Formalizm operatorowy. Iloczyny uporządkowane w czasie

Wykorzystując definicje całki po trajektoriach jako granicy całki z dyskretnymi interwałami czasowymi, pokazaliśmy już że dla funkcji korelacyjnej w granicy ciągłej słuszna jest reprezentacja w postaci całki po trajektoriach (wyrażenie (4.20)).

Jednocześnie, mogą one być wyrażone z użyciem operatorów kwantowych (wyrażenie (4.19)).

Teraz przekonamy się, że wynik ten może być wyprowadzony bezpośrednio w przypadku ciągłym.

W tym celu uporządkujemy n momentów czasu t1, t2 , ..., tn w następujący sposób :

0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn ≤ β (4.29)

Dalej rozbijemy interwał (0, β ) na n + 1 podinterwałów (0, t1), (t1, t2 ) , ... , (tn, β ) Całkowite działanie jest to suma odpowiednich wkładów :

n+1 ti

S(q) = Σ

∫

[ ½ mq^•2 + V(q)] dt , gdzie t0 = 0 , tn–1 = β (4.30)

i=1 ti–1

Całkę (4.20) przepiszemy z pomocą tożsamości : n n

Πq(ti ) =

∫

Π dqi δ[ q(ti ) – qi ] qi i=1 i=1

Całka po trajektoriach może być sfaktoryzowana do iloczynu całek po trajektoriach, odpowiadających różnym podinterwałom czasowym.

Powracając do definicji całki po trajektoriach (równości (2.21), (2.22)), możemy zauważyć , że licznik wyrażenia (4.20) z uporządkowaniem (4.29) jest w istocie wyrażeniem o postaci (przyjmując do wiadomości uporządkowanie (2.1)) : Z(β) = < q(t1)q(t2)... q(tn ) >β = tr{ exp[ – (β – tn )H] q^ exp[ – (t2 – t1 )H] q^ exp(–t1H ) }

zgodnie z równościami (4.19), (4.20).

Wprowadzając reprezentacje Heisenberga operatora q^ (po przedłużeniu analitycznym it → t ) :

Q(t) = exp(tH)q^exp(–tH) (4.31)

(kiedy t jest rzeczywiste, Q(t) nie musi wcale istnieć – w takim przypadku definicja Q(t) jest nieco formalna ), można przepisać funkcje korelacyjną następująco :

< q(t1)q(t2)... q(tn ) >β = Z–1(β) tr[ exp(–βH) Q(tn ) ... Q(t1)] (4.32)

Iloczyny uporządkowane w czasie. Mimo iż funkcje korelacyjne są symetryczne, aby wyrazić je poprzez operatory w omawianym formalizmie należy wybrać określone uporządkowanie chwil czasu. Wygodny formalizm, oparty na wprowadzeniu uporządkowanego w czasie iloczynu operatorów, pozwala ustanowić symetrię pomiędzy chwilami czasu.

Wprowadzimy operator T porządkujący momenty czasu w iloczynie operatorów : operatorom A1(t1), ... , Ał(tł ), rozpatrywanym jako funkcje czasu, przyporządkowuje on uporządkowany w czasie iloczyn (T-iloczyn ) takich operatorów. Przykładowo, przy ł = 2 :

T[A1(t1) A2(t2 )] = A1(t1) A2(t2 ) θ( t1– t2 ) + A2(t2 ) A1(t1)θ(t2 – t1 )

Bez względu na porządek chwil czasu t1 ... tn wyrażenie (4.32) może być przepisane w postaci :

< q(t1) ... q(tn ) > = Z–1(β) tr{ exp(–βH) T[ Q(t1 ) ... Q(tn )] } (4.33) W szczególności, jeśli H posiada jednoznaczny i izolowany stan podstawowy | 0 >, w granicy β → ∞ dla funkcji

korelacyjnej słuszna jest reprezentacja (4.21), którą można przepisać tak :

< q(t1) ... q(tn ) > = < 0 | T[ Q(t1 ) ... Q(tn )] | 0 > (4.34) Takie uporządkowane w czasie iloczyny są przedłużeniami analitycznymi iloczynów uporządkowanych w czasie, które wprowadza się w formalizmie KTP z czasem rzeczywistym. Po przedłużeniu analitycznym stają się one funkcjami Greena, z których następnie np. można obliczać amplitudy rozpraszania. Jednakże wszystkim stosowalnym z punktu widzenia funkcji Greena teoriom nie koniecznie odpowiadają rzeczywiste działania euklidesowe i dlatego ich przedłużenie analityczne może dawać funkcje korelacyjne tylko w wystarczająco formalnym sensie.

