Rezerwuar dwupoziomowych atomów

Na przykładzie modu rezonatorowego, oddziałującego jak pokazano na rysunku 18.1 z wiązka dwupoziomowych atomów, zilustrujemy teraz tą rolę, która w równaniu (18.5) odgrywają włożone wzajemnie w siebie komutatory.

W tym celu wykorzystamy rezonansowy hamiltonian oddziaływania :

modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula. Przypominam iż :

wprowadziliśmy również niediagonalną macierz A^, zawierającą operatory polowe a^ i a^†.

Atomy wchodzą do rezonatora w chwili t i nie są w żaden sposób skorelowane z polem. Zatem, macierz gęstości ρ^п+aт – układu atomowo polowego może być sfaktoryzowana :

18.3.1 Analiza przybliżona.

W poniższej analizie ograniczamy się do przypadku, kiedy początkowa atomowa macierz gęstości ρ^aт jest diagonalna tj. :

i dlatego

Ponieważ hamiltonian (18.8) oddziaływania rezonansowego nie zależy od czasu, to można wykorzystać równanie ruchu (18.7) i otrzymać :

Aby przedstawić to równanie ruchu dla macierzy gęstości w zamkniętej formie, należy obliczyć komutatory macierzy 2 × 2, których elementami są operatory polowe kreacji i anihilacji.

Pojedynczy komutator. W celu obliczenia komutatorów, w pierwszej kolejności należy zauważyć, że iloczyn A^R^

macierzy diagonalnej R^ i macierzy niediagonalnej A^ prowadzi do macierzy niediagonalnej tj. :

Musieliśmy tutaj uważać na porządek operatorów : α^ ≡ ρ^п ρ^aa , β^ ≡ ρ^п ρ^bb , a^, a^†

ponieważ macierz ρ α^ i β^ nie komutuje z operatorami polowymi a^, a^†.

Dokładnie tak samo otrzymujemy wyrażenie :

tak, że komutator A^ i R^ jest macierzą niediagonalną :

Ponieważ ślad tej niediagonalnej macierzy jest równy zero : Tr [A^, R^ ] = 0

to pierwszy człon rozkładu (18.9) polowej macierzy gęstości z użyciem teorii zaburzeń znika.

Podwójny komutator. Iloczyn A^C^ dwóch niediagonalnych macierzy, takich jak A^ i C6 prowadzi do macierzy diagonalnej. Mamy bowiem :

Wtedy :

i ślad ma postać :

Zatem, pierwszy nieznikający wkład do (18.9) pojawia się w drugim rzędzie rachunku zaburzeń i jest proporcjonalny do (gτ)2.

Podstawiając z (18.10) wyrażenia dla δ^ i γ^ do (18.12), otrzymujemy :

lub

Wykorzystano utaj definicje wielkości α^ i β^.

Ponieważ komutator [ A^, [ A^, R^ ]] jest macierzą diagonalną, to wkład trzeciego rzędu w rozkładzie (18.9) polowej macierzy gęstości nie występuje. Oczywiście, że znikają wszystkie wkłady rzędów nieparzystych, pracują tylko rzędy parzyste. W dalszej analizie, jednakże ograniczymy się do członów aż do rzędu (gτ)2.

Opis wielkoskalowy. Będziemy injektowali z prędkością r do rezonatora atomy w stanie wzbudzonym lub podstawowym, dając im możliwość oddziaływania z polem w ciągu czasu τ.

Ponieważ hamiltonian (18.8) opisuje oddziaływanie z modem polowym tylko pojedynczego atomu, to ograniczymy się do przypadku, kiedy prędkość injekcji r jest mniejsza lub równa 1/τ. Teraz założymy, ze w chwili t atom wchodzi do

rezonatora i opuszcza go w chwili t + τ. Następny atom wejdzie później – nie wcześniej niż w chwili t + (1/r).

Polowa macierz gęstości nie zmienia się w czasie, póki w rezonatorze nie ma atomu, ponieważ rozpatrujemy tylko ewolucje, generowaną przez oddziaływanie.

