Prosty model oddziaływania atomu z polem

W podrozdziale 14.3 sformułowaliśmy hamiltonian atomu wodoru umieszczonego w skwantowanym polu EM z uwzględnieniem ruchu środka bezwładności. Taki hamiltonian zawiera wszystkie stany atomowe i wszystkie mody pola promieniowania. W niniejszym podrozdziale znacznie uprościmy ten hamiltonian, przyjmując, że tylko dwa poziomy atomowe znajdują się w rezonansie z polem. Przy tym rozpatrujemy tylko jeden mod pola w rezonatorze. Uwzględniamy tak jak poprzednio ruch środka bezwładności.

Taki prosty model przedstawiono na rysunku 14.2, posiada on wystarczająco bogatą zawartość fizyczną, aby opisać większość zjawisk optyki atomowej i QED rezonatorów. (* cavity quantum electrodynamics (CQED) *)

Jest on muszką owocówką optyki kwantowej. (* It is considered the drosophila of quantum optics *)

Model, w którym zaniedbujemy ruch środka bezwładności, tj. rozpatrujemy tylko oddziaływanie pola skwantowanego rezonatora z dwupoziomowym układem atomowym, nazywa się modelem Jaynesa-Cummingsa-Paula.

Rys. 14.2 Najprostszy model oddziaływania atomu i pola z uwzględnieniem ruchu środka bezwładności. Jedyny mod idealnego rezonatora, który opisujemy funkcją modową u(r), przedstawiono tutaj w postaci sinusoidy, oddziaływuje on z atomem posiadającym masę całkowitą M i znajdującym się w punkcie R. Ruchowi środka bezwładności atomu odpowiada energia kinetyczna P2/2M. Rozpatrujemy tylko dwa stany wewnętrzne atomu, a mianowicie stan wzbudzony | a > i stan podstawowy | b > o energiach, odpowiednio Ea ≡ hωa i Eb ≡ hωb Częstość przejścia ω ≡ ωa – ωb

Dalsze uproszczenie następuje, gdy przyjmiemy, ze atom znajduje się z ustalonym punkcie, tj. zaniedbujemy ruch środka bezwładności. W takim przypadku model taki nazywa się modelem Jaynesa-Cummingsa-Paula – opisuje on oddziaływanie dwupoziomowego układu z jednym modem skwantowanego pola rezonatora.

14.8.1 Budowa hamiltonianu.

W niniejszym podrozdziale zaadaptujemy hamiltonian z oddziaływaniem elektro-dipolowym :

dla przypadku dwupoziomowego atomu, oddziaływującego z jednym modem pola promieniowania. Rozpoczniemy od tego, ze przedstawimy wewnętrzne stopnie swobody atomu z pomocą spinowych macierzy Pauliego.

Stany wewnętrzne. Jest oczywiste, że dwupoziomowych atomów w przyrodzie nie ma. Jednakże z pomocą pompowania optycznego można realizować taka sytuacje, kiedy efektywnie wzbudzone są tylko dwa stany energetyczne atomu.

Górny stan energetyczny oznaczany jako Ea ≡ hωa zapiszemy jako | a >, a dolny Eb ≡ hωb jako | b >.

Stany te są stanami własnymi hamiltonianu Hatom atomu.

Ponieważ z pomocą takich stanów dowolny operator atomowy O^ można zapisać jako :

to dla hamiltonianu otrzymujemy następujące wyrażenie :

W reprezentacji wektorowej :

hamiltonian zapisujemy jako macierz :

gdzie E ≡ ½ ( Ea + Eb ), ω≡ωa – ωb – częstość przejścia.

Ponieważ człon stały w hamiltonianie nie odgrywa roli, możemy go opuścić, co prowadzi nas do wyrażenia :

w której użyliśmy spinowej macierzy Pauliego :

Jest oczywiste, że w reprezentacji energetycznej hamiltonian jest diagonalny.

Operator momentu dipolowego. Teraz wykorzystamy warunek zupełności (14.47), po to aby wyrazić operator współrzędnej r^ z użyciem energetycznych stanów własnych. Ponieważ funkcje falowe ψj(r ) stanów z zadana energią posiadają określoną parzystość, to diagonalne elementy macierzowe są równe zero, tj. :

W istocie, ponieważ funkcja | ψj | jest symetryczna, a operator r jest antysymetryczny, to wyrażenie podcałkowe jest również antysymetryczne. Dla elementów niediagonalnych otrzymujemy :

tak, ze operator momentu dipolowego er^ przyjmuje postać :

Zauważmy, że taki operator opisuje przejścia ze stanu podstawowego | b > do stanu wzbudzonego | a > i odwrotnie.

