Dal ilustracji analiz z podrozdziału 10.4.2 dokonamy kwantowania ruchu swobodnego na sferze lub, co jest równoważne – sztywnego rotatora z O(N)-symetrią (tak też definiuje się O(N) nieliniowy σ –model w jednym wymiarze
przestrzennym ). Przykład z N = 2 został już rozpatrzony w podrozdziale 5.6.
Lagranżjan, kwadratowy po prędkościach, opisujący ruch swobodny na sferze SN–1 i będący, zatem rotacyjnie inwariantny, ma z konieczności postać :
£ = ½ R2 r•2(t)
gdzie R – stała, r – wektor o długości jednostkowej :
r2(t) = 1 (10.52)
Aby otrzymać hamiltonian należy albo wprowadzić mnożniki Lagrange’a, tak aby nałożyć warunek (10.52), albo sparametryzować sferę przy pomocy zmiennych niezależnych qα. W takim przypadku lagranżjan przyjmie postać :
£ = ½ q•α gαβ(q)q•β
gdzie gαβ(q) – tensor metryczny na sferze.
10.5.1 Hamiltonian.
Odpowiedni hamiltonian będzie miał postać :
H = ½ gαβ(q)pα pβ (10.53)
gdzie gαβ – macierz odwrotna do gαβ.
Zgodnie z analizą którą przeprowadziliśmy w podrozdziale 10.4, elementy macierzowe operatora –e–βH dane są przez całkę po trajektoriach :
β
< q’’ | e–βH | q’ > =
∫
[ sqrt(g[q(t)] dq(t)] exp[ – ½∫
dt q•α(t) gαβ(q(t)) q•β(t)] (10.54) 0gdzie g(q) – wyznacznik macierzy gαβ – generuje inwariantną miarę na sferze.
Aby sparametryzować tę sferę, można wybrać w charakterze parametrów np. pierwsze N – 1 składowych qα wektora r Taka parametryzacja jest oczywiście osobliwa, tak jak dowolna inna globalna parametryzacja sfery przy N > 2 (dla pokrycia sfery konieczne są w skrajnym przypadku dwie mapy ). Lokalnie :
r ≡ (q , sqrt(1 – q2 )) Wtedy otrzymamy :
r• = q•2 + ( dt sqrt(1 – q2 )) = q•2 + (q • q )2 / (1 – q2 ) Metryka na sferze gαβ w danej parametryzacji ma postać :
gαβ(q) /R2 = δαβ + qα qβ /1 – q2 (10.55)
Hamiltonian wyraża się poprzez macierz odwrotną gαβ : R2gαβ = δαβ – qαqβ
Zatem :
H = (1/2R2 )[ p2 – (p • q )2 ]
W takim zapisie łatwo rozpoznać kwadrat momentu pędu (10.17), ponieważ wektor wodzący r posiada jednostkową długość i na jedną z jego składowych nałożono więz, dlatego dana składowa nie posiada pędu sprzężonego.
W istocie, wariacje qα przy nieskończenie małej wariacji (10.3) mają postać:
δqα = Σ ταβ qβ + ταN sqrt(1 – q2 ) β
Wielkości sprzężone (10.4), (10.10) są następujące : Lαβ = qαpβ – qβpα , LαN = sqrt(1 – q2 ) pα Dlatego otrzymujemy :
L2 = Σ L2αβ + Σ L2αN = p2 – (p • q )2
Zatem, hamiltonian, opisujący ruch swobodny na sferze SN–1 może być przedstawiony w postaci :
H = (1/2R2 )L2 (10.56)
gdzie wektor L – operator momentu pędu, reprezentujący sobą zbiór złożony z N(N – 1)/2 generatorów algebry Liego grupy SO(N), działających w przestrzeni Hilberta.
Kwantowy hamiltonian sztywnego O(N)- rotatora może być otrzymany również z swobodnego hamiltonianu w RN na drodze wprowadzenia współrzędnych – radialnej i kątowej, oraz określonego przyjęcia współrzędnej radialnej.
10.5.2 Spektrum sztywnego rotatora : całka po trajektoriach.
Całka po trajektoriach. Aby zapisać całkę po trajektoriach musimy obliczyć wyznacznik tensora metrycznego (10.55) : det g = R2N /(1 – q2 )
Zwróćmy uwagę, że miarę całkowania w całce po trajektoriach można teraz przepisać z użyciem wektora r.
