Podstawowe metody uwięzienia jonów

Rozdział 17 Pułapka Paula (* Paul trap *)

Uwięzienie na długi czas oddzielnych jonów w pułapce odkrywa dla nas różnorodne nowe możliwości w spektroskopii laserowej. Oprócz tego, pojedynczy uwięziony jon reprezentuje sobą unikalny obiekt dla sprawdzenia fundamentalnych praw MQ. Przykładowo, dynamika jonu w pułapce Paula nałożyła ścisłe ograniczenia na nieliniową wersje MQ.

Skoki kwantowe, które były jednym z głównych tematów wczesnych dyskusji pomiędzy Borem i Schrödingerem zostały zaobserwowane w bezpośrednich eksperymentach i w chwili obecnej są one dla kontrolowania wewnętrznej dynamiki jonu. Niedawno pojedynczy jon, znajdujący się w pułapce Paula, został wykorzystany dla realizacji bramki kwantowej, a łańcuch złożony z wielu jonów w liniowej pułapce można rozpatrywać jako bardzo obiecujący komponent kwantowego komputera. Oprócz tego, eksperymentalna generacja stanów nieklasycznych ruchu jonu w pułapce Paula oznaczało nową epokę w obszarze przygotowania stanów kwantowych. Mając na uwadze istotną rolę dla wielu zagadnień kwantowych pułapki Paula, poświęcimy niniejszy rozdział omówieniu fizyki tego interesującego przyrządu.

W podrozdziale 1.7 podajemy krótki przegląd podstawowych metod utrzymywania jonów. Pokazujemy tutaj w

szczególności, że nie można zrealizować trójwymiarowej pułapki cząstek naładowanych z pomocą tylko statycznych pól elektrycznych. Wymagane są pola elektryczne zależne od czasu.

W podrozdziale 17.2 podajemy krótkie wprowadzenie do problemu ochładzania laserowego. Jest to dziedzina fizyki szybko rozwijająca się w ostatnich latach i istnieje dla niej obszerna literatura. Brak miejsca nie pozwala nam wchodzić w szczegóły tej dziedziny, dlatego też do wielu tematów odsyłamy do literatury zamieszczonej na końcu niniejszego rozdziału.

W podrozdziale 17.3 krótko omawiamy szczegóły dynamiki jonu w pułapce Paula. W szczególności pokazujemy, że ewolucja w czasie jest bardzo złożona w wyniku jawnej zależności utrzymującego potencjału od czasu, ale może ona być poglądowo przedstawiona jako ciąg operacji obrotu, ściśnięcia i jeszcze jednego obrotu w przestrzeni fazowej.

Zatrzymujemy się krótko na tzw. rozwiązaniach Floqueta dla potencjału harmonicznego o częstości która periodycznie zależy od czasu i pokazujemy, ze w bazie stanów początkowych Floqueta opis ewolucji układu można istotnie uprościć.

W podrozdziale 17.4 wprowadzamy model, opisujący związek ruchu środka bezwładności jonu z jego stanami wewnętrznymi w klasycznym polu EM. To wszystko prowadzi do wielofotonowego hamiltonianu Jaynesa-Cummingsa-Paula.

17.1 Podstawowe metody uwięzienia jonów.

W odróżnieniu od neutralnych atomów, na jony dzięki obecności ładunku, można łatwo oddziaływać z pomocą pól EM.

Na początku jednakże pokażemy, ze równanie Laplace’a nie dopuszcza możliwości trójwymiarowego uwięzienia jonu z pomocą tylko statycznych pól elektrycznych. Dlatego musimy odwoływać się do dynamicznego uwięzienia w polach elektrycznych, zależnych od czasu.

17.1.1 Niemożliwość trójwymiarowego statycznego uwięzienia.

Dla pierwszej próby uwięzienia rozpatrzymy tylko statyczne pola elektryczne i rozpoczniemy od okrągłej elektrody wraz z dwoma hiperboloidalnymi okładkami (* end caps *) rys. 17.1

Rys. 17.1 Konfiguracja pola w niestabilnej elektrostatycznej pułapce składającej się z okrągłej elektrody z dwoma hiperboloidalnymi okładkami. Cząstka dodatnio naładowana jest odpychana od okrągłej elektrody, ale jest przyciągana ku jednej z okładek. Zmiana polaryzacji elektrod (po prawej ) nie zmienia sytuacji.

(* Rys 17.1 – dodatek – trójwymiarowe przedstawienie idei pułapki z okrągłą elektrodą i dwóch okładek – górna i dolna *)

Przyłóżmy stałe napięcie w taki sposób, że okrągła elektroda jest naładowana dodatnio, a okładki – ujemnie.

