Związek potencjał wektorowy – pęd

W niniejszym podrozdziale podamy krótki przegląd istotnych elementów składowych schematu minimalnego oddziaływania dla jednej cząstki, a następnie omówimy przypadek atomu znajdującego się w polu EM.

Skupimy się wtedy na całkowitym hamiltonianie atomu, włączając w to ruch jego środka masy. Fakt ten będzie bardzo ważny dla analizy zagadnień optyki atomowej w polach skwantowanych.

14.2.1 Sprzężenie minimalne z zasady inwariantności cechowania.

Standardowe podejście do opisu oddziaływania jednej cząstki naładowanej o masie m z polem zewnętrznym, które zadane jest przez potencjał wektorowy A = A(r, t ) i potencjał skalarny Φ ≡ (r, t ) opiera się na schemacie sprzężenia

minimalnego. W takim podejściu pęd kanoniczny p zamieniamy na pęd kinetyczny p – eA. Oprócz tego, dodajemy energię potencjalną V(r ) ≡eΦ(r, t ). Jednakże na czym opiera się głębsza przyczyna takiej procedury ?

Odpowiedź podał Weyl w 1928 roku. Powiązał on inwariantność cechowania elektrodynamiki z MQ i pokazał, że prowadzi ona do minimalnego sprzężenia. Współczesne KTP, w szczególności teorie cechowania takie jak QED i QCD, opierają się na takiej zasadzie. Uwzględniając takie ważne okoliczności, chcielibyśmy krótko przeanalizować zasadę inwariantności cechowania. W ramach niniejszego podrozdziału pole EM rozpatrujemy jako pole klasyczne.

Przekształcenia globalne. W MQ nigdy nie obserwujemy bezpośrednio funkcji falowej. Obserwujemy raczej prawdopodobieństwo wyniku pewnego konkretnego pomiaru. Takie prawdopodobieństwa określone są przez kwadrat modułu funkcji falowej w odpowiedniej reprezentacji. Dlatego też funkcja falowa określona jest tylko z dokładnością do ogólnej fazy. Rozpocznijmy od funkcji falowej ψ( r, t) która spełnia równanie Schrödingera :

gdzie U(r ) – jest zewnętrznym potencjałem.

Przekształcona funkcja falowa :

ψ~(r, t ) ≡ exp(iα)ψ(r, t) (14.3)

spełnia takie samo równanie Schrödingera :

przy warunku, że faza α nie zależy od współrzędnej i czasu.

Przy przekształceniu (14.3) zmiana funkcji falowej nie zależy od współrzędnej i czasu. Ze wszystkimi punktami CP funkcja falowa obchodzi się jednakowo. Dlatego też takie przekształcenie nazywa się przekształceniem globalnym.

Przekształcenia lokalne. Teraz rozważmy sytuacje, kiedy faza zależy od współrzędnej i czasu, tj. rozpatrzymy przekształcenie funkcji falowej o postaci :

( dla wygody wprowadziliśmy tutaj stałą Placka i ładunek elektryczny )

Przy przekształceniu (14.4) zmiana funkcji falowej zależy od współrzędnej i czasu - takie przekształcenie nazywa się przekształceniem globalnym.

W wyniku zależności Λ od współrzędnej i czasu funkcja falowa ψ~ spełnia nie równanie Schrödingera, a bardziej złożone równanie :

O prawidłowości tego równania możemy się przekonać podstawiając funkcje falową (14.4) :

do równania (14.2) i wykorzystując zależność :

jak również :

z której wynika :

Zatem, rzeczywiście otrzymujemy równanie (14.5) dla ψ~.

Gauge-inwariantność elektrodynamiki. Nie bacząc na dodatkowe człony w równaniu (14.5) jest ono podobne do równania Schrödingera : pęd zamieniony jest na różnicę pędu i gradientu fazy, a energia potencjalna zmienia się w wyniku obecności pochodnej fazy po czasie. To wszystko przywodzi na myśl swobodę wyboru cechowania występującej w elektrodynamice.

Przypominam, że możemy rozwiązać jednorodne równania Maxwella, wprowadzając potencjał wektorowy A i potencjał skalarny Φ. Ponieważ indukcja magnetyczna zadana jest przez rotacje potencjału wektorowego A to :

B ≡∇× A

Tj. potencjał wektorowy określony jest tylko z dokładnością do gradientu pewnego pola skalarnego. Przekształcony potencjał wektorowy :

A’ ≡ A + ∇Λ (14.6)

generuje tą samą indukcje magnetyczną.

Ponieważ natężenie pola elektrycznego E określone jest przez wyrażenie : E ≡ –∇ Φ – ∂A/∂t

możemy włączyć pochodną po czasie Λ^• do potencjału skalarnego Φ. Przekształcony w taki sposób potencjał skalarny :

Φ’ ≡ Φ – ∂Λ/∂t (14.7)

generuje to samo pole elektryczne : E’ ≡ –∇ Φ’ – ∂A‘/∂t = E

Należy jednakże podkreślić, ze jesteśmy ograniczeni w wyborze potencjału cechowania Λ. Warunek cechowania

∇• A nakłada ograniczenie ∆Λ = 0 na Λ.

Oddziaływanie jako następstwo postulatu o inwariantności. Teraz postulujemy, że równanie Schrödingera powinno pozostawać niezmienne przy takim przekształceniu lokalnym jak (14.4), tj. równanie falowe dla przekształconej funkcji ψ~ powinno mieć taką samą formę, co równanie Schrödingera dla wejściowej funkcji falowej ψ. Dlatego też należy wyjść od równania Schrödingera, które już zawiera potencjał pola EM. To pozwoli nam „pochłonąć” dodatkowe człony ∇Λ i Λ^•, które pojawiają się kiedy realizujemy lokalne przekształcenie. Zatem wychodzimy od równania Schrödingera postaci :

Jeśli wykonamy przekształcenie :

to funkcja falowa ψ~ spełniać będzie równanie Schrödingera :

które formalnie jest identyczne do równania wejściowego.

