Instantony : aharmoniczny oscylator czwartego rzędu

Teraz zastosujemy powyżej otrzymane wyniki do prostego przypadku – aharmonicznego oscylatora czwartego rzędu, w którym znak członu czwartego rzędu zmienia się z dodatniego na ujemny.

Odpowiedni hamiltonian ma postać:

H = – ½ (d/dq )2 + ½ q2 + ¼ gq4 (8.62)

W dalszej kolejności przyjmiemy h = 1, dlatego, że jak przekonamy się dalej w danym przypadku parametr g odgrywa rolę h.

Otrzymujemy wartości własne H z sumy statystycznej :

Z(β) = tr exp(–βH) =

∫

[dq(t)] exp([ –S(q)] (8.63)

q(–β/2) = q(β/2) gdzie S(q) – działanie euklidesowe : β/2

S(q) =

∫

_{[ ½ q}^•2(t) + ½ q2(t) + ¼ gq4(t) ] dt (8.64)

–β/2

Uogólnienie argumentów, zastosowanych do całek ze skończoną liczbą zmiennych, podpowiada nam, że całka po trajektoriach (8.63) określa funkcje g, analityczna na półpłaszczyźnie Re (g) > 0.

W takim obszarze podstawowy wkład do całki przy g → 0 daje punkt siodłowy q(t) ≡ 0. Zatem, można ją obliczyć rozkładając wyrażenie podcałkowe względem potęg g i całkując kolejne człony. To daje nam rozkład perturbacyjny sumy statystycznej, z którego można otrzymać rozkład dla energii stanu podstawowego E0(g) w granicy β → ∞.

Uwaga.

Po dokonaniu zamiany : q(t) → q(t) g – ½

parametr g w działaniu można sfaktoryzować :

S(q) = (1/g) S(q√g) (8.65)

Dlatego też stała sprzężenia g odgrywa rolę h z punktu widzenia rozkładu perturbacyjnego.

Ujemna stała sprzężenia. Dla wszystkich g < 0 hamiltonian nie jest już ograniczony od dołu. Dlatego wartości własne energii, rozpatrywane jako funkcje analityczne g, posiadają osobliwość przy g = 0 i szereg teorii zaburzeń jest zawsze rozbieżny.

Aby zrozumieć, jak określić i obliczyć E0(g) przy ujemnym g, ponownie rozpatrzymy prostą całkę ilustrującą pewne aspekty danego problemu.

8.7.1 Prosta całka czwartego rzędu.

Rozpatrzmy całkę : +∞

I(g) = (1/√2π)

∫

exp[ – ( ½ x2 + ¼ gx4 )] dx (8.66)

–∞

będącą „licznikiem“ liczby diagramów Feynmanna, dających wkład do sumy statystycznej (8.63).

Przy małych dodatnich g podstawowy wkład do całki daje punkt siodłowy w początku współrzędnych, dlatego :

I(g) = 1 + O(g) (8.67)

Funkcja I(g) jest analityczna w obciętej płaszczyźnie.

Aby przedłużyć analitycznie całkę na obszar g < 0 należy zdeformować (obrócić ) kontur całkowania C przy zmianie fazy g, np. w następujący sposób :

C : Arg x = – ¼ Arg g (mod π )

Wtedy Re (gx4 ) cały czas pozostanie dodatnie. W ten sposób otrzymujemy dwa różne, wzajemnie sprzężone zespolenie wyrażenia I±(g), odpowiadające różnym kierunkom obrotu na płaszczyźnie g :

przy g = – | g | + i0 : I+(g) = (1/√2π)

∫

exp[ – ( ½ x2 + ¼ gx4 )] dx, C+

gdzie C+ : Arg x = – ¼ π (mod π ) (8.68)

przy g = – | g | – i0 : I–(g) = (1/√2π)

