Dodatek własny A - Całki Gaussa
Rozdział 4 Klasyczna i kwantowa fizyka statystyczna
4.4 Granica ciągła i całka po trajektoriach
Teraz rozpatrzymy w ogólnym przypadku zachowanie sumy statystycznej (4.3) i funkcji korelacyjnych (4.9) w granicy, kiedy ε dąży do zera. W podrozdziale 2.3 ε było krokiem w czasie. W granicy ε → 0 całki po zmiennych,
stowarzyszonych z krokami dyskretnymi w czasie, dawały formalnie całki po trajektoriach.
Dalej pokażemy, że istnienie granicy ciągłej jest związane z rozbieżności długości korelacyjnej w odpowiednim klasycznym modelu statystycznym.
4.4.1 Granica ciągła.
Z reprezentacji (4.6) wynika, że : ln T(ε) ~ –εH
ε→0
takie zachowanie jest zgodne z tym co omawialiśmy w podrozdziale 2.2, skąd otrzymujemy : T(q, q’ ) ~ < q’ | exp(–εH) | q >
ε→0
Zależności te przechodzą w relacje pomiędzy wartościami własnymi macierzy przejścia i energiami własnymi Ek hamiltonianu H (posiadającego spektrum dyskretne i którego stan podstawowy nie jest zdegenerowany; zobacz podrozdział 3.6 ) :
ln tk(ε) ~ –εEk ε→0
Dlatego też w granicy ε → 0 różnica pomiędzy wartościami własnymi macierzy przejścia zeruje się.
Rozbieżność długości korelacyjnej. W granicy ε → 0 długość korelacyjna (4.13) przyjmuje postać : ξ ~ 1/ε( E1 – E0 )
Zatem, granica ε → 0, która prowadzi do całki po trajektoriach z czasem ciągłym, w podejściu statystycznym odpowiada przypadkowi granicznemu, kiedy to długość korelacyjna dąży do nieskończoności. W takiej granicy skala długości, większej w porównaniu z skalą mikroskopową tutaj skalą sieci, jest generowana dynamicznie.
Suma statystyczna w granicy ciągłej. Klasyczną sumę statystyczną (4.7) : Z(n, ε ) = tr Tn(ε)
Można rozpatrywać jako dyskretne przybliżenie ku kwantowej sumie statystycznej Z(β) = tr exp(–βH)
która jest zadana reprezentacją w postaci całki po trajektoriach (2.23). Z analizy jaką przeprowadziliśmy w podrozdziale 2.3.1 wynika, że kwantowa suma statystyczna otrzymywana jest w granicy podwójnej n → ∞, ε → 0 przy ustalonym nε = β :
lim Z(n, ε) = Z(β) = tr exp(–βH) n→∞
ε→0
Chociaż objętość n dąży do nieskończoności, nie jest to granicą termodynamiczną, ponieważ granicy takiej odpowiada granica n → ∞, przy ustalonym ε. W ramach klasycznego modelu statystycznego możemy podać fizyczną interpretacje powyższej granicy, która nazywa się granicą ciągłą – ponieważ w jej ramach dyskretna sieć zanika. Ponieważ : n/ξ = β(E1 – E0 )
podwójna granica n → ∞, ε → 0 przy ustalonym β = nε jest w istocie granicą przy której rozmiar układu n dąży do nieskończoności, jednakże stosunek takiego rozmiaru do długości korelacyjnej pozostaje stały.
β można rozpatrywać jako rozmiar układu, mierzony w skali długości korelacyjnej. Termodynamiczną granicę układu klasycznego otrzymujemy przy β → ∞, tj. w granicy zerowej temperatury układu kwantowego. W takiej granicy : ln Z(β) ~ –βE0
β→∞
energia swobodna układu klasycznego W = ln Z(β) – jest wielkością addytywną – rośnie ona proporcjonalnie do
„objętości”, kiedy objętość dąży do nieskończoności i jest proporcjonalna do energii swobodnej stanu podstawowego układu kwantowego.
W modelu klasycznym zależność od β nazywa się efektem skończonego rozmiaru (* finite size effect *).
Granica ciągła i uniwersalność. Istnienie granicy ciągłej jest oparte na rozbieżności w nieskończoności długości korelacyjnej ξ i pojawieniu się nietrywialnej fizyki na dużych odległościach , nie zależnej od wejściowej struktury sieciowej oraz od większości detali modelu mikroskopowego ( w szczególności, jak pokazała analiza z podrozdziału 2.2, można rozpatrywać ogólniejszy przypadek wyrażenia (4.2)). Taka niezależność własności ciągłych na dużych
odległościach od wejściowej szczegółowej struktury modeli mikroskopowego nazywa się uniwersalnością.
