwość określenia spektrum hamiltonianu (3.28) w granicy N → ∞ przy ustalonym U(q2), a w przypadku ogólnym – w charakterze szeregu względem potęg 1/N.

W przykładzie z potencjałem czwartego rzędu (3.29) dana metoda daje dodatkową informacje w porównaniu z teorią zaburzeń, która prowadzi do rozkładu względem potęg g.

Podstawowa idea obliczeń przy dużym N związana jest z centralnym twierdzeniem granicznym teorii

prawdopodobieństwa. Można oczekiwać, że przy N → ∞ wielkości, inwariantne względem grupy N(O), takie jak : q2(t) = Σ qi2(t)

i=1

samouśredniają się, a zatem nie będą fluktuowały (oczywiście przyjmujemy przy tym, że zmienne qi są słabo skorelowane jednakże własność taka powinna być sprawdzona ).

Przykładowo, możemy oczekiwać, że :

< q2(t) q2(t’ )> ~ < q2(t) > < q2(t’ )>

N→∞

Zatem q2(t) jest prostszą zmienna dynamiczną niż q(t).

Idea polega na tym aby całkować po q(t) przy ustalonym q2(t). Techniczne szczegóły można zrealizować przy pomocy zbioru przekształceń, które wyjaśnimy na początku na przykładzie zwykłej całki.

3.4.1 Całki proste przy N → ∞.

Na początku rozpatrzymy prostą całkę o postaci :

IN =

∫

dNq exp[ –NU(q2/N )] (3.33)

Gdzie U(ρ) – wielomian, który dla uproszczenia przyjmiemy jako wzrastającą funkcje o wzrastającej pochodnej przy ρ > 0 :

U’(ρ) > 0 , U’’(ρ) ≥ 0

Wyrażenie podcałkowe i miara całkowania są inwariantne względem SO(N) – przekształceń wektora q, tak jak miało to miejsce w przykładzie z całką po trajektoriach. Przy obliczaniu całki w granicy N → ∞ pojawia się trudność – zależność całki od parametru N jest po części niejawna, ponieważ liczba zmiennych całkowania jest równa N.

Problem ten w danym przypadku można jednakże łatwo rozwiązać, przechodząc od współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych biegunowych.

Wtedy : ∞

IN = ΣN

∫

dq/q qN exp[ –NU(q2/N )] (3.34)

0

gdzie ΣN – jest polem powierzchni sfery SN–1 : ΣN = 2πN/2 / Γ(N/2)

Dogodnie jest również przyjąć q/N = ρ, wtedy otrzymamy : ∞

IN = N(N–1)/2 ΣN

∫

dρ/ρ exp[ –Nσ(ρ)] (3.35)

0 gdzie :

σ(ρ) = U(ρ) – ½ ln(ρ) (3.36)

Teraz możemy znaleźć całką przy N →∞, opierając się na metodzie najszybszego spadku (zobacz podrozdział 1.5).

Punkty siodłowe znajdujemy z równania : σ’(ρ) = 0 ⇔ 2πU’(ρ) = 1

Przy naszych założeniach względem funkcji U(ρ) równanie to posiada jedno rozwiązanie.

Dalej obliczenie prowadzimy zgodnie z ogólną metodą, opisaną w podrozdziale 1.5.

Chociaż powyższa metoda jest wystarczająco prosta w przypadku całki (3.33), nie może być ona uogólniona na przypadek całek po trajektoriach, dlatego też wprowadzimy alternatywny sposób, który może wydawać się bardziej złożony, ale za to może on być łatwo uogólniony.

Metoda ogólna. Na początku, przepiszemy całkę w postaci : IN = N

∫

dNq dρ δ(q2 – Nρ ) exp[–NU(ρ)]

Teraz podstawimy w miejsce δ-funkcji Diraca jej przekształcenie Fouriera : +∞

δ(q2 – Nρ ) = (1/2π)

∫

dµN exp[ iµ(q2 – Nρ )]

–∞

Dla dalszych rachunków wygodnie będzie przyjąć µ = iλ/2, tak że reprezentacja powyższa przyjmie postać : +i∞

δ(q2 – Nρ ) = (i/4π)

∫

dλ exp[ –λ(q2 – Nρ)/2]

–i∞

gdzie λ jest wielkością czysto urojoną.

