Rozdział 17 Pułapka Paula (* Paul trap *)
17.3 Ruch jonu w pułapce Paula
Rys. 17.3 Schematyczny rysunek pułapki Paula z działem elektronowym ( na dole ) i detektorem optycznym ( na górze ) (* dwie wersje językowe angielska i rosyjska *)
Wiązka neutralnych atomów ( w danym przypadku są to atomy magnezu Mg ), przechodzą przez pułapkę jonową ( środkowa cześć rysunku ) poprzez odpowiednio wykonane otwory pomiędzy okrągłą elektroda i okładkami.
Dzięki obecności wiązki elektronów ( które wchodzą również przez odpowiednie otwory ), atomy w centrum pułapki przekształcają się w jony. Są one następnie lokalizowane w trzech kierunkach z pomocą odpowiednio dobranych pól.
Wiązka laserowa ochładza jony i pozwala dokonać detekcji ich położenia na podstawie wyników fluorescencji rezonansowej. Promieniowane światło jest obserwowane przez otwory w górnej okładce z pomocą mikroskopu Z artykułu F. Diedrich, H. Walther Phys. Rev. Lett. 1987 V.58 P. 203
17.3 Ruch jonu w pułapce Paula.
W przypadku ogólnym ruch jonu w pułapce Paula posiada dwie skale czasu. Jest wolny tzw. sekularny ruch o częstości, która jest określona uśrednionym po czasie potencjałem wiążącym i mikroruch szybki, który zależy od zmiennego napięcia częstości radiowej, które jest przyłożone do elektrod pułapki. Aby przeanalizować istotę kwantowej składowej takiego ruchu, na początku omówimy ewolucje w czasie operatorów współrzędnej i pędu dla oscylatora harmonicznego o częstości zależnej od czasu. Taki oscylator może służyć jako model dla pułapki Paula. Dalej pokażemy, że ruch kwantowy
charakteryzuje się trzema parametrami rzeczywistymi, które odpowiadają obrotowi, ściśnięciu oraz jeszcze jednemu obrotowi w przestrzeni fazowej. Oprócz tego, zobaczymy, że przy odpowiednim wyborze bazy zależność takich parametrów od czasu staje się wystarczająco prosta, a w pewnych przypadkach jest periodyczna.
Taki wybór odpowiada opisowi z pomocą stanów Floqueta.
Ewolucja w czasie wektora stanu | ψem(t) > ruchu środka bezwładności pojedynczego jonu w pułapce Paula wynika z równania Schrödingera :
ih d/dt | ψem(t) > = H^em(t) | ψem(t) >
Hamiltonian :
Hem(t) ≡ ( p^2 /2M ) + ½ Mω2(t) x^2 (17.9)
Określa jednowymiarowy ruch jonu o masie M, pędzie p i współrzędnej x w potencjale oscylatora harmonicznego :
ω2(t) = ¼ ωrf2[ a + 2q cos(ωrf t )] (17.10)
Bezwymiarowe parametry a, q określone są przez zależności (17.4).
Możemy rozwiązać formalnie zależne od czasu równanie Schrödingera, wprowadzając operator ewolucji : t
U^em(t) ≡ Ŧ exp[ – (i/h)
∫
dt’ H^em(t’ ) ] (17.11)0
gdzie Ŧ – jest operatorem uporządkowania w czasie, tak że wektor stanu ma teraz postać :
| ψem(t) > = U^em(t) | ψem(0) >
Przeanalizujemy teraz, jak działa taki operator ewolucji w przestrzeni stanów i w wignerowskiej przestrzeni fazowej.
17.3.1 Redukcja do zagadnienia klasycznego.
Aby otrzymać pewne wyobrażenie o dynamice oscylatora harmonicznego z zależną od czasu częstością, na początku rozpatrzymy ewolucje operatorów Heisenberga. W niniejszym podrozdziale wykorzystamy bazowy oscylator o stałej częstości ωr. Operatory w chwili początkowej, albo stany początkowe w obrazie Schrödingera są określone względem danego bazowego oscylatora. Częstość ωr jest pewnym parametrem rzeczywistym, będącym do naszej dyspozycji.
