Spektrum sztywnego O(2)- rotatora

W celu ilustracji tego efektu, który rodzi nietrywialna topologia przestrzeni, i ma wpływ na obliczenia całek po trajektoriach, rozpatrzymy spektrum kwantowego dwuwymiarowego sztywnego rotatora – układu inwariantnego względem grupy O(2) (obroty i odbicia na płaszczyźnie ).

Na początku wykorzystamy równanie Schrödingera, a następnie zastosujemy formalizm całki po trajektoriach.

Przypominamy, że abelowa (lub przemienna ) grupa obrotów na płaszczyźnie jest oznaczana jako SO(2). Jest ona podgrupą grupy ortogonalnej O(2) (obroty i odbicia ).

Określenie spektrum sztywnego O(2)- rotatora przy pomocy stacjonarnego równania Schrödingera jest bezpośrednie.

Bardziej godny uwagi jest fakt, że całka po trajektoriach może być obliczona w tym przypadku ściśle.

Oprócz tego, jej obliczenie daje nam przykład tego, w jaki sposób wpływa na całkę po trajektoriach przestrzeń np. okrąg posiadający nietrywialną topologię. Ilustruje ono również nowy problem kwantowania, pojawiający się w przypadku hamiltonianów będących kwadratową funkcją impulsów o ogólnej postaci, zagadnienie to będziemy omawiali w bardziej ogólnej postaci w podrozdziale 10.4

5.6.1 Sztywny rotator – hamiltonian i spektrum.

Rozpatrzmy układ planarny, inwariantny względem obrotów, który możemy scharakteryzować w pełni przez kąt θ(t).

Przy takiej parametryzacji klasyczny lagranżjan odpowiada ruchowi swobodnemu po okręgu :

£(θ, θ^• ) = ½ mR2θ^•2

Pokrywa się on co do formy lagranżjanem ruchu swobodnego po prostej, przy czym jedyna różnica polega na kątowym charakterze zmiennej θ, która jest określone jedynie modulo 2π. Zmienną, sprzężoną do θ, jest kątowy moment pędu : L = ∂£/∂θ^• = mR2θ^•

i odpowiadający mu klasyczny hamiltonian : H = Lθ^• – £ = L2/2mR2

Przy takiej parametryzacji okręgu kwantowanie realizujemy bezpośrednio I prowadzi ono do kwantowego hamiltonianu o postaci :

H^ = L^2 /2mR2 = – (h2 /2mR2 ) ∂2/(∂θ)2 (5.34)

SO(2)- symetria jest jawna, dlatego że operator kątowego momentu pędu : L^ = (h/i) ∂/∂θ

Będący generatorem algebry Liego grupy SO(2), komutuje z hamiltonianem (5.34) (odbiciu odpowiada zamiana θ → – θ ).

Kwantowy hamiltonian ma również postać swobodnego hamiltonianu. Jednakże, ponieważ θ – jest zmienną kątową, funkcje falowe ψ(θ) są periodyczne z okresem 2π, dlatego też można je rozłożyć w szereg Fouriera :

ψ(θ) = Σ exp(iłθ) ψł

w miejsce tego aby realizować przekształcenie Fouriera.

To prowadzi do skwantowanego spektrum :

L^ exp(iłθ) = hł exp(iłθ) ⇒ H^ exp(iłθ) = Eł exp(iłθ) , Eł = ł2h2 / 2mR2

5.6.2 Całka po trajektoriach.

Elementy macierzowe operatora statystycznego e–βH zadane są przez całkę po trajektoriach : θ(β/2) = θ’’ β/2

< θ’’ | e–βH | θ‘ > =

∫

[ dθ(t)] exp[ – ½ σ

∫

θ^•2(t)dt ] (5.35) θ(–β/2) = θ’ –β/2

gdzie σ = mR2/h2

Zauważmy, że taka całka po trajektoriach opisuje również ruch Browna na okręgu.

Jest to całka gaussowska i możemy ją obliczyć ściśle. Standardowo, w pierwszej kolejności rozwiążemy klasyczne równanie ruchu w celu określenia zależności od warunków granicznych tj. od kątów θ’ i θ’’.

