Dodatek własny A - Całki Gaussa
Rozdział 8 Przejście przez barierę : przybliżenie quasiklasyczne
8.1 Potencjał czwartego rzędu z dwoma jamami i instantony
Rozdział 8 Przejście przez barierę : przybliżenie quasiklasyczne.
Cząstka klasyczna zawsze odbija się od bariery potencjału, jeśli tylko jej energia jest mniejsza od wartości maksymalnej potencjału. Dla cząstki kwantowej, przeciwnie – istnieje niezerowe prawdopodobieństwo jej tunelowania przez barierę potencjału – zjawisko to nazywa się efektem tunelowym.
Niniejszy rozdział poświecony jest analizie różnych przejawów zjawiska tunelowego w przybliżeniu quasiklasycznym przy pomocy formalizmu całek po trajektoriach. Omawiamy dwa konkretne zagadnienia :
w granicy quasiklasycznej h → 0 obliczymy rozczepienie pomiędzy klasycznie zdegenerowanymi poziomami energetycznymi, odpowiadającym dwóm symetrycznym minimom potencjału; w tejże granicy znajdziemy prędkość rozpadu , a zatem i czas życia stanów metastabilnych.
Może pojawić się pytanie, w jak sposób można oceniać takie efekty, nawet w przybliżeniu quasiklasycznym – przecież przechodzeniu przez barierę nie odpowiada żadna klasyczna trajektoria. W istocie zauważono, że formalnie
przechodzenie przez barierę można interpretować quasiklasycznie z użyciem cząstek klasycznych, poruszających się w czasie urojonym (zobacz również podrozdział 9.5.3 )
Wykorzystywany do tej pory formalizm euklidesowy, oparty na obliczaniu exp(–βH), opisuje formalnie ewolucje w czasie urojonym. W niniejszym rozdziel pokażemy, że własność ta pozwala obliczać wielkości fizyczne związane z zjawiskiem przechodzenia przez barierę.
Chociaż omawiane metody mogą być uogólnione, my głownie będziemy omawiali własności stanu podstawowego lub bliskich wzbudzenia poziomów energetycznych i dlatego też będziemy rozpatrywali np. sumę statystyczną przy β → ∞.
Naszym instrumentem będzie metoda najszybszego spadku, zastosowana do całki po trajektoriach, jednakże w danym zagadnieniu punktami siodłowymi będą rozwiązania klasycznych równań ruchu, nie będące dalej stałymi.
Rozwiązania takie posiadają ważną własność : różnica pomiędzy ich działaniem i działaniem minimalnego stałego rozwiązania pozostaje skończona przy β → ∞. Takie rozwiązania nazwano instantonami.
Aby obliczyć wkłady pochodzące od instantonów, należy poradzić sobie z dwoma zagadnieniami o wzrastającym stopniu trudności : znaleźć punktu siodłowe, rozwiązując klasyczne równania ruchu, rozłożyć wyrażenie podcałkowe w pobliżu punktu siodłowego i obliczyć całkę po trajektoriach w wiodącym rzędzie, całkując po fluktuacjach
gaussowskich.
Na koniec, zauważymy, że obliczenia oparte na metodzie najszybszego spadku, prowadzą do wyników
quasiklasycznych, które mogą być również otrzymane na drodze rozwiązania równania Schrödingera i przybliżenia WKB, jednakże metoda najszybszego spadku może być znacznie prościej uogólniona na zagadnienie przechodzenia przez barierę potencjału w kwantowej teorii pola.
8.1 Potencjał czwartego rzędu z dwoma jamami i instantony.
Rozpatrzmy teraz pierwszą klasę układów kwantowych, w których ważną rolę odgrywa kwantowy efekt tunelowy : hamiltonian posiada dyskretną symetrię przestrzenną, ale potencjał jest minimalny w punktach, nie inwariantnych względem przekształceń grupowych. Położenia zdegenerowanych minimów związane są z przekształceniami z grupy symetrii.
W teorii klasycznej rozwiązania z minimalną energią odpowiadają cząstkom, znajdującym się w położeniu równowagi w jednym z minimów potencjału. Położenie cząstki narusza (spontanicznie ) symetrię układu. W przeciwieństwie do tego, w układzie kwantowym stan podstawowy nie może być zdegenerowany, tak jak pokazaliśmy to w podrozdziale 3.6.
Zatem, oczekujemy, że stanowi podstawowemu odpowiada symetryczna funkcja falowa, przy czym jej moduł jest maksymalny w pobliżu każdego minimum potencjału. Dane zjawisko jest następstwem efektu tunelowego, polegającego na tym, że cząstka wejściowo znajdujące się w jednym z minimów potencjału, posiada niezerowe prawdopodobieństwo przetunelowania do drugiego minimum.