Glauber pokazał, że stacjonarny oscylator harmoniczny o częstości ωr może stanowić oscylator bazowy i którego energetyczne stany własne | n > tworzą dogodną bazę zupełną. Bez utraty ogólności, częstość bazową można wybrać rak, aby stany | n > były warunkami początkowymi dla stanów Floqueta, tak jak to pokazano w podrozdziale 17.3.4.
Dalej wyrazimy operatory współrzędnej i pędu poprzez operatory anihilacji i kreacji b^ i b^† stacjonarnego oscylatora bazowego, tj. :
Rozpatrzmy teraz zależność takich operatorów od czasu, generowaną przez operator ewolucji U^em(t), tj. interesują nas operatory :
Operatory heisenbergowskie znaczono tutaj tyldą.
Pokażemy teraz, że takie operatory heisenbergowskie można przedstawić w postaci zależnej od czasu kombinacji liniowej operatorów anihilacji i kreacji b^ i b^† stacjonarnego oscylatora bazowego.
Można dowieść następujących zależności :
Funkcja zespolona ε(t) spełnia równanie różniczkowe Mathieu zagadnienia klasycznego :
ε••(t) + ω2(t)ε(t) = 0 (17.13)
z warunkami początkowymi :
•
Zależności (17.12) możemy dowieść, jeśli przekonamy się, że operator x^(t), który w prawej części równań (17.12) jest wyrażony poprzez operatory kreacji i anihilacji, a w lewej – z pomocą przekształcenia unitarnego, spełnia jedno i to samo równanie różniczkowe z jednakowymi warunkami początkowymi.
Różniczkując operator x~^(t), przedstawiony z pomocą przekształcenia unitarnego i wykorzystując zależność : dU^em(t)/dt = –(i/h) H^em(t) U^em(t)
która wynika z (17.11), otrzymujemy równanie ruchu :
Całkowicie analogicznie z x~^(t), znajdujemy równania dla operatora pędu :
p~^ •(t) = – Mω2(t) x~^(t)
Zatem operator x~^(t) spełnia równanie różniczkowe drugiego rzędu : x~^ ••(t) + ω2(t) x~^(t) = 0
Zauważmy, że zgodnie z (17.13), prawa część (17.12) również spełnia wskazane równanie. Oprócz tego, z (17.14) wynika, że zgodne są i warunki początkowe :
Równania (17.12) odgrywają kluczową rolę dla oscylatora harmonicznego z częstością zależną od czasu. Pokazują one, że zależność od czasu wchodzi tylko w postaci funkcji klasycznych ε(t). Wszystkie własności kwantowe zawarte są w operatorach kreacji i anihilacji stacjonarnego oscylatora bazowego.
Na zakończenie niniejszego podrozdziału zauważymy jeszcze ważną własność funkcji ε i jej sprzężenia zespolonego ε*.
Wronskian tych funkcji :
W[ ε(t), ε•(t) ] ≡ ε•(t) ε*(t) – ε(t) ε*•(t)
Jest stałą. Różniczkując bowiem W po t i wykorzystując ten fakt, że ε(t) i ε*(t) spełniają równanie różniczkowe : ε••(t) + ω2(t) ε(t) = 0
otrzymujemy : W•(ε, ε• ) ≡ 0
Z pomocą warunków początkowych (17.14), tj. ε(0) = 1 i ε•(0) = iωr ostatecznie otrzymujemy :
W[ ε(t), ε•(t) ] ≡ W[ ε(0), ε•(0) ] ≡ 2 iωr (17.15)
Zatem, jeśli ωr ≠ 0 to funkcja ε(t) nie jest równa nigdzie zero, inaczej wyznacznik Wrońskiego byłby równy zero.
17.3.2 Ruch jako ciąg ściśnięć i obrotów.
W obrazie Heisenberga operatory współrzędnej i pędu x~^(t) i p~^(t) są zależnymi od czasu kombinacjami liniowymi operatorów kreacji i anihilacji stacjonarnego oscylatora bazowego. Taka kombinacja bardzo przypomina przekształcenie ściśnięcia, wprowadzone w zadaniu 11.5
W istocie, stany dwufotonowe są stanami własnymi kombinacji liniowej operatorów kreacji i anihilacji.