Po takim przekształceniu całka (3.33) przyjmie postać:

IN =

∫

dNq exp[ –NU(q2/N )] = (N/4iπ)

∫

dNq dρ dλ exp{ [ –λ(q2 – Nρ)/2] – NU(ρ)} (3.37) Całka po q jest teraz całka Gaussa i można ja obliczyć, jeśli tylko kontur całkowania po λ spełnia warunek Re λ ≥ 0 : IN = πN/2 (N/4iπ)

∫

dρ dλ exp{ (Nλρ/2) – [Nln(λ)/2] – NU(ρ) }

W granicy N → ∞ całkę możemy obliczyć przy pomocy metody najszybszego spadku z dwoma zmiennymi zespolonymi.

Równania dla punktów siodłowych, otrzymane przez różniczkowanie po λ i ρ posiadają postać:

ρ = 1/λ ; λ = 2U’(ρ)

Zauważmy, że punkt siodłowy po λ jest rzeczywisty, ale kontur całkowania po λ jest równoległy do osi urojonej.

Zakończenie rachunku pozostawiamy czytelnikowi w charakterze ćwiczenia.

Można się przy tym przekonać, że wynik otrzymamy dokładnie taki sam jak otrzymano przy wykorzystaniu współrzędnych biegunowych.

3.4.2 Całka po trajektoriach.

Tożsamość (3.37) może być uogólniona na przypadek dowolnej liczby zmiennych, a zatem i na przypadek całki po trajektoriach. W przykładzie z całką (3.31) należy wprowadzić dwie trajektorie : ρ(t), λ(t), które są periodyczne, ponieważ rozpatrujemy sumę statystyczną : ρ(β) = ρ(0); λ(β) = λ(0).

Przekształconą całkę po trajektoriach otrzymamy po pomnożeniu wyrażenia podcałkowego przez : β

N(β)

∫

[dρ][dλ] exp{

∫

dt λ(t) [ q2(t) – Nρ(t)/2] } = 1 (3.38)

0

gdzie normalizacja N(β) zależy od dyskretyzacji, ale nie zależy od trajektorii q(t), oraz zamiany q2/N na ρ w potencjale U.

Suma statystyczna jest teraz zadana przez wyrażenie : Z(β) =

∫

[dq dρ dλ] exp[ –S(q, ρ, λ)]

(czynnik normujący wchodzi tutaj w sposób niejawny ), gdzie : β

S(q, ρ, λ) =

∫

dt [ ½ q^•2 + NU(ρ) + ½ λ(q2 – Nρ)]

0

Zauważmy, że całka po q(t) jest całka Gaussa i może być obliczona.

Ponieważ :

β β

∫

dt [ q^•2(t) + λ(t)q2(t)] =

Σ ∫

_{dt [ qi}^•2(t) + λ(t)qi2(t)]

0 0

to otrzymujemy iloczyn N jednakowych całek.

Każda całka daje : β

∫

[dq] exp{ – ½

∫

dt [ q^•2(t) + λ(t)q2(t)] } ∝ [ det( –dt2 + λ(•))] – ½ (3.39) 0

operator –dt2 + λ, stojący w prawej części, ma postać jednowymiarowego hamiltonianu kwantowego, gdzie –dt2 – jest członem kinetycznym, λ(•) – potencjał

Ponieważ jest to operator różniczkowy, to jego wyznacznik zależy od warunków granicznych.

Na koniec, całka po trajektoriach może być unormowana. Dlatego podzielimy ja przez jej wartość przy λ = 0.