Dlatego możemy zdefiniować pochodną wielkoskalową :

i wprowadzając oznaczenia :

Ra ≡ r ρaa (gτ )2 , Rb ≡ r ρbb (gτ )2 (18.14) Wykorzystując (18.9) I (18.13) otrzymać tzw. podstawowe równanie kinetyczne :

Należy podkreślić, że równanie to jest bardzo złożone. Jest to równanie dla operatora statystycznego ( macierzy gęstości ) ρ^п , które zawiera również operatory polowe a^, a^†. Ważny jest w nim porządek umiejscowienia takich operatorów względem ρ^п ponieważ sama macierz gęstości ρ^п również zawiera operatory polowe.

Bardzo trudno jest rozwiązać to równanie, tym niemniej istnieje wiele metod otrzymania rozwiązania. Idea polega na tym, aby przekształcić równanie (18.15) w równanie c-liczbowe, wykorzystując specjalne reprezentacje dla macierzy gęstości, takie jak np. funkcje rozkładu w przestrzeni fazowej lub reprezentacje liczb zapełnienia dla fotonów.

18.3.2 Macierz gęstości w reprezentacji liczb zapełnienia.

Równanie (18.15) dla macierzy gęstości opisuje tłumienie lub wzmocnienie modu rezonatorowego. Pierwsza składowa jest generowana przez atomy znajdujące się w stanie wzbudzonym i powinna ona prowadzić do wzmocnienia, człon drugi pojawia się w wyniku obecności atomów w stanie podstawowym i powinna ona opisywać uchodzenie wzbudzeń z rezonatora, prowadząc do tłumienia.

Przejście do przestrzeni stanów Foka. Dla bardziej szczegółowego przeanalizowania procesów tłumienia i wzmocnienia rozpatrzymy polową macierz gęstości w reprezentacji stanów Foka :

Biorąc elementy macierzowe od obu części równania (18.15) dla macierzy gęstości, otrzymujemy :

Przypominając sobie, że :

znajdujemy :

Zatem, dochodzimy do równania różniczkowego pierwszego rzędu dla elementów macierzowych ρm,n

Są one związane poprzez trójczłonową zależność rekurencyjną ze swoimi najbliższymi sąsiadami wzdłuż diagonalnej, tak jak to pokazano poniżej :

Taki związek podpowiada, aby przenumerować elementy macierzowe w porządku następowania niediagonalnych elementów macierzowych tj. wprowadzić wielkość :

W takich oznaczeniach równanie ruchu (18.15) dla macierzy gęstości pola przyjmie postać :

Ponieważ indeks k w tym równaniu nie zmienia się, to jest ono bardziej równaniem skalarnym, niż macierzowym równaniem rekurencyjnym.

Ewolucja w czasie statystyki fotonów. Teraz rozpatrzymy ewolucje w czasie statystyki fotonów. W tym celu skupimy się na elementach macierzowych, umiejscowionych wzdłuż głównej diagonali m = n, tj. przy k = 0. Jeśli wprowadzimy prawdopodobieństwo :

znalezienia w polu m fotonów, to równanie (18.17) sprowadzi się do postaci :

Zachowanie statystyki fotonów dogodnie jest przedstawić w postaci diagramu przejść, pokazanego na rysunku 18.2

Rys. 18.2 Diagram przejścia dla prawdopodobieństwa Wm znalezienia m fotonów w polu rezonatorowym, oddziałującym z rezerwuarem dwupoziomowych atomów. Stan | m > jest zasiedlany w wyniku przejść z górnego | m + 1 > i z dolnego

| m – 1 > poziomów. Odpowiada to procesom pochłonięcia jednego z m + 1 fotonów przez atom w stanie podstawowym i emisje wymuszoną fotonu przez wzbudzony atom w obecności m – 1 fotonu. Ponieważ pochłoniecie następuje ze stanu o m + 1 fotonach i jest realizowane przez atom znajdujący się w stanie podstawowym, to prędkość tego procesu jest proporcjonalna do liczby fotonów m + 1, prędkości Rb injekcji atomów niewzbudzonych do rezonatora i

prawdopodobieństwa Wm+1 znalezienia m + 1 fotonu. Emisja wzbudzonego atomu składa się z dwóch części : emisji wymuszonej i spontanicznej. Emisja wymuszona jest proporcjonalna do liczby fotonów, emisja spontaniczna – zawsze wynosi jeden, bez względu na liczbę fotonów w polu. Zatem, emisja atomu w obecności m – 1 fotonu, jest proporcjonalna do liczby ( m – 1 ) + 1 = m, prędkości Ra przychodu atomów wzbudzonych i prawdopodobieństwa Wm–1 znalezienia początkowego stanu fotonowego | m – 1 >. Z drugiej strony, następuje opuszczenie rozpatrywanego stanu | m > w wyniku pochłonięcia fotonu przez atom w stanie podstawowym i zmniejszenie liczby fotonów od m do m – 1.