Rozpatrzmy teraz pod takim kątem działanie operatora unitarnego ewolucji czasowej U^em na b^.
W szczególności pokażemy, ze przekształcenie U^em(t) reprezentuje sobą kolejne działanie operatora :
za którym następuje operator ściśnięcia :
i drugi operator obrotu. Całkowity operator ewolucji ma postać :
Otrzymamy ścisłe wyrażenie dla parametru ściśnięcia r i dwóch kątów obrotu Θ i ϑ.
Uogólnione przekształcenie ściśnięcia.
Na początku pokażemy, że operator ewolucji w czasie U^em przekształca operator anihilacji b^ bazowego oscylatora w kombinacje liniową operatorów anihilacji i kreacji.
Przypomnijmy związek :
operatora b^ z operatorami współrzędnej i pędu oraz wzory przekształcenia :
Z zależności takich otrzymujemy :
Współczynniki :
spełniają równania :
Wykorzystując wyrażenie (17.15) :
W[ ε(t), ε•(t) ] ≡ ε•(t) ε*(t) – ε(t) ε•*(t) = 2iωr dla wrońskianu, znajdujemy :
| c(t) |2 – | s(t) |2 ≡ 1 (17.24)
To pozwala nam przedstawić wartości absolutne c i s w postaci cosh(r) i sinh(r) :
c(t) = cosh( r(t)) exp[ iγ(t)] (17.25)
s(t) = sinh( r(t)) exp[ iβ(t)] (17.26)
Dla parametru r(t), wykorzystując (17.21) i (17.22), znajdujemy :
i analogicznie :
Z uwzględnieniem wzorów (17.25) i (17.26) dla c(t) i s(t) wyrażenie (17.20) możemy zapisać następująco :
Identyfikacja obrotów i ściśnięć. Zatem, ewolucja w czasie operatora anihilacji określona jest przez trzy parametry r, γ, β.
Pokażemy teraz, ze ewolucja w czasie może być przedstawiona jako ciąg przekształceń obrotu, ściśnięcia i jeszcze jednego obrotu.
W tym celu przypomnimy następujące własności : R^†(ϕ) b^R^(ϕ) ≡ b^ exp(–iϕ)
operatora obrotu R^ i działanie : S^†(r) b^S^(r) ≡ cosh(r) b^ – sinh(r) b^†
Operatora ściśnięcia S^. To pozwoli nam ustanowić następującą zależność :
Zatem, wynik przekształcenia U^em(t), stosowanego do operatora b^, jest identyczny z ciągiem przekształceń obrotu, ściśnięcia i jeszcze jednego obrotu. Oczywiście to samo jest słuszne w stosunku do operatora b^†, a zatem i dla dowolnego operatora. W ten sposób przedstawiliśmy działanie operatora ewolucji U^em(t) jako kolejne zastosowanie przekształceń obrotu, ściśnięcia i kolejnego obrotu, tj. :
gdzie
Analogicznie znajdujemy :
Zauważmy, ze przy t → 0 operator U^em(t) przechodzi w operator jednostkowy. Wykorzystując bowiem warunek początkowy :
ε(0) = 1 i ε•(0) = iωr
jak również równania (17.21) i (17.22), otrzymujemy : c(0) ≡ 1 i s(0) ≡ 0
co z uwzględnieniem (17.25) i (17.26) daje bezpośrednio : r(0) ≡ 0 i γ(0) ≡ 0
Zatem, operator ściśnięcia S^(0) staje się operatorem jednostkowym, a dwa pozostałe obroty można skombinować w jeden obrót o kąt Θ(0) + ϑ(0) = – γ(0) ≡ 0, jak można przekonać się z (17.29) i (17.30).
