Dodatek własny A - Całki Gaussa
Rozdział 2 Suma statystyczna i spektrum
3.2 Rozkład WKB – rozkład quasiklasyczny
W niniejszym podrozdziale pokażemy jak obliczać spektrum hamiltonianu w przybliżeniu WKB, wychodząc z rozkładu quasiklasycznego sumy statystycznej, który otrzymaliśmy w podrozdziale 2.10.
3.2.1 Spektrum i bieguny rezolwenty.
Ponownie będziemy zakładali, że hamiltonian posiada spektrum dyskretne, a zatem suma statystyczna może być zapisana w postaci :
Z(β) = tr e–βH = Σ exp( –βEk ) k=0
gdzie E0 < E1 < E2 < ...
Przekształcenie Laplace’a funkcji Z(β) będące jednocześnie śladem rezolwenty H, ma postać : ∞
G(E) =
∫
dβ exp(βE ) Z(β) = tr 1/H – E = Σ 1/Eł – E (3.8)0
gdzie wynik w prawej części może być otrzymany z całki przy pomocy przedłużenia analitycznego na cała płaszczyznę zespoloną z obszaru Re E < E0, w którym całka jest zbieżna.
Spektrum hamiltonianu dane jest przez bieguny G(E).
Zauważmy, że suma po wszystkich Eł nie zawsze jest zbieżna. Trudność ta jest związana bezpośrednio z rozbieżnością całki (3.8) przy β → 0. Dany problem można rozwiązać w następujący sposób – należy różniczkować wyrażenie podcałkowe po E, do tej pory aż całka nie stanie się zbieżna. Otrzymamy wtedy :
∞
Gm(E) =
∫
dβ βm Z(β) = m! Σ 1/(Eł – E )m0
Następnie G(E) określamy przy pomocy m-krotnego całkowania po E. Różnorodne definicje G(E) różnią się o wielomian rzędu m – 1 po E, ale mają jednakowe bieguny o jednakowych residuach.
Dla dalszego wykładu użytecznie będzie wprowadzić funkcje :
L(E) =
∫
E G(E’)dE’ = – Σ ln(Eł – E ) + wielomian(E) (3.9)W wyrażeniu dla L(E) zakłada się, że cięcie funkcji ln z przebiega po rzeczywistej ujemnej półosi.
Zauważmy, że funkcja : D(E) = exp(–L(E))
Zeruje się na spektrum H, zatem reprezentuje sobą regularną formę wyznacznika Fredholma det(H – E).
Obliczymy teraz następującą wielkość ( ε - jest rzeczywiste i dodatnie ) :
∆ L(Ek ) = (1/2πi) lim L(Ek + iε) – L(Ek – iε) = (1/2πi) lim Σ [ ln(Eł – Ek + iε) – ln(Eł – Ek– iε)]
ε→0+ ε→0+ ł=0
Wszystkie osobliwości, odpowiadające Eł z 0 ≤ ł < k, dają wkład 2πi, odpowiadający cięciu funkcji logarytmicznej. Dla osobliwości E = Ek będziemy mieli :
ln(Ek – E + iε) – ln(Ek – E– iε)|E =Ek = ln(iε) – ln(–iε) = iπ
Osobliwości z ł > k nie dają żadnego wkładu, dlatego otrzymujemy :
∆L(Ek ) = k + ½ (3.10)
Zależność tę można teraz wykorzystać w celu określenia spektrum w przybliżeniu quasiklasycznym.
3.2.2 Przybliżenie quasiklasyczne.
W niniejszym podrozdziale rozpatrzymy układy jednowymiarowe o hamlitonianie postaci : H = (1/2m) p2 + V(q)
W przeciwieństwie do rozkładu perturbacyjnego, teraz jest ważne ograniczenie się na przypadek jednego wymiaru.