∫

exp[ – ( ½ x2 + ¼ gx4 )] dx, C–

gdzie C– : Arg x = ¼ π (mod π ) (8.69)

Przy g → 0, podstawowy wkład do obu całek tak jak wcześniej daje punkt siodłowy w początku układu współrzędnych, podczas gdy wkład innych punktów siodłowych :

x + gx3 = 0 ⇒ x2 = –1/g (8.70)

ma rząd :

exp[ – ( ½ x2 + ¼ gx4 )] ~ exp( 1/4g) << 1 (8.71)

Jednakże skok funkcji I9g) przy przejściu przez nieciągłóść jest równy różnicy w/w dwóch całek :

I+(g) – I–(g) = 2i Im I(g) = (1/√2π)

∫

exp[ – ( ½ x2 + ¼ gx4 )] dx (8.72) C+ – C–

Odpowiada ona konturowi C+ – C–, który jak pokazano na rysunku 8.3 może być zdeformowany na sumę konturów C1 i C2 omijających wiodący punkt siodłowy, ale zawierających nietrywialne punkty siodłowe

S1 i S2 : x = ± 1/√–g

To oznacza, że wkłady punktu siodłowego w początku współrzędnych skracają się i teraz podstawowy wkład do całki dają punkty siodłowe S1 i S2. Obliczając ich wkłady znajdujemy :

Im I(g) ~ 2 – ½ exp(1/4g) (8.73)

Rys. 8.3 Kontury całkowania C+ , C– i C1, C2.

Zatem, przy małych ujemnych g, kiedy część rzeczywista całki dana jest przez rozkład w szereg teorii zaburzeń, nietrywialne punkty siodłowe dają podstawowe, wykładniczo małe wkłady do części urojonej.

Podana strategię uogólnimy teraz na całkę po trajektoriach (8.63).

8.7.2 Całka po trajektoriach.

Kierując się powyżej przedstawionym przykładem, będziemy obracali obszar całkowania w przestrzeni funkcjonalnej q(t) przy zmianie fazy g, tak aby początkowo dodatni parametr przyjął wartości ujemne :

q(t) → q(t) exp(–iθ) gdzie θ zależy od czasu.

Jeśli powrócimy do definicji całki po trajektoriach jako granicznej całki z dyskretnymi interwałami czasowymi (zobacz rozdział 2), to stanie się intuicyjnie jasne, że taka procedura jest uzasadniona.

Jednakże jest i jedna zasadnicza różnica od przypadku prostej całki – w obszarze całkowania powinien być spełniony wymóg Re [q^•2(t)] > 0, dlatego że jak podkreślaliśmy to w podrozdziale 2.2 człon kinetyczny

∫

q^•2(t)dt wybiera pośród trajektorii te wystarczająco regularne i dlatego zapewnia istnienie granicy ciągłej zdyskretyzowanej całki po

trajektoriach.

Przy ujemnych g oba warunki :

Re [gq4(t) ] > , Re[q^•2(t)] > 0 (8.74)

są spełnione, jeśli całkować po obszarze w którym spełnione są następujące zależności :

Arg q(t) = –θ (mod π ) ; π/8 < θ < π/4 lub – π/4 < θ < – π/8 (8.75) Przy g → 0 podstawowy wkład do obu całek, odpowiadających dwóm przedłużeniom analitycznym, również daje punkt siodłowy w początku współrzędnych :

q(t) = 0

jednakże w różnicy takich dwóch całek takie wkłady skracają się.

Wkłady innych punktów siodłowych, odpowiadających funkcjom stałym : q2(t) = –1/g

mają rząd exp(β/4g) i dlatego są zaniedbywalnie małe przy β → ∞.

Dlatego też będziemy poszukiwali punktów siodłowych, reprezentujących sobą rozwiązania euklidesowych równań ruchu przy g < 0 :

– q^••(t) + q(t) + gq3(t) = 0 (8.76)

z warunkami granicznymi :

q(–β/2) = q(β/2) (8.77)

Nas interesują tylko rozwiązania typu instantonowego, których działanie pozostaje skończone w granicy β → +∞.