Zatem, możemy znaleźć :

Z(β) =

∫

[dρdλ] exp[ –SN(ρ, λ)] (3.40)

gdzie ( tr ln = ln det – równość (3.51)):

β

SN(ρ, λ) =

∫

dt[ NU(ρ) – ½ Nλρ] + ½ N tr ln(–dt2 + λ(•))– ½ N tr ln(–dt2 ) (3.41) 0

Przy całkowaniu pojawia się jawna zależność sumy statystycznej od N.

Łatwo zauważyć, że w granicy N →∞ przy ustalonym U, przy założeniu, że wkład podstawowy do całki dają trajektorie ρ, λ = O(1), działanie jest proporcjonalne do N.

Zatem, w granicy N →∞ całka po trajektoriach może być znaleziona przy pomocy zespolonej metody najszybszego spadku.

Na mocy inwariantności względem przesunięć w czasie na okręgu [0, β] (okrąg ten pojawia się na mocy periodycznych warunków granicznych ) punkt siodłowy { λ(t), ρ(t)} jest albo zdegenerowany, jeśli λ(t), ρ(t) jawnie zależy od czasu (dowolne rozwiązanie może być przesunięte w czasie i przy tym ponownie otrzymamy rozwiązanie ), albo jest jednoznaczny., jeśli funkcje są to stałe.

Można pokazać, że realizuje się najprostszy przypadek i punkt siodłowy nie jest zdegenerowany.

W takim przypadku obliczenie może być przeprowadzone dla potencjału o ogólnej postaci U(ρ), jednakże my rozpatrzymy tylko przypadek (3.29). Wtedy całka po ρ jest całka Gaussa. Minimum formy kwadratowej po ρ jest osiągane przy :

U’(ρ) – ½ λ = 0 ⇒ ρ(t) = 6[ λ(t) – ω2 )/g ]

Po przesunięciu ρ, całkowanie po ρ daje nam wyznacznik, który jest równy stałej i dlatego może on być włączony do czynnika normującego. Po scałkowaniu otrzymujemy :

Z(β) =

∫

[dλ] exp[ –SN(λ)] (3.42)

gdzie :

β

SN(λ) = – (3N/2g)

∫

dt[ λ(t) – ω2 ]2 + ½ N tr ln( dt2 + λ(•))– ½ N tr ln(–dt2 ) (3.43) 0

Ponieważ poszukujemy punktu siodłowego z funkcją stałą λ(t), to przyjmiemy : λ(t) = r2 + µ(t)

i dokonamy rozkładu do pierwszego rzędu względem µ(t), włącznie, tak aby otrzymać równanie punktu siodłowego.

W pierwszej kolejności :

β β

– (3/g)

∫

dt[ r2 + µ(t) – ω2 ]2 = – (3β/g)[ r2 – ω2 ]2 – (6/g) ( r2 + ω2 )

∫

dt µ(t) + O(µ2 ) 0 0

oprócz tego (zobacz równość (3.52)):

tr ln( –dt2 + λ ) = tr ln (–dt2 + r2 + µ ) = tr ln (–dt2 + r2 ) + tr ln [ 1 + µ(–dt2 + r2 )]–1 =

= tr ln (–dt2 + r2 ) + tr µ (–dt2 + r2 )– 1 + O(µ2 ) =

= tr ln (–dt2 + r2 ) +

∫

dt µ(t) ∆(0) + O(µ2 )

W powyższym wyrażeniu uwzględniliśmy to, że µ(t) jest operatorem diagonalnym oraz, że diagonalne elementy macierzowe ∆(operatora odwrotnego dla operatora –dt2 + r2 z periodycznymi warunkami granicznymi ) są stałe (zobacz (2.52)) :

tr (–dt2 + r2 )–1 =

∫

dt du < t | µ | u > ∆(t – u ) =

∫

dt µ(t) ∆(0)

Równanie punktu siodłowego otrzymujemy na drodze przyrównania do zera współczynnika stojącego przy

∫

µ(t) dt w działaniu :

–(6/g ) ( r2 + ω2 ) + ∆(0) = – (6/g )(r2 – ω2 ) + [ 1/2rth(βr/2)] = 0 (3.44)

Do działania wchodzi wyznacznik operatora –dt2 + r2 z periodycznymi warunkami granicznymi, który związany jest bezpośrednio z suma statystyczną oscylatora harmonicznego, jak widać z równania (3.39).