Takie urządzenie, jednakże nie zapewni nam trójwymiarowego uwięzienia. Aby to zrozumieć prześledzimy ruch dodatnio naładowanego jonu, przebiegający wzdłuż linii sił pola. Dodatnio naładowana elektroda odpycha dodatni jon i nie popycha go ku centrum pułapki. Zatem, następuje określona lokalizacja w kierunku radialnym. Jednakże w kierunku wertykalnym ( ściślej – ortogonalnym) cząstka jest przyciągana przez ujemnie naładowane okładki i w ten sposób ruch staje się niestabilny.

Taki charakter ruchu jest związany z punktem siodłowym potencjału :

Φ(r ) ≡ f0 • ( x2 + y2 – 2z2 ) (17.1)

która prowadzi do stabilnego ruchu w kierunku radialnym i niestabilnemu ruchowi w kierunku ortogonalnym.

W powyższym wyrażeniu f0 jest wielkością stałą.

Mamy nadzieje, że jakaś inna – bardziej złożona konfiguracja elektrod doprowadzi do trójwymiarowej lokalizacji.

Jednakże prawa elektrostatyki, a ściślej - równanie Laplace’a :

∆Φ = ( ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2 )Φ = 0 nie dopuszcza do takiego faktu.

Podstawiając potencjał siodłowy (17.1) do równania Laplace’a, otrzymamy :

∆Φ = f0 • ( 2 + 2 – 2 • 2 ) = 0

Czynnik 2 i znak minus w potencjale wzdłuż osi z dyktowany jest przez równanie Laplace’a.

Istnieją w skrajnym przypadku dwie metody, które umożliwiają rozwiązanie problemu punktu siodłowego. Pierwszy z nich oparty jest na statycznym polu elektrycznym i magnetycznym i doprowadził do zbudowania pułapki Penninga.

Drugie podejście wykorzystuje zależne od czasu pola elektryczne i jest realizowany w pułapce Paula, którą szczegółowo omówimy w następnym podrozdziale.

U podstaw działania pułapki Penninga leży konfiguracja pola elektrycznego, pokazana po prawej stronie rysunku 17.1, na którą nakładane jest jednorodne pole magnetyczne, skierowane wzdłuż osi symetrii. W takim urządzeniu osiągany jest trójwymiarowy konfajnment – pionowe pole magnetyczne zabrania jonowi wykonywać ruch po okręgu w płaszczyźnie, ortogonalnej do pola magnetycznego, co eliminuje radialna niestabilność, generowaną przez pole elektrostatyczne.

17.1.2 Dynamiczne utrzymywanie.

Pułapka Paula oparta jest wyłącznie na wykorzystaniu zmiennych w czasie pól elektrycznych. Sposób jej działania łatwo zrozumieć, jeśli rozpatrzymy wspomniany wcześniej potencjał siodłowy. Kiedy cząstka zaczyna staczać się w dół po stoku niestabilności, znak napięcia przyłożonego do elektrod zmienia się na przeciwny, tak że cząstka odczuwa potencjał wzrastający, a nie zanikający. Teraz jednakże niestabilnym okazuje się ruch wzdłuż innej współrzędnej. Dlatego też należy ponownie zmienić polaryzacje potencjału na elektrodach. Przyłożenie takiego potencjału o zmiennym znaku prowadzi do dynamicznego utrzymywania jonu.

Równanie Mathieu. W takiej sytuacji potencjał ma postać :

Φ(r ,t ) ≡ f(t) ( x2 + y2 – 2z2 ) (17.2)

gdzie

U, V – amplitudy odpowiednio stałego i zmiennego napięcia, r0 – promień okrągłej elektrody, 2z0 – odległość pomiędzy okładkami, ωrf = 2π/T – częstość ( radiowa ) zmiennego napięcia.

Klasyczny ruch jonu w potencjale (17.2) spełnia równanie : Mr^•• = –e ∇Φ(r, t)

Gdzie M, e – masa i ładunek jonu.

Podstawiając potencjał (17.2) do równania ruchu, otrzymujemy : Mr^•• + 2e f(t) ( r – 3z ) = 0

Gdzie z = ( 0, 0, z )T

Przekształcimy dalej takie równanie do postaci równania Mathieu :

gdzie wprowadziliśmy następujące oznaczenia :

Równanie dla współrzędnej y jest identyczne z (17.3), a dla równania dla współrzędnej z parametry a i q zawierają czynnik –2.

Obszar stabilności. Równanie Mathieu (17.3) jest liniowym równaniem różniczkowym o współczynnikach okresowych, dlatego możemy wykorzystać twierdzenie Floqueta i zapisać ogólne rozwiązanie równania (17.3) w postaci :

A, B – stałe

- funkcja okresowa.

