Zapisać odpowiednią sumę statystyczną w postaci całki po trajektoriach. Rozłożyć i obliczyć ją do drugiego rzędu po v ( gaussowska funkcja dwupunktowa dana jest przez wyrażenie (7.75))

Rozwiązanie.

Przy sgn(0) = –1 ponownie otrzymujemy spektrum wejściowego hamiltonianu.

Aby otrzymać ten sam wynik przy warunku sgn(0) = 0, należy dokonać zamiany ω → ω’ = ω + ½v

Modeluje ona oddziaływanie z ośrodkiem, który może pochłaniać i emitować z jednakowym prawdopodobieństwem pary elektronowe.

Określić wektory własne i spektrum pełnego hamiltonianu.

Rozwiązanie. Nowe oddziaływanie miesza tylko stany bezspinowe 1 i θ– θ+ Energie pozostałych stanów pozostają bez zmian. W podprzestrzeni 1 ,θ– θ+ hamiltonian ma postać :

( 0 γ ) ( γ 2ω + v )

z energiami własnymi ω + ½ v ± sqrt[ (ω + ½ v)2 + γ2 ]

Zatem ,energia stanu podstawowego jest równa ω + ½ v – sqrt[ (ω + ½ v)2 + γ2 ]

Przesuwając spektrum , tak aby stan podstawowy posiadał zerową energię, otrzymamy : 0, – ½v + sqrt[ (ω + ½ v)2 + γ2 ] , 2 sqrt[ (ω + ½ v)2 + γ2 ]

Ćwiczenie 7.10

Teraz i dalej przyjmujemy v = 0 , ρ = sqrt(ω2 + γ2 ), ω = ρcos(ϕ), γ = ρsin(ϕ)

Pokazać, że w takim przypadku spektrum można interpretować z użyciem pojęcia dwóch niezależnych quasicząstek, przyjmując :

θ+ = aη+ + b ∂/∂η– , θ– = dη– + c ∂/∂η+ ; a , b, c, d ∈R

gdzie η+ , η– - dwa generatory algebry Grassmanna, a odpowiednie operatory η± i ∂/∂η± są sprzężone hermitowsko, tak jak θ± i ∂/∂θ±.

W pierwszej kolejności, wyrazić ∂/∂θ± poprzez operatory typu η.

Następnie pokazać, że z wymagania zgodności takich przekształceń z relacjami komutacyjnymi (7.11) wynikają trzy warunki nakładane na współczynniki a, b, c, d wyrażające ten fakt, że a, b, c, d – cztery elementy macierzy ortogonalnej.

Na koniec, określić współczynniki przy których hamiltonian sprowadza się do postaci : H = E0 + Ω( η+ ∂/∂η+ + η– ∂/∂η– ) , Ω > 0

Rozwiązanie. Hamiltonian przyjmuje taka postać przy wyborze : (a b ) = ( cos(ϕ/2) sin(ϕ/2) )

(c d ) ( –sin(ϕ/2) cos(ϕ/2) ) E0 = ω – ρ , Ω = ρ

Ćwiczenie 7.11 Zapisać sumę statystyczną w postaci całki po trajektoriach i dokonać zamiany zmiennych : θ+ = aη+ + bη–– , θ– = dη– + cη–+ , θ–+ = aη–+ + bη– , θ–– = dη–– + cη+

o wartościach obliczonych w poprzednim ćwiczeniu.

Pokazać, że wynikowa całka po trajektoriach jest zgodna ze spektrum.

Rozwiązanie. Po zamianie zmiennych otrzymamy całkę po trajektoriach, odpowiadający hamiltonianowi : H = Ω( η+ ∂/∂η+ + η– ∂/∂η– )

z dokładnością do stałej addytywnej.

Ćwiczenie 7.12

Grupa spinowa : reprezentacja fermionowa. Rozpatrzmy następujące trzy operatory : τ1 = ½ ( θ+ ∂/∂θ– + θ– ∂/∂θ+ )

τ2 = ½ ( θ+ ∂/∂θ+ + θ– ∂/∂θ– ) τ3 = ½i ( θ– ∂/∂θ+ – θ+ ∂/∂θ– ) W dalszej kolejności przyjmujemy h = 1.

Przekonać się, że powyższe operatory są hermitowskie.

Obliczyć iloczyny τiτj , τ2 = Σ τi2 Obliczyć komutatory [ τi, τj ]

Znaleźć wektory własne i wartości własne τ3 i τ2

Obliczyć komutatory τi z hamiltonianem (7.118) i oddziaływaniem (7.119).

Skomentujcie otrzymany wynik.