Oprócz tego, atom w stanie wzbudzonym może wyemitować foton i zmienić ich liczbę od m do m + 1. Odpowiednie prędkości, związane z pochłonięciem i emisją, mają postać Rb mWm i Ra( m + 1 )Wm.

Dla lepszego zrozumienia tej sytuacji zależność od czasu średniej liczby fotonów : ∞

< m > ≡

Σ

_mWm

m=0

W tym celu pomnożymy równanie (18.18) dla funkcji rozkładu fotonów m, sumując po wszystkich m, otrzymując :

W pierwszej sumie wprowadziliśmy nowy indeks sumowania m’ ≡ m – 1, a w ostatniej m’’ ≡ m + 1, co daje :

Ponieważ sumy, zawierające kwadrat indeksu sumowania m, kompensują się wzajemnie, dochodzimy do rr o postaci :

dla średniej liczby fotonów.

Rozwiązanie tego równania ma postać :

Tłumienie pola. Jeśli Rb > Ra to średnia liczba fotonów < m(t) > zanika od swojej wartości początkowej < m(0) > do wielkości stacjonarnej. Prędkość tłumienia :

określona jest przez różnicę zasiedleń i siłę oddziaływania (gτ )2.

Wartość stacjonarna ma postać :

Warunek Rb > Ra dla wielkości stacjonarnej oznacza, że ρbb > ρaa , tj. liczba atomów w stanie podstawowym powinna być większa, niż w stanie wzbudzonym. Średnio, atomy zabierają wzbudzenie od pola do tej pory, póki nie nastąpi równowaga pomiędzy wzbudzeniami w układzie atomowym i w polu – taki typ rezerwuaru prowadzi do tłumienia pola.

Oprócz tego, pole w ostateczności, następuje stan równowagi termicznej o temperaturze, która określona jest przez różnicę zasiedleń dwóch poziomów atomowych. W istocie, jeśli zasiedlenie dwóch poziomów zadana jest rozkładem Boltzmanna :

o temperaturze T, to wartość stacjonarna będzie równa :

Na ostatnim etapie wprowadziliśmy średnią liczbę nтепл fotonów w stanie termicznym o temperaturze T.

Można nawet pokazać, ze w granicy t → ∞ wszystkie elementy niediagonalne ρm,n macierzy gęstości dąży do zera i pole w rzeczywistości znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej.

Druga forma równania tłumienia. Teraz wykorzystamy wyrażenia (18.20) i (18.21) dla prędkości tłumienia γ i średniej liczby fotonów termicznych, po to aby wyrazić przez nie współczynniki Rb i Ra z równania (18.15). Z pomocą

otrzymanych wzorów :

Rb = γ nтепл i Rb = γ( nтепл +1 )

Równanie dla ewolucji średniej liczby fotonów można zapisać w postaci :

d/dt < m > = –γ < m > + γ nтепл (18.22)

Oprócz tego, podstawowe równanie kinetyczne (18.15) przyjmuje standardową formę :

która jest wykorzystywana dla opisania tłumienia modu pola w rezonatorze o temperaturze T i stałą rozpadu γ.

Równanie to zawiera dwa wkłady. Operatory stojące w dwóch nawiasach, mnożone są przez stałą rozpadu ½ γ oraz przez średnią liczbę fotonów termicznych. Pierwszy czynnik, jednakże zawiera dodatkowy kwant, tj. jest on równy nтепл + 1, a nie nтепл Oczywiście, że to taka różnica jest istotna kiedy rozpatrujemy zerową temperaturę, kiedy to wszystkie atomy rezerwuaru znajdują się w stanie podstawowym. W takim przypadku średnia liczba fotonów jest równa zero. Zatem, podstawowe równanie kinetyczne przy zerowej temperaturze przyjmuje postać :

Pole oddziałujące z rezerwuarem przy zerowej temperaturze, cały czas doznaje tłumienia.