Zatem :

SN(r2 ) = – (3βN/2g) ( r2 – ω2 )2 – Nln( Z0(β)) = – (3βN/2g ) ( r2 – ω2 )2 + Nln[ 2sh(βr/2)] (3.45) Gdzie wybraliśmy r ≥ 0.

Można się przekonać, że przy różniczkowaniu po r ponownie otrzymujemy równanie punktu siodłowego. Po podzieleniu przez 6Nβ/g równanie przyjmuje postać :

r( r2 – ω2 )2 + g / 12th(βr/2) (3.46)

Wykorzystując takie rozwiązanie w wiodącym rzędzie przy N →∞ możemy znaleźć :

ln( Z(β)) = SN(r2 ) = (3βN/2g) ( r2 – ω2 )2 – Nln[ 2sh(βr/2)] (3.47)

Całka po trajektoriach jest określona jedynie z dokładnością do normalizacji.

W granicy g = 0, ponieważ r = ω + O(g), ponownie otrzymujemy sumę statystyczną oscylatora harmonicznego, a zatem otrzymany wynik jest prawidłowo unormowany.

Przy interpretacji (3.30) wynik (3.47) reprezentuje sobą sumę statystyczną w granicy termodynamicznej. Dzieląc przez objętość N i mnożąc przez temperaturę T = 1/β, otrzymujemy gęstość energii swobodnej (przy naszej umowie o wyborze znaku ) :

F = (1/βN) ln Z = (3/2g ) ( r2 – ω2 )2 – (1/β) ln[ 2sh(βr/2)]

3.4.3 Energia stanu podstawowego.

Energia stanu podstawowego hamiltonianu (3.28) z potencjałem (3.29) była otrzymana w granicy, kiedy temperatura zeruje się β → 0. W takiej granicy r jest rozwiązaniem równania algebraicznego trzeciego rzędu :

r2 – ω2r – (1/12)g = 0 (3.48)

posiadającego jedno rozwiązanie. Z użyciem tego rozwiązania energia stanu podstawowego przy N → ∞ ma postać : E0 ~ – (1/β) ln(Z(β)) = – (3N/2g) ( r2 – ω2 )2 + ½ Nr

β→∞

lub, wykluczając g z E0 i równania punktu siodłowego : E0 = (N/8r) ( 3r2 + ω2 )

Przy g → 0, znajdujemy : r = ω + [g/24ω2 ] + O(g2 ) , stąd : E0 = ½ Nω + (1/96) Ng/ω2 + O(g2 )

Wynik ten jest zgodny z rozkładem perturbacyjnym : E0(g) = ½ Nω + (1/96) (N+ 2)g/ω2 + O(g2 )

Przy g → ∞ otrzymujemy r ~ (g/12)1/3 i zatem E0(g) zachowuje się jak g1/3 co może być dowiedzione przy skończonym N :

E0 ~ 3/8 (12)–1/3 Ng1/3 (3.49)

Wynik ten jest również granicą E0 przy ω = 0.

Zatem, nie można go otrzymać z pomocą obliczenia zgodnego z teorią zaburzeń.

Na koniec, obliczenie przy N →∞ jest możliwe nawet w tym przypadku, kiedy współczynnik stojący przy członie harmonicznym jest ujemny. Zamieniając ω → iω, otrzymamy :

r3 – ω2r – (1/12)g = 0 , E0 = (N/8r)(3r2 – ω2 ) Przykładowo, przy g → 0, r ma rząd g i : (1/N) E0 = –(3ω4/2g) + (g/48ω2) + O(g3 )

Dany wynik może być również otrzymany przy pomocy metod perturbacyjnych, nieco bardziej złożonych niż te które zostały wprowadzone wcześniej, dlatego iż potencjał jest minimalny na całej sferze.