W wyniku cykliczności zmiennej θ pojawia się następująca osobliwość – ponieważ θ’ i θ’’ – są kątami, to istnieje nieskończona liczba trajektorii, przechodzących od θ’ do θ’’ w czasie β.

Dana są one poprzez relacje :

θn(t) = ½ (θ’ + θ’’ ) + (θ’’ – θ’ + 2πn)t/β ; n ∈Z

Liczba obrotów n (liczba tan nazywana jest również liczba topologiczną ) posiada sens topologiczny tj. deformacje ciągłe trajektorii nie mogą jej zmienić. Zatem, całka po fluktuacjach w pobliżu trajektorii o liczbie n nie może zawierać w sobie wkładów pochodzących od trajektorii o innych wartościach n.

W przeciwieństwie do ruchu swobodnego na prostej, całka po trajektoriach (5.35) jest równa sumie nieskończonej liczbie wkładów.

Aby obliczyć wkład określonej liczby n, należy dokonać zamiany zmiennych θ(t) → u(t), przyjmując :

θ(t) = θn(t) + u(t) ; u(0) = u(β) = 0 (5.36)

Wtedy suma wszystkich wkładów może być zapisana w postaci : +∞

< θ’’ | e–βH | θ‘ > = N Σ exp[ – ½(σ/β) ( θ’’ – θ’ + 2πn)2] (5.37)

n=–∞

gdzie czynnik normalizujący można sfaktoryzować : u(β/2)=0 β/2

N(β/σ) =

∫

[ du(t)] exp[ – ½ σ

∫

u^•2(t)dt ] θ(–β/2) = 0 –β/2

dlatego że nie zależy on od n. Normalizacja nie zależy również od θ’, θ’’, z analizy wymiarowej wynika iż zależna jest tylko od stosunku β/σ.

Ponieważ całkowanie po u(t) sumuje fluktuacje w pobliżu klasycznej trajektorii, to można oczekiwać, że kątowy charakter zmiennej u(t) nie odgrywa tutaj roli, zatem :

N(β/σ) = sqrt(2πσ/β ) = (1/h) sqrt(2πm/β) (5.38)

jednakże nie jest to absolutne oczywistym, dlatego, że całkowanie jest ograniczone przez konfiguracje z sektora z zerową liczbą topologiczną. Zatem, nie można od razu wykluczyć poprawki rzędu exp(–2π2σ/β). Tym niemniej, przy

wykorzystaniu w/w założenia, znajdujemy :

+∞

< θ’’ | e–βH | θ‘ > = (1/h) sqrt(2πm/β) Σ exp[ – ½(σ/β) ( θ’’ – θ’ + 2πn)2] (5.39) n=–∞

Ponieważ uwzględniono tutaj wszystkie trajektorie θn, to powyższe wyrażenie jest periodyczne po θ’ i θ’’ tak jak być powinno.

5.6.3 Suma statystyczna i spektrum.

Wyrażenie (5.39) – jest to funkcja zależna tylko od różnicy θ’’ – θ’ na mocy SO(2)- symetrii, z której to wynika translacyjna inwariantność na okręgu. Dlatego też można go rozłożyć w szereg Fouriera o postaci :

+∞

< θ’’ | e–βH | θ‘ > = (1/2) Σ exp[ ił ( θ’’ – θ’ )] exp(–βEł ) (5.40) ł=–∞

Utożsamiliśmy tutaj współczynniki szeregu Fouriera z wartościami własnymi operatora exp(–βH), dlatego że funkcje exp(iłθ)/√2π tworzą bazę ortounormowaną, zatem operator exp(–βH) można bezpośrednio zdiagonalizować.

Współczynniki szeregu Fouriera mogą być jawnie obliczone z wyrażenia (5.39) z użyciem wzoru Poissona.

Wzór Poissona. Rozpatrzmy funkcje g(θ), ciągłą i wystarczająco szybko zanikającą przy | θ | → ∞.