Obliczenie wartości granicznych kątów Θ(t) i ϑ(t) jest bardzo złożone, ponieważ do obu ich definicji (17.29) i (17.30) wchodzi kąt β(t), który nie jest zadany przy t = 0 w wyniku warunku s(0) ≡ 0. Dlatego należy obliczyć pochodne wyższego rzędu s(t) w punkcie t =0. Szczegółowa analiza pokazuje, że :
Θ(0+) = ¼ π = –ϑ(0+) przy ωr > ω(0) i Θ(0+) = – ¼ π = –ϑ(0+) przy ωr < ω(0)
Jeśli ωr ≡ ω(0), tak jak wybrano na rysunku 17.5, to Θ(0+) i ϑ(0+) są określane przez pierwszą niezerową pochodną funkcji
ω2(t) w punkcie t = 0. W przypadku ωr ≡ ω(0) i dla specjalnej postaci funkcji ω2(t), zadaną przez wyrażenie (17.10), mamy Θ(0+) = ¼ π = –ϑ(0+).
17.3.3 Dynamika w przestrzeni fazowej Wignera.
Do tej pory analizowaliśmy dynamikę pojedynczego jonu w pułapce Paula z jawną zależnością od czasu, wykorzystując reprezentacje Heisenberga. Teraz rozważymy obraz Schrödingera i przeanalizujemy zależność od czasu wektora stanu :
Dynamikę stanów kwantowych można poglądowo przedstawić z pomocą funkcji Wignera :
W rozdziale 3 pokazaliśmy, ze dla wszystkich hamiltonianów, kwadratowych po operatorach współrzędnej i pędu, funkcja Wignera spełnia równanie Liouville’a :
Dlatego funkcje Wignera w dowolnej chwili czasu t :
można wyrazić poprzez początkową funkcje Wignera W(x, p ; 0 ) przy t = 0, zamieniając początkową współrzędną i pęd początkowy na wielkości :
Dynamika jako przemieszanie współrzędnych przestrzeni fazowej. Rozpatrzymy taką dynamikę dokładniej.
Zauważmy, że zależność (17.38) wiąże współrzędną x i pęd p funkcji Wignera w chwili t z współrzędnymi przestrzeni fazowej x– i p– wchodzącymi do funkcji Wignera przy t = 0. Aby związać to przekształcenie zmiennych fazowych z propagatorem U^em(t), który jest określony przez wyrażenie (17.35), wykorzystamy przekształcenie odwrotne :
tj. wyrazimy zmienne fazowe (x, p) skończonego rozkładu poprzez wielkości wejściowe.
Wykorzystaliśmy tutaj to, że zgodnie z (17.23) i (17.24) wyznacznik macierzy (17.38) przekształcenia przestrzeni fazowej jest równy jedności.
Dlatego operator ewolucji w czasie U^em działający w przestrzeni fazowej, można interpretować jako przekształcenie :
Przypomnijmy, że U^em zawiera operator ściśnięcia i dwa obroty.
Pokażemy teraz, ze wszystko to można zobaczyć bezpośrednio z macierzy U^em.
W istocie w przestrzeni fazowej przekształcenie obrotu :
i operacja ściśnięcia :
są zapisywane w postaci macierzy 2 × 2. Zauważmy, że zgodnie z naszą definicją (17.16) operatora obrotu R^(ϕ), dodatni kąt ϕ odpowiada obrotowi zgodnemu z ruchem wskazówek zegara.
Zatem, unitarny operator ewolucji U^em(t) w przestrzeni fazowej działa tak :
Z pomocą ścisłych wyrażeń (17.27) i (17.28), (17.31) i (17.32), (17.33) i (17.34), odpowiednio dla r(t), Θ(t) i ϑ(t) po niewielkich przekształceniach algebraicznych, otrzymujemy :
Zauważmy, ze macierz ta opisuje przekształcenie w przestrzeni fazowej (17.39), które wiąże początkową funkcje Wignera przy t = 0 z funkcją Wignera w pewnej późniejszej chwili t > 0.
