Rozdział 15 Model Jaynesa-Cummingsa-Paula : dynamika
15.1 Rezonansowy model Jaynesa-Cummingsa-Paula
Rozdział 15 Model Jaynesa-Cummingsa-Paula : dynamika.
Model Jaynesa-Cummingsa-Paula, wprowadzony w poprzednim rozdziale, jest najprostszym modelem oddziaływania atomu z polem skwantowanym – analizujemy w jego ramach tylko jeden dwupoziomowy atom i jeden mod pola promieniowania. Oprócz tego, można do niego dołączyć ruch środka bezwładności. W niniejszym rozdziale, póki co będziemy zaniedbywać ruch atomu – jest to pierwotna wersja modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula. Kwantową analizę ruchu środka bezwładności tomu przeprowadzimy w podrozdziałach 19 i 20.
Zatem w niniejszym rozdziale rozwiązujemy równanie Schrödingera :
dla wektora stanu | Ψ >, dla przypadku kiedy hamiltonian oddziaływania w reprezentacji oddziaływania ma postać :
Dynamikę układu rozpatrzymy dla dwóch przypadków granicznych :
1) Dla ścisłego rezonansu, kiedy to hamiltonian nie jest zależny od czasu; w podrozdziale 15.1 z pomocą algebry operatorów otrzymamy zamknięte wyrażenie dla operatora ewolucji w czasie.
2) W przypadku dużego odstrojenie od rezonansu ( podrozdział 15.2), następnie dokonamy pewnej zamiany, a dalej w podrozdziale 15.3 rozwiążemy odpowiednie równanie z pomocą przekształcenia Laplace’a.
Przypadek dużego odstrojenia jest szczególnie ważny, ponieważ liczba fotonów i zasiedlenia poziomów atomowych jest zachowana, ale pojawiają się przesunięcia fazowe, które zależą od liczby fotonów i od zasiedlenia. W taki sposób można zadać tzw. stany kota Schrödingera, które omówimy w podrozdziale 15.4.
15.1 Rezonansowy model Jaynesa-Cummingsa-Paula.
Jakby nie przeniknąć w istotę dynamiki modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula, na początku rozpatrzymy przypadek rezonansowy
∆ =. W takiej granicy hamiltonian oddziaływania : H^int = hg( σ^a^† + σ^†a^ )
Nie zawiera jawnej zależności od czasu. Dlatego też można wykorzystać formalne rozwiązanie :
równania Schrödingera, które omawialiśmy w podrozdziale 2.4.2.
Aby przeanalizować dynamikę, w niniejszym podrozdziale obliczymy operator ewolucji : U^(t, t0 =0 ) ≡ exp[ –igt(σ^a^† + σ^†a^ )]
dla rezonansowego modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula.
Początkowy wektor stanu :
jest iloczynem prostym wektora stanu pola : ∞
| ψpole > ≡ Σ wn | n >
n=0 i stanu atomowego :
| ψatom > ≡ ca | a > + cb | b >
W ostatnim kroku w wyrażeniu (15.3) stan atomowy przedstawiono z pomocą wektorów kolumnowych :
które są dogodne, kiedy rozpatruje się działanie atomowo-polowego hamiltonianu na stan początkowy.
15.1.1 Obliczenie operatora ewolucji z pomocą algebry operatorów.
Na początku zapiszemy operator U^ w różnych formach, a rozpoczniemy od definicji :
funkcji ekspotencjalnej w postaci szeregu po potęgach parametru λ i operatora A^.
Rozbijemy teraz taka sumę na dwie części z parzystymi i nieparzystymi potęgami, tj. : U^(t, t0 =0 ) = exp[ –igt(σ^a^† + σ^†a^ )] = c^ – is^
Gdzie :
Potęgi parzyste. Rozpoczniemy od operatora :
i przypomnimy następujące zależności :
które odzwierciedlają ten fakt, że w dwupoziomowym układzie operator prowadzący do podwyższenia lub obniżenia poziomu atomowego, może być stosowany tylko raz.