Wzmocnienie pola rezonatorowego. W przypadku, kiedy Rb < Ra, średnia liczba fotonów rośnie eksponencjalnie i mamy do czynienia z procesem wzmocnienia. Warunek wzmocnienia, zapisany w postaci ρbb < ρaa oznacza, ze atomów w stanie wzbudzonym jest więcej niż w stanie podstawowym. Taką sytuację nazywamy inwersją ośrodka. W takim przypadku atomy już działają nie jak rezerwuar pochłaniający, ale przeciwnie – pompują one pole rezonatorowe, przekazując mu średnio więcej energii, niż pobiera od niego.

W rzeczywistości taki proces wzmocnienia nie może przedłużać się do nieskończoności, ponieważ istnieje przeciwdziałający mechanizm tłumienia, który koniec końców, prowadzi do stacjonarnej średniej liczby fotonów.

Dokładniej omówimy ten problem w podrozdziale 18.4.

Rozkład w przestrzeni fazowej. Póki co omówiliśmy ewolucje w czasie tylko jednego parametru, charakteryzującego stan kwantowy, a dokładnie – średniej liczby fotonów. Stan kwantowy, jednakże określony jest albo przez funkcje zmiennej ciągłej taką jak P-funkcja Glaubera-Sudarshan’a, albo przez rozkład dla dyskretnej liczby fotonów. W zagadnieniach, podanych pod koniec niniejszego rozdziału, rozpatrzymy pytanie jak zapisać równanie (18.23) dla macierzy gęstości w reprezentacji c-liczbowej i rozwiązać je z pomocą takiej techniki. Podane podejście pozwala rozpatrzyć wpływ na stan kwantowy procesów tłumienia i wzmocnienia. W szczególności, pokazano, ze wzmocnienie zawsze wnosi dodatkowy szum i rozkład w przestrzeni fazowej poszerza się.

18.3.3 Ścisłe podstawowe równanie kinetyczne.

Zanim omówimy szczegółowo własności podstawowego równania kinetycznego (18.23), zsumujemy szereg teorii zaburzeń w wyrażeniu (18.9) i otrzymamy ścisłe wyrażenie dla macierzy gęstości pola.

Istnieją dwa podejścia : można obliczyć wszystkie komutatory, wchodzące do (18.9), albo wykorzystać operator ewolucji (15.11) modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula. W niniejszym podrozdziale wykorzystamy drugą z tych metod.

Polowa macierz gęstości i operator ewolucji w czasie. Rozpoczniemy od formalnego rozwiązania : ρ^п+aт(t + τ) = U^( t + τ; t ) ρ^п+aт(t) U^†(t + τ ; t )

równania von Neumanna (2.42), gdzie :

U^( t + τ; t ) ≡ exp[ –(i/h) H^τ ] ≡ exp[ – igτ( σ^a^† + σ^†a^ ) (18.24)

Oznacza operator ewolucji w czasie dla hamiltonianu Jaynesa-Cummingsa-Paula.

W celu otrzymania macierzy gęstości obliczymy ślad po stanach układu atomowego, tj. : ρ^п(t + τ) = Traт(t)[ U^†(t + τ ; t ) ρ^п+aт(t )U^†(t + τ ; t )]

Przypomnijmy wyrażenie (15.11) :

dla operatora ewolucji w czasie, gdzie :

Zakładamy, że w chwili t, kiedy atom rozpoczyna oddziaływać z polem, macierz gęstości ρ^п+aт może być sfaktoryzowana w postaci iloczynu macierzy gęstości ρ^п i ρ^aт pola i atomu, tj. :

W odróżnieniu od poprzedniego podrozdziału, teraz również atomowa macierz gęstości może posiadać niediagonalne elementy ρab.

Zatem, polowa macierz gęstości ma postać :

Mnożąc macierze i obliczając ślad, dochodzimy do równania :

Zależność ta jest ścisła i określa macierz gęstości pola w chwili t + τ, jeśli jest ona zadana wraz z atomową macierzą gęstości w chwili t.