Przyporządkujmy g(θ) funkcje periodyczną o okresie 2π : +∞

f(θ) = Σ g(θ + 2πn) n=–∞

Taka funkcja periodyczna może być rozłożona w szereg Fouriera : +∞

f(θ) = Σ exp(iłθ) fł n=–∞

gdzie współczynniki rozkładu zadane są następująco : 2π 2π

fł = (1/2π)

∫

dθ exp(–iłθ) f(θ) = (1/2π)

∫

dθ exp(–iłθ) Σ g(θ + 2πn) 0 0 n

Zmieniając porządek sumowania po n i całkowania, jak również dokonując zamiany zmiennych θ + 2nπ → θ, otrzymamy :

+∞ 2(n+1)π +∞

fł = Σ

∫

dθ exp(–iłθ) g(θ) = (1/2π)

∫

dθ exp(–iłθ) g(θ) (5.41)

n=–∞ 2nπ –∞

Wyrażenia te można połączyć następującą tożsamością : +∞ +∞ +∞

Σ g(θ + 2πn) = (1/2π) Σ

∫

dθ’ exp[–ił(θ – θ’ )] g(θ’ ) n=–∞ ł=–∞ –∞

Zastosowanie. Zastosujemy teraz wzór Poissona (5.41) do wyrażenia (5.39) ( θ ≡ θ’’ – θ’ ) dla : g(θ) = N(β) exp(–σθ2/2β)

Porównując z wyrażeniem (5.40), znajdujemy : +∞

exp(–βEł ) = N(β/σ)

∫

dθ exp(–iłθ – σθ2/2β ) = N(β/σ) sqrt(2πβ/σ) exp(–ł2β/2σ ) (5.42) –∞

Wynik ten potwierdza normalizacje (5.38) i daje następujące spektrum :

Eł = (1/2σ) ł2 = h2ł2 / 2mR2 (5.43)

co jest w istocie ścisłym wynikiem.

Ścisłe obliczenie było tutaj możliwe dlatego, że grupa obrotów SO(2) jest abelowa.

Analiza ogólnego rotatora ogólnej postaci z O(N) –symetrią (grupa ortogonalna obrotów i odbić w N –wymiarowej przestrzeni ) lub też ruchu swobodnego na sferze SN–1 okazuje się być bardziej złożone.

(zobacz podrozdział 10.5.2 )

5.6.4 Inne parametryzacje.

Ponieważ parametryzacja okręgu przy pomocy kąta jest w pewnym sensie zbyt sztywna, można spróbować wykorzystać inne parametryzacje.

Wprowadźmy dla opisania sztywnego rotatora funkcje periodyczną q(θ), monotoniczną na odcinku [0, 2π] i dlatego mająca nieciągłość w punktach θ = 2nπ.

Wtedy klasyczny lagranżjan przyjmie postać :

£(q, q^• ) = ½ g(q)q^•2 gdzie

g(q) = mR2( θ’(q))2

Przykładem funkcji q(θ) może być 2Rtg(θ/2), odwracalna na [–π, π] I osobliwa przy θ = ±π (nie można uniknąć takiej osobliwości ). W charakterze alternatywy można rozpatrzyć np. funkcje R sin(θ), będącej regularną i adekwatną w pobliżu θ = 0, ale nie globalnie odwracalna na [–π, π].

W takich parametryzacjach klasyczny hamiltonian przyjmuje ogólną postać : H = ½ p2/ g(q)

zatem, pojawia się problem kwantowania.

W przypadku sztywnego rotatora postać kwantowego hamiltonianu H^ w dużym stopniu jest determinowana przez wymaganie SO(2)- inwariantności tj. przez warunek aby hamiltonian H^ komutował z operatorem kątowego momentu pędu L^ - generatorem algebry Liego SO(2). W parametryzacji ogólnej postaci :

L^ = (h/i) ∂/∂θ = (h/i) ∂q/∂θ ∂/∂q = (h/i) Rsqrt[ m/g(p)] ∂/∂q Z warunku komutacji wynika, że :

H^ = L^2/2mR2 + const.