Zjawisko, które tutaj obserwujemy, posiada głębszy sens – w przypadku ogólnym w modelu statystycznym istnieje nietrywialna granica ciągła tylko wtedy, kiedy długość korelacyjna jest rozbieżna w nieskończoności.
Taka rozbieżność pojawia się również w przypadku ciągłej przemiany fazowej – przejścia fazowego drugiego rodzaju.
Zjawisko to wyjaśnia dlaczego ciągłe przejścia fazowe (przy których długość korelacyjna jest rozbieżna w nieskończoności ) można opisać przy pomocy statystycznych (euklidesowych ) teorii pola.
W przypadku jednego wymiaru przestrzennego, przejścia fazowe nie są możliwe i długość korelacyjna może być rozbieżna w nieskończoności tylko w granicy zerowej temperatury, co też tłumaczy rolę granicy ε → 0.
4.4.2 Funkcje korelacyjne i granica ciągła.
Pokazaliśmy już, że funkcje m –punktową w sektorze 0 ≤ i1 ≤ i2 ≤ ... ≤ im ≤ n można zapisać w postaci (równość (4.10)):
< qi1qi2 ... qim > = tr [ Tn–im + i1 q^ Tim – im–1 q^ ... Ti2 – i1 q^ ] / trTn Wprowadźmy zmienne :
tk = εik ⇒ ik /ξ = tk(E1 – E0 )
oraz trajektorię q(t), tak że q(kε) = qk (zobacz podrozdział 2.3.1), zatem q(tk) = qik
Granica ciągła jest to teraz granica ε → 0 przy ustalonych β i tk – odległości są ustalone w skali długości korelacyjnej, a nie w skali kroku sieci, będącej skalą mikroskopową. W takiej granicy macierz przejścia może być wyrażona poprzez hamiltonian kwantowy :
< q(t1)q(t2)... q(tm ) >β = tr exp[ –(β – tm + t1)H ] q^ exp[ –(tm + tm–1)H ] q^ ... exp[ –( t2 – t1)H ] q^ / tr exp(–βH) (4.19) Jednocześnie całki wielokrotne są zbieżne do całek po trajektoriach :
< q(t1)q(t2)... q(tm ) >β = Z–1(β)
∫
[dq] q(t1)... q(tm)exp[–S(q)] (4.20) W granicy ciągłej funkcje korelacyjne modelu statystycznego są zbieżne do funkcji korelacyjnych, określonych zpomocą całki po trajektoriach. W takiej granicy funkcje korelacyjne demonstrują również własność uniwersalności – mogą one być wyrażone z użyciem pojęcia całki po trajektoriach, bez żadnego odwoływania się do wcześniej określonej sieci.
Granica termodynamiczna. Granica termodynamiczna klasycznego modelu jednowymiarowego odpowiada teraz β → ∞ tj. granicy zerowej temperatury kwantowego statystycznego zero-wymiarowego modelu
(jedna cząstka punktowa ). W takiej granicy funkcje korelacyjne przyjmują postać :
< q(t1)q(t2)... q(tm ) > = < 0 | q^ exp(tm + tm–1 )(H – E0 ) q^ exp[ –( t2 – t1)(H – E0 ) q^ | 0 > (4.21) gdzie | 0 > - jest to stan podstawowy hamiltonianu.
Granicą jest wartość średnia po stanie podstawowym iloczynu operatorów, która w kontekście teorii wielocząstkowej (zobacz rozdziały 6, 7 ) lub KTP nazywa się również średnią wartością próżniową.
(* vaccum expectation value *)
Kwantowe i klasyczne modele statystyczne. Pokazaliśmy, jak otrzymujemy kwantowy model statystyczny z jedną cząstką w granicy ciągłej jednowymiarowego klasycznego układu statystycznego. Taka odpowiedniość posiada swoje uogólnienie w przypadku dużej liczby wymiarów przestrzennych (D wymiarów dla modelu kwantowego, D + 1 wymiarów dla modelu klasycznego ), przy czym kwantowy charakter odzwierciedla klasyczny w obecności dodatkowego wymiaru o rozmiarze odwrotności temperatury β, z periodycznymi warunkami granicznymi.