Funkcjonał tworzący. Z użyciem pojęcia iloczynów uporządkowanych w czasie funkcjonał tworzący (4.22) możemy zapisać w następującej postaci :

Z(b, β) = Z–1(β) tr{ exp(–βH) T[ exp

∫

dt Q(t)b(t )] } (4.35) Reprezentacja ta jest bezpośrednio związana z wyrażeniem (9.55) – rozkładem teorii zaburzeń (podrozdział 9.7)

Ćwiczenia.

Niech chcemy zastosować metodę macierzy przejścia do sumy statystycznej (4.16) modelu gaussowskiego z podrozdziału 4.3, przepisanej w postaci :

n

Zn(T) =

∫

Π dqi /sqrt(2πT) exp[ – E(q)]

i=1 gdzie : n

E(q) = ½ Σ [ ( qi – qi–1)2/ T + vqi2 ] (4.36)

i=1

i zakładamy spełnienie periodycznych warunków granicznych.

Ćwiczenie 4.1 Suma statystyczna i wartości własne. Przekonać się, że macierz przejścia T(q, q’ ) danego modelu może być sprowadzona do postaci :

T(q, q’ ) = sqrt(b/2π) exp[ – ½ a(q2 + q’2 ) + bqq’ ] (4.37)

gdzie

a = (1/T) + ½ v ; b = 1/T

Dogodnie jest również sparametryzować współczynniki a, b, c z pomocą parametrów : ch(θ) = a/b = 1 +1/2 vT , ρ = sqrt(a2 – b2 ) = sqrt[ v/T( 1 + ¼ vT )]

Poprzez bezpośredni rachunek przekonać się, że macierz przejścia spełnia następującą zależność : T(θ)T(θ’) = T(θ + θ‘ )

Gdzie T(θ) – operator, odpowiadający jądru T(q, q’ ) z parametrem θ.

Otrzymać sumę statystyczną Zn(T) oraz wartości własne macierzy przejścia.

Rozwiązanie.

Zn(T) = 1/ 2sh(½nθ) = Σ exp[ – n( k + ½ )θ ] k=0

Zatem, wartości własne tk mają postać : tk = exp[ –(k – ½ )θ ]

gdzie przy T → 0 : θ ~ sqrt(vT )

Ćwiczenie 4.2 Wektory własne gaussowskiej macierzy przejścia. Poprzednie obliczenia pokazują, że spektrum macierzy przejścia są związane ze spektrum oscylatora harmonicznego. Jej wektory własne mogą być otrzymane z pomocą odpowiednich metod algebraicznych tj. poprzez zbudowanie operatorów kreacji i anihilacji.

Z użyciem operatorów pędu p^ i współrzędnej q^ :

p^ = (1/i) d/dq ⇒ [ q^, p^ ] = i (4.39)

zdefiniujemy dwa operatory kreacji i anihilacji :

A = ip^ +(1/T) sh(θ)q^ , A† = –ip + (1/t) sh(θ)q^ (4.40)

Określić relacje komutacyjne pomiędzy A i A† oraz dowieść, że :

AT = e–θTA , A†T = eθTA (4.41)

Rozwiązanie. Relacje komutacyjne pomiędzy A i A† mają postać:

[A, A† ] = (2/T)sh(θ)

Działając na dowolny wektor | ψ >, otrzymamy :

AT | ψ > =

∫

dq’[ d/dq + (1/T)sh(θ)q ]T(q, q’ ) ψ(q’ ) = (1/T)

∫

dq’( q’ – qe–θ ) T(q, q’ ) ψ(q’ )

TA | ψ > =

∫

dq’T(q, q’ ) ( d/dq’ + (1/T)sh(θ)q’ ] ψ(q’ ) =

∫

dq’ ψ(q’ ) [ (1/T)sin(θ)q’ – dq/dq’ ] T(q, q’ ) =

= (1/T)

∫

dq’( q’e–θ – q ) T(q, q’ ) ψ(q’ )

Stąd wynikają relacje komutacyjne (4.41) (drugą z nich otrzymujemy z pomocą sprzężenia hermitowskiego ) Ćwiczenie 4.3 Otrzymać bezpośrednim rachunkiem wartości własne i wektory własne macierzy przejścia.

Rozwiązanie. Relacje komutacyjne pozwalają obliczyć spektrum i określić wektory własne. Poprzez symbol | m >

oznaczymy wektory własne, a poprzez τm – odpowiadające im wartości własne.

Z relacji komutacyjnych otrzymujemy : A† T | m > = τm A† | m > = eθ TA† | m >

Stad wynika, że A† | m > jest wektorem własnym T z wartością własną e–θτm = τm+1.