Wiodący wkład do rezolwenty otrzymujemy w omawianym przybliżeniu na drodze zamiany sumy statystycznej : Z(β) = tr e–βH
w przekształceniu Laplace’a na jej prawidłowo unormowaną granicę klasyczną Zcl(β), reprezentująca sobą człon wiodący w wyrażeniu (2.89) :
Zcl(β) = (1/h) sqrt(m/2πβ)
∫
dq e–βV(q) Wtedy znajdujemy :Gcl(E) = (1/h) √ ½m
∫
dq [ V(q) – E ]– ½Problem zbieżności potencjału przy β → 0 przeszedł w problem zbieżności całki przy | q | → ∞.
My wybraliśmy cięcie funkcji √z przechodzące wzdłuż rzeczywistej pół osi ujemnej ( sqrt( z ± iε ) = ± i√–z dla rzeczywistych i ujemnych z ).
Zauważmy, że w miejsce oczekiwanych biegunów funkcji Gcl(E) mamy ciecie na osi rzeczywistej po prawej od minimum V(q). Fakt ten można łatwo zrozumieć. W danym przybliżeniu klasycznym h dąży do zera, ale energie pozostają skończone. K-ta wartość własna energii Ek może pozostawać skończona tylko kiedy liczba kwantowa k dąży do nieskończoności. W przeciwieństwie do tego różnica Ek+1– Ek dąży do zera, co tez wyjaśnia ciągły charakter spektrum granicznego.
Całkowanie daje funkcje (3.9) : E
Lcl(E) =
∫
dE’ Gcl(E’) = –(1/h)∫
dq sqrt[ 2m(V(q) – E )]Posiada ona nieciągłość :
lim Lcl(E + iε) – Lcl(E – iε ) = (2i/h)
∫
dq θ[ E – V(q)] sqrt[ 2m(E – V(q) )]ε →0+
gdzie θ(x) – funkcja schodkowa Heviside’a ( θ(x > 0 ) = 1, θ(x< 0 ) = 0)
Zatem, równość (3.10) sprowadza się do warunku kwantowania Bohra-Sommerfelda :
∫
dq θ(Ek – V(q)) sqrt[ 2m(Ek – V(q))] = hπ( k + ½ ) (3.11)Uwagi.
i) Alternatywne obliczenia oparte są na wyrażeniu (2.90). Wtedy znajdujemy : Gcl(E) =
∫
(dp/2π)(dq/h) 1/[ H(p,q) – E ]gdzie H – jest klasycznym hamiltonianem H(p, q) = (p2/2m ) + V(q)
Całka po konturze względem E daje 0 lub 1 w zależności od tego, gdzie leżą wartości H – wewnątrz lub na zewnątrz konturu całkowania. Wynikowo otrzymujemy alternatywną formę równości (3.11) :
∫
(dp/2π)(dq/h) θ[ E – H(p,q)] = k + ½ii) Ponieważ lewa cześć równości (3.11) pozostaje skończona przy h → 0, to dane przybliżenie jest słuszne dla dużych liczb kwantowych Ek = O(1); kh = O(1), jednocześnie różnica pomiędzy wartościami własnymi dąży do zera wraz z h.
Jest to zgodne z obszarem stosowalności przybliżenia (2.89) – widzieliśmy, że przybliżenie to jest słuszne przy wysokich temperaturach, kiedy to wielkości fizyczne są szczególnie czułe na duże liczby kwantowe.
Pierwsza poprawka. Ostatnie człony w rozkładzie quasiklasycznym sumy statystycznej generują poprawki do przybliżenia Bohra-Sommerfelda. Przykładowo, rozkład do rzędu h2 włącznie dany jest przez równość (2.89) : Z(β) = (1/h) sqrt(m/2πβ)
∫
dq e–βV(q)[ 1 – β2h2V’’(q)/24m + O(h2)]Tożsamość :
β2eβE = (∂/∂E)2 eβE
pozwala nam zapisać pierwsza poprawkę do Gcl(E) w postaci : G(1)(E) = –(h2/24m)[ √ (½m)/h ] (∂/∂E)2
∫
dq V’’(q)[V(q) – E] – ½ Całkując G(1)(E), otrzymamy :L(1)(E) =
∫
dE’ G(1)(E’) = –(h2/24m)[ √ (½m)/h ] ∂/∂E∫
dq V’’(q)/ sqrt[V(q) – E]Otrzymujemy nieciągłość funkcji L(1)(E) na osi rzeczywistej :
L(1)(E + i0 ) – L(1)(E – i0) = (ih/12√2m) ∂/∂E
∫
dq θ(E – V(q)) [V’’(q)/ sqrt[E – V(q)]Co daje pierwszą poprawkę do przybliżenia Bohra- Sommerfelda (3.11).
