Całki zespolone i twierdzenie Wicka - Całki po trajektoriach i formalizm holomorficzny

Dodatek własny A - Całki Gaussa

Rozdział 6 Całki po trajektoriach i formalizm holomorficzny

6.1 Całki zespolone i twierdzenie Wicka

Rozdział 6 Całki po trajektoriach i formalizm holomorficzny.

W niniejszym rozdziale wprowadzimy opis MQ z użyciem przestrzeni Hilberta – funkcji całkowalnych z kwadratem i analitycznych, taką reprezentację nazywamy reprezentacją holomorficzną.

Następnie zbudujemy odpowiednią reprezentację w postaci całki po trajektoriach dla operatora statystycznego.

Formalizm holomorficzny jest szczególnie wygodny dla analizy oscylatora harmonicznego i w przypadku ogólnym, oscylatora harmonicznego z zaburzeniem. Tym niemniej może pojawić się pytanie dlaczego musimy budować jeszcze jedną reprezentacje dla oscylatora harmonicznego, który to może być wystarczająco dokładnie zanalizowany z użyciem standardowego formalizmu całkowania po trajektoriach. W rzeczywistości podstawową motywacją takiego formalizmu są kwantowe zagadnienia N- cząstkowe (zagadnienie N ciał ). Jest to związane z własnością charakterystyczną oscylatora harmonicznego – addytywnością jego spektrum: energia N –tego poziomu oscylatora harmonicznego jest równa sumie energii stanu podstawowego i N –krotnego rozczepienia pomiędzy sąsiednimi poziomami. Energie tę można również rozpatrywać jako sumę energii próżni i całkowitej energii N identycznych i niezależnych cząstek. Zaburzenia oscylatora harmonicznego odpowiadają oddziaływaniom pomiędzy cząstkami.

Stąd możemy otrzymać intuicyjne wyobrażenie o roli uogólnionych holomorficznych całek po trajektoriach (całek polowych ) dla reprezentacji sumy statystycznej kwantowego bose-gazu, a w KTP- dla reprezentacji macierzy S i opisu procesów rozpraszania bozonów. Dla ilustracji zastosujemy w/w formalizm do opisu kondensacji Bosego-Einsteina.

W rozdziale 7 pokażemy w jaki sposób buduje się równoległy formalizm dla fermionów. W tym przypadku zmienne zespolone powinny być zamienione na zmienne Grassmanna tj. zmienne antykomutujące, które są tworzącymi algebry nieprzemiennej, pozwalając tym samym odzwierciedlić własności statystyki fermionów.

Jednakże zanim przejdziemy do opisu formalizmu holomorficznego, dobrze będzie przypomnieć niektóre własności określonego typu całek po zmiennych zespolonych..

6.1 Całki zespolone i twierdzenie Wicka.

W przypadku całek po 2n zmiennych rzeczywistych {xα } i { yα } , α = 1, ..., n, kiedy wyrażenie podcałkowe jest inwariantne względem jednoczesnych identycznych obrotów we wszystkich płaszczyznach (xα, yα ), naturalnym jest wprowadzenie na każdej takiej płaszczyźnie parametryzacje zespoloną, w ten sposób przy obrotach takie zmienne mnożone są przez liczby zespolone.

W pierwszej kolejności omówimy naturę takiej zamiany zmiennych dla przypadku jednej pary (x, y).

Rozpatrzmy całkę o postaci : I =

∫

dx dy f(x, y)

Jeśli f – jest funkcją holomorficzną, to możemy włożyć płaszczyznę R2 w przestrzeń zespoloną C2 i rozpatrywać zmienne x, y jako zespolone i przyjąć iż wejściowy obszar całkowania jest określony przez warunki Im x = Im y = 0.

Na C2 możemy następnie dokonać liniowej zamiany zmiennych (x, y ) → (z, z’ ), która zadana jest przez macierz unitarną :

z = (x + iy )/√2 , z’ = ( x – iy )/√2 ⇒ dz’dz = idxdy (6.1)

W nowych zmiennych obszar całkowania jest określony przez warunek z’ = z–, gdzie z– oznacza zmienną, sprzężoną zespolenie do z, a całką przyjmie postać :

I = –i

∫

dzdz’ f(x(z, z’ ), y(z, z’ )) z' = z–

Oprócz tego, obrotowi o kąt θ wektora (x, y) odpowiada zamiana : z → z exp(iθ) , z’ → exp(–iθ)z’

W szczególności, jeśli funkcja f jest inwariantna względem obrotów, to jest ona funkcją tylko postaci x2 + y2, a po

Formalne sprzężenie zespolone. Oznaczenia. Wprowadzimy standardowe i wygodne, ale nieco niebezpieczne oznaczenie : zmienna z’ będziemy oznaczali jak z– Należy podkreślić, że zmienne zespolone z i z– pozostają niezależnymi zmiennymi całkowania i są sprzężone zespolenie tylko w sensie formalnym.