8.7.3 Instantony.

Rozwiązanie równania (8.76) z periodycznymi warunkami granicznymi (8.77) można interpretować jako klasyczne ruchy periodyczne w rzeczywistym czasie i potencjale postaci :

–V(q) = – ½ q2 – ¼ gq4 (8.78)

Jest jasne, że równanie ruchu posiada rozwiązania, odpowiadające drganiom w pobliżu minimum –V : q = ± sqrt( –1/g )

Całkując równanie (8.76) jeden raz, otrzymamy :

½ q^•2 – ½ q2 – ¼ gq4 = ε gdzie ε < 0.

Oznaczając q– i q+ jako punkty z q < 0 w których prędkość q^• zeruje się, znajdujemy okres takiego rozwiązania : q+

β = 2

∫

dq/ sqrt( q2 – ½ gq4 + 2ε ) q–

β dąży do nieskończoności tylko w tym przypadku, jeśli stała ε, a zatem i q– dąży do zera. Przy tym klasyczna trajektoria przechodzi coraz bliżej początku współrzędnych. W granicy nieskończonego β rozwiązania klasyczne przyjmują postać : qc(t) = ± (–2/g )½ [ 1/ ch(t – t0 )]

Przy tym klasyczne działanie jest równe :

S(qc ) = ( –4/3g ) + O(e–β /g ) (8.79)

Ponieważ działanie euklidesowe jest inwariantne względem translacji czasowych, rozwiązanie klasyczne zależy od dowolnego parametru t0, który dla skończonych β zmienia się w interwale o rozmiarze β.

Zatem, mamy dwie rodziny zdegenerowanych punktów siodłowych, zależnych od jednego parametru.

Podstawowy rząd. Druga pochodna funkcjonalna działania jest równa :

M(t1, t2 ) = δ2S /qc(t1)δqc(t2 ) = [ –(d/dt1)2 + 1 + 3gqc2(t1) ] δ(t1 – t2 ) (8.80) Można się przekonać, że funkcja qc^• jest całkowalna z kwadratem, dlatego M posiada mod zerowy, odpowiadający wektorowi własnemu qc^•.

Uwzględniając obie rodziny punktów siodłowych, mod zerowy i zbierając wszystkie mnożniki, otrzymamy :

Im tr exp(–βH) ~ (2/2i ) [ det’MM0–1] – ½ J(β/ √2π) exp(–β/2) exp(4/3g) (8.81) Gdzie J – jakobian (8.50).

Oprócz tego, łatwo obliczyć wartości własne operatora M analitycznie, dlatego że M jest hamiltonianem z potencjałem typu Bargmanna –Wignera. Wyznacznik można teraz otrzymać z ogólnego wyrażenia (8.35). Ostatecznie otrzymujemy :

Im E0(g) = (4/√2π) [ exp(4/3g)/ √–g ][ 1 – O(g)] , g → 0– (8.82)

Ćwiczenia.

Ćwiczenie 8.1 Rozpatrzmy całkę :

Z(g) =

∫

d2q exp[ – (1/2g) q2 ( q2 – 1 )2 ] Gdzie q – dwuskładnikowy wektor ( q1, q2 )

Obliczyć taką całkę przy q → 0+ z pomocą metody najszybszego spadku.

Rozwiązanie. Istnieje kilka punktów siodłowych, odpowiadających jednej i tej samej wartości q = 0 i okręgowi | q | = 1.

W przeciwieństwie do tego, okrąg punktów siodłowych | q | = 1/3 odpowiada minimom lokalnym, a zatem nie daje wkładu. Do punktu siodłowego q = 0 można zastosować metodę najszybszego spadku, przy tym otrzymujemy 2πg.

