Rozdział 16 Przygotowanie stanów i splątanie
16.1 Pomiary dla układów splątanych
Rozdział 16 Przygotowanie stanów i splątanie.
W poprzednim rozdziale rozwiązaliśmy równanie Schrödingera dla wektora stanu modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula który opisywał wewnętrzny stan jednego atomu, oddziałującego z jednym modem pola rezonatora. W niniejszym rozdziale skupimy się na własnościach efektu splątania takich dwóch typów stopni swobody.
Pojęcie „splatanie” wyraża ten fakt, że w wyniku oddziaływania dwa układy kwantowe – atom i pole – nie mogą być rozdzielone. Nawet po tym jak oddziaływanie się zakończyło, stan całkowitego układu opisywany jest przez pewien jedne wektor stanu, a wektor ten nie może być sprowadzony do iloczynu poszczególnych wektorów stanu. Takie niewinne na pierwszy wzgląd stwierdzenie, stanowi jedną z podstawowych własności MQ.
Waga zjawiska splątania została dostrzeżona przez Schrödingera w 1936 roku ( pojawia się nazwa Verschraenktheit zweier Quantensysteme ). Obecnie pokażemy, że zjawisko splątania pozwala nam otrzymać informacje o polu promieniowania, za pomocą pomiarów wewnętrznych stopni swobody atomu. Oprócz tego, z pomocą zjawiska splątania można generować dowolny stan polowy w rezonatorze. Taką metodę nazywamy inżynieria stanów kwantowych. Splątanie i inżynieria stanów kwantowych stanowią zatem podstawowy temat niniejszego rozdziału.
16.1 Pomiary dla układów splątanych.
Model Jaynesa-Cummingsa-Paula stanowi schemat, który demonstruje splątanie pomiędzy atomowymi i polowymi stopniami swobody. Takie splatanie można obserwować, prowadząc pomiary dopełniające ( zgodne ) dla atomu lub pola, albo też dla obu tych układów. Właśnie takie pomiary dopełniające stanowiły centrum uwagi badaczy związanych z optyka kwantową w ostatnich latach. W niniejszym podrozdziale na początku omówimy formalizm matematyczny, pokazujący jak wyciągnąć interesujące nas prawdopodobieństwa z wektora stanu, a potem krótko opiszemy procedury eksperymentalne, które są wymagane dla przeprowadzenia pomiarów atomu lub pola lub obu tych układów razem.
16.1.1 Jak otrzymać prawdopodobieństwo.
Wektor stanu zawiera pełna informacje o stanie układu kwantowego. W szczególności, daje on nam możliwość otrzymania prawdopodobieństwa wyników dla różnych pomiarów. Teraz omówimy jak otrzymać prawdopodobieństwa z wektora stanu.
Pomiary dopełniające dla układu atom-pole. Nasz układ kwantowy składa się z atomu i jednego modu pola promieniowania. Dlatego też można dokonać dopełniającego pomiaru dla atomu i pola. Taki eksperyment przebiega następująco. Przygotowujemy stan początkowy pola | ψpole > i stan atomu | ψatom >, następnie umożliwiamy
oddziaływanie wzajemne takich układów w przeciągu określonego czasu, następnie sprawdzamy czy układ znajduje się w interesującym nas stanie, tj. czy atom znajduje się w stanie bazowym | ψ~
atom > a pole w stanie bazowym | ψ~ pole >.
Jeśli oba te podukłady znajdują się w swoich stanach bazowych, to zapisujemy taki fakt, jeśli nie, to całe zdarzenie odrzucamy. Następnie powtarzamy całą powyższą procedurę.
Przypominamy, że MQ nie może przewidzieć wyniku każdego indywidualnego aktu pomiarowego, może dać jedynie prawdopodobieństwo takiego zdarzenia. Prawdopodobieństwo W znalezienia atomu w stanie | ψ~
atom > i pola w stanie Pomiary takiego typu, tj. pomiary zgodne dla układów kwantowych, ujawniają obecność podukładów splątanych.