W rzeczywistości, kontur całkowania po zmiennych x i y można zdeformować w przestrzeni zespolonej i wtedy takie zmienne również przyjmować będą wartości zespolone. Zatem, symbol dzdz– odpowiada całkowaniu po powierzchni rzeczywistej o wymiarze 2 włożonej w C2. Jednakże takie oznaczenie jest podyktowane ważną rolą, jaka odgrywa formalne sprzężenie zespolone, odpowiadające odbiciu y → –y i sprzężeniu zespolonemu współczynników : fmn xm yn → f–

mnxm(–y)n

W zmiennych z, z– formalne sprzężenie zespolone ma bardzo prostą postać : f(z, z– ) → f–(z, z– )

6.1.1 Całki Gaussa

Najprostsza całka, której wyrażenie podcałkowe jest inwariantne względem obrotów na płaszczyźnie, ma postać : (1/2π)

∫

dxdy exp[ –a( x2 + y2 )/2 ] =

∫

dzdz– /2iπ exp( –az–z ) = 1/a

gdzie w zmiennych wejściowych (x, y) całkowanie prowadzimy na płaszczyźnie rzeczywistej oraz Re a > 0.

W ogólniejszym przypadku można rozpatrywać całkę Gaussa o postaci : n

Z(A) =

∫

(

Π

_{dzi dz}^–i /2iπ ) exp[ –A(z–, z )]

i=1

gdzie A(z–, z ) jest forma kwadratową : n

A(z–, z ) = Σ dz–i Aij zj (6.2)

i,j=1

Zakładamy przy tym iż wyznacznik macierzy zespolonej A o elementach Aij nie jest równy zero.

Ponieważ człony o postaci zz i z–z– nie występują to całka jest inwariantna względem zamiany zmiennych : zi → zi eiθ , z–i → z–

i e–iθ (6.3)

Jeśli A – jest macierzą hermitowską dodatnio określoną, to może być ona zdiagonalizowana przy pomocy przekształcenia unitarnego :

A = UDU†

Gdzie U – macierz unitarna, D – macierz diagonalna o wartościach własnych ai > 0.

Jakobian takiej zamiany zmiennych : zi = Σ Uij z’j , z–

i = Σ U–ij z’– j j j

posiada własność | det U |2 = 1, dlatego całka przyjmuje postać : Z(A) =

Π ∫

(dz’i dz’–

i /2iπ ) exp( aiz’–

i z’i ) =

Π

1/ai = 1/det A

Uwaga. W przeciwieństwie do przypadku rzeczywistej całki Gaussa (1.4), powyższy wynik jest wymierną funkcją elementów macierzowych, zatem przy pomocy przedłużenia analitycznego może być uogólniony na przypadek dowolnej macierzy zespolonej. Z czysto algebraicznego punktu widzenia można dokonać asymetrycznej zamiany zmiennych o postaci

zi → z’i = Σ Aij zj j

która nie dotyka zmiennych z– i jej jakobian jest równy 1/ det A. Wtedy to otrzymamy : n

Z(A) = 1/det A

∫

(

Π

_{dzi dz}^–i /2iπ ) exp( –Σ z–i zi ) = 1/det A [

∫

(dzdz– /2iπ ) exp(–z–zi )n i=1 i

Co jest zgodne z : n

Z(A) =

∫

(

Π

_{dzi dz}^–i /2iπ ) exp[ –A(z–, z )] = 1/det A (6.4)

i=1

6.1.2 Całka Gaussa o ogólnej postaci.

Całka Gaussa o ogólnej postaci : n

Z(A; b, b– ) =

∫

(

Π

_{dzi dz}^–i /2iπ ) exp[ –A(z–, z ) + b–z + z–b ] (6.5) i=1

gdzie b, b– odpowiadają dwóm niezależnym zbiorom zmiennych, generuje wszystkie średnie matematyczne o wadze exp[ –A(z–, z )]

Standardowo całkę taką można obliczyć z użyciem przesunięcia zmiennych z, z–.