Kiedy wykładnik charakterystyczny µ jest czysto rzeczywisty, to funkcja x(τ) jest ograniczona, a zatem ruch jest stabilny.

Jednakże, jeśli µ posiada część urojoną, funkcja x(τ) zawiera wykładniczo wzrastający wkład, a ruch jest niestabilny.

Parametry a, q tj. Napięcia przyłożone do elektrody i okładek decydują o tym czy ruch będzie stabilny, czy też nie.

Jeśli µ = 0, to rozwiązanie x(τ) będzie ściśle okresowe.

Aby określić obszar stabilności pułapki Paula, wykorzystamy w powyższym równaniu podstawienie Floqueta :

która daje :

Przesuniemy indeksy w ostatnich dwóch członach i otrzymamy trójczłonowe równanie rekurencyjne :

które przyjmuje formę równania wektorowego :

z trójdiagonalną ( jakobowską ) macierzą M.

Dla istnienia nietrywialnego rozwiązania dla wektora c wyznacznik M, tzw. wyznacznik Hilla, powinien być równy zero :

Analityczne obliczenie takiego wyznacznika dla zadanych wartości parametrów a i q nie jest zadaniem prostym, ponieważ macierz M jest macierzą nieskończonego rzędu. W różnych podręcznikach , tym niemniej taki wyznacznik jest obliczany analitycznie, tak że równość zero wyznacznika Hilla prowadzi do pewnego istotnie nieliniowego równania.

W przypadku ogólnym w wyniku takiej istotnej nieliniowości zmuszeni jesteśmy poszukiwać wykładniki

charakterystyczne numerycznie, tak jak to omawiamy szczegółowo w podrozdziale 17.3.4. Na diagramie stabilności 17.2 pokazano obszary wartości bezwymiarowych amplitud a, q stałego i zmiennego napięcia w których stabilny jest ruch wzdłuż r oraz wzdłuż z.

Aby otrzymać stabilne uwięzienie we wszystkich trzech kierunkach, powinny być stabilne ruchy zarówno wzdłuż r, jak i z.

Zatem, dynamiczny trójwymiarowy konfajnment ma miejsce tylko tam, gdzie obszary stabilności r i z pokrywają się.

Istnieje wiele takich obszarów pokazanych na rysunku 17.2 jako obszary zaczernione. W eksperymentach najczęściej wykorzystuje się obszar, który znajduje się najbliżej początku współrzędnych.

Jak tylko określony zostanie wykładnik charakterystyczny dla zbioru parametrów a i q, to z pomocą równania

wektorowego Mc = 0 można znaleźć odpowiednie współczynniki cn. Odgrywają one ważną rolę przy analizie kwantowej ruchu w pułapce Paula. Z tego powodu podrozdział 17.3.4 poświecony będzie dokładnej analizie własności

współczynników cn.

Przybliżona analiza stabilności. Pewne wyobrażenie o istocie diagramu stabilności otrzymamy, jeśli rozpatrzymy otoczenie początku współrzędnych. W przypadku granicznym, kiedy | a | << 1 i q < 1, można ograniczyć się do macierzy 3 × 3 wokół n = 0. Obliczając odpowiedni wyznacznik i wykorzystując nierówności | a | << 1 i q < 1, otrzymujemy następujący wzór : µ2 ≅ ½ q2 + a

dla wykładnika charakterystycznego. Ruch jest stabilny, tylko wtedy, jeśli µ jest wielkością rzeczywistą, w przeciwnym wypadku ruch jest niestabilny. Jest to równoważne warunkowi ½ q2 + a > 0. Zatem, granice obszaru stabilności określone są przez równanie :

½ q2 + a = 0 tj. :

a = – ½ q2

Na diagramie stabilności we współrzędnych a, q podana krzywa reprezentuje sobą parabolę, która ma początek w początku współrzędnych i jest odwrócona w dół. Ponieważ ruch w kierunku z różni się znakiem minus i czynnikiem 2, odpowiednia krzywa dla ruchu wzdłuż kierunku z jest krótsza i odwrócona w górę, tak jak to pokazano na rysunku 17.2.

Krzywe te nie określają jednakże całkowicie obszaru stabilności, potrzebujemy jeszcze linii (prawie że ) prostej, wychodzącej z punktu a = 1 i biegnącej w dół, oraz odpowiadającej jej krzywej, rozpoczynającej się w punkcie a = – ½ i biegnącej w górę. Można przeprowadzić obliczenia przybliżone, podobne do tych jakie wykonaliśmy w pobliżu n = 0 i otrzymać taką krzywą.

Rys. 17.2 Diagram stabilności dla pułapki Paula. Trójwymiarowe uwiezienie realizuje się dla tych wartości a, q które zostały zaczernione.