Dodatek własny A - Całki Gaussa
Rozdział 8 Przejście przez barierę : przybliżenie quasiklasyczne
8.4 Instantony i stany metastabilne
Teraz rozpatrzymy inna sytuację, w której ważną rolę odgrywa kwantowe tunelowanie – rozpad stanów metastabilnych.
Będziemy przyjmowali, że na początku cząstka kwantowa jest umiejscowiona w jamie potencjalnej, odpowiadającej lokalnemu, a nie absolutnemu minimum potencjału. Przykład takiego potencjału ukazano na rysunku 8.2, gdzie początek współrzędnych nie odpowiada absolutnemu minimum potencjału.
Na skutek tunelowania kwantowego istnieje skończone prawdopodobieństwo tego, że cząstka kwantowa wyleci z jamy potencjału (w jednostkowym czasie), prawdopodobieństwo takiego procesu chcemy określić w granicy h → 0.
Ograniczymy się przy tym do analizy tylko tych stanów początkowych, które są zlokalizowane w jamie tj. blisko pseudo-podstawowego stanu jamy (reprezentuje to pewien ekwiwalent cząstki klasycznej, znajdującej się prawie w stanie spoczynku ). Pokażemy, że tak jak w rachunku perturbatywnym, prędkość rozpadu może być obliczona z sumy statystycznej Z(τ/h) = tr exp(–τH/h) przy τ → ∞ (zobacz podrozdziały 2.9 i 3.1 )
Rys. 8.2 Jama potencjalna, prowadząca do metastabilności.
Kwantowa metastabilność. W przypadku potencjału, analogicznego do tego, który przedstawiono na rysunku 8.2, w początku współrzędnych potencjał nie osiąga swojego absolutnego minimum. Stan odpowiadający funkcji falowej ψ(t), zlokalizowany w chwili początkowej t = 0(t – jest tutaj rzeczywistym czasem fizycznym równania Schrödingera ) w jamie potencjalnej w pobliżu q = 0, rozpada się w wyniku tunelowania kwantowego.
Aby zrozumieć w jaki sposób obliczyć prędkość rozpadu, będziemy w sposób ciągły wariowali parametr potencjału, aby płynnie przejść od przypadku, kiedy początek współrzędnych reprezentuje sobą absolutne minimum, do sytuacji, kiedy staje się ono jedynie minimum względnym.
W sytuacji stabilnej rozwiązanie zależnego od czasu równania Schrödingera, odpowiadające energii stanu podstawowego E0 zachowuje się jak :
ψ0(t) ~ exp(–iE0t/h)
Po przedłużeniu analitycznym E0 staje się zespolonym, a zatem ψ0(t) zanika wykładniczo w czasie :
| ψ0(t) | ~ exp[– | Im E0 |t/h ] t→+∞
Parametr | h / Im E0 | reprezentuje sobą czas życia teraz już stanu metastabilnego z funkcją falową ψ(t).
Zauważmy, że do rozpadu stanu metastabilnego dają wkład przedłużenia analityczne wszystkich stanów wzbudzonych.
Jednakże intuicja podpowiada, że kiedy część rzeczywista energii wzrasta, to odpowiadający jej wkład spada szybciej w czasie – o słuszności tej własności można się przekonać na przykładach.
Zatem, na dużych interwałach czasowych pozostaje tylko składowa, odpowiadająca stanowi pseudo podstawowemu.
Pokażemy teraz w jaki sposób obliczyć Im E0 przy h → 0.
8.4.1 Prosta całka.
Na początku rozpatrzymy prosta całkę, której pewne własności są analogiczne do odpowiednich własności całki po trajektoriach :
∞
I(λ, ε) =
∫
dx exp(–S(x)) –∞S(x) = ½ x2 + 1/3 λx3 + ¼ εx4
Pierwotnie oba parametry ε i λ są dodatnie. Przy ε > ¼ λ2 funkcja S(x) posiada minimum przy x = 0.
Funkcje I(λ, ε) można rozłożyć względem potęg λ : ∞
I(λ, ε) = Σ (–λ)k / 3k k!