Zatem, kwantowy hamiltonian jest określony z dokładnością do stałej addytywnej.

Z punktu widzenia całki po trajektoriach, zamiana zmiennych θ → q(θ) daje miarę całkowania, przyjmującą przy dyskretnych interwałach czasowych następującą postać :

dθk = (dθk /dqk ) dqk ≡ sqrt( g(qk)) dqk Zatem :

Π

sqrt( g(qk)) = exp[ ½ Σ ln( g(q(tk))]

Π

_dqk

k k k

Jest to równoważne dodaniu do działania składowej o współczynniku, który zeruje się w nieskończoności w granicy ciągłej :

½ Σ ln( g(q(tk))] = (1/2ε) Σ ε ln( g(q(tk))] ~ (1/2ε)

∫

dt ln( g(q(t)) k k ε →0

Dany człon ma postać poprawki kwantowej, dlatego że nie ma przed nim czynnika 1/h. Przy obliczeniu nie

perturbatywnym całki po trajektoriach, odpowiadałoby to pojawienie się drugiej pochodnej propagatora (2.53) przy t = 0, która zeruje się w nieskończoności. Taka rozbieżność skraca się formalnie z rozbieżnością, pochodzącą od miary

całkowania, jednakże cześć końcowa jest niejednoznaczna.

Można się przekonać, że warunek inwariantności względem obrotów, nakłada ograniczenia na części końcowe.

Zagadnienie to rozpatrzymy dokładniej w rozdziale 10.4.

Można wnioskować, że wejściowy wybór parametryzacji płaszczyzny sztywnego rotatora, w której działanie jest SO(2) trywialne i nie pojawia się problem uporządkowania operatorów jest znacznie prostsze.

Taka parametryzacja nie istnieje przy większej liczbie wymiarów, dlatego że sfery posiadają lokalną krzywiznę (w sensie geometrii Riemanna )

Nieliniowe zamiany zmiennych. Powyższa dyskusja ilustruje również problem nieliniowych zamian zmiennych w całkach po trajektoriach. Takie zamiany są źle określone w granicy ciągłej i można je zrealizować tylko powracając do jakiejkolwiek zdyskretyzowanej postaci ( w języku KTP można powiedzieć, że całka po trajektoriach powinna być zregularyzowana )

Ćwiczenia.

Ćwiczenie 5.1 Wykorzystując wyrażenie (5.13), obliczyć elementy macierzowe operatora statystycznego U(β) = exp(–βH)

przy A(q) = ½ B × q

i stałym B tj. przy stałym polu magnetycznym i V(q) = 0.

Rozwiązanie. W pierwszej kolejności, rozpatrzymy w jaki sposób wpływa przesunięcie na operator statystyczny.

W całce po trajektoriach dokonamy zamiany zmiennych przyjmując : q(t) → q(t) + a

gdzie a – stały wektor.

Warunki graniczne przyjmują postać : q(–β/2) = q’ – a ; q(β/2) = q’’ – a , β = t’’ – t’

Efekt przesunięcia polega na dodaniu do członu magnetycznego w działaniu wkładu ½ ieB × a(q’’ – q’ ), skąd wynika relacja :

< q’’ | U(β) | q‘ > exp[ ½ ie(B × a )(q’’ – q’ )] < q’’ – a | U(β) | q’ – a >

Można wykorzystać taką zależność przy a = q’ dla uproszczenia obliczenia.

Wtedy to czynnik fazowy przyjmuje postać :

½ ie B ( q‘ × q’’ )

Tak jak poprzednio pozostaje znaleźć < q’’ – q’ | U(β) | 0 >.

Dlatego też należy rozwiązać klasyczne równanie ruchu.

Ruch równoległy do B jest ruchem swobodnym, dlatego też zadanie można sprowadzić do ruchu na płaszczyźnie, prostopadłej do B. Otrzymujemy :

Sc = [eB/4 th(eBβ/2m)] (q’’ – q’ )2

Teraz należy obliczyć wyznacznik, pojawiający się w wyniku całkowania gaussowskiego. Można go otrzymać z wartości własnych operatora różniczkowego :

–m d2/(dt2) δij + ieBk εijk d/dt

przy czym warunki graniczne polegają na tym, że funkcje własne powinny zanikać przy ±β/2.