8.1.1 Potencjał czwartego rzędu z dwoma minimami.
Najprostszym przypadkiem takiej sytuacji jest symetryczny względem odbicia hamiltonian z potencjałem czwartego rzędu, posiadający postać symetrycznej podwójnej jamy potencjału :
H = ½ p^2 + ½ ( x^2 – ¼ )2
Jest jasne, że hamiltonian taki jest inwariantny względem odbicia x → –x, zatem p → –p. Takiemu odbiciu odpowiada operator P, działający na funkcje falowe w następujący sposób :
[ Pψ](x) = ψ(–x) (8.1)
W takim przypadku symetria względem odbicia wyraża się przy pomocy komutatora kwantowego hamiltonianu H z operatorem odbicia P :
[ P, H ] = 0
Zatem, operatory P i H mogą być jednocześnie zdiagonalizowane – funkcje własne ψn operatora H są parzyste lub nieparzyste :
[Pψn,± ](x) = ψn,± (–x) = ± ψn,±(x)
Pokazaliśmy, że w przypadku ogólnym można wybrać funkcje falową stanu podstawowego tak, aby była ona dodatnia (podrozdział 3.6). Dlatego też funkcja falowa stanu podstawowego ψ0,+ z energią E0,+ jest z konieczności parzysta : ψ0,+ (x) = ψ0,+(–x)
Z ogólnej argumentacji wynika również, że funkcja falowa ψ0,– (x) pierwszego stanu wzbudzonego z energią E0,–
zeruje się tylko raz i dlatego jest nie parzysta : ψ0,–(x) = –ψ0,+(–x)
Jeśli ψ0,+ i ψ0,– są jednakowo unormowane, t w granicy h → 0 oczekujemy, że funkcje falowe ψ0,+ , ± ψ0,– powinny odpowiadać cząstkom, praktycznie w pełni zlokalizowanym w każdej z jam potencjału.
Teoria zaburzeń. Własności stanu podstawowego w granicy quasiklasycznej mogą być otrzymane z sumy statystycznej Z(τ/h) w granicy h → 0 i τ → ∞ ( zobacz uwagi poczynione w podrozdziałach 2.9 i 3.1 )
Suma statystyczna dana jest przez całkę po trajektoriach :
Z(τ/h) =
∫
[dx(t)] exp[ – S(x)/h] (8.2)x(–τ/2) = x(τ/2) gdzie :
τ/2
S(x) =
∫
[ ½ x•2(t) + ½ (x2(t) – ¼ )2 ] dt (8.3)–τ/2
Potencjał posiada dwa zdegenerowane minima x = ± ½. Dlatego przy h → 0 wyrażenie podcałkowe posiada dwa punkty siodłowe, odpowiadające dwóm stałym funkcjom x(t) = ± ½, które na mocy symetrii dają jednakowe wkłady.
Aby obliczyć wkład punktu siodłowego, np. x(t) = – ½ możemy przyjąć : x(t) = – ½ + q(t)√h
Działanie przyjmie wtedy postać:
τ/2
S(q/h) =
∫
[ ½ q•2(t) + ½q2(t) ( 1 – q(t)√h )2 ] dt (8.4)–τ/2
Następnie należy dokonać rozkładu względem potęg h. Istnienie dwóch symetrycznych punktów siodłowych daje czynnik dwa, co jest symptomem obecności dwóch stanów z energią E0,zdegenerowanych we wszystkich rzędach h i odpowiadających przypadkom, kiedy funkcja falowa jest zlokalizowana w każdym z dwóch jam potencjału.
Rozczepienie poziomów. Wprowadzona różnica energii E0,– – E0,+ ubywa szybciej od dowolnej potęgi h i może być łatwo otrzymana z obliczenia tr exp(–τH/h). W podwójnej granicy h → 0 ,τ → ∞ mamy bowiem :
tr exp(–τH/h) ~ exp( –τE0,+ /h ) + exp( –τE0,– /h ) ~ 2exp[ –τ (E0,+ + E0,– )/2h ] ch[ τ (E0,+ – E0,– )/2h ] (8.5) Zatem, podstawowy wkład do sumy statystycznej daje rozkład perturbatywny półsumy E0 = ½ (E0,+ + E0,– ) i zależność od różnicy perturbatywnej pomiędzy E0,+ i E0,– przejawia się tylko w rzędzie ( E0,+ – E0,– )2
Aby oszacować różnicę E0,+ – E0,– znacznie dogodniej jest obliczać wielkość tr P exp(–τH/h).
Wartość własna operatora P exp(–τH/h), odpowiadająca wektorowi własnemu ψn,± jest to ± exp(–τEn,± /h).