Aby uwypuklić taką własność, zastosujemy operator er^ do stanu | b > i otrzymamy :

Analogicznie :

Zatem, operator :

przeprowadza atom w stan wzbudzony i tym samym, działa jak operator kreacji atomu w stanie wzbudzonym | a >.

W przeciwieństwie do tego, operator :

anihiluje atom w stanie wzbudzonym i dlatego jest operatorem anihilacji dla stanu wzbudzonego.

Z pomocą spinowych macierzy Pauliego σ^† (14.48) i σ^ (14.49) operator momentu dipolowego, może być zapisany w postaci :

Stany pola. Teraz zajmiemy się interesującym nas jednym modem pola promieniowania w rezonatorze. Przypominając wyrażenie (10.65) otrzymujemy :

gdzie w odróżnieniu od pierwotnej definicji (10.66) próżniowego pola elektrycznego, teraz do amplitudy włączono pierwiastek kwadratowy z 2, tj. :

u(R^ ) – przedstawia sobą modową funkcje rezonatora.

Ponieważ atom znajduje się w punkcie R^, funkcje modową powinniśmy wziąć właśnie w tym miejscu.

Zgodnie z (10.52), hamiltonian jednego modu pola promieniowania o częstości Ω ma postać : H^pole = hΩ a^† a^

gdzie zaniedbaliśmy energię drgań zerowych.

Hamiltonian oddziaływania. Teraz omówimy hamiltonian oddziaływania :

Wykorzystując wyrażenia (14.50) i 914.51) dla operatora momentu dipolowego er^ oraz operatora pola elektrycznego E^(R^, t ), otrzymujemy :

Iloczyn skalarny ℘• u momentu dipolowego ℘ i funkcji modowej u jest wielkością zespoloną :

℘• u = | ℘ • u | eiϕ

z fazą ϕ. Zatem, hamiltonian oddziaływania możemy sprowadzić do postaci :

gdzie wprowadziliśmy zależną od współrzędnej próżniową częstość Rabbiego :

Fizyczny sens tej wielkości, jak również jej nazwa stanie się jasny po tym, jak w rozdziale 16 omówimy dynamikę modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula.

Wybierając fazę ϕ = ½π, otrzymujemy :

Całkowity hamiltonian. Zbierając razem wszystkie wyniki, otrzymujemy całkowity hamiltonian atomowo-polowego układu :

Hamiltonian ten zawiera operator energii kinetycznej P^2 /2M – ruchu środka bezwładności atomu, hamiltonian hΩ a^† a^ - pola swobodnego oraz hamiltonian hωσ^z /2 – odpowiadający stanom wewnętrznym.

Operator oddziaływania pomiędzy tymi stopniami swobody określony jest przez zależną od współrzędnej stałą sprzężenia g(R^ ) i jest budowany ze spinowych macierzy Pauliego σ^ i σ^† oraz operatora polowego a^ – a^†

Spinowe macierze Pauliego w reprezentacji energetycznej są macierzami diagonalnymi.

14.8.2 Przybliżenie obracającej się fali.

Kontynuujmy dalej uproszczenie hamiltonianu oddziaływania :

Mamy ku temu dwa powody. Pierwszy polega na tym, że człony σ^a^ i σ^†a^† prowadzą do silnego naruszenia prawa zachowania energii. Drugi argument, ma bardziej matematyczną naturę i jest oparty na procedurze uśredniania.

Przechodzimy do przedstawienia oddziaływania, które określone jest przez wewnętrzne stany atomu i pola swobodnego, zaniedbując szybko oscylujące człony. Ten właśnie fakt prowadzi do nazwy – przybliżenie obracającej się fali.

Naruszenie prawa zachowania energii. Jak już powiedzieliśmy człony σ^a^ i σ^†a^† prowadzą do silnego naruszenia prawa zachowania energii. Zrozumiemy ten fakt, jeśli zauważymy, ze przykładowo, operator σ^a^ anihiluje wzbudzony atom i jednocześnie anihiluje wzbudzenie pola. Analogicznie, operator σ^†a^† kreuje wzbudzenie pola i jednocześnie przeprowadza atom ze stanu podstawowego w stan wzbudzony.

W przeciwieństwie do tego operatory σ^a^† i σ^†a^ albo anihilują wzbudzony atom z jednoczesną kreacją wzbudzenia pola, albo kreują wzbudzony atom, anihilując przy tym wzbudzenie pola ( rys. 14.3)

Rys. 14.3 Przybliżenie obracającej się fali. Wzbudzenie atomu przy pochłonięciu fotonu ( u góry po lewej ) oraz przejście atomu do stanu podstawowego przy emisji fotonu ( u dołu po lewej ). Procesy te są procesami rezonansowymi, a procesy pokazane po prawej stronie są nierezonansowe. Dla nich energia nie jest zachowana : atom przechodzi do stanu

podstawowego i jednocześnie pochłania foton ( u góry po prawej ), albo atom zostaje wzbudzony wraz z emisją fotonu.