Mamy bowiem :
dN–1q / sqrt(1 – q2 ) = dNr δ(1 – r2 )
W takiej formie formalna inwariantność rotacyjna całki po trajektoriach staje się jawna. Teraz możemy zapisać całkę po trajektoriach (10.54) z użyciem wektora r o długości jednostkowej w RN w sposób następujący :
r(β)=r’’ β
< r’’ | e–βH | r’ > =
∫
[ dr(t) δ(1 – r2(t))] exp[ – ½R2∫
dt r•2(t)] (10.57) r(0)=r’ 0Spektrum : obliczenie quasiklasyczne. Teraz opiszemy zastosowanie podanego wcześniej formalizmu, będące jednocześnie jeszcze jednym przykładem obliczenia quasiklasycznego.
Rozpatrzmy mianowicie hamiltonian (10.56) przy R = 1 :
H = ½ L2 (10.58)
Całka po trajektoriach (10.57) sprowadza się do : r(β)=r’’ β
< r’’ | e–βH | r’ > =
∫
[ dr(t) δ(1 – r2(t))] exp[ – ½∫
dt r•2(t)] (10.59) r(0)=r’ 0Przez θ oznaczymy kąt pomiędzy r’ i r’’ :
cos(θ) = r’ • r’’ ; 0 ≤ θ ≤ π (10.60)
Wprowadzimy macierz R(t), działającą na r(t) i przeprowadzającą przy pomocy obrotu na płaszczyźnie (r’, r‘’ ), wektor r' w wektor r’’ w czasie β. Na płaszczyźnie (r’, r‘’ ) ma ona postać :
[ cos(θt/β) sin(θt/β) ] (10.61)
[ –sin(θt/β) cos(θt/β) ]
W podprzestrzeni, ortogonalnej do płaszczyzny (r’, r‘’ ),macierz R(t) pokrywa się z macierzą jednostkową.
Dokonajmy zamiany zmiennych, przyjmując :
r(t) = R(t)ρ(t) (10.62)
Oznaczmy przez u i v dwie składowe ρ na płaszczyźnie (r’, r‘’ ), przy czym u – jest składową wzdłuż r’,a ρT – składowa w przestrzeni ortogonalnej. W takich oznaczeniach całka po trajektoriach może być zapisana w postaci :
ρ(β)=r’’
< r’’ | e–βH | r’ > =
∫
[ dρ(t) δ(1 – ρ2(t))] exp[ – S(ρ)] (10.63) ρ(0)=r’gdzie : β
S(ρ) = ½
∫
dt [ ρ•T2 + u•2 + v•2 + (θ2/β2 )( u2 + v2 ) + 2(θ/β)(v•u – u•v )] (10.64) 0Wykorzystując warunek więzu :
u2 + v2 + ρ•T2 = 1 (10.65)
można przepisać działanie w następujący sposób : β
S(ρ) = ½(θ2/β) + ½
∫
dt [ ρ•T2 + u•2 + v•2 + (θ2/β2 )( u2 + v2 ) + 2(θ/β)(v•u – u•v )] (10.66) 0W odróżnieniu od przypadku abelowego, kiedy obliczenie może być przeprowadzone ściśle, teraz możemy jedynie wykorzystać rozkład przy małych β (tj. przy wysokiej temperaturze )
Odpowiada to przybliżeniu quasiklasycznemu, lub granicy WKB, który jest słuszny w przypadku dużych liczb kwantowych.
W dalszej kolejności będziemy zaniedbywali wkłady, zanikające eksponencjalnie po 1/β. W wiodącym rzędzie należy uwzględnić tylko małe fluktuacje w pobliżu rozwiązania klasycznego. Wykluczymy zmienną u z działania (10.66), wykorzystując w tym celu równość (10.65) :
u = (1 – v2 – ρT2 )½ (10.67)
i rozłożymy działanie względem potęg ρT i v. W wiodącym rzędzie wynik dany jest przez przybliżenie gaussowskie i zależy tylko od członów kwadratowych. W szczególności, składowa liniowa po θ w wyrażeniu (10.66) nie daje wkładu w danym rzędzie przybliżenia, dlatego też całka po v(t) nie zależy od θ i daje wkład tylko do normalizacji.
Ostatni etap obliczenia jest podobny do ostatniej części obliczenia przeprowadzonego w podrozdziale 2.9, który daje wynik (2.35).
Składowe ρT stają się zmiennymi niezależnymi i całkowanie po ρT daje (N–2)-ty rząd całki po jednej składowej.
