Dodatek własny A - Całki Gaussa
Rozdział 10 Całki po trajektoriach w przestrzeni fazowej
Rozdział 10 Całki po trajektoriach w przestrzeni fazowej
W niniejszym rozdziale uogólnimy konstrukcje całki po trajektoriach, podaną w rozdziale 2, na przypadek hamiltonianów będących dowolnymi funkcjami zmiennych przestrzeni fazowej – współrzędnej i pędu.
To prowadzi do tego, że działanie przyjmuje formę hamiltonowską, a całkowanie będzie prowadzone po trajektoriach w przestrzeni fazowej z uogólniona miarą Liouville’a.
Zauważmy, że taki formalizm ma wiele wspólnego z formalizmem holomorficznym z rozdziału 6.
Będziemy rozpatrywać szczegółowo ważny przypadek hamiltonianów, kwadratowych po zmiennych pędu.
W pierwszej kolejności przekonamy się, że w najprostszych przypadkach już omawianych w rozdziałach 2 i 5, po jawnym całkowaniu po pędzie p(t) ponownie otrzymujemy standardową całkę po trajektoriach.
Często spotykamy hamiltoniany bardziej ogólnej postaci, np. przy kwantowaniu ruchu na rozmaitościach
riemannowskich. Takiego rodzaju analizę zilustrujemy na przykładzie kwantowania ruchu swobodnego na sferze (lub hipersferze ) SN–1.
Jednakże zanim przejdziemy do szczegółowego omówienia, przypomnimy pewne podstawowe elementy mechaniki klasycznej.
10.1 Wybrane wiadomości z mechaniki klasycznej.
W celu omówienia całek po trajektoriach w szerszym kontekście użytecznym będzie przypomnieć sobie pewne elementy mechaniki klasycznej. W całym niniejszym rozdziale czas jest rzeczywisty. Będziemy rozpatrywali tylko sytuacje, kiedy równania ruchu klasycznego są otrzymywane z zasady najmniejszego działania.
Działanie jest to całka po czasie od lagranżjanu :
A(q) =
∫
dt £(q, q•, t ) (10.1)Gdzie zmienne qi(t) charakteryzują np. położenie cząstki w chwili t, a qi• - ich pochodna po czasie
Równanie ruchu klasycznego otrzymujemy, jeśli będziemy wymagali aby działanie było stacjonarne względem wariacji trajektorii q(t) :
δA/δqi = 0 ⇒ d/dt ∂£/∂qi• = ∂£/∂qi (10.2)
10.1.1 Symetrie. Prawa zachowania.
Symetrie ciągłe tj. symetrie, odpowiadające grupie Liego działania prowadza do wielkości, zachowanych przy ruchu klasycznym. Ogólna strategia otrzymywania takich praw zachowania jest taka : należy dokonać zależne od czasu przekształcenia grupowe i wymagać, aby działanie było stacjonarne na równaniach ruchu klasycznego.
Taka strategię zilustrujemy na przykładzie grupy obrotów – grupy So9N) w N wymiarach przestrzennych.
Zatem, przyjmujemy, że lagranżjan jest rotacyjnie inwariantny tj. jest inwariantny względem wszystkich przekształceń o postaci :
qi(t) → Σ Rij qj(t) j
gdzie R – jest macierzą ortogonalną RTR = 1 o wyznaczniku równym jeden :
£(q, q•, t ) = £(Rq, Rq•, t )
jeśli qi(t) jest rozwiązaniem klasycznym, to działanie powinno być stacjonarne względem dowolnych wariacji qi(t), a zatem w szczególności względem wariacji posiadających postać nieskończenie małego, zależnego od czasu obrotu : Rij(t) = δij + τij(t)
Ponieważ macierz Rij jest ortogonalna, to τij jest antysymetryczna : τij = – τji.
Odpowiednia wariacja trajektorii ma postać :
δqi(t) = Στij(t) qj(t) ⇒ δqi•(t) = Σ [ τij(t) qj•(t) + τij•(t)qj(t)] (10.3) j
Jeśli τ nie zależy od czasu, to z symetrii wynika, że wariacja działania zeruje się. Wariacja działania w pierwszym rzędzie po τ, może zatem pojawić się tylko od różniczkowania po τ, tj. q• :
δA(q) =
∫
dtτij•(t)qj(t) ∂£/∂qi•(t)Wariacja działania zeruje się, tylko jeśli pochodna współczynnika przy τ• jest stałą.