Zauważmy jednakże, że analogia pomiędzy modelami kwantowymi i klasycznymi jest niepełna, w tym sensie, że tylko jednoczasowe funkcje korelacyjne można bezpośrednio interpretować w teorii kwantowej jako termodynamiczne wartości średnie potęg operatora współrzędnej.
I przeciwnie – w wyższych wymiarach można znaleźć klasyczne jednoczasowe funkcje korelacyjne, posiadające analogi kwantowe.
Na koniec, po przedłużeniu analitycznym do czasu rzeczywistego t → it (ale nie β ) klasyczne funkcje korelacyjne przekształcają się w zależne od czasu termodynamiczne kwantowe funkcje korelacyjne.
Uwagi.
i) Istnieją również i inne procesy stochastyczne, które prowadza do całek po trajektoriach, przy czym odpowiadające im funkcje korelacyjne są fizycznymi obserwablami. Przykładowo, najprostsze błądzenie przypadkowe odpowiada
swobodnemu hamiltonianowi kwantowemu. Rozwiązanie równania Fokkera- Plancka (podrozdział 5.5 ) opisujące procesy stochastyczne ogólniejszej postaci, może być zapisane w postaci całki po trajektoriach.
ii) Jeśli działanie euklidesowe nie jest rzeczywiste ( jak w przypadku hamiltonianu w polu magnetycznym, zobacz podrozdział 5.1), dla wartości średnich o postaci (4.20) nie ma już prostej interpretacji statystycznej.
Z przyczyn związanych z analizą ewolucji kwantowej w czasie rzeczywistym, są one tym niemniej wielkościami użytecznymi i dla wygody będziemy je jak wcześniej nazywali funkcjami korelacyjnymi.
Funkcjonał tworzący. Teoria zaburzeń. W podrozdziale 2.8 pokazaliśmy, jak obliczać całkę po trajektoriach z użyciem teorii zaburzeń z pomocą gaussowskiej całki po trajektoriach (2.47) dla wszystkich hamiltonianów o postaci (p2 /2m ) + V(q). Taka argumentacja może być natychmiast uogólniona na odpowiednie funkcje korelacyjne, Oprócz tego, dodając do potencjału składowe, odpowiadające dowolnej sile zewnętrznej, otrzymamy funkcjonał tworzący funkcji korelacyjnych (zobacz podrozdział 2.5).
Definiując :
Z(b) =
∫
[dq(t)] exp[ –S(q) +∫
dt q(t)b(t)] (4.22)Można się przekonać, że :
< q(t1)q(t2)... q(tn ) > = Z–1(b=0)( δ/δb(t1) ... δ/δb(tn ) ) Z(b) | b≡0 (4.20) Taka reprezentacje można skombinować z rozkładem z teorii zaburzeń.
Na koniec, funkcjonał W(b) = ln Z(b) jest funkcjonałem tworzącym funkcji korelacyjnych (zobacz podrozdział 1.4.2) Kwantowe równanie ruchu. Z reprezentacji (4.22) możemy otrzymać zależności pomiędzy funkcjami korealcyjnymi, wykorzystując w tym celu tę własność, że całka po całej przestrzeni od jednej zmiennej jest równa zero :
∫
[dq(t)] δ/δq(θ) exp[ –S(q) +∫
dt q(t)b(t) ] = 0 lub w jawnej postaci :∫
[dq(t)] [ b(θ) – δS(q)/δq(θ) ] exp[ –S(q) +∫
dt q(t)b(t) ] = 0Zauważmy teraz, że q(t) wewnątrz całki można zamienić na różniczkowanie funkcjonalne po b(t), które można dalej wynieść poza znak całki, otrzymując przy tym następujące równanie :
{ b(θ) – [ δS(δ/δb(t))/δq(θ)] }
∫
[dq(t)] exp[ –S(q) +∫
dt q(t)b(t) ] = 0 W ostatniej całce łatwo poznać funkcjonał tworzący Z(b).Zatem, całe równanie możemy przepisać następująco :
{ b(θ) – [ δS(δ/δb(t))/δq(θ)] } Z(b) = 0 (4.23)
Takie równanie funkcjonalne, któremu podlega Z(b) w KTP nazywa się równaniem Schwingera- Dysona; jego rozwiązaniem jest wejściowa całka po trajektoriach.
Jeżeli rozłożymy takie równanie funkcjonalne względem potęg b, to otrzymamy nieskończony zbiór równań, wiążących różne funkcje korelacyjne.