Aby zademonstrować taki fakt, wykorzystamy reprezentacje (15.18) :
wektora stanu układu. Człon Ψb,0 (t) | b, 0 > jest również włączony w powyższą sumę.
Podstawiając to wyrażenie do definicji (16.1) prawdopodobieństwa zgodnego, otrzymujemy :
Zauważmy, że wynik takiego zgodnego pomiaru zawiera maksimum interferencji kwantowej. W istocie – na początku następuje sumowanie po wszystkich stanach Foka i po wszystkich stanach atomowych, a następnie obliczamy kwadrat modułu takiej sumy. Sumujemy iloczyn amplitud prawdopodobieństwa Ψj,n i amplitud bazowych stanów atomu i pola po wszystkich stanach atomowych i polowych. Taka suma podwójna zawiera masę członów interferencyjnych.
Pomiar wewnętrznych stanów atomowych. Najprostszym pomiarem dla układu kwantowego, który składa się z atomu i jednego modu pola, jest pomiar stanu wewnętrznego atomu bez zależności od stanu pola. W takim przypadku
prawdopodobieństwo W znalezienia stan atomu | ψ~
atom > bez zależności od tego jakim jest stan pola, otrzymujemy z wektora stanu | Ψ(t) > w następujący sposób :
Ponieważ stan pola po oddziaływaniu nie jest mierzony, powinniśmy obliczyć ślad po stanach pola. Dla takiego obliczenia wykorzystano stany Foka.
Wykorzystując podstawienie (16.2) dla wektora stanu | Ψ(t) > otrzymujemy :
Porównując to wyrażenie ze wzorem (16.3) w przypadku pomiaru zgodnego widzimy, że teraz interferencja ( w znacznym stopniu ) jest tracona. Podczas gdy przy pomiarze zgodnym amplitudy prawdopodobieństwa dla obu podukładów
sumowały się do obliczenia kwadratu modułu, teraz już przy pomiarze jednego podukładu, sumujemy tylko po stanach tego podukładu, a następnie bierzemy kwadrat modułu. Jeśli stan bazowy jest koherentną superpozycją dwóch stanów
wewnętrznych prawdopodobieństwo W( t ; | ψ~
atom > ) zawiera sumę amplitud prawdopodobieństw Ψa, n(t) i Ψb, n(t).
Czynniki wagowe takich wkładów reprezentują sobą amplitudy z którymi stany atomowe | a > i | b > są przedstawione w stanie bazowym | ψ~
atom >.
Należy podkreślić, ze wzór (16.5) dla W( t ; | ψ~
atom > ) zawiera również sumowanie po stanach polowych. Teraz, jednakże do takiej sumy wchodzą tylko prawdopodobieństwa. Koncepcja zgodnych pomiarów pozwala nam podać interpretacje takich prawdopodobieństw.
Prawdopodobieństwo znalezienia atomu w stanie bazowym | ψ~
atom >, niezależnie od stanu pola przedstawia sobą następującą sumę :
znalezienia atomu w stanie bazowym | ψ~
atom > i pola w n-tym stanie Foka.
Na zakończenie powyższych analiz podamy wzór dla przypadku, kiedy stanem bazowym jest jedno z wewnętrznych stanów atomowych. W tym przypadku interferencja nie występuje w ogóle i prawdopodobieństwo znalezienia atomu w stanie wzbudzonym, albo w stanie podstawowym ma postać :
∞
Aby otrzymać prawdopodobieństwa W( t; | a > ) i W( t; | b > ) należy na początku obliczyć kwadraty wartości absolutnych oddzielnych amplitud prawdopodobieństw Ψa, n i Ψb, n, znalezienia atomu w stanie | a > lub | b > i pola w stanie
fokowskim. Następnie takie prawdopodobieństwa sumujemy po wszystkich stanach Foka.
Interesującym będzie tutaj zauważyć, że takie prawdopodobieństwa zostały zmierzone doświadczalnie dla modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula ora dla masera atomowego. W podrozdziale 16.2 omówimy takie eksperymenty dokładniej.
Pomiar stanów polowych. Teraz omówimy pomiary tylko stanu pola, kiedy stan atomowy nie jest mierzony.
