Uogólnione całki po trajektoriach : kwantowy gas Bossego

W niniejszym podrozdziale pokażemy, jak naturalne uogólnienie formalizmu całkowania po trajektoriach, przedstawione w podrozdziałach 6.6. i 6.7, pozwala wyprowadzić reprezentacje w postaci całki polowej lub po trajektoriach

(całkowanie prowadzimy po polach klasycznych ) dla sumy statystycznej nierelatywistycznych układów bozonowych.

Ponownie rozpatrujemy przy tym własności termodynamiczne układu cząstek, podlegających statystyce Bosego, w wielkim formalizmie kanonicznym.

6.9.1 Hamiltonian w przestrzeni Foka.

Rozpatrzmy hamiltonian kwantowego gazu Bossego w d wymiarach przestrzennych :

H = T + V (6.85)

Gdzie T – człon kinetyczny, który w podprzestrzeni n cząstkowych funkcji falowych może być przedstawiony następująco :

n

Tn = – (h2 /2m) Σ ∇xi2 (6.86)

i=1

V – oddziaływanie parowe, o postaci :

Vn = Σ V(xi – xj ) , V(x) = V(–x) (6.87)

i< j ≤ n

Dla uproszczenia nie będziemy tutaj wprowadzali potencjału jednocząstkowego.

Teraz przyjmiemy bezpośrednio formalizm opisany w podrozdziałach 6.6 i 6.7..

Funkcjonały tworzące i iloczyn skalarny. Aby pokazać, jak w danym kontekście można zastosować metody funkcjonalne, należy przejść kilka etapów.

Oznaczmy przez ψn( x1, ... ,xn ) funkcje falową n bozonów; jest ona inwariantna względem permutacji jej n argumentów. Wprowadźmy funkcje zespoloną (pole ) ϕ(x) (uogólniając wektor zespolony zi z podrozdziału 6.6 ) i funkcjonał :

Ψ(ϕ) = Σ (1/n!) (

∫ Π

_ddxi ϕ(xi ) ) ψn( x1, ... ,xn ) (6.88) n=0 i

Ponieważ funkcje falową są symetryczne, to Ψ(ϕ) jest funkcjonałem tworzącym takich funkcji falowych (zobacz podrozdział 2.5.2 ). W przestrzeni wektorowej funkcjonałów tworzących możemy wprowadzić iloczyn skalarny, mające postać uogólnionej całki po trajektoriach – całki polowej lub funkcjonalnej, ponieważ w takiej całce prowadzimy całkowanie po funkcjach zespolonych ϕ(x), ϕ–(x):

(Ψ1 ,Ψ2 ) =

∫

[dϕdϕ– ] Ψ–

1(ϕ)Ψ2(x) exp[ –

∫

ddx ϕ–(x)ϕ(x)] (6.89)

całka taka jest nie jawnie unormowana przez warunek : (1, 1 ) = 1 =

∫

[dϕdϕ– ] exp[

∫

ddx ϕ–(x)ϕ(x)]

Taka unormowana zespolona przestrzeń wektorowa nazywa się przestrzenią Foka.

Ponieważ iloczyn skalarny dany jest poprzez całkę Gaussa, dla obliczenia iloczynów skalarnych należy znać tylko funkcje dwupunktową. Taka funkcja może być otrzymana z całki o ogólnej postaci :

J(J, J– ) =

∫

[dϕdϕ– ] exp{

∫

ddx [ –ϕ–(x)ϕ(x) + J(x) ϕ–(x) + J–(x)ϕ(x)] } Przesuwając pole i wykorzystując warunek normalizacji, otrzymamy : J(J, J– ) = exp[

∫

ddx J–(x)J(x)]

Różniczkowanie funkcjonalne daje funkcje dwupunktową :

∫

[dϕdϕ– ] ϕ–(x1)ϕ(x2) exp[ –

∫

ddx ϕ–(x)ϕ(x)] = δ(d)(x1 – x2 ) gdzie δ(d) – d-wymiarowa funkcja Diraca.

Jako następstwo, norma funkcjonału (6.88) dana jest przez zależność :

| Ψ |2 = (Ψ, Ψ) = Σ (1/n!) (

∫

Π

ddxi ) | ψn( x1, ... ,xn ) |2 n=0 i

Reprezentacja hamiltonowska. Teraz należy przedstawić człon kinetyczny i potencjał w postaci operatorów, działających na Ψ. Przedstawienie członu kinetycznego T można otrzymać przy pomocy krótkiego rachunku.

Rozpatrzmy wielkość :

∫

ddx ϕ(x) ∇x2 δ/δϕ(x) Ψ(ϕ) =

∫

ddx ϕ(x )∇x2 Σ [1/(n – 1)! ]

∫

₍

Π

_ddxi ϕ(xi ) ) ψn( x1, ... ,xn–1, x ) n i< n

W prawej części argument x może być przemianowany na xi i współczynnik stojący przy

Π

_{i ≤n} ϕ(xi) może być wtedy zsymetryzowany. To daje nam czynnik 1/n i generuje sumę wszystkich drugich pochodnych, proporcjonalną do członu kinetycznego (6.86). Zatem :

[TΨ](ϕ) = –(h2/2m)

∫

ddx ϕ(x)∇x2 δ/δϕ(x) Ψ(ϕ) (6.90)

Potencjał dwucząstkowy V, który w n –cząstkowej podprzestrzeni dany jest przez wyrażenie (6.87), może być otrzymany na drodze dwukrotnego różniczkowania po polach ϕ z dwoma różnymi argumentami.