Ponieważ macierz τ jest antysymetryczna, to tylko antysymetryczna po ij część stojącego przy niej współczynnika powinna być równa zero.
Wprowadźmy następującą definicję :
Lij = qi ∂£/∂qj• – qj ∂£/∂qi• (10.4)
Wtedy : L•ij = 0
Symetrii rotacyjnej odpowiadają wielkości zachowane Lij, odpowiadające generatorom grupy obrotów.
Dla wymiaru 3 antysymetryczna reprezentacja grupy SO(3) jest izomorficzna reprezentacji wektorowej.
Wielkości zachowane odpowiadają wektorowi momentu pędu : Li = ½ Σ εijk Ljk
j,k
gdzie εijk – symbol całkowicie antysymetryczny, przy czym ε123 = 1 W oznaczeniach wektorowych :
L = q × ∂£/∂q•
10.1.2 Inwariantność względem translacji czasowych. Formalizm hamiltonowski.
Drugi (nieco osobliwy ) przykład jest związany z lagranżjanami, nie zależnymi jawnie od czasu.
Niech qc(t) – będzie klasyczną trajektorią, obliczmy działanie odpowiadające qc(t + ε(t)) tj. otrzymane w wyniku zmiany parametryzacji czasu. Przy rozkładzie względem potęg ε(t) człony pierwszego rzędu po ε są równe zero jako następstwo równań ruchu. Wtedy :
d/dt qc(t + ε(t)) = ( 1 + ε• ) q•c(t + ε(t)) Dokonajmy zamiany zmiennych w działaniu : t → t’ = t + ε(t) ⇒ dt’ = (1 + ε• )dt
Po zamianie zmiennych wariacje działania pojawiają się z pochodnej miary oraz z jawnej zależności £ od zmiennej czasowej :
δA =
∫
dt[
ε• ( Σ qi• ∂£/∂qi• – £ ) – ε(∂£/∂t)]i
Scałkujemy przez części i wypiszemy warunek zerowania się współczynnika stojącego przy ε(t) : d/dt( Σ qi• ∂£/∂qi• – £ ) = – ∂£/∂t
Stąd wnioskujemy – jeśli układ jest inwariantny względem translacji w czasie, co oznacza równość zero wielkości
∂£/∂t, wielkość : E = Σ qi• ∂£/∂qi• – £ i
jest zachowana i to jest właśnie energia.
Hamiltonian i przekształcenie Legendre’a.
W przypadku ogólnym, nawet kiedy lagranżjan zależy od czasu, dogodnie jest wprowadzić hamiltonian : H = Σ qi• ∂£/∂qi• – £(q, q•, t )
i
i wyrazić go z użyciem zmiennych przestrzeni fazowej : współrzędnej qi i zmiennej :
pi(t) = ∂£/∂qi• (10.5)
która nazywa się pędem uogólnionym, sprzężonym z współrzędną uogólnioną qi.
Hamiltonian dany jest poprzez zależność :
H(p, q ;t ) = Σ pi(t) qi•(t) – £(q, q•, t ) (10.6)
i
która, na mocy równości (10.5), reprezentuje sobą przekształcenie Legendre’a dla lagranżjanu.
Równość (10.5) wyraża ten fakt, że prawa część (10.6) jest stacjonarna względem q• przy ustalonych p, q.
Przekształcenie Legendre’a jest inwolutywne : £ i q• odgrywają rolę symetryczną do H i p.
W istocie – wariując wyrażenie (10.6) po p (przy ustalonym q ) i przyjmując, że q• jest funkcją p, określona poprzez (10.5), otrzymamy równość :
qi•(t) = ∂H/∂pi
będącą jednym z dwóch równań ruchu w formalizmie hamiltonowskim.
Oprócz tego, z warunku stacjonarności wynika, że pochodna H + £ po dowolnym z argumentów, nie uczestniczących w przekształceniu Legendre’a, jest równa zero.