Oprócz tego mamy operator :
odpowiadający przejściu ze stanu podstawowego | b > w stan wzbudzony | a > i odwrotnie do stanu | b >.
Analogicznie operator :
opisuje przejście ze stanu | a > do | b > i odwrotnie do | a >.
Operator atomowy σ^σ^† działa wraz z operatorem polowym a^†a^ , tj. przejście atomu na drodze | b > → | a > → | b >
prowadzi do anihilacji fotonu, a następnie do jego kreacji. Dokładnie tak samo operator atomowy σ^†σ^ działa wraz z operatorem polowym a^a^†, tj. przejście atomu na drodze | a > → | b > → | a > prowadzi do kreacji, a następnie anihilacji fotonu. Zatem, operator :
jak wynika z (15.6) i (15.7) odpowiada procesowi dwufotonowemu i prowadzi do zależności :
Zatem, dla operatora c^ (15.4) otrzymujemy następujące wyrażenie :
Potęgi nieparzyste. Z definicji (15.5) operatora s^ otrzymujemy :
gdzie wykorzystano zależność (15.8) dla kwadratu operatora :
Z pomocą zapisanych powyżej zależności otrzymujemy następujący wzór :
Należy podkreślić, że w odróżnieniu od c^, operator s^ w bazie stanów atomowych jest niediagonalny.
Operator ewolucji w czasie. Teraz możemy połączyć wzory (15.9) i (15.10), aby otrzymać dokładne wyrażenie dla operatora ewolucji. W pierwszej kolejności wyrazimy operator a^a^† poprzez operator liczby fotonów n^ z pomocą zależności :
a^a^† = a^†a^ + 1 = n^ + 1
Zatem, operator ewolucji dla modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula ma postać :
Operator ten określa dynamikę omawianego modelu.
15.1.2 Interpretacja operatora ewolucji
Struktura wyrażenia (15.11) dla operatora ewolucji w czasie jest wyraźna : dynamika atomowo-polowego układu określana jest przez parzystą lub nieparzystą liczbę aktów wymiany kwantów wzbudzenia pomiędzy polem i atomem, którym odpowiadają dwa wkłady do powyższego wzoru.
Człony parzystego rzędu. Ponieważ anihilacja kwantu pola generuje wzbudzenie atomowe, a narodziny kwantu pola – anihiluje wzbudzenie atomu, to parzysta liczba aktów wymiany wzbudzeń pozostawia stan atomowy niezmiennym.
Dlatego operator, odpowiadający wymianie parzystej liczbie fotonów, jest diagonalny.
Oprócz tego, z unitarności operatora ewolucji, zadanego przez funkcje eksponenecjalną, wynika że zależność od czasu określana jest przez funkcje trygonometryczne – sinus i kosinus. Ponieważ diagonalne elementy macierzowe nie dają przejść, a przy t = 0 powinien pojawić się stan początkowy, to człon diagonalny może zawierać tylko kosinus.
Pojawienie się operatorów √n^ i sqrt( n^ + 1 ) staje się zrozumiałe, jeśli przypomnimy sobie, że element macierzowy w górnej lewej pozycji odpowiada 2n-fotonowym przejściom, które rozpoczynają się i kończą w wzbudzonym stanie atomu.
Dlatego też na początku należy wykreować foton, a następnie go zanihilować. Taki proces zachodzi n razy, tj. :
Tak samo element macierzowy w dolnej prawej pozycji odpowiada 2n-fotonowym procesom, które rozpoczynają się i kończą w stanie podstawowym atomu. Zatem, na początku foton jest anihilowany, a potem ponownie kreowany, a taki proces zachodzi n razy, tj. :
Człony nieparzystego rzędu. Druga składowa opisuje procesy wymiany nieparzystych liczby fotonów. Taki operator nie może być diagonalny – powinien on być niediagonalny. Jeśli rozpoczynamy ze stanu podstawowego i na koniec
dochodzimy do stanu wzbudzonego, to na początku należy zanihilować foton, a następnie zrealizować 2n-fotonowy proces kreacji i anihilacji fotonu n –razy , tj. :
Aby otrzymać sinus z członów rzędu nieparzystego w rozkładzie eksponenty , powinniśmy pomnożyć i podzielić przez sqrt(n^ + 1). To wyjaśnia postać drugiej kolumny w drugiej składowej wzoru (15.11).
