• Nie Znaleziono Wyników

Ruch swobodny na sferze, lub sztywny rotator

Dal ilustracji analiz z podrozdziału 10.4.2 dokonamy kwantowania ruchu swobodnego na sferze lub, co jest równoważne – sztywnego rotatora z O(N)-symetrią (tak też definiuje się O(N) nieliniowy σ –model w jednym wymiarze

przestrzennym ). Przykład z N = 2 został już rozpatrzony w podrozdziale 5.6.

Lagranżjan, kwadratowy po prędkościach, opisujący ruch swobodny na sferze SN–1 i będący, zatem rotacyjnie inwariantny, ma z konieczności postać :

£ = ½ R2 r2(t)

gdzie R – stała, r – wektor o długości jednostkowej :

r2(t) = 1 (10.52)

Aby otrzymać hamiltonian należy albo wprowadzić mnożniki Lagrange’a, tak aby nałożyć warunek (10.52), albo sparametryzować sferę przy pomocy zmiennych niezależnych qα. W takim przypadku lagranżjan przyjmie postać :

£ = ½ qα gαβ(q)qβ

gdzie gαβ(q) – tensor metryczny na sferze.

10.5.1 Hamiltonian.

Odpowiedni hamiltonian będzie miał postać :

H = ½ gαβ(q)pα pβ (10.53)

gdzie gαβ – macierz odwrotna do gαβ.

Zgodnie z analizą którą przeprowadziliśmy w podrozdziale 10.4, elementy macierzowe operatora –e–βH dane są przez całkę po trajektoriach :

β

< q’’ | e–βH | q’ > =

[ sqrt(g[q(t)] dq(t)] exp[ – ½

dt qα(t) gαβ(q(t)) qβ(t)] (10.54) 0

gdzie g(q) – wyznacznik macierzy gαβ – generuje inwariantną miarę na sferze.

Aby sparametryzować tę sferę, można wybrać w charakterze parametrów np. pierwsze N – 1 składowych qα wektora r Taka parametryzacja jest oczywiście osobliwa, tak jak dowolna inna globalna parametryzacja sfery przy N > 2 (dla pokrycia sfery konieczne są w skrajnym przypadku dwie mapy ). Lokalnie :

r (q , sqrt(1 – q2 )) Wtedy otrzymamy :

r = q2 + ( dt sqrt(1 – q2 )) = q2 + (q q )2 / (1 – q2 ) Metryka na sferze gαβ w danej parametryzacji ma postać :

gαβ(q) /R2 = δαβ + qα qβ /1 – q2 (10.55)

Hamiltonian wyraża się poprzez macierz odwrotną gαβ : R2gαβ = δαβ – qαqβ

Zatem :

H = (1/2R2 )[ p2 – (p q )2 ]

W takim zapisie łatwo rozpoznać kwadrat momentu pędu (10.17), ponieważ wektor wodzący r posiada jednostkową długość i na jedną z jego składowych nałożono więz, dlatego dana składowa nie posiada pędu sprzężonego.

W istocie, wariacje qα przy nieskończenie małej wariacji (10.3) mają postać:

δqα = Σ ταβ qβ + ταN sqrt(1 – q2 ) β

Wielkości sprzężone (10.4), (10.10) są następujące : Lαβ = qαpβ – qβpα , LαN = sqrt(1 – q2 ) pα Dlatego otrzymujemy :

L2 = Σ L2αβ + Σ L2αN = p2 – (p q )2

Zatem, hamiltonian, opisujący ruch swobodny na sferze SN–1 może być przedstawiony w postaci :

H = (1/2R2 )L2 (10.56)

gdzie wektor L – operator momentu pędu, reprezentujący sobą zbiór złożony z N(N – 1)/2 generatorów algebry Liego grupy SO(N), działających w przestrzeni Hilberta.

Kwantowy hamiltonian sztywnego O(N)- rotatora może być otrzymany również z swobodnego hamiltonianu w RN na drodze wprowadzenia współrzędnych – radialnej i kątowej, oraz określonego przyjęcia współrzędnej radialnej.

10.5.2 Spektrum sztywnego rotatora : całka po trajektoriach.

Całka po trajektoriach. Aby zapisać całkę po trajektoriach musimy obliczyć wyznacznik tensora metrycznego (10.55) : det g = R2N /(1 – q2 )

Zwróćmy uwagę, że miarę całkowania w całce po trajektoriach można teraz przepisać z użyciem wektora r.

