Rozkład quasiklasyczny

Teraz rozpatrzymy druga granicę h → 0, która (w wiodącym rzędzie ) lepiej odpowiada idei rozkładu quasiklasycznego.

Weźmy granicę h → 0 przy ustalonym β tj. przy ustalonej temperaturze. W tym przypadku oczekujemy, że kwantowa suma statystyczna przejdzie w klasyczną. Sprawdzimy takie założenie, obliczając wiodący człon do pierwszej poprawki w rozkładzie quasiklasycznym sumy statystycznej (2.23). W szczególności, takie obliczenie pozwoli nam określić parametr rozkładu, ponieważ stała Plancka h posiada wymiar i dlatego należy ja podzielić na druga wielkość, mająca wymiar działania.

Suma statystyczna ma postać :

Z(β) =

∫

[dq(t)] exp[ –S(q)/h ] (2.79)

Gdzie trajektorie spełniają periodyczne warunki graniczne q(0) = q(β) i (zobacz (2.24)) : β

S(q)/h =

∫

[ ½ mq^•2(t)/h2 + V(q(t))] dt (2.80)

0

Przy h → 0 człon kinetyczny w działaniu jest członem wiodącym. Trajektorie, dające podstawowy wkład, spełniają równanie q^• = 0, tj. odpowiadają wszystkim możliwym stałym. Z punktu widzenia metody najszybszego spadku, znaleźliśmy jednoparametrową rodzinę zdegenerowanych punktów siodłowych. W podrozdziałach 8.2 i 8.3.1 omówimy ten problem i pokażemy, ze dla jego rozwiązania należy wprowadzić współrzędną kolektywną, parametryzująca wszystkie punkty siodłowe. W danym przykładzie realizacja takiej idei jest prosta – w pierwszej kolejności, znajdziemy diagonalny element macierzowy :

< q0 | e–βH | q0 > =

∫

[dq(t)] exp[ –S(q)/h ] (2.81)

q(0) = q(β) =q0

do którego daje wkład tylko jeden punkt siodłowy q(t) ≡ q0

Po dokonaniu przesunięcia q(t) → q(t) + q0 całka po trajektoriach przyjmuje postać :

< q0 | e–βH | q0 > =

∫

[dq(t)] exp[ – Σ(q) ] (2.82) q(0) = q(β) =q0

gdzie : β

Σ(p) =

∫

[ ½ mq^•2(t)/h2 + V(q0 + q(t))] dt (2.83) 0

Z postaci działania wynika, że formalnie q^• ma rząd wielkości h. Przy warunkach granicznych, ustanowionych w (2.82), punkt siodłowy to q(t) ≡ 0, dlatego q(t) sama ma rząd h. Potencjał może być rozłożony względem potęg q(t) :

V(q0 + q(t)) = V(q0) + V’(q0) q(t) + ½ V’’(q0) q2(t) + O(h3 ) tak jak i całe wyrażenie podcałkowe w całce (2.82).

Każda składowa ma postać gaussowskiej wartości średniej : β

< q0 | e–βH | q0 > = N(β) exp(–βV(q0 )) [ 1 – V’(q0)

∫

dt < q(t) >0 + ½ (V’(q0))2

∫

dtdu < q(t)q(u) >0

–

0

β

– ∫

dt < q2(t) >0 + O(h3) ] 0

gdzie < • >0 - oznacza wartość średnią względem miary, odpowiadającej działaniu swobodnemu : S(q) = ½ m

∫

q^•2(t)/h dt

Przy obliczaniu średniej gaussowskiej wykorzystujemy funkcje dwupuktową ∆(t, u) odpowiadająca działaniu swobodnemu z warunkami granicznymi q(0) = q(β) = 0 :

β β

< q0 | e–βH | q0 > = N(β) exp(–βV(q0 )) [ 1 – (h2/2m )(V’(q0))2

∫

∆(t, u) dtdu – (h2/2m)V’’(q0)

∫

∆(t, t)dt O(h2 ) ]

0 0

Czynnik normujący ma postać:

N(β) = < q = 0 | e–βp2/2m | q = 0 > =

∫

dp/2πh e–βp2/2m = (1/h) sqrt(m/2πβ) (2.84) Co pokrywa się z wyrażeniem (2.9), odpowiadającym przypadkowi ruchu swobodnego, jeśli zamienimy w nim t – t’ na hβ ( w danym przypadku d = 1 ).