W analogiczny sposób można wyjaśnić również pierwszą kolumnę, związaną z (2n + 1)-fotonowymi przejściami ze stanu wzbudzonego, kończące się w stanie podstawowym. W tym przypadku na początku powinien być kreowany foton, a następnie powinien zachodzić 2n-fotonowy proces cyklicznej anihilacji i kreacji fotonów, tj. :
Ponieważ przy t = 0 przejścia nie występują, to zależność od czasu określana jest przez funkcje sinus.
15.1.3 Wektor stanu całego układu.
Teraz możemy zastosować operator ewolucji do początkowego wektora stanu układu :
Wykorzystując zależności :
znajdujemy :
Zatem, wektor stanu ma postać :
lub
Wprowadziliśmy tutaj następujące oznaczenia :
| a > | n > ≡ | a, n > , | b > | n + 1 > ≡ | b, n + 1 >
Rys. 15.1 Dynamika modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula w przestrzeni stanów atomu i pola. Wierzchołek każdego sześcianu, zaznaczony w postaci pustego lub pełnego kółeczka, oznacza atomowo-polowy stan | j, m >, gdzie :
| j > = | a > lub | b >
| m > - jest m-fotonowym stanem Foka.
Górna płaszczyzna przedstawia stany, w których atom jest wzbudzony, a pole zawiera m fotonów, płaszczyzna dolna zawiera stany z atomem w stanie podstawowym. Wydłuż osi skierowanych wgłąb, wskazano liczby fotonów. Ponieważ w modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula następuje wymiana tylko jednego kwantu wzbudzenia pomiędzy atomem i polem, stan | a, n > albo się nie zmienia, tak jak to pokazano strzałka na górnej płaszczyźnie, albo przekształca się w stan | b, n + 1 >, na co wskazuje strzałka, skierowana na prawy wierzchołek dolnej płaszczyzny na drugim planie.
Amplitudy prawdopodobieństw, związane z takimi procesami mają odpowiednio postać : Cn ≡ cos[ sqrt(n + 1) gt ]
–iSn ≡ –i sin[ sqrt(n + 1) gt ]
Stan | b, n > również może pozostawać niezmienionym, albo może przekształcać się w stan | a, n – 1 >, tak jak to wskazuje strzałka, skierowana ku prawemu wierzchołkowi płaszczyzny pokazanej na pierwszym planie. Amplitudy
prawdopodobieństw takich procesów są równe odpowiednio Cn–1 i –iSn–1.
Całkowity stan układu atomowo-polowego określony jest przez superpozycje czterech stanów | a, n >, | a, n – 1>, | b, n >,
| b, n + 1 >, pokazanych czterema zaczernionymi kółkami. Należy podkreślić, że taki rysunek nie może zawierać lub prawidłowo przedstawiać interferencji takich stanów.
15.1.4 Dynamika w przestrzeni stanów.
Będzie pouczającym przeanalizowanie dynamiki modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula, zadana przez wyrażenie (15.12), dla najprostszego przypadku, kiedy atom, znajdujący się w stanie superpozycji :
| ψatom > ≡ ca | a > + cb | b >
oddziaływuje ze stanem Foka | n >. W tym przypadku operator ewolucji przekształca stan początkowy :
| Ψ(t = 0 ) > ≡ | ψatom > ⊗ | ψatom > ≡ [ ca | a > + cb | b > ] ⊗ | n >
tj. :
| Ψ(t = 0 ) > = ca | a , n > + cb | b, n >
w stan :
do chwili czasu t.