∫
dx x3k exp(– ½ x2 – ¼ εx4 ) k=0 –∞i szereg jest zbieżny.
Każdy człon rozkładu posiada skończona granicę przy ε → 0 i formalnie : ∞
I(λ, 0) = Σ (–λ)k / 3k k!
∫
dx x3k exp(– ½ x2 ) = Σ [ 23k– ½ Γ(3k + ½ )/ 32k (2k)! ] λ2k (8.39) k=0 –∞Jednakże funkcja graniczna I(λ, 0) jest określona przez całkę, która nie jest już zbieżna, dlatego nie udaje się od razu scałkowanie podanego rozkładu.
Oprócz tego, szereg (8.39) jest rozbieżny przy wszystkich wartościach λ i już nie określa funkcji analitycznej.
Przedłużenie analityczne. Jeśli w miejsce tego, aby wziąć granicę ε → 0 przy rzeczywistym i dodatnim ε, dokonać przedłużenia analitycznego na wartości zespolone :
1/3 π < Arg ε < ½ π lub – ½ π < Arg ε < – 1/3 π
to wejściowy kontur całkowania można zdeformować w kontur, odpowiednio : C± : Im x = 0 przy Re x > 0 ; Arg x = π ± 5π/24 przy Re x < 0
I wynikowe całki zawsze będą zbieżne, jednakże określają one dwie różne funkcje graniczne : I±(λ) =
∮
exp(– ½x2 – 1/3 λx3 ) dxC±
w zależności od wyboru konturu całkowania.
Te dwie funkcje są wzajemnie sprzężone zespolenie : I– (λ) = I+–(λ)
Przy λ → 0 całki te mogą być znalezione z użyciem metody najszybszego spadku. Punkty siodłowe dane są poprzez zależności :
S’(x) = x + λx2 = 0 ⇒ x = 0 lub x = –1/λ Odpowiednie wartości S(x), to :
S(0) = 0 ; S(–/1λ) = 1/6λ2
Przy λ → 0wiodącym punktem siodłowym zawsze będzie x = 0 i rozkład (8.39) względem potęg λ jest rozkładem, otrzymanym przy pomocy metody najszybszego spadku. We wszystkich rzędach po λ podane dwie funkcje posiadają jednakowe rozkłady rzeczywiste. Drugi punkt jest sub- wiodącym i daje zaniedbywalnie małe wkłady.
Rozbieżny szereg (8.39) jest rozkładem asymptotycznym obu funkcji I±. Szereg asymptotyczny, mówiąc ogólnie nie określa w sposób jednoznaczny funkcji analitycznej, jednakże tym niemniej może dać bardzo dobre przybliżenie, kiedy parametr rozkładu jest wystarczająco mały i sumowanie jest ograniczone przez skończoną liczbę członów (zobacz również analizę podaną w podrozdziale 1.5 )
Różnica dwóch całek jest czysto urojona. Dana jest ona przez kontur C+ – C– który może być zdeformowany w kontur, nie przechodzący przez początek współrzędnych. Podstawowy wkład do wynikowej całki po konturze przy λ → 0 daje drugi punkt siodłowy. Części urojone nie są widoczne w rozkładzie (8.39), dlatego że zanikają one szybciej od dowolnej potęgi. Obliczenie wkładu punktu siodłowego daje w wiodącym rzędzie :
I+(λ) – I– (λ) = 2i Im I+(λ) ~ i sqrt(2π) exp(–1/6λ2 )
8.4.2 Całka po trajektoriach i metoda najszybszego spadku : instantony.
Zastosujemy teraz analogiczną strategie do całki po trajektoriach.
Rozpoczniemy od przypadku, kiedy w hamiltonianie : H = (1/2m)p2 + V(q)
Potencjał posiada absolutne minimum w początku współrzędnych i : V(q) = ½ mω2q2 + O(q3 )
Z pomocą przedłużenia analitycznego względem parametru potencjału V dojdziemy do sytuacji, kiedy minimum potencjału przy q = 0 jest jedynie lokalny, zatem istnieją wartości q, przy których V < 0.