Rozwiązanie. Dane operatory są generatorami algebry Liego grupy SU(2) : τiτj = 1/3 τ2δij + ½ iεijkτk

τ2 = ¾ ( θ+ ∂/∂θ+ + θ– ∂/∂θ– – 2θ+ ∂/∂θ+ θ– ∂/∂θ– ) Wektory własne τ3 są następujące : 1, θ+ ,θ– , θ+θ–

Wartości własne są równe odpowiednio : 0, ½ , – ½ , 0 tj. przedstawiają one składowe spinowe takich stanów.

Wartości własne τ2 są równe : 0, ¾ , ¾ , 0 (tak jak należało tego oczekiwać dla cząstek o spinie ½ ) Na koniec θ+ ∂/∂θ+ i θ– ∂/∂θ– komutują i wprowadzając :

h = θ+ ∂/∂θ+ + θ– ∂/∂θ–

możemy się przekonać, że : τih = hτi = τi

Komutatywność hamiltonianu (7.118) z generatorami grupy SU(2) wynika z takich relacji i komutatywności τi z τ2.

Można się przekonać, że oddziaływanie (7.119) jest również SU(2) –inwariantne, co objaśnia postać spektrum.

Ćwiczenie 7.13

Losowe macierze hermitowskie, w granicy dużych rozmiarów, mogą modelować niektóre własności złożonych kwantowych hamiltonianów (w szczególności, opisujących chaotyczny ruch klasyczny )

Proste zagadnienie polega na określeniu spektrum takich losowych macierzy w granicy nieskończonego rozmiaru.

W charakterze zadania związanego z takim zagadnieniem proponujemy obliczenie wartości średniej wielomianu charakterystycznego losowych macierzy hermitowskich z gaussowskim rozkładem prawdopodobieństwa, inwariantnym względem przekształceń unitarnych.

Rozpatrzmy zatem, zbiór losowych N × N –macierzy hermitowskich o rozkładzie prawdopodobieństwa : dρ(M) = N–1 dN2

M exp(–N tr M2 /2 ) (7.120)

dN2M ≡

Π

_dMii

Π

d Re Mij d Im Mij (7.120)

i i < j

Stała normalizacyjna N określona jest z warunku, aby wartość średnia 1 była równa 1, tj. : N =

∫

dN2

M exp(–N tr M2 /2 )

Miara (7.120) jest inwariantna względem przekształceń unitarnych : M → U†MU , UU† = 1

Dlatego przypisuje ona równe prawdopodobieństwa wszystkim macierzom o jednakowych spektrach. Taki zbiór macierzy nazywa się gaussowskim unitarnym ansamblem (* gaussian unitary ensemble – GUE *)

Wartość średnią funkcji F(M) względem miary (7.120) oznaczymy następująco :

< F(M) > = N–1

∫

dN2

M exp(–N tr M2 /2 ) F(M)

i) Dowieść, że jeśli X – jest dowolną N × N macierzą, to :

< exp(tr XM ) > exp(tr X2 /2N )

ii) Przedstawić wielomian charakterystyczny det(M – z ) macierzy M w postaci całki grassmannowskiej.

iii) Obliczyć wartość średnią HN(z) = < det (M – z ) > dla GUE

iv) Wyrażenie podcałkowe przyjmuje postać eksponenty od wielomianu czwartego rzędu po zmiennych

grassmannowskich. Przekonać się, że wyrażenie podcałkowe może być zapisane w postaci całki gaussowskiej (po jednej zmiennej rzeczywistej ) od funkcji gaussowskiej zmiennych grassmannowskich.

v) Rozwinąć całkę gaussowską po zmiennych grassmannowskich. W wyniku czego otrzymamy całkę po jednej zmiennej rzeczywistej.

vi) Uogólnić metodę dla obliczenia [ det ( M – z ) ]n (wynik nie będzie nam już potrzebny dalej )

vii) Można dowieść, że w przypadku ogólnym wartość średnia det (M – z ) względem miary exp( –tr V(M)) daje wielomiany ortogonalne względem miary exp(–V(z)).

Przekonać się w słuszności w/w własności jawnie na zadanym przykładzie – w tym celu pokażcie, że funkcje : ψN(z) = exp( –Nz2 /4) HN(z)

spełniają równanie Schrödingera (wynik nie będzie nam już potrzebny dalej )

viii) Obliczyć HN przy N → ∞, wykorzystując metodę najszybszego spadku w całce otrzymanej w p.p v) Co można powiedzieć o nośniku zer HN(z) ?

Określić zera w granicy dużego N.

ix) W jaki sposób modyfikuje się obliczenie dla rzeczywistych, symetrycznych macierzy z gaussowską O(N) – inwariantną miarą ( w literaturze oznaczanych jako GOE ) ?