W tym celu należy rozwiązać równania :

∂/∂zi [ A(z–, z ) – b–z – z–b ] = ∂/∂z–i [ A(z–, z ) – b–z – z–b ] = 0 Rozwiązanie dogodnie jest wyrazić z użyciem macierzy odwrotnej :

∆ = A–1

Pozostała całka Gaussa po zmiennych v , v– jest dokładnie całką postaci (6.4), zatem:

Z(A; b, b– ) = (1/det A) exp[ Σ b–i ∆ij bj ] (6.7)

i,j=1

Gaussowskie wartości średnie. Otrzymany wynik daje nam możliwość obliczania średnich matematycznych z wagą gaussowską e–A / Z(A) :

< z–i1 ... z–

ip zj1... zjq > = det A

∫

(

Π

_{dzi dz}^–_{i /2iπ ) z}^–_{i1 ... z}^–ip zj1... zjq > exp[ –A(z–, z ) ] (6.8) i=1

Bezpośrednim następstwem symetrii (6.3) jest ten fakt, że niezerowe wartości średnie posiadają tylko jednomiany o jednakowej liczbie czynników z– i z.

Różniczkując wyrażenie (6.5) i wykorzystując wynik (6.7), otrzymamy w pierwszej kolejności podstawową wielkość dla średnich gaussowskich :

< z–k zł > = ∂/∂bk ∂/∂b–

ł exp[ Σ b–i ∆ij bj ] | b=b–=0 = ∆łk i,j=1

Twierdzenie Wicka. W przypadku ogólnym, różniczkując całkę (6.5) po b i b– i wykorzystując wynik (6.7), otrzymamy ogólne wyrażenie dla wszystkich średnich gaussowskich (6.8) :

Wkłady nie zerujące się przy b = b– = 0, otrzymujemy w wyniku sparywania każdego różniczkowania po b z różniczkowaniem po b– na wszelkie możliwe sposoby. Z takiego faktu otrzymujemy zespolone twierdzenie Wicka :

< z–i1 ... z–

ip zj1... zjq > = Σ ∆ jP1i1 ∆

jP2i2 ... ∆

jPpip = (6.9a)

wszystkie permutacje P indeksów {j1 ... jp }

= Σ < z–i1 zjP1> < z–i2 zjP2> ... < z–ip zjPp> (6.9b) wszystkie permutacje

P indeksów {j1 ... jp } Przykładowo :

< z–i zj z–

kzł > = < z–

i zj > < z–

kzł > + < z–

i zł > < z– kzj >

6.1.3 Rozkład perturbacyjny.

Powyższe wyniki pozwalają nam rozłożyć całkę Gaussa z zaburzeniem w pobliżu przybliżenia gaussowskiego.

Przykładowo, całka :

n n

Z(λ) =

∫

(

Π

_{dzi dz}^–i /2iπ ) exp[ –A(z–, z ) – ¼ λ Σ z–i2 zi2 ] (6.10) i=1 i=1

może być rozłożona względem potęg parametru λ.

Pierwsze kilka członów może być obliczone zgodnie z twierdzeniem Wicka. Oznaczając przy pomocy symbolu < • >0 średnią gaussowską, otrzymamy :

Z(λ)/ Z(0) = 1 – ¼ λ Σ < z–i2 zi2 >0 + (λ2 /2!42 ) Σ < z–i2 zi2 z–j2 zj2 >0 + O(λ3 ) i i,j

= 1 – ½ λ Σ ∆ii2 + λ2 Σ < 1/8 ∆ij2 ∆ji2 + ½ ∆ii2 ∆ij2 ∆jj2 ∆ji2 ) + i i,j

+ (λ2 /2!42 ) < z–i2 zi2 >0 < z–

j2 zj2 >0 + O(λ3 )

Tak jak należało tego oczekiwać, ostatni niezależny wkład skraca się w ln Z.

Zauważmy również, że ponieważ wielkość < z–i zj > nie jest symetryczna względem ij, to dla prawidłowego

przedstawienia każdego wkładu z użyciem techniki diagramów Feynmanna należy wykorzystać zorientowane linie, które idą np. od z do z– (zobacz rys. 6.1 )

Rys. 6.1 Diagram Feynmanna – wkład < z–2 z2 >0 rzędu λ.

W charakterze drugiego przykładu rozłożymy wartość średnią < z–k zł >λ, wziętą po unormowanej mierze, indukowanej przez wyrażenie podcałkowe (6.10). W rzędzie λ2 taki rozkład ma postać ( diagramy na rysunkach 1.3 i 1.4 z liniami zorientowanymi ) :

< z–k zł >λ = [ Z(0)/ Z(λ)] [ ∆łk – ¼ λ Σ < z–k zł z–

i2 zi2 >0 + (λ2 /32 ) Σ < z–k zł z–

i2 zi2 z–j2 zj2 >0 ] + O(λ3 ) =

= ∆łk – λ Σ ∆łi ∆ii ∆ik + λ2 Σ ( ∆łj ∆jj ∆ji ∆ii ∆ik + ∆łi ∆ij ∆jj ∆ji ∆ik + ½ ∆łj ∆ji ∆ij ∆ji ∆ik ) + O(λ3 )

W dokumencie Całki po trajektoriach w mechanice kwantowej (Stron 85-89)