Zauważmy, że nie można bezpośrednio różniczkować po E pod znakiem całki, ponieważ E – V(q) dąży do zera w skrajnym przypadku liniowo na granicy, a zatem osobliwość [E – V(q)] – 3/2 jest niecałkowalna.
3.2.3 Przykłady
Oscylator harmoniczny. W przypadku potencjału harmonicznego V(q) = ½ m2ω2q funkcja G(E), określona przez równość (3.8) nie istnieje, ponieważ szereg po n jest rozbieżny. Szereg dla funkcji G’(E), przeciwnie – jest zbieżny : G’(E) = Σ 1/[ hω(n + ½ ) – E2 ] = (1/h2ω2 ) ψ’( ½ – E/hω )
n=0
gdzie ψ(z) – pochodna logarytmiczna funkcji gamma.
Dlatego też możemy wybrać :
G(E) = –(1/hω)ψ( ½ – E/hω) ⇒ L(E) = ln[ Γ( ½ – E/hω)] (3.12)
Zatem D(E) = 1/Γ( ½ – E/hω)
Powyższe wyniki mogą być zastosowane w celu otrzymania pierwszych członów odpowiedniego rozkładu quasiklasycznego. Po prostej zamianie zmiennych funkcja Gcl(E) formalnie przyjmuje postać :
Gcl(E) = (1/hω)
∫
dx /(x2 – E )½Całka jest rozbieżna przy | x | → ∞. Różniczkując po E, otrzymamy : Gcl(E) = (1/2hω)
∫
dx /(x2 – E )3/2 = – 1/hωEMożemy wybrać następujące funkcje :
Gcl(E) = (1/hω) ln( –E/hω) , Lcl(E) = –(E/hω)[ ln( –E/hω) – 1 ]
Nieciągłość ln(–E) w poprzek cięcia ma wartość 2iπ i dlatego w wiodącym rzędzie przybliżenia quasiklasycznego : Ek = hω( k + ½ )
Co pokrywa się z ścisłym wynikiem. Jest to cecha charakterystyczna kwantowego oscylatora harmonicznego.
Pierwsza poprawka do G(E) może być łatwo otrzymana z powyższych zależności : G(1)(E) = – hω (1/24E2 ) ⇒ L(1)(E) = hω/24E
Dla wszystkich potencjałów jednorodnych rozkład quasiklasyczny jest również rozkładem przy dużych E, jest jak widać z dokładnego wzoru (3.12) (zobacz również dalszy przykład ). Zatem, wyrażenia te mogą być sprawdzone na drodze rozkładu ścisłego wyniku (3.12) tj. na drodze zamiany funkcji ψ(z) na jej rozkład, który możemy otrzymać z obliczenia funkcji Γ z użyciem metody najszybszego spadku, tak jak to wyjaśnialiśmy w podrozdziale 1.5 (równość (1.37)) : ψ(z + ½ ) = ln z + 1/24 z2 + O(1/z2 ) przy | Arg z | < π
W danym przykładzie funkcja L(1)(E) nie posiada nieciągłości, a zatem nie daje wkładu do spektrum. Wynik ten można uogólnić na wszystkie rzędy i taki fakt wyjaśnia dlaczego przybliżenie Bohra- Sommerfelda jest ścisłe dla oscylatora harmonicznego.