Nie będziemy dalej rozpatrywali przypadku, kiedy minimum potencjału jest zdegenerowane, dlatego że niektóre aspekty danego zagadnienia już analizowaliśmy w podrozdziałach 8.1 – 8.3.
Obliczamy tutaj urojoną część Z(τ/h) = tr exp(–τH/h) przy τ → ∞.
Zakładamy, że wynik będzie miał postać :
Im Z(τ/h) ~ Im exp(–τE0/h) ~ –(τ/h) Im E0 exp(–τ Re E0/h )
W wiodącym rzędzie po h można zamienić Re E0 na wartość w przybliżeniu harmonicznym, zatem :
Im Z(τ/h) ~ –(ωτ/h ) exp(–τω/2) Im E0 (8.40)
Instantony. Znajdziemy teraz nietrywialne punkty siodłowe wyrażenia podcałkowego w całce po trajektoriach.
Równanie punktu siodłowego, otrzymane poprzez wariowanie działania euklidesowego, ma postać:
–mq•• + V’(q) = 0 (8.41)
gdzie q(–τ/2) = q(τ/2).
Oczywiście funkcje :
q(t) = qext = const. (8.42)
gdzie qext odpowiada ekstremum potencjału, będącego rozwiązaniem.
Nie będziemy uwzględniali punktów siodłowych z V < 0 z tego samego powodu, co w przypadku standardowej całki – przedłużenie analityczne prowadzi do obszarów całkowania nie zawierających takich punktów siodłowych.
Z drugiej strony, wkłady punktów siodłowych, odpowiadające ekstremom z V > 0 posiadają rząd exp(–τVext /h), dlatego są one zaniedbywalnie małe w granicy τ → ∞ i h << 1, ponieważ rozpatrujemy tylko wartości własne energii rzędu h.
Zatem będziemy poszukiwali rozwiązań, działanie których posiada skończoną granicę przy τ → +∞ tj. rozwiązania, typu instantonowego.
Rozwiązania równania (8.41) z periodycznymi warunkami granicznymi odpowiadają ruchom periodycznym w czasie rzeczywistym w potencjale –V(q). Jest jasne, że można znaleźć takie trajektorie, które oscylują w pobliżu minimum –V.
Pierwsze całkowanie równania ruchu (8.41) daje :
½ mq•2 – V(q) = ε gdzie ε < 0.
Oznaczając q– < q+ – jako dwa punkty w których prędkość q• zeruje się, otrzymamy następujące wyrażenie dla okresu takiego rozwiązania :
q+
τ = 2√m
∫
dq / sqrt[V(q) + 2ε]q–
Okres τ jest nieskończony tylko dla takich stałych ε, że V(q) + ε posiada zero drugiego rzędu w punkcie q– lub q+, skąd wynika że V’(q) zeruje się. Oprócz tego, działanie pozostaje skończone w tej granicy tylko w tym przypadku, kiedy V(q(t)) i q• zerują się przy | t | → ∞.
Warunki takie są zgodne tylko w tym przypadku, jeśli ε i parametr q– zerują się. Odpowiednia klasyczna trajektoria przechodzi coraz bliżej początku współrzędnych. Zatem, granica q0 > 0 wielkości q+ - jest to punkt na trajektorii, w którym prędkość zeruje się. W granicy τ → ∞ rozwiązanie klasyczne ma postać (t0 – stała całkowania ) :
q
t – t0 = √m
∫
dq’ / sqrt[2V(q’ )] przy t < t0 q0q0
t – t0 = √m
∫
dq’ / sqrt[2V(q’ )] przy t > t0 qDziałanie instantonowe. Obecnie może być wykorzystana następujące podejście w duchu twierdzenia o wirale, interesujące w związku z tym, że może być ono uogólnione na bardziej złożone przypadki.
Jeśli qc(t) – jest rozwiązaniem o skończonym działaniu na interwale t ∈( –∞, + ∞), to qc(λt) również posiada skończone działanie.
Po zamianie zmiennych λt = t’ działanie, odpowiadające qc(λt), przyjmuje postać:
S(λ) = ½ mλ
∫
dt qc•2(t) + (1/λ)∫
dt V(qc(t))Ponieważ S(q) jest stacjonarne przy q(t) = qc(t), to pochodna ds./dλ powinna się zerować przy λ = 1.