Zatem zaniedbując człony σ^a^ i σ^†a^† otrzymujemy wyrażenie :

dla naszego hamiltonianu oddziaływania.

Przybliżenie oparte na takim podejściu nazywa się przybliżeniem obracającej się fali. Taka nazwa stanie się zrozumiała jedynie przy bardziej szczegółowej matematycznej analizie tego zagadnienia.

Metoda uśrednienia. W celu wyjaśnienia matematycznych detali przybliżenia obracającej się fali, które do tej pory opierało się tylko na argumentach heurystycznych, zapiszemy hamiltonian :

całkowitego układu w reprezentacji oddziaływania po wewnętrznych stanach atomu i stanach swobodnego pola świetlnego.

Wielkość :

oznacza hamiltonian swobodnego atomu i swobodnego pola.

W tym celu zdefiniujemy stan | Φ(I)(t) > z pomocą zamiany :

Zauważmy, że swobodny ruch środka bezwładności, tj. operator energii kinetycznej, nie został włączony do wskazanego przekształcenia. Jego uwzględnienie prowadziłoby do bardzo złożonego wyrażenia dla częstości Rabbiego g, ponieważ zależy on od współrzędnej R środka bezwładności.

Podstawiając wyrażenie (14.54), które zawiera wektor stanu | Φ(I)(t) > w reprezentacji oddziaływania, do równania Schrödingera :

otrzymujemy :

- ostatnie wyrażenie jest operatorem oddziaływania w reprezentacji oddziaływania.

Dalej otrzymamy ścisłe wyrażenie dla hamiltonianu oddziaływania H^(I)r•E. W tym celu podstawiamy hamiltonian H^0 do wzoru (14,55) i wykorzystując fakt, że operatory polowe komutują, dochodzimy do wyrażenia :

Na początku rozpatrzymy tę cześć, która zawiera operatory atomowe. Ponieważ macierz Pauliego σ^z jest diagonalna, otrzymujemy :

co daje :

Wykorzystaliśmy tutaj macierzową reprezentacje (14.59) operatora σ^. Zatem, część atomowa ma postać :

Dalej przejdziemy do obliczenia operatorów polowych. Przypomnijmy, że w obrazie Heisenberga, rozpatrzonym w podrozdziale 10.5.1, ewolucja w czasie opisywana jest przez wyrażenie :

które daje :

Zatem, hamiltonian H^(I)r•E w reprezentacji oddziaływania ma postać :

lub

Widzimy, że operatory σ^a^ i σ^†a^† , prowadzące do niezachowania energii, mnożone są przez oscylujące czynniki, które zawierają sumę częstości rezonatora i przejścia atomowego.

W przeciwieństwie do tego operatory σ^†a^ i σ^a^† wchodzą z czynnikami, które zawierają tylko różnice częstości, tj.

odstrojenie :

∆ ≡ Ω – ω

Jednocześnie, podczas gdy wkłady pochodzące od σ^a^ i σ^†a^† oscylują, mówiąc ogólnie, z podwojoną częstością optyczną, człony σ^a^† i σ^†a^ zmieniają się wolno.

Ponieważ równanie Schrödingera jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu po czasie, to powinniśmy całkować po czasie. W wyniku takiego całkowania suma i różnica częstości przechodzi do mianownika. Zatem, podstawowy wkład powinien pojawiać się od wolno zmieniających się członów. Dlatego, możemy aproksymować hamiltonian oddziaływania w reprezentacji oddziaływania poprzez następujące wyrażenie :

Podane podejście można ściśle uzasadnić z pomocą procedury uśrednienia. Przy tym, w szczególności można obliczyć poprawki kolejnych rzędów.

W wejściowym obrazie Schrödingera otrzymany hamiltonian odpowiada hamiltonianowi oddziaływania :

Podsumowanie. Pokazaliśmy, że w przybliżeniu obracającej się fali nasz prosty model dwupoziomowego atomu, oddziałującego z jednym modem pola promieniowania, opisywany jest przez hamiltonian :

W następnych dwóch rozdziałach zbadamy ten model dokładniej. W szczególności, będziemy rozpatrywali przypadek nieruchomego atomu, kiedy zaniedbujemy ruch środka bezwładności.

Rolę operatora energii kinetycznej będziemy analizowali w dalszych rozdziałach.

Zadania.