W tym przypadku interesuje nas prawdopodobieństwo W( t ; | ψ~
pole > ) otrzymania stanu polowego | ψ~
Obliczamy tutaj ślad po wewnętrznych stanach atomu, których nie obserwowano.
Podstawiając tutaj wyrażenie (16.2) dla wektora stanu | Ψ(t) >, otrzymujemy :
Należy podkreślić, że podane wyrażenie jest w pełni analogiczne do wyniku pomiaru tylko dla stanów atomowych. Po prostu indeksy sumowania j i n zamieniają się rolami. Teraz na początku prowadzimy sumowanie po wszystkich stanach Foka iloczynów amplitudy prawdopodobieństwa Ψj, n i amplitudy < n | ψ~
pole >, z którą n-fotonowy stan jest reprezentowany w bazowym stanie pola. Ponieważ wewnętrzny stan atomu nie jest mierzony, to bierzemy ślad po wszystkich stanach atomowych, tj. sumę prawdopodobieństw dla dwóch stanów atomu.
Z użyciem pomiarów zgodnych możemy interpretować prawdopodobieństwa W( t ; | ψ~
pole > ) znalezienia stanu polowego | ψ~
pole >, niezależnie od stanu atomowego, jako sumę prawdopodobieństw dwóch zgodnych pomiarów.
W istocie, jest to suma :
pole > i prawdopodobieństwa zgodnego : ∞
Podsumowanie. Powyższe analizy zakończymy krótkim podsumowaniem.
Przy pomiarze układu atomowego w stanie | a > wraz z pomiarem pola w stanie | ψ~
pole > dodajemy amplitudy prawdopodobieństw Ψa, n znalezienia atomu w stanie | a > i n fotonów w rezonatorze, pomnożone przez amplitudy prawdopodobieństw < n | ψ~
pole >* znalezienia n fotonów w bazowym stanie pola.
W przeciwieństwie do tego, przy pomiarze stanu atomowego | a > bez pomiaru stanu polowego powinniśmy dodać prawdopodobieństwo |Ψa, n |2 znalezienia stanu atomowego | a > i n fotonów.
Dlatego przy pomiarze w pierwszym przypadku, wykorzystującym bazowy stan układu, mamy kwantową interferencje zespolonych amplitud prawdopodobieństw, jednocześnie dla drugiego przypadku takie człony interferencyjne nie występują.
16.1.2 Stan podukładu po pomiarze.
W poprzednim podrozdziale otrzymaliśmy wyrażenia dla prawdopodobieństw znalezienia przy pomiarze określonego stanu atomowego i/lub określonego stanu pola. W niniejszym podrozdziale postawimy zupełnie inne pytanie :
W jakim stanie kwantowym znajduje się jeden z podukładów po tym, jak dokonano pomiaru drugiego układu ? Przykładowo w jakim stanie znajduje się pole po pomiarze przeprowadzonym nad atomem ?
I w jakim stanie jest atom po pomiarze przeprowadzonym nad polem ?
Rozpoczniemy od omówienia stanu pola, który pojawia się, jeśli w wyniku pomiaru znaleziono bazowy stan atomowy
| ψ~
atom >. W tym przypadku stan polowy ma postać :
| ψ~
pole > ≡ N < ψ~
atom | Ψ >
Należy podkreślić, że powyższe wyrażenie, jest rzeczywiście stanem polowym – układ kwantowy, który opisywany jest przez wektor stanu | Ψ >, składa się z dwóch podukładów, związanych z poziomami atomowymi i stanami pola.
Rzutujemy na stan podukładu atomowego i dlatego stan wynikowy jest stanem polowym.