Ponieważ każda składowa spełnia warunki graniczne : ρi(0) = ρi(β) = 0
to całkowanie daje wynik (2.39) dla oscylatora harmonicznego przy q’ = q’’ = 0 ; h = m = 1 i ω = iθ/β, dlatego :
< r’’ | e–βH | r’ > ~ K(β)[ θ/ 2πβsin(θ)](N–2)/2 exp(–θ2/2β ) (10.68) gdzie stała normująca K(β) nie zależy od θ :
K(β) = (2πβ) – ½
Aby otrzymać wartości własne H, można sprojektować to wyrażenie na wielomiany ortogonalne PłN(cos(θ)), odpowiadające grupie SO(N) :
π
∫
dθ (sin(θ))N–2 PłN(cos(θ)) Pł’N(cos(θ)) = δłł’ (10.69)0
które są proporcjonalne do wielomianów Gegenbauera Cł(N–2)/2.
Przy β → 0 wymagane są tylko pierwsze dwa człony rozkładu wielomianów PłN w pobliżu θ = 0 :
PłN(cos(θ)) = PłN(1) { 1 – [ ł(ł + N – 2 )/ 2(N – 1 )] + O(θ4 )} (10.70) Jeśli założymy, że każdej wartości ł odpowiada tylko jedna wartość własna Eł hamiltonianu H z krotnością
zdegenerowania :
δł(N) = Γ(ł + N – 2 )(N + 2ł – 2 )/ Γ(N – 1)Γ(ł + 1 ) to otrzymamy :
π
exp(–βEł ) ~ [1/δł(N)] [1/ (2πβ)(N–2)/2 ]
∫
dθ (sin(θ))N–2 PłN(cos(θ)) exp(–θ2/2β ) = 0= exp(–βE0)[ 1 – ½ ł( ł + N – 2 )β + O(θ2 )] (10.71)
zatem :
Eł = E0 + ½ ł( ł + N – 2 ) + O(θ) (10.72) Ponieważ Eł nie zależy od β, otrzymamy w wyniku takiego obliczenia dokładną odpowiedź, z dokładnością do stałej addytywnej E0. Poprawki, zerujące się przy β → 0, powinny być tożsamościowo równe zero.
Podany wynik wymaga wyjaśnienia. W podrozdziale 10.4 pokazano, że całka po trajektoriach (10.54), (10.59) jest źle określona, ponieważ miara całkowania daje formalnie rozbieżne wkłady. Pokazaliśmy również, że takie rozbieżności skracają się z innymi rozbieżnościami, które pojawiają się w rozkładzie perturbacyjnym. W ten sposób końcowe
wyrażenia staja się skończone, ale niejednoznaczne i takie niejednoznaczności odzwierciedlają problem uporządkowania operatorów przy kwantowaniu klasycznego hamiltonianu. Jednakże teraz otrzymaliśmy wynik dobrze określony.
Przyczyną takiego faktu jest to, że na każdym etapie obliczeń jawnie zachowaliśmy SO(N)- symetrię.
Dlatego też pośród wszystkich możliwych schematów kwantowania (i wszystkich możliwych definicji całki po trajektoriach ) wybraliśmy niejawnie element z podklasy, odpowiadającej O(N)- symetrycznym schematom kwantowania.
Ogólna analiza O(N) nieliniowego σ –modelu (kwantowo-polowe uogólnienie sztywnego rotatora ) pokazuje, że taki hamiltonian jest określony z dokładnością do stałej addytywnej. Dlatego pozostałości niejednoznaczności kwantowania są w pełni zawarte w wartości własnej E0
Ćwiczenia.
Ćwiczenie 10.1
Hamiltonian czwartego rzędu po pędach.
Wyniki otrzymane w niniejszym rozdziale można zilustrować rozpatrując kwantowy hamiltonian 4-tego rzędu po p : H^ = ½ (p^2 + ω2q^2 ) + ¼ λ( p^2 + ω2q^2 )2
gdzie λ > 0.
Dokładne spektrum jest związane ze spektrum oscylatora harmonicznego poprzez prostą zależność : E0 = ω( k + ½ ) + λω2 (k + ½ )2
Obliczyć spektrum energetyczne w pierwszym rzędzie po λ, poczynając od przedstawienia sumy statystycznej w postaci całki po trajektoriach w przestrzeni fazowej i wykorzystując dalej twierdzenie Wicka.