Rozkładając wyrażenia (3.46), (3.47) przy β →∞ można również obliczyć różnicę pomiędzy energią stanu podstawowego i energiami stanów wzbudzonych.

Uwaga. Równanie punktu siodłowego (3.48) posiada rozwiązanie aż do wartości gc, parametru g, które to jest ujemne : g ≥ gc ; gc = –(8/3) √3 ω3

Wynik ten jest nieco dziwny, ponieważ przy g < 0 potencjał nie jest ograniczony od dołu. W fizyce klasycznej, oczywiście jest możliwa sytuacja, kiedy cząstka znajduje się w minimum względnym potencjału, jednakże w MQ odpowiedni temu faktowi stan jest niestabilny – może ona pokonać barierę potencjału na drodze tunelowania

kwantowego. Jednakże można pokazać, że prędkość rozpadu na skutek przechodzenia przez barierę zeruje się w granicy N →∞, w tej postaci, w jakiej jest wykorzystywane przy ujemnych wartościach g, takich że g > gc.

3.4.4 Poza ramami wiodącego rzędu.

Kolejne człony rozkładu względem potęg 1/N dane są poprzez kolejne poprawki metody najszybszego spadku.

W tym celu dogodnie jest dokonać zamiany zmiennych, przyjmując :

λ(t) – r2 = µ(t) (3.50)

i rozkładając wyrażenie podcałkowe względem potęg µ(t), zachowując w eksponencie człon kwadratowy. Przy tym całkowanie prowadzimy po minimalnych wartościach µ.

Pierwsza poprawka pojawia się z całkowania gaussowskiego. W szczególności, obliczenie członu kwadratowego po µ pozwala przekonać się, że rozwiązanie równań punktu siodłowego odpowiada lokalnemu maksimum modułu wyrażenie podcałkowego na konturze całkowania.

Przy obliczaniu członu kwadratowego pojawia się konieczność rozkładu następującej wielkości (zobacz równość (3.52)):

tr ln[ –dt2 + r2 + µ(•)] (–dt2 + r2 )–1 ] =

∫

dt µ(t) < t | –dt2 + r2 )–1 | t > – – ½

∫

dt1dt2 µ(t1)µ(t2 ) < t1 | –dt2 + r2 )–1 | t2 > < t2 | –dt2 + r2 )–1 | t1 > + O(µ3) Przez S(2)(µ) oznaczymy składową, kwadratową po µ i zapiszemy ją w postaci : S(2)(µ) = – ½

∫

dt1dt2 µ(t1) K(t1 – t2 ) µ(t2 )

Wtedy :

K(t) = (3N/g)δ(t) + ¼ N∆2(t)

gdzie ∆(t) – gaussowska funkcja dwupunktowa (2.52) :

∆(t) = [1/2rsh(rβ/2)] ch[r( ½β – | t | ) ]

Aby określić spektrum jądra K(t1 – t2 ), można go zdiagonalizować z pomocą przekształcenia Fouriera.

Dla uproszczenia rozpatrzymy tylko stan podstawowy, dla tego przejdziemy do granicy β →∞.

W tym przypadku :

K~(κ) =

∫

dt exp(iκt) K(t) = (3N/g) + (N/8r) 91/4r2 + κ2 )

Stąd widać, że wartości własne K~(κ) są ściśle dodatnie dla wszystkich wartości κ. Ponieważ µ jest wielkością urojoną, to część kwadratowa działania jest dodatnia, dlatego też punkt siodłowy jest odpowiedni. Całka Gaussa daje (det K )– ½ wielkość tę możemy obliczyć w sposób jawny.

W dokumencie Całki po trajektoriach w mechanice kwantowej (Stron 51-56)