Wprowadziliśmy tutaj skrócone oznaczenia :
Na rysunku 15.1 taka dynamika przedstawiona jest z pomocą trójwymiarowej sieci. Każdy wierzchołek sześcianów takiej sieci przedstawia stan układu atomowo-polowego. Na pierwszym planie umiejscowione są stany | a, m >, tj. stany Foka w przypadku obecności atomu w stanie wzbudzonym. Na drugim planie przedstawiliśmy stany | b, m >, tj. stany pola fotonowego, kiedy atom znajduje się w stanie podstawowym.
Wierzchołki po lewej znaczą stany do oddziaływania, a wierzchołki po prawej – stany po oddziaływaniu. Dynamika modelu ukazana jest strzałkami, łączącymi wierzchołki.
Ponieważ atom i pole mogą wymieniać między sobą nie więcej niż jedno wzbudzenie, stan | a, n > może albo pozostawać taki sam, jak pokazuje horyzontalna strzałka, albo może przekształcać się w stan | b, n + 1 >, jak pokazuje strzałka skierowana ku prawemu wierzchołkowi na dolnej płaszczyźnie. Amplitudy prawdopodobieństwa dla takich przejść są równe odpowiednio : Cn i –iSn
Dokładnie tak samo stan | b, n > może albo pozostawać, albo może przekształcać się w stan | a, n – 1 >, jak pokazuje odpowiednio strzałka horyzontalna albo diagonalna – skierowana ku prawemu wierzchołkowi na pierwszym planie.
Amplitudy prawdopodobieństwa dla takich przejść są równe odpowiednio : Cn–1 i –iSn–1
Jeśli atom pierwotnie znajduje się w koherentnej superpozycji stanu wzbudzonego i podstawowego, wskazane powyżej amplitudy prawdopodobieństw z takich stanów należy pomnożyć, odpowiednio przez amplitudę prawdopodobieństwa ca znajdowania się w stanie | a > i przez amplitudę prawdopodobieństwa cb znajdowania się w stanie | b >.
Dlatego dla górnego poziomu atomowego całkowite amplitudy prawdopodobieństwa pozostania na tym samym poziomie lub przejścia na poziom dolny są równe odpowiednio
ca Cn i –ica Sn
Analogicznie dla dolnego poziomu całkowite amplitudy prawdopodobieństwa pozostania na tym samym poziomie lub przejścia na poziom górny są równe odpowiednio
cb Cn–1 i –icb Sn–1
W tym przypadku wektor stanu | Ψ > całego układu jest superpozycją wszystkich czterech stanów :
| a, n >, | a, n – 1 >, | b, n > , | b , n + 1 >
przedstawionych przez zaczernione kółeczka w wierzchołkach.
Póki co rozpatrzyliśmy tylko ewolucje wektora stanu układu, składającego się z dwupoziomowego atomu, oddziałującego z jednym stanem Foka. W przypadku dowolnego stanu polowego :
∞
| ψpole > = Σ wn | n >
n=0
każdy wierzchołek po lewej stronie jest punktem początkowym dla strzałek, ukazujących przejścia. Dlatego każdy taki wierzchołek należy wyposażyć w amplitudę prawdopodobieństwa wn tak jak to pokazano na rysunku 15.2.
Rys. 15.2 Przestrzeń stanów atomowo-polowego układu dla modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula dla przypadku superpozycji stanów Foka o amplitudach prawdopodobieństwa wn.
Każde puste kółeczko po lewej stronie przedstawia jedną składową stanu początkowego, zważonego z amplitudą prawdopodobieństwa wn. Dla każdej składowej stanu początkowego strzałki wskazują różne drogi ewolucji, które dają wkład do stanu końcowego, przedstawionego przez zaczernione kółeczka.