Jednakże w wyniku przeprowadzenia procedury rzutowania nowy stan polowy jest nieunormowany. Aby wyeliminować taką niedogodność, należy wprowadzić stałą normalizującą N, która otrzymujemy z następującego warunku :
∞
Ze wzoru (16.4) wynika, że powyższa suma przedstawia sobą prawdopodobieństwo W( | ψ~
atom > ) znalezienia w stanie atomowym | Ψ > stanu bazowego | ψ~
atom >. W takim razie unormowany stan polowy ma postać :
| ψpole > = [ 1/ sqrt( W( | ψ~
atom > )) ] < ψ~
atom | Ψ > (16.7) Wyrażenie to ma bardzo prosty sens fizyczny – stan kwantowy | ψatom > pojawia się tylko wtedy, kiedy znajdujemy atom w stanie bazowym | ψ~
atom >. Takie zdarzenie, jednakże zdarza się tylko z prawdopodobieństwem W( | ψ~
atom > ) Dlatego należy unormować stan polowy ze względu na takie właśnie prawdopodobieństwo.
Teraz omówimy krótko jaki będzie stan atomowy, jeśli znaleźliśmy pole w stanie bazowym | ψ~
pole >. Posługując się argumentami przedstawionymi powyżej, otrzymujemy :
| ψatom > = [ 1/ sqrt( W( | ψ~
pole > )) ] < ψ~
pole | Ψ >
Normalizacja, podobnie jak i wcześniej określona jest przez prawdopodobieństwo W( | ψ~
pole > ) znalezienia stanu bazowego | ψ~
pole > w stanie | Ψ > całkowitego układu.
W podrozdziale 16.3 zastosujemy procedurę zgodnych pomiarów dla przygotowania różnorodnych stanów pola promieniowania, takich jak stan kota Schrödingera i stany fazowe.
16.1.3 Schemat eksperymentu.
Splątanie stanów atomowo-polowych przejawia się w prawdopodobieństwach pomiaru takich wielkości. Teraz opiszemy metody, które w zasadzie, a nawet w praktyce pozwalają zrealizować interesujący nas pomiar dla połączonego układu i pola.
Pomiar stanów wewnętrznych. Rozpoczniemy od najprostszego przypadku, a dokładnie od rejestracji stanu atomowego
| a > lub | b >. Popularną metodą jest metoda jonizacji. W tym przypadku do atomu przykładamy pole elektryczne E = E0 ez
skierowane zgodnie z kierunkiem osi Oz. Pojawiająca się przy tym energia potencjalna : VS ≡ –e E • r = –eE0z
pokazana jest na rysunku 16.1 linia przerywaną i deformuje ona potencjał coulombowski :
pokazany linią punktową tym samym pojawia się potencjał efektywny pokazany linią ciągłą.
Rys. 16.1 Efekt Starka i jonizacja. Potencjał Starka VS generowany jest przez stałe pole elektryczne ( linia przerwana ), nadaje potencjałowi Coulomba ( linia punktowa ) formę krzywej z pewnym maksimum ( linia ciągła ). Elektron o energii Ea znajdujący się początkowo w stanie związanym w polu Coulomba, teraz może opuścić atom ( rysunek lewy ). Wraz ze zwiększeniem natężenia pola elektrycznego potencjał Starka staje się krótszy i wszystkie głębsze stany o energii Eb mogą być zjonizowane.
Wtedy stan własny zagadnienia Coulomba o energii Ea która leży nieco powyżej maksimum potencjału sumarycznego – Coulomba i Starka, już dalej nie są stanami związanymi, następuje jonizacja.
Zauważmy, że silniejsze pole elektryczne generuje krótszy potencjał Starka. Tym samym możemy dobrać się do głębszych poziomów energetycznych jamy coulombowskiej. Po prawej na rysunku 16.1 natężenie pola zostało dobrane tak, ze jonizowany jest stan o energii Eb Zatem wielkość natężenia pola jonizującego można przetłumaczyć na pojęcie energii poziomu atomowego.