W całce po trajektoriach wykorzystać klasyczny hamiltonian.
Będą potrzebne pewne tożsamości z podrozdziału 3.1.
Rozwiązanie. Suma statystyczna ma postać : ½ β
Z(β) =
∫
[dpdq] exp {∫
dt[ ip(t)q•(t) – H(p(t),q(t))] } (10.73) – ½ βtrajektorie są periodyczne , H – klasyczny hamiltonian.
Zapiszmy rozkład sumy statystycznej do rzędu λ : ½ β
Z(β)/ Z0(β) = 1 – ¼ λ
∫
dt < ( p2(t) + ω2q2(t) )2 >0 + O(λ2 ) – ½ βgdzie < . >0 oznacza gasussowską wartość średnią.
Wymagane wyrażenia dane są poprzez relacje (10.34). Przy wykorzystaniu warunku symetrycznego sgn(0) = 0 otrzymamy :
Z(β)/ Z0(β) = 1 – 2λβω4 ( < q2(0) > )2 + O(λ2 ) = [ 1 – ½ λβω2ch2(ωβ/2)/ sh2(ωβ/2)] + O(λ2 ) Porównując z wyrażeniem (3.2), znajdujemy :
Ek = ω( k + ½ ) + λω2 (k2 + k + ½ ) + O(λ2 )
Zatem, przy wykorzystaniu klasycznego hamiltonianu otrzymujemy globalne przesunięcie spektrum względem ścisłego wyniku o ¼ λω2. Takie przesunięcie odpowiada różnicy pomiędzy dwoma symetrycznymi schematami kwantowania.
Ćwiczenia 10.2
Zmienimy teraz znak przed składowymi kwadratowymi : H^ = – ½ (p^2 + ω2q^2 ) + ¼ λ( p^2 + ω2q^2 )2
Spektrum, tak jak wcześniej związane jest poprzez prostą zależność ze spektrum oscylatora harmonicznego : Ek = –ω( k + ½ ) + λω2 (k2 + ½ )
Obliczyć sumę statystyczną z pomocą całki po trajektoriach w przestrzeni fazowej przy λ → 0; tak jak wcześniej wykorzystać klasyczny hamiltonian. Obliczyć spektrum.
Rozwiązanie. Jedna z metod jest następująca. Dokonujemy zamiany zmiennych p, q → ρ, θ w całce po trajektoriach : p(t) = √ρ(t) cos(θ(t)) , q(t) = √ρ(t) sin(θ(t)/ω
Miara Liouville’a przyjmuje postać : dpdq = dρdθ/2ω
Po scałkowaniu przez części :
∫
pq• dt = (1/2ω)∫
ρθ• dtdziałanie możemy zapisać następująco : S(ρ, θ ) =
∫
dt [ – (iρθ• /2ω) – ½ ρ + ¼ λρ2 ]Całka po ρ jest całką gaussowską, jednakże na obszar całkowania nałożono warunek ρ ≥ 0.
W granicy λ → 0 podstawowy wkład do całki, z dokładnością do poprawek rzędu exp(– 1/4λ)) daje punkt siodłowy.
Zaniedbując takie poprawki, można scałkować po ρ i wtedy otrzymamy działanie dla zmiennej kątowej θ : S(θ ) = –(1/4λ)
∫
dt ( 1 + iθ• /ω)2Teraz można adaptować metodę, wykorzystaną dla O(2)- modeli (podrozdział 5.6).
Dalej należy przesumować wkłady trajektorii periodycznych, n razy pokrywających okrąg : Z(β) = Σ exp[ (β/4λ) ( 1 + 2niπ/ωβ )2 ]
n
Wykorzystamy w tym celu tożsamość :
Σ exp(–an2 + inϕ ) = sqrt(π/a) Σ exp[ (ϕ – 2πł )2 /4a ] n ł
Otrzymujemy następujące spektrum : Eł = λωł2 – łω
Podany wynik jest słuszny apriori tylko dla Eł << 0, tj. dla wartości ł, bliskich minimum ł ~ 1/2ωλ, gdzie Eł ma rząd –1/λ W szczególności, jest on słuszny dla dużych liczb kwantowych.
Porównanie z ścisłym wynikiem pokazuje, że teraz k + ½ zamieniono na ł. Przesuniecie ½ nie powinno dziwić, ponieważ człony liniowe po k, zależą od uporządkowania w iloczynach operatorów.
*************************************************************************************************