Przykład gaussowskiego pakietu falowego. Zależność od czasu ϑ, r i Θ wynika z zależności tych wielkości od zespolonych funkcji ε(t) i ε•(t). Rysunek 17.4 ilustruje działanie wszystkich trzech przekształceń na stan koherentny
| ψem(0) > = | α = 3 >. Rozpoczynamy od gaussowskiej funkcji Wignera :
i konstruujemy funkcje Wignera W(x, p, τ) w późniejszej chwili czasu τ = 9/ √0,2 ωrf
Pierwsze przekształcenie R(ϑ) tylko odwraca funkcje Wignera o kąt ϑ(τ) = 0,387 rad, wokół początku współrzędnych przestrzeni fazowej. Dlatego teraz funkcja Wignera zlokalizowana jest wokół punktu :
Po tym operator ściśnięcia S(r) ściska otrzymaną funkcje Wignera w kierunku osi x przestrzeni fazowej, ponieważ
parametr r(τ) = 0,719 jest rzeczywisty. Jednocześnie centrum pakietu gaussowskiego przemieszcza się wzdłuż hiperboloidy x • p = xϑ • pϑ ≡ α2 h sin[ 2ϑ(τ)]
na odległość, która jest zależna od r. Na koniec, trzecie przekształcenie R(Θ) obraca elipsę stanu ściśniętego o kąt Θ(τ) = 2,454 rad wokół początku współrzędnych. To oznacza, że oś elipsy okazują się być obrócone o kąt Θ(τ) względem ustalonego układu współrzędnych. Dla pokazanego rysunku wybraliśmy parametry a = 0, q = 0,4, ωr = ω(0),
Należy podkreślić, ze trzy omawiane parametry ϑ(t), r(t), Θ(t) charakteryzują pełną ewolucje w czasie dowolnej funkcji Wignera. Na rysunku 17.5 pokazano zależność czasową wielkości ϑ, r , Θ przy tych parametrach parametrach pułapki, co na rysunku 17.4. W tym celu znaleźliśmy funkcje ε(t) i ε•(t) na drodze całkowaniu numerycznego równania (17.13).
Zauważmy bardzo złożoną zależność od czasu parametrów przekształceń ϑ(t), r(t), Θ(t), która prowadzi do złożonej ewolucji układu w czasie.
Rys. 17.4 Ewolucja czasowa drgającego stanu kwantowego stanu jonu w pułapce Paula jako ciąg operacji obrotu,
ściśnięcia i obrotu. Zgodnie z (17.37), początkowy stan koherentny | ψem(0) > = | α = 3 > jonu, reprezentowany tutaj jako okrągła horyzontalna funkcja Wignera ( linia przerywana ), przechodzi w stan ściśnięty | ψem(τ) >, pokazany eliptyczną horyzontalną jego funkcji Wignera ( linia ciągła). Pierwsze przekształcenie obraca początkową funkcje Wignera o środku w początku współrzędnych przestrzeni fazowej o bezwymiarowych współrzędnych :
x' = sqrt(Mωr/ h) x = √2 α , p' = 1/ sqrt(Mωr/ h) p = 0
o kąt ϑ(τ) = 0,387 rad, określony przez wzory (17.33) i (17.34). Otrzymana okrągła horyzontalna funkcji Wignera ( linia przerywana ) podlega operacji ściśnięcia wzdłuż jednej z osi przestrzeni fazowej. Jednocześnie środek pakietu
gaussowskiego przemieszcza się wzdłuż hiperboli x’p’ = const. ≡ α2 sin( 2ϑ(τ)).
Ostatni obrót obraca elipsę ściśniętego pakietu o kąt Θ(τ) = 2,454 rad, określonego przez wzory (17.31) i (17.32), co prowadzi do funkcji Wignera stanu koherentnego | ψem(τ) >. Zauważmy, że operator obrotu (17.16) jest określony w taki sposób iż dodatni kąt odpowiada obrotowi zgodnemu z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Wybrano tutaj następujące wartości parametrów a = 0, q = 0,4, ωr = ω(0), ωrfτ = 9/ √0,2.
Rys. 17.5 Zależność od czasu trzech parametrów ϑ(t), r(t), Θ(t) przekształceń, charakteryzujących czasową ewolucje pojedynczego jonu w pułapce Paula. Skala czasu zadana jest przez częstość ωrf zmiennego napięcia.
Strzałka wskazuje wartość τ, wykorzystaną na rysunku 17.4, kółeczkami oznaczono odpowiednie wartości ϑ, r, Θ w chwili τ. Pozostałe parametry są te same co na rysunku 17.4.