W szczególności, różniczkowanie (10.6) po q przy ustalonym p daje :
∂H/∂qi |p = – ∂£/∂qi |q• + (∂q•/∂q) ∂/∂p• |
p,q [ p • q• – £(q, q•, t )]
i odpowiednio :
∂H/∂qi + ∂£/∂qi = 0
Kombinując to równanie z równaniem ruchu (10.2), otrzymujemy drugie z równań ruchu w formalizmie hamiltonowskim. Mamy zatem :
qi•(t) = ∂H/∂pi , pi•(t) = – ∂H/∂qi (10.7)
- równanie te można również rozpatrywać jako równania ruchu w przestrzeni fazowej.
Równanie te mogą być również otrzymane z zasady najmniejszego działania – należy wymagać, aby działanie wyrażone poprzez hamiltonian :
δA(p, q) =
∫
dt[
Σ pi(t) qi•(t) – H(p(t), q(t); t )] (10.8)i
było stacjonarne względem wariacji zarówno p(t) jak i q(t).
W takiej postaci prawo zachowania energii w przypadku, kiedy H nie zależy jawnie od czasu, otrzymujemy natychmiastowo.
Zauważmy, że wielkość :
∫
dtΣ pi (t)qi•(t) =∮
Σ pi dqi (10.9)i i
zależy o geometrii trajektorii w przestrzeni fazowej, ale nie zależy od samego ruchu po takiej trajektorii; oprócz tego, reprezentuje ona sumę pól powierzchni pomiędzy trajektorią i osiami. Można ją antysymetryzować po p i q.
W języku matematycznym geometrii różniczkowej wielkość ta reprezentuje sobą całkę od dwu formy tzw. formy symplektycznej :
ω = Σ dpi ∧ dqi
Takie podejście jest szczególnie użyteczne w tym przypadku, kiedy przestrzeń fazowa posiada nietrywialną topologie (tak jak np. w zagadnieniu kwantowania spinu ).
Wielkości zachowane (10.4), związane z symetrią rotacyjną (grupa SO(N) w N –wymiarowej przestrzeni ), w formalizmie przestrzeni fazowej przyjmują postać :
Lij = qipj – piqj (10.10)
10.1.3 Przekształcenia kanoniczne.
Przekształcenia kanoniczne reprezentują sobą przekształcenia w przestrzeni fazowej {qi ,pi } → {Qi , Pi }, pozostawiające inwariantną formę symplektyczną.
Posiadają one strukturę grupową. Jeden ze zbiorów trywialnych przekształceń kanonicznych polega na dodaniu do pi gradientu ∂Π(q)/∂qi. Takie przekształcenie indukowane jest poprzez dodanie do lagranżjanu pochodnej zupełnej po czasie.
Teraz łatwo jest scharakteryzować nieskończenie małe przekształcenia, nie posiadające takiej postaci. Możemy znaleźć : Qi = qi + ε[ ∂T(p, q)/∂pi ] + O(ε2 ) ; Pi = pi – ε[ ∂T(p, q)/∂qi ] + O(ε2 ) (10.11) gdzie T(p, q) – pochodna.
Jeśli T ma postać hamiltonianu, to w powyższych równościach łatwo poznać równania ruchu, scałkowane od chwili czasu t do t + ε. Zbiorowi wszystkich hamiltonianów odpowiada zbiór przekształceń kanonicznych : odwzorowanie przyporządkowujące położenie w przestrzeni fazowej w chwili t, położeniu w chwili początkowej jest przekształceniem kanonicznym.
Takie spostrzeżenie pokazuje, jak można określić postać skończonych przekształceń kanonicznych. Należy wprowadzić funkcje tworzącą S(q, Q) (klasyczne działanie trajektorii, idącej z q do Q ) i przyjąć :
pi = ∂S/∂qi , Pi = – ∂S/∂Qi (10.12)
Inwariantność formy możemy sprawdzić bezpośrednio – jeśli dokonamy zamiany zmiennych : {qi ,pi } → {qi , Qi }
a następnie
{qi ,Qi } → {Qi , Pi }
W analogiczny sposób możemy się przekonać, że takie przekształcenie pozostawia inwariantną miarę Liouville’a