Drugi przykład. Rozpatrzmy jednorodny potencjał V(q) = q2N i przyjmijmy h = m = 1. W wiodącym rzędzie otrzymamy :
Ek = [ CN( k + ½ )]2N/N + 1 , CN = πNΓ( 3/2 + 1/2N ) / √2 Γ(3/2)Γ(1/2N)
Wynik ten odzwierciedla ten fakt, że wiodący człon w równości (3.10) jest proporcjonalny do E½ +1/2N
Pierwsza poprawka jest proporcjonalna do E– ½ – 1/2N. W tym jednorodnym przykładzie rozkład quasiklasyczny prawej części równości (3.10) jest również rozkładem przy E → ∞.
3.2.4 Przybliżenie WKB i równanie Schrödingera
Obecnie wyjaśnimy, w jaki sposób wyniki quasiklasyczne, otrzymane przy pomocy całek po trajektoriach, mogą być również wyprowadzone z równania Schrödingera. Przyjmiemy, że potencjał V(x) jest analityczny w biegunie w pobliżu osi rzeczywistej | Im x | < δ, dlatego że dla takiej klasy potencjałów możliwe jest przeprowadzenie wystarczająco dokładnej analizy. W tym przypadku funkcje własne również są analityczne.
Rozpoczniemy od stacjonarnego równania Schrödingera :
–(h2/2m) ϕ’’(x) + V(x)ϕ(x) = Eϕ(x) (3.13)
Równanie to możemy przepisać z użyciem pochodnej logarytmicznej funkcji ϕ(x). Przyjmując :
ϕ’’(x)/ϕ(x) = – S(x)/h (3.14)
otrzymamy :
ϕ’’(x)/ϕ(x) = [S2(x)/h2 ] – [ S’(x)/h] (3.15)
Równanie Schrödingera sprowadza się wtedy do równania Riccatiego :
hS’(x) – S2(x) + U(x) = 0 gdzie U(x) = 2m[ V(x) – E ] (3.16)
Równanie to można systematycznie rozkładać względem potęg h przy ustalonym E, rozpoczynając w wiodącym rzędzie z S(x) = U1/2(x).
Dogodnie jest rozłożyć S(x) na dwie składowe - parzystą i nieparzystą, względem h.
Przyjmując :
S(x, h) = S+(x, h) + S–(x, h) , S± (x, –h ) = ±S±(x, h) (3.17)
Z równania Riccatiego otrzymujemy : hS’– – S+2
– S–2
+ U = 0 (3.18)
S’+ – 2S+S– = 0 (3.19)
Gdzie w wiodącym rzędzie S+ = √U, S– = 0.
Drugie równanie pozwala wyrazić funkcje własną ϕ całkowicie z użyciem S+ : x
ϕ(x) = (1/√S+(x)) exp[ –(1/h)
∫
dx’ S+(x’ )] (3.20) x0Można dowieść, że funkcja własna, odpowiadająca k-temu stanowi wzbudzonemu, posiada dokładnie k zer na osi rzeczywistej. Dlatego spektrum można określić przy pomocy zależności :
(1/2iπ)
∮
dz (ϕ’(z)/ϕ(z)) = k (3.21)C
Gdzie k – jest liczbą węzłów funkcji własnej, C – jest konturem na płaszczyźnie zespolonej, otaczającym takie węzły.
Równanie to możemy przepisać w postaci : –(1/2iπh)
∮
dz S(z) = kC
W granicy quasiklasycznej C otacza cięcie funkcji √U(x), łączące dwa punkty powrotu, będące rozwiązaniami równania U(x) = 0. Wkład S– można obliczyć jawnie, w skrajnym przypadku we wszystkich rzędach po h. W rzeczywistości, możemy się przekonać, ze wkład daje tylko podstawowy rząd, a zatem :
–(1/2iπh)
∮
dz S–(z) = –(1/4iπ)∮
dz (S’+(z)/S+(z)) = –(1/8iπ)∮
dz (U’(z)/U(z)) = – ½ C C CZ użyciem S+ równanie (3.21) przyjmuje postać :
–(1/2iπh)
∮
dz S+(z) = k + ½ (3.22)C
Jeśli w miejsce S+ podstawimy formalne rozwiązanie równania Riccatiego w postaci rozkładu względem potęg h, to otrzymamy WKB- lub quasiklasyczne – rozłożenie, wartości własnych energii.