Wtedy znajdujemy :

[VΨ](ϕ) = ½

∫

ddx ddy ϕ(x)ϕ(y) V(x – y) δ2/δϕ(x)δϕ(y) Ψ(ϕ) (6.91)

Otrzymaliśmy reprezentacje dla całkowitego hamiltonianu H = T + V, działającego na funkcjonały tworzące.

Na koniec, reprezentacja operatora liczby cząstek jest :

N =

∫

ddx ϕ(x) δ/δϕ(x) i [N, H ] = 0 (6.92)

Z przyczyn, które zostały wyjaśnione w podrozdziale 6.7 w dalszej kolejności będziemy rozpatrywali zmodyfikowany hamiltonian H – µN, w którym parametr µ jest to potencjał chemiczny, pozwalający zmieniać wartość średnią N.

6.9.2 Całki funkcjonalne, lub całki po polach.

Reprezentacja elementów macierzowych operatora statystycznego w postaci całki polowej może być otrzymana z trzech wyników, które były otrzymane w ramach MQ w podrozdziałach 6.6 i 6.7. Zmienne zespolone zi reprezentacji

holomorficznej (podrozdział 6.2) zamieniamy na ϕ(x), gdzie współrzędna ciągła x odgrywa rolę indeksów i.

Przy pomocy ϕ–(x) oznaczymy pole, sprzężone do ϕ(x). Możemy się przekonać, że w mieszanej ϕ–,ϕ - reprezentacji przy iloczynie skalarnym (6.89) jedności odpowiada jądro (zobacz również (6.21)) :

J(ϕ, ϕ– ) = exp[

∫

ddx ϕ–(x)ϕ(x)]

Zatem, jądro hamiltonianu ma postać :

< ϕ | H |ϕ– > = [ –(h2/2m)

∫

ddx ϕ(x)∇x2ϕ–(x) + ½

∫

ddx ddy ϕ(x)ϕ(y) V(x – y)ϕ–(x) ϕ–(y)] I(ϕ, ϕ– ) (6.93) Operator liczby cząstek jest reprezentowany przez jądro :

∫

ddx ddy ϕ–(x) ϕ(x) I(ϕ, ϕ– )

Adaptując wyrażenia z podrozdziału 6.7, a w szczególności równość (6.76), otrzymamy reprezentacje sumy statystycznej w postaci całki polowej lub funkcjonalnej :

Z(τ/h) = tr U(τ/2, –τ/2) =

∫

[ dϕ(t, x) dϕ–(t, x)] exp[ – S(ϕ–,ϕ )/h ] (6.94) Z periodycznymi warunkami granicznymi :

ϕ(τ/2,x) = ϕ(–τ/2) ; ϕ–(τ/2, x) = ϕ–(–τ/2, x ) i działaniem euklidesowym :

S(ϕ–,ϕ ) = –

∫

dt ddx ϕ–(t, x) [ h ∂/∂t + (h2/2m)∇x2 + µ] ϕ(t, x) + ½

∫

dt ddx ddy ϕ–(t, x)ϕ(t, x)V(x – y )ϕ–(t, y)ϕ(t, y)

(6.95)

Dodanie potencjału jednocząstkowego VI(x) prowadzi prosto do zamiany µ → µ – VI(x). Oprócz tego, otrzymaliśmy tutaj reprezentacje operatora exp[ –τ( H – µN )/h]. W celu otrzymania operatora statystycznego należy przyjąć τ = hβ.

Zachowanie liczby cząstek ponownie prowadzi do U(1) – symetrii działanie, która zadana jest poprzez przekształcenie : ϕ(x) → exp(iθ)ϕ(x) , ϕ–(x) exp(–iθ) ϕ–(x)

Uwagi.

i) Zauważmy, że przy jawnym obliczeniu całek polowych, mówiąc ogólnie, pojawiają się nowe rozbieżności, które wymagają zastosowania takich operacji, jak regularyzacja i renormalizacja, jednakże takie zagadnienia wychodzą poza ramy niniejszej książki.

ii) Zbudowaliśmy tutaj nierelatywistyczną kwantową teorię pola. Przejście do relatywistycznej kwantowej teorii pola jest teraz zagadnieniem głownie kinematycznym.