17.3.4 Rozwiązanie Floqueta.
W poprzednim podrozdziale pokazaliśmy, że ewolucja w czasie dowolnego stanu kwantowego ruchu jonu w pułapce Paula jest opisywana przez trzy parametry ϑ(t), r(t), Θ(t). Zauważmy, że są one zależne od wyboru częstości bazowe ωr, która określa funkcje ε(t) i ε•(t). Teraz wybierzemy specjalnie ωr, tak aby uprościć postać rozwiązania klasycznego ε(t), a zatem i zależność od czasu interesujących nas parametrów.
Ruch sekularny, określany przez wykładnik charakterystyczny. W tym celu powrócimy do rozwiązania równania różniczkowego (17.13) klasycznego ruchu dla funkcji ε(t), spełniającej warunek początkowy (17.14). Zgodnie z twierdzeniem Floqueta rozwiązanie ogólne ma postać :
gdzie A, B stałe, a wielkość :
jest funkcją okresową. W celu znalezienia współczynników rozkładu cn i wykładnika charakterystycznego µ podstawiamy rozwiązanie Floqueta :
ε(F)(t) = exp(iµt ) φ(t) (17.42)
do równania (17.13). W przypadku częstości, zależnej od czasu wedle prawa (17.10), to prowadzi do trójczłonowej zależności rekurencyjnej (17.7) i wyznacznika Hilla (17.8), które dają nam wykładnik charakterystyczny µ.
Współczynniki cn otrzymujemy dalej z układu równań liniowych.
W tabeli 17.1 podano współczynniki cn z | n | ≤ 3 dla trzech różnych par (a, q) wartości parametrów pułapki z pierwszego obszaru stabilności równania Mathieu.
Zauważmy, że w tym obszarze parametrów współczynniki cn są rzeczywiste. Jak pokażemy dalej fakt ten nie jest przypadkowy.
W wyniku symetrii ω2(–t) ≡ ω2(t) zależnej od czasu częstości (17.10) funkcje ε*(t) i ε(–t) spełniają jedno i to samo równanie różniczkowe i jednakowe warunki początkowe. Dlatego funkcje te pokrywają się tj. :
ε*(t) = ε(–t) (17.43)
Podstawiając (17.40) do równania (17.43) i wykorzystując ten fakt, ze w obszarze stabilności równania Mathieu częstość charakterystyczna µ jest rzeczywista i dochodzimy do zależności ϕ*(t) = ϕ(–t), które z uwzględnieniem (17.41) daje :
Zatem, współczynniki cn powinny być rzeczywiste.
Na rysunku 17.6a pokazano wykładnik charakterystyczny µ w jednostkach częstości ωrf jako funkcja parametrów pułapki a i q dla pierwszego obszaru stabilności równania Mathieu. W tym obszarze wykładnik charakterystyczny jest czysto rzeczywisty i określa częstość sekularnego ruchu jonu.
Tabela 17.1 Współczynniki cn z | n | ≤ 3 dla trzech różnych par (a, q ) wartości parametrów pułapki z pierwszego obszaru stabilności równania Mathieu. Oprócz tego, podano stosunek częstości Rabbiego :
Ωn / Ωn(µ) ≡ c0 sqrt( µ /ωn(F) )
dla dwóch hamiltonianów H^~(s)int i H^~(µ)
int zapisanych z uwzględnieniem i bez uwzględnienia wpływu mikro ruchu, jak również parametr ściśnięcia s ≡ µ / ωr(F), tj. stosunek częstości µ i ωr(F). W ostatniej kolumnie podano stosunek ωr /µ - częstości pułapki i częstości charakterystycznej.
Rys. 17.6 Zależność wykładnika charakterystycznego µ (po lewej) I częstości bazowej ωr(F) dla rozwiązania Floqueta ( po prawej ) od parametrów pułapki a i q. Pokazano tutaj również horyzontalne funkcji µ = µ(a, q) i ωr(F) = ωr(F)(a, q) w pierwszym obszarze stabilności równania Mathieu. Obie wielkości mierzone są w jednostkach ωrf.