W przypadku okręgu | q | = 1 należy wprowadzić współrzędne biegunowe, wtedy otrzymamy π sqrt(2πg) i jest to wiodący wkład przy g → 0.

Ćwiczenie 8.2

Rozpatrzmy hamiltonian ( [q^, p^ ] = ih ) : H = ½ p^2+ ½ (q^4 – 1 )2

Obliczyć działanie Sc instantonu , związanego w granicy quasiklasycznej z rozczepieniem energii pomiędzy stanem podstawowym i pierwszym stanem wzbudzonym.

Rozwiązanie.

Sc = 8/5

Ćwiczenie 8.3

Obliczyć część urojoną energii stanu pseudo podstawowego hamiltonianu : H = – ½ ( d/dq )2 + ½q2 + ½ gq2N

przy ujemnym g.

Wynik (8.85) ponownie okazuje się być tutaj użytecznym.

Rozwiązanie.

Niektóre etapy rozwiązania są takie : i) Rozwiązanie klasyczne :

| qc |N–1(t) = (1/√–g ) {1/ch[ ( N – 1)( t – t0 )] } ii) Działanie klasyczne :

Sc = A(N)/ (–g )–1/(N – 1),

A(N) = √π Γ( N/ (N – 1)) / [ 2Γ( (3N – 1) /2(N – 1)] = 41/ (N – 1) [ Γ2(N /(N – 1)) ] / Γ( 2N/(N – 1)) iii) Operator ewolucji pochodnej działania w punkcie siodłowym ma postać:

M = – dt2 + 1 – [ N(2N – 1)/ ch2[ (N – 1)t ]

Wyznaczniki dane są przez równość (8.35), gdzie należy przyjąć : λ = N / ( N – 1) , z = sqrt( 1 + ε ) / (N + 1 )

Wtedy otrzymamy :

det (M + ε ) ( M0 + ε )–1 ~ – 2–(N + 1)/ ( N + 1) A(N)ε

iv) Operator M posiada zerową wartość własną, związana z translacjami czasowymi. Jakobian J, otrzymany przez wprowadzenie w charakterze współrzędnej kolektywnej czasu, dany jest poprzez zależność :

J2 =

∫

dt q^•2(t) = A/ (–g )1/ (N – 1)

Wykorzystując równość (8.81) i zbierając wszystkie mnożniki, otrzymamy urojoną część energii metastabilnego pseudopodstawowego stanu :

Im E(g) = C(–g )–β exp[ –A(N)/ (–g )1/ (N – 1) ] (8.83)

Gdzie :

Β = 1/ [ 2(N – 1)] , C = 21/(N – 1)/ √π

Ćwiczenie 8.4

Klasyczne równanie dyfuzji : równanie Fokkera- Plancka.

Niektóre procesy stochastyczne, takie jak błądzenie losowe, dyfuzja termiczna ... mogą być opisane przez równania o postaci (zobacz podrozdział 5.5 ) :

∂P(q, t)/∂t = ½ Ω ∂/∂q [ (∂P/∂q) + (1/Ω) (∂E/∂q) P]

gdzie P(q, t) można rozpatrywać jako rozkład prawdopodobieństwa, a Ω > 0 – jest współczynnikiem dyfuzji.

Zachowanie prawdopodobieństwa wynika bezpośrednio z formy równania :

∫

dq P(q, t ) = 1

Oprócz tego, możemy się przekonać, że dla takiego równania istnieje rozwiązanie stacjonarne : P0(q, t) = exp[ –E(q)/Ω ]

które, jeśli jest ono normalizowalne jest proporcjonalne do rozkładu granicznego przy t → + ∞.