Dlatego najefektywniejszy sposób przeprowadzenia pomiaru polega na tym, że zwiększamy natężenie pole elektrycznego, jako funkcje czasu i mierzymy prąd jonizacji I(t)
Maksimum takiego prądu jego wysokość i umiejscowienie jako funkcji natężenia pola, dają nam informacje o stanach atomowych ich zasiedleniu oraz wartościach własnych energii ( rys. 16.2)
Rys. 16.2 Zmiana stanów wewnętrznych z pomocą metody pola jonizującego. Liniowo zmieniające się w czasie pole elektryczne jonizuje różne poziomy atomowe w różnych chwilach czasu. Jak pokazano na lewym rysunku, atom czuje liniowo wzrastające pole elektryczne E0(t). Pole to generuje potencjał, będący liniową funkcją współrzędnej z. Elektron atomowy czyje sumaryczny potencjał pola coulombowskiego oraz zewnętrznego pola elektrycznego ( średnio).
W chwili ta natężenie pola jest takie, że maksimum sumarycznej energii potencjalnej jest równe energii Ea stanu wzbudzonego | a >. W tej właśnie chwili stan wzbudzony zostaje zjonizowany, co prowadzi do pojawienia się piku ( rysunek prawy ) w prądzie jonizacji I. W późniejszej chwili czasu tb sumaryczny potencjał staje się jeszcze krótszy, co prowadzi do jonizacji stanu | b > i pojawienia się drugiego piku w prądzie I. Porównując pola powierzchni pod tymi dwoma pikami, znajdujemy zasiedlenie pojedynczych poziomów atomowych.
Taka technika jest szeroko stosowana dla atomów rydybergowskich, ponieważ takie wysoko wzbudzone atomy w stanach z główną liczbą kwantową n ≅ 60 są najbardziej czułe na pola elektryczne i mogą być łatwo zjonizowane.
W szczególności, ma to zastosowanie do jednoatomowego masera, który będziemy omawiali w podrozdziale 18.4 i którym to z użyciem metody jonizacyjnej zmierzona zasiedlenie różnych stanów atomowych.
Pomiar dipolu atomowego. Podana wersja metody jonizacyjnej pozwala mierzyć tylko zasiedlenie oddzielnych poziomów energetycznych. Dla dwupoziomowego atomu taki pomiar, mówiąc językiem formalnym, jest operacją rzutowania na stany atomowe | a > lub | b >. Tutaj jednakże nie wchodzi stan superponowany:
| ψ~
atom > ≡ c~a | a > + c~ b | b >
który jest wymagany, aby przy pomiarze stanu atomowego
| ψatom > ≡ ca | a > + cb | b >
otrzymać jego rzut :
< ψ~
atom | ψatom > c~*a ca + c~*b cb W jaki sposób można zrealizować taki pomiar ?
Aby odpowiedzieć na powyższe pytanie, przypomnimy sobie, że klasyczne pole rezonansowe o zadanej amplitudzie Є0 w czasie oddziaływania t przekształca stan atomowy :
| ψatom > ≡ ca | a > + cb | b > są funkcjami początkowych amplitud ca i cb g ≡ ℘ Є0 /h – oznacza klasyczną częstość Rabbiego.
W niniejszej książce interesuje nas oddziaływanie atomu z polem skwantowanym, a nie z klasycznym. Zauważmy jednakże, że zapisane powyżej zależności dla oddziaływania z polem klasycznym są równoważne sytuacji z skwantowanym polem świetlnym, znajdującym się w stanie o zadanej liczbie fotonów, która opisywana jest przez równanie Rabbiego (15.19). W tym przypadku natężeniu klasycznego pola elektrycznego Є0 odpowiada natężenie pola próżniowego, pomnożona przez pierwiastek kwadratowy z liczby fotonów.
Dla stanu obróconego | ψ’atom >, pokazanego na rysunku 16.3 amplituda prawdopodobieństwa otrzymania przy pomiarze stanu atomowego | a > ma postać :
< a | ψ’atom > = cos(gt )ca – i sin(gt) cb i należy ją porównać z szukaną projekcją :
< ψ~
atom | ψatom > c~*a ca + c~*b cb
odpowiadającą pomiarowi z pomocą stanu bazowego | ψ~ atom >.
Zatem, przy odpowiednim wyborze parametrów klasycznego pola EM można osiągnąć sytuację, kiedy : c~*a = cos(gt ) i c~*b = –i sin(gt )
Należy podkreślić, ze dla realizacji takich warunków będziemy wymagali również nierezonansowego pola klasycznego.