Funkcja dwupunktowa. Tym niemniej, należy określić funkcje dwupunktową ∆(t, u). Można ją otrzymać obliczając całkę po trajektoriach :

β β

ZG(b, β) =

∫

[dq(t)] exp[ – (m/2h2 )

∫

q^•2(t) dt +

∫

b(t) q(t)dt ] (2.85)

0 0

gdzie q(0) = q(β) = 0.

Obliczenie, jest całkowicie analogiczne do obliczenia przeprowadzonego w podrozdziale 2.6 i daje ono : β

ZG(b, β) / ZG(0, β) = exp[ (h2/2m)

∫

dt du b(t)∆(t, u) b(u)] (2.86)

0

gdzie ∆(t, u) = ∆(u, t) jest rozwiązaniem równania : –∆^••(t, u) = δ(t – u) przy ∆(0, u) = ∆(β, u) = 0 Znajdujemy :

∆(t, u) = – ½ | t – u | + ½ ( t + u – 2ut/β ) (2.87)

Suma statystyczna. Wykorzystując funkcje dwupunktową, można w jawnej postaci obliczyć wartości średnie :

< q0 | e–βH | q0 > = N(β) exp(–βV(q0 )) [ 1 + (h2β3 /24m )(V’(q0))2 – (h2β2/12m)V’’(q0) + O(h3 )] (2.88) Wynik ten można sprawdzić, rozkładając funkcje (2.39) oscylatora harmonicznego z V(q) = ½ mω2q2 przy q’ = q’’ = q ; τ = h β :

< q0 | e–βH | q0 > = exp(–βV(q0 )) (1/h) sqrt(m/2πβ) exp( –βmω2q2/2 )[ 1 + 1/12 (ω2β2 h2 ) + + 1/24 (mω4β3h2q2 ) + O(h4 )]

Na koniec, suma statystyczna przyjmuje postać standardowej całki po q :

ZG(β) =

∫

dq(t)< q | e–βH | q > = (1/h) sqrt(m/2πβ)

∫

dq e–βV(q) [ 1 + (h2β3 /24m )(V’(q))2 – (h2β2/12m)V’’(q) + + O(h3 )] = (1/h) sqrt(m/2πβ)

∫

dq e–βV(q) [ 1 – (h2β3 /24m )V’’(q) + O(h3) =

= (1/h) sqrt(m/2πβ)

∫

dq exp[ – βV(q) – β2h2 V’’(q)/24m + O(h3)] (2.89)

gdzie trzecią równość otrzymano z drugiej całkując przez części składową proporcjonalną do V’2.

Obliczenie alternatywne. Obliczenie alternatywne oparte jest na rozkładzie q(t) w szereg Fouriera względem bazy ortogonalnej funkcji periodycznych na interwale [0, β ] :

q(t) = q0 + δq(t) ; δq(t) = √(2/β) Σ [ an cos(2πnt/β) + bn sin(2πnt/β)]

n>0

Oddzieliliśmy mod q0 dlatego, ze nie daje on wkładu do pochodnej po czasie i zatem nie nakłada się na niego żadnych ograniczeń w granicy h → 0. W przeciwieństwie do tego, współczynniki an i bn i dlatego również i δq(t) mają rząd h.

Dlatego też jest uzasadniony rozkład potencjału względem potęg δq(t) : V(q(t)) = V(q0) + δq(t) V’(q0) + ½ (δq(t))2 V’’(q0 ) + O((δq)3 ) Teraz scałkujemy po t i wykorzystamy ortogonalnosć bazy.

Wtedy składowe rzędu δq zerują się i działanie przyjmuje postać : S(q)/h = βV(q0) + Σ ( an2 + bn2

) [ (2mn2π2/β2h2 ) + ½ V’’(q0 )] + O(an3, an2bn , ... ) n>0

Jak wyjaśniliśmy wcześniej na przykładzie całki Gaussa w podrozdziale 2.7 (równanie (2.69)), całkowanie po drogach q(t) można zamienić na całkowanie po współczynnikach rozkładu q(t) względem bazy ortounormowanej, w danym przypadku po q0 (mod ten nie jest unormowany, ale jakobian jest równy stałej ) oraz po {an, bn }

Całkowanie gaussowskie po współczynnikach an i bn dokonujemy natychmiastowo.