Mamy bowiem :

dN–1q / sqrt(1 – q2 ) = dNr δ(1 – r2 )

W takiej formie formalna inwariantność rotacyjna całki po trajektoriach staje się jawna. Teraz możemy zapisać całkę po trajektoriach (10.54) z użyciem wektora r o długości jednostkowej w RN w sposób następujący :

r(β)=r’’ β

< r’’ | e–βH | r’ > =

[ dr(t) δ(1 – r2(t))] exp[ – ½R2

dt r2(t)] (10.57) r(0)=r’ 0

Spektrum : obliczenie quasiklasyczne. Teraz opiszemy zastosowanie podanego wcześniej formalizmu, będące jednocześnie jeszcze jednym przykładem obliczenia quasiklasycznego.

Rozpatrzmy mianowicie hamiltonian (10.56) przy R = 1 :

H = ½ L2 (10.58)

Całka po trajektoriach (10.57) sprowadza się do : r(β)=r’’ β

< r’’ | e–βH | r’ > =

[ dr(t) δ(1 – r2(t))] exp[ – ½

dt r2(t)] (10.59) r(0)=r’ 0

Przez θ oznaczymy kąt pomiędzy r’ i r’’ :

cos(θ) = r’ r’’ ; 0 ≤ θ ≤ π (10.60)

Wprowadzimy macierz R(t), działającą na r(t) i przeprowadzającą przy pomocy obrotu na płaszczyźnie (r’, r‘’ ), wektor r' w wektor r’’ w czasie β. Na płaszczyźnie (r’, r‘’ ) ma ona postać :

[ cos(θt/β) sin(θt/β) ] (10.61)

[ –sin(θt/β) cos(θt/β) ]

W podprzestrzeni, ortogonalnej do płaszczyzny (r’, r‘’ ),macierz R(t) pokrywa się z macierzą jednostkową.

Dokonajmy zamiany zmiennych, przyjmując :

r(t) = R(t)ρ(t) (10.62)

Oznaczmy przez u i v dwie składowe ρ na płaszczyźnie (r’, r‘’ ), przy czym u – jest składową wzdłuż r’,a ρT – składowa w przestrzeni ortogonalnej. W takich oznaczeniach całka po trajektoriach może być zapisana w postaci :

ρ(β)=r’’

< r’’ | e–βH | r’ > =

[ dρ(t) δ(1 – ρ2(t))] exp[ – S(ρ)] (10.63) ρ(0)=r’

gdzie : β

S(ρ) = ½

dt [ ρT2 + u2 + v2 + (θ2/β2 )( u2 + v2 ) + 2(θ/β)(vu – uv )] (10.64) 0

Wykorzystując warunek więzu :

u2 + v2 + ρT2 = 1 (10.65)

można przepisać działanie w następujący sposób : β

S(ρ) = ½(θ2/β) + ½

dt [ ρT2 + u2 + v2 + (θ2/β2 )( u2 + v2 ) + 2(θ/β)(vu – uv )] (10.66) 0

W odróżnieniu od przypadku abelowego, kiedy obliczenie może być przeprowadzone ściśle, teraz możemy jedynie wykorzystać rozkład przy małych β (tj. przy wysokiej temperaturze )

Odpowiada to przybliżeniu quasiklasycznemu, lub granicy WKB, który jest słuszny w przypadku dużych liczb kwantowych.

W dalszej kolejności będziemy zaniedbywali wkłady, zanikające eksponencjalnie po 1/β. W wiodącym rzędzie należy uwzględnić tylko małe fluktuacje w pobliżu rozwiązania klasycznego. Wykluczymy zmienną u z działania (10.66), wykorzystując w tym celu równość (10.65) :

u = (1 – v2 – ρT2 )½ (10.67)

i rozłożymy działanie względem potęg ρT i v. W wiodącym rzędzie wynik dany jest przez przybliżenie gaussowskie i zależy tylko od członów kwadratowych. W szczególności, składowa liniowa po θ w wyrażeniu (10.66) nie daje wkładu w danym rzędzie przybliżenia, dlatego też całka po v(t) nie zależy od θ i daje wkład tylko do normalizacji.

Ostatni etap obliczenia jest podobny do ostatniej części obliczenia przeprowadzonego w podrozdziale 2.9, który daje wynik (2.35).

Składowe ρT stają się zmiennymi niezależnymi i całkowanie po ρT daje (N–2)-ty rząd całki po jednej składowej.