Te same argumenty możemy zastosować do A. W ten sposób : A† | m > ∝ | m + 1 > , A | m > ∝ | m – 1 >

Ponieważ ani jeden wektor własny nie może posiadać wartości własnej większej niż τ0, to zastosowanie drugiej relacji przy m = 0 może dać tylko wektor zerowy :

A | 0 > = 0

Wartości własne są określone z dokładnością do czynnika τm = exp(–mθ )τ0, który można określić, obliczając tr T.

Zauważając, że q^ jest proporcjonalny do A + A† otrzymamy q^ | 0 > ∝ | 1 >. Wykorzystując reprezentacje operatorów A, Q^, w bazie | q >, znajdujemy jawnie :

< q | 0 > ∝ exp[ –q2 sh(θ/2T)] , < q | 1 > ∝ q2 exp[ –qsh(θ/2T)]

Ćwiczenie 4.4 Uogólnić obliczenie funkcji dwupunktowej podanej w podrozdziale 4.5.1 na przypadek : Wij(t1, t2 ) ≡ < qi(t1) qj(t2 ) > = lim (1/Z(β))

∫

[dq(t)] qi(t1) qj(t2 ) exp(–S(q))

Gdzie q – N- składowy wektor (i, j = 1, .... , N ); q(–β/2) = q(β/2) ; Z(β) – suma statystyczna odpowiadająca działaniu : ½ β

S(q) =

∫

dt [ ½ (q^•)2 + ½ q2 + (λ/4!)(q2 )2 ] – ½ β

Proszę zwrócić uwagę, że powyższe działanie jest symetryczne ze względu na przekształcenie grupy O(N) obroty i odbicia w N – wymiarowej przestrzeni )

Określić różnicę dwóch pierwszych wartości własnych energii.

Rozwiązanie. Z symetrii ze względu na grupę O(N) wynika, że funkcja dwupunktowa powinna mieć postać : Wij(t) = W(t)δij

Rozłożenie funkcji W(t) przy N = 1 i przy dowolnym N są ściśle jednakowe. Zmienia się jedynie współczynnik stojący przed wkładem rzędu λ. W rezultacie otrzymujemy :

E1 – E0 = 1 + (1/24)(N + 2 )λ + O(λ2 )

Ćwiczenie 4.5 Zakończyć obliczanie funkcji dwupunktowej z podrozdziału 4.5.1 przy skończonym β. Pokazać, rozkładając Z(2) w szereg Furiera, że wynik może być zapisany w następującej postaci :

Z(2)(t, u ) [1/ 2ωsh(ωτ/2) ch[ ω( ½τ – | t | ) ] + O(λ2 ) Gdzie

ω = E1 – E0 = 1 + λ/8

Ćwiczenie 4.6 Z pomocą różniczkowania funkcjonalnego równania (4.23) otrzymać zależność pomiędzy funkcją dwu- i czterop-punktową dla przypadku działania (4.24).

Rozwiązanie. Po pierwsze :

δS/δq(t) = –q^••(t) + q(t) + (λ3!)q3(t)

Równanie (4.23) można teraz przepisać w postaci : { [ – (d/dt )2 + 1 ] δ/δb(t) + (λ/3!) (δ/δb(t))3 } Z(b) = b(t)

Różniczkując takie równanie po b(u) i przechodząc do granicy b = 0, otrzymamy : [ (dt )2 + 1 ] Z(2)(t, u ) + (λ/3!) Z(4)(t, t, t, u ) = δ(t – u )

Ćwiczenie 4.7 Odtworzyć funkcje dwupunktową (4.25) z powyższego równania.

Rozwiązanie. W wiodącym rzędzie otrzymamy : Z(2)(t, u ) = ∆(t – u )

Dla następnego rzędu wymagamy gaussowskiej funkcji dwupunktowej, którą otrzymamy bezpośrednio z twierdzenia Wicka :

Z(4)(t1, t2, t3, t4 ) = ∆(t1 – t2) ∆(t3 – t4 ) t3, t4 ) + ∆(t1 – t3 ) ∆(t2 – t4 ) t3, t4 ) + ∆(t1 – t4 ) ∆(t3 – t2 ) Dlatego też :

Z(4)(t, t, t, u ) = 3∆(0) ∆(t – u )

Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania różniczkowego : [ (dt )2 + 1 ] Z(2)(t, u ) = δ(t – u ) – ½∆(0) ∆(t – u )

z warunkiem ∆(t) → 0, przy | t | → ∞.

Równanie to można rozwiązać z pomocą przekształcenia Fouriera.

*************************************************************************************************

W dokumencie Całki po trajektoriach w mechanice kwantowej (Stron 68-71)