Opis wielkoskalowy. Rozpatrzmy teraz nie jeden atom, a wiązkę atomów i wyprowadzimy równanie ruchu z pochodną gruboziarnistą (* wielko- skalową *). W tym celu odejmiemy z (18.26) wartość macierzy gęstości ρ^п(t) w chwili t i pomnożymy otrzymane wyrażenie przez prędkość r, z którą atomy są injektowane do rezonatora. Taka procedura daje podstawowe równanie kinetyczne :

Wykorzystaliśmy tutaj warunek normalizacji ρaa + ρbb = 1.

Podstawowe równanie kinetyczne w reprezentacji stanów Foka. Aby lepiej zrozumieć strukturę równania (18.27), wyprowadzimy równania ruchu dla elementów macierzowych :

ρm(k) ≡ < m | ρ^п | m + k >

Elementy diagonalne ponumerowano tutaj z pomocą indeksu górnego k, który wyraźnie pokazuje schemat związku pomiędzy elementami macierzowymi.

Bezpośrednio z równania (18.27) otrzymujemy :

Zasiedlenia atomowe ρaa i ρbb wiążą elementy macierzowe tylko wzdłuż jednej i tej samej diagonali tj. wiążą one element macierzowy ρm+1(k) i ρm–1(k) Przeciwnie do tego, elementy niediagonalne ρab = ρ*ba wiążą wzajemnie ze sobą różne diagonalne tj. :

Sprowadzenie tylko do zasiedlenia. Ustanowimy teraz związek z podstawowym równaniem kinetycznym (18.15), rozpatrując przypadek specjalny :

kiedy koherentność w atomowej macierzy gęstości nie występuje tj. ρab = ρba = 0 Wtedy równanie (18.27) można sprowadzić do postaci :

Równanie to jest ważną składową kwantowej teorii jednoatomowego masera, którą omówimy dalej.

Teraz uprościmy to równanie w granicy małych czasów oddziaływania, kiedy gτ sqrt( < m > + 1 ) << 1, gdzie < m > - jest średnią liczbą fotonów w polu. W tym przypadku możemy rozłożyć kosinusowe i sinusowe operatory :

Wykorzystano tutaj zależność komutacyjną a^a^† = a^†a^ + 1.

Utrzymując człony kwadratowe po gτ, otrzymujemy :

Równanie to w istocie pokrywa się z równaniem (18.15), które otrzymaliśmy w podrozdziale 18.1 z pomocą teorii zaburzeń.

18.3.4 Podsumowanie.

We wcześniejszych podrozdziałach wyprowadziliśmy podstawowe równanie kinetyczne dla macierzy gęstości ρ^п pola rezonatorowego, kierowanego przez wiązkę rezonatorowych dwupoziomowych atomów, które opisywane są macierzą gęstości ρ^aт Wykorzystaliśmy w tym celu dwie metody :

1) Formalne rozwiązanie równanie von Neumanna z użyciem wielokrotnego komutatora pozwoliło obliczyć ślad po stanach atomowego rezerwuaru, a przejście z opisu wielkoskalowego doprowadziło do równania ruchu.

2) Ścisłe rozwiązanie modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula dla macierzy gęstości ρ^п+aт układu atom-pole pozwoliło na uniknąć obliczenia włożonych w siebie komutatorów. W taki sposób znaleźliśmy ścisłe wyrażenie dla macierzy gęstości ρ^п.

Podczas, gdy pierwsza metoda oparta jest na teorii zaburzeń, to drugie podejście jest ścisłe. Zapewne pojawia się pytanie, dlaczego odwołujemy się do obliczeń z wykorzystaniem teorii zaburzeń skoro jest ścisła metoda ?

Dla podejścia ścisłego istotne jest, to że oddziaływanie pomiędzy polem i atomami nie jest zależne od czasu. Ponieważ pole znajduje się w ścisłym rezonansie z atomami, to taki warunek jest spełniony.

Jednakże dla oddziaływania nierezonansowego, do którego w wyniku odstrojenia wchodzą zależne od czasu czynniki fazowe, taka metoda nie może być stosowana.

W dokumencie Optyka kwantowa w przestrzeni fazowej Wolfgang P. Schleich (Stron 151-160)