Dalej proces stochastyczny będzie utożsamiany z dyfuzją cząstki na osi q ∈(–∞, +∞ ). W podrozdziale 5.5 dowiedziono, że prawdopodobieństwo tego, że cząstka, znajdująca się w punkcie x0 w chwili t = 0, będzie w punkcie x w poźniejszej chwili czasu τ > 0, które będziemy oznaczali jako P(x,τ ; x0,0 ), dane jest przez całkę po trajektoriach :

P(x,τ ; x0,0 ) =

∫

[dq] exp[ –S(q)/Ω]

Gdzie : τ

S(q) = ½

∫

dt { [ q^• + ½ E’(q(t))]2 – ½ ΩE’’(q(t)) } 0

i warunkami granicznymi : q(0) = x0 , q(τ) = x

1)Rozpatrzmy teraz funkcje :

E(q) = q2 – 2/3 q3 (8.84)

Pokazać, że w granicy Ω → 0 (słaba dyfuzja ) całka po trajektoriach ma postać całki, odpowiadającej potencjałowi z zdegenerowanymi minimami.

Obliczyć dla dwóch jam potencjału energię stanu podstawowego w przybliżeniu gaussowskim.

Zauważmy, że w granicy Ω → 0 można zaniedbać wkład rzędu Ω do działania przy określaniu minimum lub też punktów siodłowych.

2) Dla tej że funkcji E(q) tak jak wcześniej w granicy Ω → 0 i przy τ → +∞, możemy zauważyć, ze równania punktu siodłowego odpowiadają klasycznemu ruchowi w potencjale z zdegenerowanymi minimami.

Dla takich równań istnieją rozwiązania instantonowe.

Jak można je interpretować w danym przypadku ? Rozwiązania.

1) Rozpisując kwadrat w działaniu, możemy się przekonać, że jeden człon takiego rozkładu można zinterpretować ściśle, wtedy :

τ

S(q) = ½ E(x) – ½ E(x0) + ½

∫

_{dt [ q}^• + q2 (1 – q )2 – ½ Ω( 1 – 2q )]

0

W granicy Ω → 0 dwie jamy – przy q = 0 i przy q = 1 – degenerują się.

W przybliżeniu gaussowskim energia stanu podstawowego oscylatora harmonicznego ε w obu przypadkach jest równa ε = ½. Jednakże klasyczna wartość drugiej pochodnej daje w tym rzędzie taki wkład, że :

ε = ½ – ½ = 0 przy q = 0 ε = ½ + ½ = 1 przy q = 1

Dlatego poza ramami przybliżenia klasycznego minima już nie są zdegenerowane i rozkład energii stanu podstawowego jest w istocie rozkładem perturbacyjnym w pobliżu q = 0.

Dany wynik jest w pełni zrozumiały, jeśli rozpatrywać wejściowe zagadnienie : cząstce trudno jest dyfundować z minimum potencjału E(q) przy q = 0, ale nie pokonując przy tym maksimum przy q = 1.

2) Przy Ω → 0 i τ → ∞ instantony, minimalizujące działanie, spełniają równanie :

• ± ½ E’(q) = 0

W rozpatrywanym przypadku szczególnym rozwiązania mają postać : qc(t) = 1/ 1 + exp[ ± ( t – t0 )]

Wartość działania klasycznego : S(qc) = 1/6 ( 1 –/+ 1)

Wartość zerowa odpowiada rozwiązaniu, opisującego cząstkę, pokonująca punkt q = 1 przy t = –∞ i osiągającą punkt q = 0 przy t = +∞ - proces mający skończone prawdopodobieństwo nawet przy Ω → 0.

Dodatnia wartość odpowiada cząstce, pokonującej q = 0 przy t = –∞ i osiągającej q = 1 przy t = +∞.

Taki proces jest matematycznie analogiczny przechodzeniu przez barierę i wynik charakteryzuje prawdopodobieństwo wylotu z jamy w pobliżu q = 0. Przy Ω → 0 ma on rząd exp( –1/3Ω).

*************************************************************************************************

W dokumencie Całki po trajektoriach w mechanice kwantowej (Stron 153-158)