Rozwiązanie.

det (M – z ) =

∫ Π

_dθidθ^–i exp( tr XM – z tr X ) i

gdzie : Xij = θ– i θj Wtedy :

tr X2 =

Σ

_{θ–i θjθ}^–j θi = – (

Σ

_{θ–i θi )}2 = – ( tr X )2 Zauważmy, że :

exp(tr X2/2N ) = (1/√2π )

∫

ds exp( – ½s2 + iε

Σ

_{θ–i θi /}√N ) Dogodnie jest dokonać zamiany zmiennych o postaci s → s√N.

Całkę po zmiennych grassmannowskich możemy obliczyć bezpośrednio i w wyniku otrzymamy reprezentacje wielomianów Hermite’a :

+∞

HN(z) = sqrt(N/2π)

∫

ds exp( –Ns2/2 )(is –z )N (7.121)

–∞

Reprezentacja [ det ( M – z ) ]n może być otrzymana na drodze wprowadzenia hermitowskiej n × n – macierzy S i wtedy otrzymane powyżej wyrażenie zmienia się na :

< [ det ( M – z ) ]n > = ½ (N/2π)n

∫

dS exp( –Ns2/2 )[ det (iS – z )]N

Funkcje ψN(z) spełniają równanie Schrödingera dla oscylatora harmonicznego ( z potencjałem zależnym od N ) : – ψ’’N + 1/8 N2z2 ψN = N( N + ½ ) ψN

Wersja alternatywna. Wprowadźmy wielomian : +∞

HN(z) =

∫

ds exp( –s2 ) (is – z )N ∝ HN(z)

–∞

Wtedy funkcje własne oscylatora harmonicznego przyjmą postać : ψN(z) = exp(z2/2 ) HN(z)

Po zamianie zmiennych s + iż = s’ otrzymamy : +∞

ψN(z) = exp(z2/2 )

∫

ds exp(–s2 + 2izs )(is)N –∞

Łatwo możemy się przekonać, że : ( x – d/dx ) ψN(z) = 2ψN+1(z) zatem :

ψN(z) = √π 2–N ( x – d/dx )N exp( –z2 /2 )

W takim wyrażeniu łatwo możemy rozpoznać działanie operatorów kreacji na stan podstawowy oscylatora harmonicznego.

Przy N → ∞ całka (7.121) może być obliczona z użyciem metody najszybszego spadku (dokładniej – zobacz ćwiczenie 1.6). Punkty siodłowe są następujące :

s = 1/ s + iz ⇒ s± = – ½ iz ± sqrt( 1 – ¼ z2 )

Zatem, mamy dwa punkty siodłowe. Zera otrzymujemy z warunku skrócenia wkładów pochodzących od dwóch punktów siodłowych. Stąd wynika, że po pierwsze wyrażenia podcałkowe powinny posiadać jednakowe wartości, a zatem z jest rzeczywiste (wynik ten wynika z argumentacji o charakterze ogólnym – zera funkcji własnych hamiltonianu

hermitowskiego postaci p2 + V(q) są rzeczywiste )

Oprócz tego, wielkość sqrt( 1 – ¼ z2 )powinna być rzeczywista, skąd z kolei wynika, że nośnik zera leży w interwale – 2 ≤ z ≤ 2. Wtedy w wiodącym rzędzie :

exp( –s+2 /2) (is+ – z ) = exp(2iπk/N ) exp( –s–2 /2) (is– – z )

gdzie prawą część otrzymaliśmy z N –tego pierwiastka, oraz 1 ≤ k ≤ N.

Dogodnie jest przyjąć oznaczenie postaci z = 2cos(ϕ) ; 0 ≤ ϕ ≤ π, wtedy : s± = –iexp( ±iϕ )

zatem :

2ϕ – sin(2ϕ) = 2πk/N (mod 2π )

Widzimy, że przy N → ∞ gęstość ω(ϕ ) wartości ϕ dana jest przez pochodną lewej części : ω(ϕ) = (N/2π) [ 1 – cos(2ϕ)]

W takim przypadku gęstość wartości własnych macierzy ma postać : ω(z) = | dϕ/dz | ω(ϕ) = (N/π) sqrt( 1 – ¼ z2 )

Ten klasyczny wynik nazywa się półokręgowego prawa Wignera (* Wigner’s semi-circle law *)

W przypadku rzeczywistych macierzy symetrycznych jedyna zmiana pojawia się od macierzy X, która powinna być w tym przypadku symetryczna, dlatego :

Xij = ½ ( θ–

i θj + θ– j θi ) tr X2 = – ½ ( Σ θ–i θi )2 i

W pozostałej części obliczenia powtarzają się.

*************************************************************************************************

W dokumencie Całki po trajektoriach w mechanice kwantowej (Stron 135-139)