Ponieważ każda składowa spełnia warunki graniczne : ρi(0) = ρi(β) = 0

to całkowanie daje wynik (2.39) dla oscylatora harmonicznego przy q’ = q’’ = 0 ; h = m = 1 i ω = iθ/β, dlatego :

< r’’ | e–βH | r’ > ~ K(β)[ θ/ 2πβsin(θ)](N–2)/2 exp(–θ2/2β ) (10.68) gdzie stała normująca K(β) nie zależy od θ :

K(β) = (2πβ) – ½

Aby otrzymać wartości własne H, można sprojektować to wyrażenie na wielomiany ortogonalne PłN(cos(θ)), odpowiadające grupie SO(N) :

π

dθ (sin(θ))N–2 PłN(cos(θ)) Pł’N(cos(θ)) = δłł’ (10.69)

0

które są proporcjonalne do wielomianów Gegenbauera Cł(N–2)/2.

Przy β → 0 wymagane są tylko pierwsze dwa człony rozkładu wielomianów PłN w pobliżu θ = 0 :

PłN(cos(θ)) = PłN(1) { 1 – [ ł(ł + N – 2 )/ 2(N – 1 )] + O(θ4 )} (10.70) Jeśli założymy, że każdej wartości ł odpowiada tylko jedna wartość własna Eł hamiltonianu H z krotnością

zdegenerowania :

δł(N) = Γ(ł + N – 2 )(N + 2ł – 2 )/ Γ(N – 1)Γ(ł + 1 ) to otrzymamy :

π

exp(–βEł ) ~ [1/δł(N)] [1/ (2πβ)(N–2)/2 ]

dθ (sin(θ))N–2 PłN(cos(θ)) exp(–θ2/2β ) = 0

= exp(–βE0)[ 1 – ½ ł( ł + N – 2 )β + O(θ2 )] (10.71)

zatem :

Eł = E0 + ½ ł( ł + N – 2 ) + O(θ) (10.72) Ponieważ Eł nie zależy od β, otrzymamy w wyniku takiego obliczenia dokładną odpowiedź, z dokładnością do stałej addytywnej E0. Poprawki, zerujące się przy β → 0, powinny być tożsamościowo równe zero.

Podany wynik wymaga wyjaśnienia. W podrozdziale 10.4 pokazano, że całka po trajektoriach (10.54), (10.59) jest źle określona, ponieważ miara całkowania daje formalnie rozbieżne wkłady. Pokazaliśmy również, że takie rozbieżności skracają się z innymi rozbieżnościami, które pojawiają się w rozkładzie perturbacyjnym. W ten sposób końcowe

wyrażenia staja się skończone, ale niejednoznaczne i takie niejednoznaczności odzwierciedlają problem uporządkowania operatorów przy kwantowaniu klasycznego hamiltonianu. Jednakże teraz otrzymaliśmy wynik dobrze określony.

Przyczyną takiego faktu jest to, że na każdym etapie obliczeń jawnie zachowaliśmy SO(N)- symetrię.

Dlatego też pośród wszystkich możliwych schematów kwantowania (i wszystkich możliwych definicji całki po trajektoriach ) wybraliśmy niejawnie element z podklasy, odpowiadającej O(N)- symetrycznym schematom kwantowania.

Ogólna analiza O(N) nieliniowego σ –modelu (kwantowo-polowe uogólnienie sztywnego rotatora ) pokazuje, że taki hamiltonian jest określony z dokładnością do stałej addytywnej. Dlatego pozostałości niejednoznaczności kwantowania są w pełni zawarte w wartości własnej E0

Ćwiczenia.

Ćwiczenie 10.1

Hamiltonian czwartego rzędu po pędach.

Wyniki otrzymane w niniejszym rozdziale można zilustrować rozpatrując kwantowy hamiltonian 4-tego rzędu po p : H^ = ½ (p^2 + ω2q^2 ) + ¼ λ( p^2 + ω2q^2 )2

gdzie λ > 0.

Dokładne spektrum jest związane ze spektrum oscylatora harmonicznego poprzez prostą zależność : E0 = ω( k + ½ ) + λω2 (k + ½ )2

Obliczyć spektrum energetyczne w pierwszym rzędzie po λ, poczynając od przedstawienia sumy statystycznej w postaci całki po trajektoriach w przestrzeni fazowej i wykorzystując dalej twierdzenie Wicka.