Wykorzystaliśmy tutaj swobodę cechowania elektrodynamiki i włączyliśmy dodatkowe człony do zmodyfikowanych potencjałów (14.6) i (14.7). W wyniku takiego związku z przekształceniami cechowania, zależności (14.3) i (14.4) nazywają się odpowiednio globalnym i lokalnym przekształceniem cechowania.

Hamiltonian cząstki naładowanej w polu EM. Teraz możemy zapisać hamiltonian cząstki bez wewnętrznych stopni swobody, tj. bez spinu umieszczonej w polu EM. Wykorzystując strukturę sprzężenia minimalnego, otrzymujemy hamiltonian :

gdzie włączyliśmy również hamiltonian :

pola swobodnego (10.38).

Pozbywając się kwadratu w wyrażeniu dla energii kinetycznej, otrzymujemy dwa człony A • p i p • A.

Ponieważ przy przejściu do MQ wielkość p powinna być zamieniona na operator : p^ ≡ (h/i )∇

ważny jest teraz porządek operatorów. Przypomnijmy zależność :

słuszną dla dowolnej zależnej dowolnie od współrzędnych funkcji ψ(r ). Ponieważ w cechowaniu coulombowskim

∇ • A = 0 to otrzymujemy : p^ • A = A • p^

Zatem, kwantowo-mechaniczny hamiltonian :

jeśli chodzi o formę jest identyczny do hamiltonianu klasycznego.

14.2.2 Oddziaływanie atomu z polem.

Teraz rozpatrzymy sytuacje z atomem umieszczonym w polu. Dla uproszczenia weźmiemy atom wodoru, który składa się z protonu o masie mp umieszczonego w punkcie rp i elektronu o masie me o współrzędnej re , tak jak to pokazano na rysunku 14.1. W niniejszym podrozdziale opuścimy hamiltonian Ħ pola swobodnego.

Rys. 14.1 Najprostszy model atomu wodoru składa się z protonu o masie mp umieszczonego w punkcie rp i elektronu o masie me o współrzędnej re. Ponieważ stosunek mas elektronu i protonu jest różny od zera, to środek masy :

R ≡ (mp + me )–1 (mp rp + me re )

jest lekko przesunięty od protonu w stronę elektronu.

Z uwzględnieniem oddziaływania coulombowskiego :

pomiędzy elektronem i protonem, całkowity hamiltonian atomu wodoru umieszczonym w polu EM ma postać :

Posługując się równaniem (14.9) zdefiniowaliśmy tutaj następujące hamiltoniany :

odpowiednio elektronu i protonu w polu zewnętrznym.

Aby wyjaśnić rolę idei przybliżenia dipolowego, które omawiamy w następnym podrozdziale, zależność współrzędnościową potencjału wektorowego pokazana jest tutaj w postaci jawnej.

Oprócz tego, dla uproszczenia zapisu opuściliśmy daszki nad operatorami współrzędnych i pędów jak również nad hamiltonianem.

Współrzędne środka bezwładności i ruchu względnego. Wprowadźmy wektor wodzący środka masy :

układu dwóch cząstek o masie całkowitej :

oraz wektor wodzący ruchu względnego : r ≡ re + rp

elektronu i protonu.

Dalej możemy wyrazić współrzędną elektronu :

i protonu :

poprzez współrzędną R i r. Zauważmy, że w powyższych dwóch wyrażeniach wykorzystano wyrażenie (14.13).

W związku z niezerowym stosunkiem mas : mp /me ≅ 1/1836 << 1

współrzędna protonu nie pokrywa się z położeniem środka masy. ( rys. 1.41 ) Wprowadźmy dalej pęd :

P ≡ pe + pp

odnoszący się do ruchu cząstki o masie całkowitej M I związany z ruchem względnym pęd :

cząstki o masie zredukowanej :

Takie definicje pozwalają nam wyrazić pęd elektronu :

oraz pęd protonu :

przez P i p. W takich zmiennych sumaryczna energia kinetyczna elektronu i protonu :

nie zawiera członów skończonych i jest po prostu sumą energii kinetycznych środka bezwładności i ruchu względnego.

Hamiltonian atomu w polu EM. Teraz mamy możliwość wyrażenia hamiltonianu (14.10) atomu wodoru w polu EM poprzez współrzędne środka bezwładności i ruchu względnego. Wykorzystując zależności (14.19), (14.14), (14.15), (14.18) i (14.20) wyrażamy wszystkie wielkości poprzez powyższe zmienne, co pozwala nam otrzymać :

Operator H zawiera hamiltonian :

atomu wodoru dla przypadku niewystępowania pola EM. Hamiltonian ten składa się z operatorów energii kinetycznych ruchu środka bezwładności i ruchu względnego, jak również coulombowskiego oddziaływania elektronu i protonu.

Oprócz tego, całkowity hamiltonian (14.21) atomu w polu EM zawiera związek atomu z potencjałem wektorowym.

Zwróćmy uwagę na dwie postaci takiego związku :

pęd p ruchu względnego oddziaływuje z sumą potencjałów wektorowych w punktach, w których znajduje się elektron i proton i odwrotnie, pęd P ruchu środka bezwładności jest związany z różnica potencjałów wektorowych.

Dwie ostatnie składowe, zawierające kwadraty potencjału wektorowego, nie są związane ani jednym z pędów, ale zależą od ruchu środka mas, tak jak na to wskazuje wielkość R, jak również od wewnętrznych stopni swobody, reprezentowanych przez zmienną r.