Umówmy się aby unormować wszystkie całki, dzieląc je na całkę z V’’(q) ≡ 0. Wtedy otrzymamy :

∫

dan exp{ [ – ( 2mn2π2/ β2h2 ) + ½ V’’(q0)] an2 } ∝ [ 1 + (h2β2/4mπ2n2 )V’’(q0)] – ½ ∝

∝ exp[ – (β2h2/ 8mπ2n2 ) V’’(q0)]

Sumując po n ( i wykorzystując równość Σn 1/n2 = π2/6 ), znajdujemy sumę statystyczną z dokładnością do

normalizacji. Czynnik normujący N(β) nie zależny od potencjału, można określić, zauważając, że do całkowania po q0 otrzymujemy wkład do elementu diagonalnego macierzy gęstości o postaci < q | e–βH | q >.

Przy V ≡ 0 jest on dany przez wyrażenie (2.84), zatem ponownie dochodzimy do wyniku (2.89).

Uwagi.

i) W granicy h → 0 podstawowym wkładem jest klasyczna suma statystyczna, odpowiadającą boltzmannowskiej funkcji rozkładu, otrzymanej na drodze całkowania po pędzie p rozkładu Boltzmanna w przestrzeni fazowej : e–βH(p,q), gdzie H – jest klasycznym hamiltonianem. W istocie, w przypadku hamiltonianiu H = p2/2m + V(q) dwa zapisy N(β) w

wyrażeniu (2.84) prowadzą do tożsamości :

Zel(β) =

∫

dpdq/2πh exp( –βH(p, q)) = (1/h) sqrt(m/2πβ)

∫

dq e–βV(q) (2.90) ii) Wprowadzając długość fali termicznej :

λth = h √β/m

oraz skalę charakteryzującą zmianę potencjału w przestrzeni (zakładamy, że potencjał jest charakteryzowany przez jedną skalę długości )

ł = sqrt[ | < V(q) > / < V’’(q) > | ]

widzimy, że relacja pierwszej poprawki kwantowej do członu klasycznego może być scharakteryzowane poprzez wielkość λth / łth. Przy wysokiej temperaturze T = 1/β tj. przy małym β, długość fali termicznej jest mała i zachowanie statystyczne staje się klasyczne. W przeciwieństwie do tego, przy niskiej temperaturze podstawową rolę odgrywają efekty kwantowe.

Przeprowadzając powyższa analizę niejawnie zakładamy, że potencjał jest dostatecznie regularny – w skrajnym przypadku dwukrotnie różniczkowalny. Wyidealizowane potencjały takie jak np. jama prostokątna, która często wykorzystuje się w MQ, wymagają specjalnej analizy.

iii) Zauważmy, że formalnie klasyczna granica odpowiada swego rodzaju redukcji wymiarowej. Przy obliczaniu kwantowej sumy statystycznej należy całkować po trajektoriach tj. obiektach jednowymiarowych. Przy obliczeniu klasycznej sumy statystycznej należy jedynie całkować po modzie zerowym (w sensie szeregu Fouriera ), która odpowiada punktowi i posiada zerowy wymiar.

Ćwiczenia.

Ćwiczenie 2.1 Przeprowadzić obliczenie z podrozdziału 2.7 z formą dyskretną działania (2.64).

Ćwiczenie 2.2 Lokalność. Rozpatrzmy operator U(t) , określony poprzez swoje elementy macierzowe :

< q U(t) q’ > = [ (t/h)/ t2 + ( q – q’ )2 ]

Sprawdzić spełnienie własności półgrupy U(t1)U(t2) = U(t1 + t2 )

Pokazać, że odpowiedni hamiltonian (określony poprzez równość (2.2) przy h = 1 ) jest nielokalny, tj. posiada nośnik przy q ≠ q’ .