Teoria swobodna. Działanie teorii swobodnej sprowadza się do : S(ϕ, ϕ– ) = –

∫

dt ddx ϕ–(t, x) [ h ∂/∂t + (h2/2m)∇x2 + µ] ϕ(t, x)

Dogodną reprezentacje otrzymamy z pomocą przekształcenia Fouriera dla pola : ϕ(t, x) =

∫

ddp exp(ipx/h) ϕ~(t, p) , ϕ–(t, x) =

∫

ddp exp(–ipx/h) ϕ*~(t, p)

W takim przypadku forma kwadratowa w działaniu może być zdiagonalizowana i działanie przyjmie postać : S(ϕ, ϕ– ) = (2πh)d

∫

dt ddp ϕ*–(t, p) [ – h ∂/∂t + (p2/2m) – µ ] ϕ~(t, p)

W swobodnej (gaussowskiej ) teorii wszystkie wielkości mogą być wyrażone z użyciem pojęcia funkcji dwupunktowej.

Wykorzystując wynik (6.43), otrzymamy :

< ϕ*~(t, p) ϕ~(t’, p’ ) > = [1/(2πh)d ] ∆(t – t’ , p ) δd(p – p’ ) gdzie :

∆(t, p) = ½ exp( –ω(p)t/h ) { sgn(t) + {ch[ω(p)τ/2h /sh[ ω(p)τ/2h]} } ω(p) = p2/2m – µ

Równanie stanu otrzymujemy poprzez różniczkowanie sumy statystycznej (6.94). Zakładając obecność pojemnika o rozmiarze liniowym L z periodycznymi warunkami granicznymi, otrzymamy gęstość :

ρ(β, µ) = (1/βLb ) ∂ ln Z/ ∂µ = (1/βLdh )

∫

dt ddx < ϕ–(t, x)ϕ(t, x ) > = < ϕ–(0, 0 ) ϕ(0, 0) >

gdzie wykorzystano translacyjną inwariantność w przestrzeni i czasie.

Wprowadzając przekształcenie Fouriera dla pola, otrzymamy :

ρ(β, µ) =

∫

ddp ddp’ < ϕ*~(0, p)ϕ~(0, p’ ) > = [1/(2πh)d ]

∫

ddp ∆(0, p) =

= [1/(2πh)d ]

∫

ddp ½ {sgn(0) + {ch[βω(p)/2 /sh[ βω(p)/2]} }

Wyrażenie to pokrywa się z wynikiem (6.84), otrzymanym bezpośrednio, jeśli dla sgn(0) wybrano znaczenie –1.

Drugi wybór np. sgn(0) = 0, daje wynik rozbieżny, ale w takim przypadku składowa proporcjonalna do µ, powinna być dodana do działania w celu eliminacji dodatkowego wkładu w ρ.

Oddziaływania. W przypadku obecności słabych odpychających lokalnych oddziaływań powyższy formalizm pozwala np. przeanalizować związek (crossover ) pomiędzy kondensacją Bosego- Einsteina i przejściem fazowym w nadciekłym helu. Potencjał można zamodelować przy pomocy δ –funkcji Diraca (zregularyzowanej na małych odległościach w przestrzeni o wymiarze d > 1 ) :

V(x) = g δd(x) ; g > 0

Działanie staje się wtedy lokalne w przestrzeni i czasie, w tym sensie, że reprezentuje sobą całkę od gęstości funkcji Lagrange’a, zależnej tylko od pól i ich pochodnych :

S(ϕ, ϕ– ) = –

∫

dt ddx { ϕ–(t, x) ( h ∂/∂t + (h2/2m)∇x2 + µ ) ϕ(t, x) + ½ g[ ϕ–(t, x) ϕ(t, x)]2 } (6.96) Całka polowa może być obliczona przy pomocy metody najszybszego spadku. Punktom siodłowym odpowiadają pola stałe. Równania punktów siodłowych są następujące :

–µϕ + gϕ2ϕ– = –µϕ– + gϕ–2ϕ = 0

Przy µ < 0 dla takich równań jest tylko jedno trywialne rozwiązanie ϕ = ϕ– = 0. W przeciwieństwie do tego, przy µ > 0 istnieją i inne rozwiązania : ϕϕ– = µ/g i można się przekonać, że odpowiadają one punktom siodłowym, dającym podstawowy wkład, ponieważ odpowiednie działanie w dużej objętości L2 ma postać :

S = –βL2µ2/2g ⇒ ρ = µ/g

Przy µ < 0 rozwiązanie jest U(1) –inwariantne i U91) –symetria nie jest naruszona.

Przy µ > 0 wiodące punkty siodłowe są U(1) –nieinwariantne, co odpowiada spontanicznie naruszonej U(1) –symetrii. W przypadku obecności oddziaływań wartość potencjału chemicznego µ = 0 jest punktem przejścia w klasie przejść fazowych He4. Zauważmy, jednakże że jeśli nie ograniczając się do członu wiodącego, to pierwsza poprawka do ρ ma postać (6.84) i dlatego jest skończona przy µ = 0 tylko w granicy termodynamicznej i przy liczbie wymiarów d = 2.

Graniczny wymiar d = 2 jest szczególny i odpowiada przejściu fazowemu bez naruszenia symetrii – jest to przejście Kosterlitz’a- Thouless’a.

Ćwiczenia.

Ćwiczenie 6.1 Wykorzystując wynik (6.7) przeprowadzić prosty dowód następującej tożsamości o wyznacznikach :

W dokumencie Całki po trajektoriach w mechanice kwantowej (Stron 103-106)