Stąd otrzymujemy :
½ m
∫
dt qc•2(t) =∫
dt V(qc(t))zatem, odpowiednie rozwiązanie klasyczne : +∞ q0
S(qc ) ≡ A = m
∫
dt qc•2(t) = 2∫
dq sqrt[2V(q)]–∞ 0 jest dodatnie.
Dlatego instanton daje wkład rzędu exp(–A/h), zanikający wykładniczo przy h/A → 0.
Uwagi.
i) Może pojawić się pytanie, czy ma sens uwzględniać zbyt małe wkłady, przecież do E0 podstawowy wkład daje rozkład po wszystkich rzędach h. W istocie, jeśli rozpoczniemy od stabilnego przypadku, a następnie dokonamy przedłużenia analitycznego, otrzymamy dwa wyniki sprzężone zespolenie. W każdy z nich podstawowy wkład daje trywialny punkt siodłowy q(t) ≡ 0, z którego otrzymujemy rozkład perturbacyjny, wszystkie człony którego są rzeczywiste.
Jeśli obliczymy różnicę takich dwóch wyników, wkłady wiodącego punktu siodłowego wzajemnie się znoszą i do różnicy podstawowy wkład daje instanton. W charakterze sprawdzianu może się przekonać, że taki wkład instatntonu jest czysto urojony.
ii) Ponieważ działanie euklidesowe jest inwariantne względem przesunięć w czasie, to rozwiązanie klasyczne zależy od dowolnego parametru t0, który przy skończonych τ przyjmuje wartości w interwale [ – τ/2 ,τ/2 ]. Tak jak w przykładzie z podrozdziału 8.2, otrzymujemy jednoparametrową rodzinę zdegenerowanych punktów siodłowych.
Przy obliczaniu wkładu punktu siodłowego zależność od t0 znika, dlatego wszystkie punkty siodłowe dają jednakowy wkład.
iii) Można byłoby rozpatrywać również trajektorie, oscylujące n razy w pobliżu minimum potencjału w czasie τ.
Łatwo się przekonać, że odpowiednie działanie w granicy τ → ∞ ma postać :
S(qc ) = nA (8.44)
i daje wkład rzędu exp( –nA/h).
Zatem, przy h → 0 w części urojonej całki po trajektoriach przeważa wkład z n =1.
Wiodący rząd : przybliżenie gaussowskie. Argumenty z podrozdziału 8.2 można również tutaj stosować.
Przy całkowaniu gaussowskim w naiwnej metodzie najszybszego spadku pojawia się wyznacznik operatora :
M(t1, t2 ) = δ2S / δxc(t1)δxc(t2 = [ –mdt12 + V’’(qc(t1))] δ(t1– t2 ) (8.45) Przy różniczkowaniu po czasie równania ruchu (8.41) otrzymujemy :
[ –mdt12 + V’’(qc(t))] qc•(t) ≡ Mqc• = 0 (8.46) Zatem funkcja qc• (która jest całkowalna z kwadratem – zobacz równość (8.43)) – jest wektorem własnym operatora hermitowskiego M, przy czym odpowiadająca jej wartość własna jest równa zero.
Jednakże należy zauważyć ważną różnicę danego zagadnienia i zagadnienia z zdegenerowanymi minimami.
Jak już mówiliśmy, z ogólnej teorii funkcji ortogonalnych wynika, że liczba zer funkcji własnej hamiltonianiu M jest związana bezpośrednio z hierarchią wartości własnych :
stan podstawowy M nie posiada zer, pierwszy stan wzbudzony posiada jedno zero ...
Zatem, funkcja własna qc•(t), zerująca się tylko jednokrotnie, przy t = t0, odpowiada pierwszemu stanowi wzbudzonemu, dlatego tez w danym zagadnieniu M powinien mieć jedną ujemną wartość własną.
Iloczyn det’M niezerowych wartości własnych M jest ujemny i sqrt( det’M ) jest urojone, tak jak tego powinniśmy oczekiwać.