Po przekształceniu Fouriera operator przyjmuje postać : ( mω2 –ωeB )

(ωeB mω2 ) gdzie ω – częstość

Otrzymujemy następujące wartości własne : λn = n2π2/β2 + e2B2/4m2

przy czym każda wartość własna jest dwukrotnie zdegenerowana.

Iloczyn wartości własnych, podzielony przez swoją wartość dla zerowego pola, można obliczyć z pomocą tożsamości : det [ ( – d2/dt2 + ω2 )/ – d2/dt2 ] =

Π

( 1 + ω2β2/ n2π2 ) = sh(ωβ)/ωβ (5.44) Na koniec, normując na swobodny hamiltonian, otrzymamy :

< q’’ | U(β) | q’ > [ eB/ 4πsh(βeB/2m)] exp[ ½ ieB(q‘ × q’’ )] exp(–Sc )

Ćwiczenie 5.2 Dodajmy do działania z poprzedniego ćwiczenia wkład potencjału harmonicznego : V(q) = ½ mω2q2

Znaleźć elementy macierzowe operatora statystycznego.

Rozwiązanie. Klasyczne działanie przyjmuje postać:

Sc = (mω’/2sh(βω’ ))[ (q‘2 × q’’2 ) ch(βω’) – 2q’q’’ch(eBβ/2m) – 2ish(eBβ/2m) B^ (q‘ × q’’ ) B^ = B/B ; ω’ = sqrt(ω2 + e2B2/4m2 )

Całkowanie gaussowkie generuje czynnik : N = eB/ 4πsh(βω’ )

Ćwiczenie 5.3 Równanie Fokkera-Plancka.

1. Wykorzystując całkę po trajektoriach (5.29) z działaniem (5.33), obliczyć rozkład prawdopodobieństwa P(q, θ; q0, 0 ), będącego rozwiązaniem równania Fokkera-Plancka :

∂/∂t P(q, t ; q0, t0 ) = ½ D ∂/∂t [ ∂/∂q P + (1/D) ∂E/∂q P ] z funkcją :

E(q) = q2

Dane zadanie można sprowadzić do oscylatora harmonicznego i wykorzystać odpowiedni wynik.

Otrzymać rozkład graniczny przy τ → +∞.

2. Wykorzystując całkę po trajektoriach, obliczyć P(q, t ; q0, 0 ) przy q0 = 0 w przypadku funkcji : E(q) = –q2

Co stanie się w granicy τ → + ∞ ?

Rozwiązanie.

1. W przypadku funkcji E(q) = q2

wykorzystujemy odpowiedni wynik dla oscylatora harmonicznego, znajdując : P(q, t ; q0, 0 ) = { 1/sqrt[ 2πD(1 – e–2τ )]} exp{ – [(q2 + q02

)ch(τ) – 2q0q ]/ 2D sh(τ)}exp[ – (q2 + q02 )/2D]

Rozkład graniczny (lub równowagowy ) przy τ → +∞ ma postać : P(q, t ; q0, 0 ) ~ [ 1/sqrt(πD )] exp( –q2/D ) ∝ exp[ –E(q)/D ] τ →∞

2. W przypadku funkcji E(q) = – q2 przy q0 = 0 z reprezentacji w postaci całki po trajektoriach otrzymamy następujący wynik :

P(q, t ; q0, 0 ) = { 1/sqrt[ πD(e2τ – 1 )]} exp[ –q2/ D(e2τ – 1 )]

W granicy τ →∞ rozkład staje się rozkładem równomiernym i wszędzie zbieżnym do zera. Dany wynik odzwierciedla własność nienormowalności rozkładu exp[–E(q)/D ] – dlatego też taki rozkład nie jest odpowiednim rozkładem równowagowym.

*************************************************************************************************

W dokumencie Całki po trajektoriach w mechanice kwantowej (Stron 80-85)