Wybór oscylatora bazowego. Teraz skupimy się na rozwiązaniu Floqueta (17.42). Z pomocą odpowiedniego wyboru częstości bazowej ωr można spełnić warunki A = 1, B = 0. aby znaleźć taką częstość bazową ωr(F), podstawimy rozwiązanie Floqueta (17.42) do warunków początkowych (17.14) i otrzymamy :
oraz :
ε•(F)(0) = iωr(F) = iµ + ϕ•(0) co wraz z wyrażeniem (17.45) daje :
Zatem, zgodnie z (17.46), wykładnik charakterystyczny µ i współczynniki cn określają tą wartość częstości bazowej ωr(F), które prowadzą do rozwiązania Floqueta (17.42).
Na rysunku 17.6b pokazano zależność ωr(F) od a i q, które tak jak i wcześniej, leży w pierwszym obszarze stabilności równania Mathieu. Zauważmy, że przy q ≡ 0, tj. dla niezależnego od czasu oscylatora, dwie częstości µ i ωr(F) pokrywają się.
Przykład gaussowskiego pakietu falowego. Na rysunku 17.7 pokazano zależność od czasu wielkości ϑ, r, Θ przy tych samych parametrach pułapki a = 0 i q = 0,4, co na rysunku 17.5. Jednakże w obecnym przypadku wybraliśmy specjalną wartość częstości bazowej ωr(F), która prowadzi do rozwiązania Floqueta :
ε(t) ≡ ε(F)(t) = exp(iµt )ϕ(t) gdzie ϕ( t + T ) = ϕ(t).
Z rysunku tego widać, że kąt Θ i parametr ściśnięcia r są funkcjami periodycznymi o okresie T potencjału pułapki.
Taka okresowość wynika z naszych równań. Ponieważ do zależności (17.27) i (17.28) definiujących wielkość r(t), jak również do zależności (17.31) i (17.32) definiujących wielkość Θ(t) wchodzą tylko wartości absolutne funkcji ω(F)(t) i ε•(F)(t), albo iloczyn ε•(F)i [ε•(F)]* to oczywistym jest, ze parametry r(t) i Θ(t) są okresowa po t z okresem T, tj. : r( t + T ) = r(t)
Θ(t + T ) = Θ(t)
Oprócz tego, ponieważ funkcje ε(t) i ε•(t) wchodzą do definicji wielkości ϑ kwadratowo, to ma miejsce zależność : ϑ(t + T) = ϑ(t) + µT
Dzięki tym własnością okresowości, macierz przekształcenia :
w chwili t + T opisywana jest przez wyrażenie :
Wykorzystano tutaj zależność R–1 R = 1.
Łącząc obrót o kąt ϑ(t + T ) i obrót odwrotny o kąt ϑ(t) w jeden obrót o kąt ϑ(t + T ) – ϑ(t) = µT, otrzymujemy :
Uem(t + T) = Uem(t) R(µT) (17.47)
Zatem, w bazie rozwiązań Floqueta funkcja Wignera dowolnego stanu w chwili t + T jest po prostu obrócona w przestrzeni fazowej o kąt µT względem funkcji Wignera w chwili t.
Aby lepiej zrozumieć sens takiego specjalnego wyboru częstości bazowej, rozpatrzymy ewolucje w czasie energetycznych stanów własnych | n > stacjonarnego oscylatora harmonicznego o częstości własnej ωr(F). Z równań (17.35) i (17.47) znajdujemy, że stan początkowy | ψem(0) > = | n > po jednym okresie T przechodzi w stan :
tak, że energetyczne stany własne | n > oscylatora bazowego o częstości ωr(F) są stanami początkowymi Floqueta w chwil t = 0.
Rys. 17.7 Zależność od czasu parametrów przekształcenia ϑ(t), r(t), Θ(t) dla częstości bazowej ωr = ωr(F), prowadząca do rozwiązania Floqueta. Zauważmy, że w odróżnieniu od sytuacji przedstawionej na rysunku 17.5, parametr ściśnięcia r i kąt obrotu Θ są funkcjami okresowymi, tj. r(t+ T ) = r(t) i Θ(t + T) = Θ(t), a dla kąta ϑ otrzymujemy ϑ(t + T ) = ϑ(t) + µT.
Tutaj, tak samo jak i na rysunku 17.5 parametry pułapki są następujące a = 0, q = 0,4.