Zatem, możemy przeprowadzić pomiar stanów atomowych z pomocą stanu bazowego | ψ~
atom >, posyłając atom przez pole klasyczne z kolejnym pomiarem zasiedlenia poziomów metodą jonizacyjną.
Rys. 16.3 Pomiar amplitudy prawdopodobieństwa bazowego stanu atomowego | ψ~
atom > z pomocą pola klasycznego i procedury pomiaru zasiedlenia jednego z poziomów atomowych. W górnej części rysunku schematycznie pokazano przyrząd z polem klasycznym i detektorem dla atomów. W części dolnej pokazano stan atomu w postaci detektora w dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta, utworzonej przez wektory bazowe | a > i | b >
( w celach większej poglądowości zaniedbujemy tą okoliczność, ze w przypadku ogólnym amplitudy prawdopodobieństw są zespolone )
Chcemy dokonać rzutowania początkowego wektora stanu | ψatom > na wektor | ψ~
atom >. W doświadczeniu możemy tylko określić czy dany atom znajduje się w stanie | a > lub w stanie | b >, co odpowiada rzutowaniu na osie przestrzeni wektorowej. Oddziaływanie z polem klasycznym prowadzi do takiego obrotu w przestrzeni wektorowej, że stan | ψ~
atom >
przechodzi w | b >. Zatem znalezienie atomu w tym stanie jest równoważne efektywnemu rzutowaniu na stan | ψ~ atom >
Pomiar stanów polowych. Do tej pory rozpatrywaliśmy pomiar zmiennych atomowych. Na zakończenie tego podrozdziału krótko omówimy procedurę rejestracji pola w stanie bazowym | ψ~
pole >.
Najbardziej znanym stanem bazowym jest stan z określoną liczbą fotonów | n >. W tym przypadku przy każdym konkretnym pomiarze rejestrujemy liczbę fotonów obecnych w rezonatorze. Mówiąc dokładniej, podliczmy nie liczbę fotonów, a liczbę fotoelektronów z detektora. Nie będziemy tutaj wchodzili w szczegóły teorii fotodetektorów ( odsyłamy do wykładów R. Glaubera – książka L. Mandela, E. Wolfa )
Powiemy tylko, ze rejestracja fotozliczeń jest równoważna rzutowaniu stanu bazowego | ψ~
pole > ≡ | n > na wektor stanu pola.
Omówimy teraz eksperymentalne realizacje stanów homodynowych jako bazowych stanów pola. W podrozdziale 13.2 pokazano, że detektor homodynowy, przedstawiony na rysunku 16.4 rejestruje stan własny pola | Єϑ >.
Zatem, taka procedura odpowiada rzutowaniu z wykorzystaniem stanu | Єϑ >. W tym przypadku nasz stan bazowy ma postać :
| ψ~
pole > ≡ | Єϑ >
Rys. 16.4 Homodynowanie zrównoważone z pomocą stanu koherentnego | α > ≡ | | α | eiϑ > o dużej amplitudzie | α | >> 1 jest równoważne pomiarowi rozkładu pola EM : W(Єϑ ) = | < Єϑ | ψpole > |2
Zatem, jest to przykład, kiedy, stan własny | Єϑ > pola EM jest stanem bazowym dla pomiaru stanu polowego | ψpole >.
Na zakończenie jeszcze raz podkreślimy to, że wielkości W( t ; | ψ~
atom >, | ψ~
pole > ), W( t ; | ψ~
pole > ) i W( t ; | ψ~
atom > ) reprezentują sobą prawdopodobieństwa wyników pomiarów dla ansamblu identycznie przygotowanych układów. To oznacza, że na początku przygotowujemy wejściowe stany - atomowy i polowy, umożliwiamy atomowi oddziaływanie z polem w czasie t, a następnie prowadzimy pomiar albo zgodny dla atomu i pola, albo dla pola, albo tylko dla atomu. Zapisujemy wynik takiego pomiaru i powtarzamy eksperyment wielokrotnie, budując na podstawie wielu wyników pomiarów histogram.