Rozwiązanie. Elementy macierzowe hamiltonianu są następujące :

< q | H | q’ > = – 1/ π(q – q’ )2 przy q ≠ q’

Ćwiczenie 2.3 Prostokątna jama potencjału. Wykorzystując otrzymane wcześniej wyrażenie dla operatora statystycznego e–βH oscylatora harmonicznego, wyprowadzić spektrum prostokątnego potencjału przyciągania H = ½ p2 + V(x), gdzie : V(x) = 0 przy | x | > ½ a ; V(x) = V < 0 przy | x | < ½ a

( dla realizacji tego ćwiczenia wymagana jest pewna wiedza matematyczna )

Rozwiązanie. Podstawowa idea polega na obliczeniu wyznacznika Fredholma D(V,E ) operatora H – E, którego zera określają spektrum. Taki wyznacznik można wyrazić poprzez gaussowską całkę po trajektoriach :

D– ½(V, E) ∝

∫

[ dq(x)] exp[ – S(q)] ; S(q) =

∫

dx [ ½ (q’(x))2 + ( V(x) – E )q2(x)]

Taka całka może być obliczona jawnie na różne sposoby.

Nasza metoda jest taka. Na początku, dogodnie jest rozpatrywać całkę jako granicę przy β → ∞ sumy statystycznej w czasie euklidesowym β tj. przy temperaturze 1/β, który otrzymujemy przy nałożeniu periodycznych warunków granicznych q(–β/2) = q(β/2) :

D– ½(V, E) ∝ lim tr U(β) β→∞

gdzie :

q(β/2) = q’’

< q’’ | U(β) | q’ > =

∫

[dq(x)] exp[ – S(q)]

q(–β/2) = q’

Następnie rozdzielamy interwał [ –β/2, β/2 ] na trzy podinterwały w których potencjał jest stały : [ –β/2 , –a/2] , [ –a/2, a/2 ], [ a/2, β/2 ]

Zapisujemy U(β) w postaci iloczynu operatorów statystycznych, odpowiadających różnym interwałom. W każdym takim interwale całka po trajektoriach odpowiada operatorowi statystycznemu oscylatora harmonicznego.

Dla dalszej analizy wprowadzimy następujące oznaczenie : –E = ½ ω12 , V – E = ½ ω22

Przez U1 i U2 oznaczymy operatory odpowiadające odpowiednio ω1 i ω2. Wtedy : tr U(β) = tr U1 (β/2 – a/2 ) U2(a) U1(β/2 – a/2 ) = tr U1(β – a) U(a)

gdzie wykorzystaliśmy własność cykliczności śladu. W granicy β → ∞ U1 staje się projektorem na stan podstawowy oscylatora :

tr U(β) ~ √ω1/π exp[ –ω1(β – a)/2 ]

∫

dq’dq’’exp( –ω1q’2/2 ) exp( –ω1q’2/2 ) < q’’ | U2(q) | q’ >

β→∞

Teraz wykorzystujemy jawny wynik (2.35) i przeprowadzamy dwa całkowania gaussowskie po q’ i q’’. Otrzymujemy : tr U(β) ~ sqrt[ 2ω1ω2 sh(aω2 )] ½ ( ω12 + ω22 + 2ω1ω2 cth(aω2 )] – ½ exp[ –ω1(β – a)/2 ]

β→∞

Aby otrzymać wynik, posiadający skończoną granicę, należy odnormować wyznacznik. Dzieląc go przez wartość przy zerowym potencjale, znajdujemy :

exp(aω1) D(V, E)/ D(0, E) = ch(aω2 ) + ( ω12 + ω22 / 2ω1ω2 ) sh(aω2 )

Obliczenia dokonaliśmy przy V – E > 0. Wyznacznik może się zerować tylko przy E > V.

Dlatego przyjmiemy ω2 = iκ2.

Równanie dla energii stanów związanych można przepisać w postaci : th(aκ2 ) = 2ω1κ2 /ω12 – κ22

O tym, że to równanie jest słuszne możemy się przekonać, rozwiązując bezpośrednio równanie Schrödingera dla prostokątnej jamy potencjału i porównać dwa równania spektralne, odpowiadające parzystym i nieparzystym funkcjom własnym.

*************************************************************************************************

W dokumencie Całki po trajektoriach w mechanice kwantowej (Stron 41-44)