W całce po trajektoriach wykorzystać klasyczny hamiltonian.

Będą potrzebne pewne tożsamości z podrozdziału 3.1.

Rozwiązanie. Suma statystyczna ma postać : ½ β

Z(β) =

[dpdq] exp {

dt[ ip(t)q(t) – H(p(t),q(t))] } (10.73) – ½ β

trajektorie są periodyczne , H – klasyczny hamiltonian.

Zapiszmy rozkład sumy statystycznej do rzędu λ : ½ β

Z(β)/ Z0(β) = 1 – ¼ λ

dt < ( p2(t) + ω2q2(t) )2 >0 + O(λ2 ) – ½ β

gdzie < . >0 oznacza gasussowską wartość średnią.

Wymagane wyrażenia dane są poprzez relacje (10.34). Przy wykorzystaniu warunku symetrycznego sgn(0) = 0 otrzymamy :

Z(β)/ Z0(β) = 1 – 2λβω4 ( < q2(0) > )2 + O(λ2 ) = [ 1 – ½ λβω2ch2(ωβ/2)/ sh2(ωβ/2)] + O(λ2 ) Porównując z wyrażeniem (3.2), znajdujemy :

Ek = ω( k + ½ ) + λω2 (k2 + k + ½ ) + O(λ2 )

Zatem, przy wykorzystaniu klasycznego hamiltonianu otrzymujemy globalne przesunięcie spektrum względem ścisłego wyniku o ¼ λω2. Takie przesunięcie odpowiada różnicy pomiędzy dwoma symetrycznymi schematami kwantowania.

Ćwiczenia 10.2

Zmienimy teraz znak przed składowymi kwadratowymi : H^ = – ½ (p^2 + ω2q^2 ) + ¼ λ( p^2 + ω2q^2 )2

Spektrum, tak jak wcześniej związane jest poprzez prostą zależność ze spektrum oscylatora harmonicznego : Ek = –ω( k + ½ ) + λω2 (k2 + ½ )

Obliczyć sumę statystyczną z pomocą całki po trajektoriach w przestrzeni fazowej przy λ → 0; tak jak wcześniej wykorzystać klasyczny hamiltonian. Obliczyć spektrum.

Rozwiązanie. Jedna z metod jest następująca. Dokonujemy zamiany zmiennych p, q → ρ, θ w całce po trajektoriach : p(t) = √ρ(t) cos(θ(t)) , q(t) = √ρ(t) sin(θ(t)/ω

Miara Liouville’a przyjmuje postać : dpdq = dρdθ/2ω

Po scałkowaniu przez części :

pq dt = (1/2ω)

ρθ dt

działanie możemy zapisać następująco : S(ρ, θ ) =

dt [ – (iρθ /2ω) – ½ ρ + ¼ λρ2 ]

Całka po ρ jest całką gaussowską, jednakże na obszar całkowania nałożono warunek ρ ≥ 0.

W granicy λ → 0 podstawowy wkład do całki, z dokładnością do poprawek rzędu exp(– 1/4λ)) daje punkt siodłowy.

Zaniedbując takie poprawki, można scałkować po ρ i wtedy otrzymamy działanie dla zmiennej kątowej θ : S(θ ) = –(1/4λ)

dt ( 1 + iθ /ω)2

Teraz można adaptować metodę, wykorzystaną dla O(2)- modeli (podrozdział 5.6).

Dalej należy przesumować wkłady trajektorii periodycznych, n razy pokrywających okrąg : Z(β) = Σ exp[ (β/4λ) ( 1 + 2niπ/ωβ )2 ]

n

Wykorzystamy w tym celu tożsamość :

Σ exp(–an2 + inϕ ) = sqrt(π/a) Σ exp[ (ϕ – 2πł )2 /4a ] n ł

Otrzymujemy następujące spektrum : Eł = λωł2 – łω

Podany wynik jest słuszny apriori tylko dla Eł << 0, tj. dla wartości ł, bliskich minimum ł ~ 1/2ωλ, gdzie Eł ma rząd –1/λ W szczególności, jest on słuszny dla dużych liczb kwantowych.

Porównanie z ścisłym wynikiem pokazuje, że teraz k + ½ zamieniono na ł. Przesuniecie ½ nie powinno dziwić, ponieważ człony liniowe po k, zależą od uporządkowania w iloczynach operatorów.

*************************************************************************************************

Dodatek A