W tej że granicy h → 0, τ → ∞, otrzymujemy :
tr P exp(–τH/h) = Σ ± exp( –τEn,± /h ) ~ exp( –τE0,+ /h ) – exp( –τE0,– /h ) ~
~ – 2sh[ τ (E0,+ – E0,– )/2h ] exp[ –τ (E0,+ + E0,– )/2h ] (8.6)
Ponieważ różnica E0,+ – E0,– zeruje się we wszystkich rzędach względem h (i E0,± ~ ½ h ), w wiodącym rzędzie otrzymujemy :
tr P exp(–τH/h) ~ –τ exp(–τ/2) [(E0,+ – E0,– )/2 ] (8.7)
W rzeczywistości dogodnie jest rozpatrywać stosunek wielkości (8.5) i (8.6) :
tr P exp(–τH/h) / tr exp(–τH/h) ~ – (τ/2h) (E0,+ – E0,– ) (8.8)
Reprezentacja w postaci całki po trajektoriach dla tr P exp(–τH/h) różni się od reprezentacji dla sumy statystycznej tylko warunkami granicznymi.
Z użyciem elementów macierzowych mamy bowiem :
< x | P | x’ > = δ(x + x’ )
Zatem, dla dowolnego operatora U :
tr PU =
∫
dy dx δ(y + x) < x | U | y > =∫
dx < x | U | – x >Stosując takie podejście do całki po trajektoriach, otrzymamy :
tr P exp(–τH/h) =
∫
[dx(t)] exp[ – S(x)/h] (8.9)x(–τ/2) = –x(τ/2) z takim samym działaniem (8.3).
8.1.2 Instantony.
Oznaczenie. W dalszej kolejności ograniczymy się do omówienia dwóch dolnych poziomów i dlatego opuścimy indeks 0 dla energii E.
Podczas, gdy podstawowy wkład do całki po trajektoriach dla tr exp(–τH/h) dają stałe punkty siodłowe x(t) = ± ½, takie trajektorie nie dają wkładu do całki (8.9), dlatego że nie spełniają one odpowiednich warunków granicznych.
Nie jest to dziwne, ponieważ jak już pokazaliśmy różnica E+ – E– zanika szybciej od dowolnej potęgi h. Dlatego też należy poszukiwać rozwiązań nie stałych euklidesowych klasycznych równań ruchu. Oprócz tego, działanie takich rozwiązań powinno posiadać skończoną granicę przy τ →∞, w przeciwnym wypadku nie dają one wkładu.
Takie rozwiązania nazywają się instantonami, mogą one odpowiadać cząstkom.
Ponieważ zarówno człon kinetyczny jak i potencjalny są dodatnie, z powyższego wymagania wynika, że oba te człony powinny zerować się przy | t | → ∞. W szczególności :
x(–∞) = ± ½ i x(+∞) = –/+ ½
Dlatego rozczepienie pomiędzy dwoma poziomami energii zależy od istnienia rozwiązań instantonowych, łączących dwa symetryczne minima potencjału (rys. 8.1 )
Rys. 8.1 Rozwiązanie typu instantonowego.
Równanie punktu siodłowego, będąc klasycznym równaniem ruchu w euklidesowym lub urojonym czasie, ma postać:
–x••(t) + 2x(t) [ x2(t) – ¼ ] = 0 (8.10)
W granicy τ → ∞ dla takiego równania istnieją dwie rodziny rozwiązań ze skończonym działaniem :
xc±(t) = ± ½ th[ ( t – t0 )/2 ] (8.11)
gdzie t0 – stała całkowania, będąca następstwem inwariantności względem przesunięcia w czasie przy nieskończonym τ. Odpowiednia wartość działania jest taka :
S(xc) = 1/6 (8.12)
Jak już określiliśmy punkt siodłowy, odpowiedni wkład do całki po trajektoriach otrzymamy w wiodącym rzędzie z pomocą całkowania gaussowskiego. Pojawia się tutaj przy całkowaniu bardzo subtelne zagadnienie, które omówimy później. Jednakże teraz zwrócimy uwagę na to, że znaleźliśmy dwie rodziny zdegenerowanych punktów siodłowych, zależnych od parametru t0. Ponieważ dla dużych, ale skończonych τ, wielkość t0 zmienia się w interwale o rozmiarze τ, suma po wszystkich punktach siodłowych generuje czynnik τ, co jest zgodne z wyrażeniem (8.8).
W wyniku otrzymujemy :
tr P exp(–τH/h) ~ 2 sqrt(h/π) θexp( –τ/2) exp( – 1/6h ) (8.13) Porównując taki wynik z wyrażeniem (8.8), otrzymujemy zachowanie asymptotyczne różnicy E+ – E– przy h → 0 :
E+ – E– = 2sqrt(h/π) exp( –1/6h) ( 1 + O(h)) (8.14)
h→0
Różnica zanika wykładniczo przy h → 0, tj. szybciej od dowolnej potęgi h – co jest zgodne z tym, co mówiliśmy w podrozdziale 8.81.1 w ramach teorii zaburzeń.