Postawienie zagadnienia

Rozdział 19 Optyka atomowa w skwantowanych polach świetlnych.

Do tej pory analizowaliśmy oddziaływanie atomu z skwantowanym polem świetlnym, przyjmując że atom spoczywa w punkcie R, mówiąc inaczej zaniedbywaliśmy ruch środka masy cząstki. W niniejszym rozdziale będzie nas interesował wpływ skwantowanego pola na ruch atomu. Dlatego tez teraz nie tylko wewnętrzne stopnie swobody atomu i pole świetlne, ale i ruch środka masy będziemy opisywali w sposób kwantowy. Tym samym włączymy do analiz falową naturą materii, a dokładniej – falowe własności atomów ( stąd nazwa optyka atomowa ). Dla uproszczenia będziemy rozpatrywali tylko jeden mod pola promieniowania.

19.1 Postawienie zagadnienia.

Rysunek 19.1 ilustruje nasz schemat. Fala atomowa, związana z ruchem dwupoziomowego atomu, propaguje się poprzez rezonator i oddziaływuje z jednym modem pola promieniowania, tak że układ opisywany jest znanym nam już

rezonansowym hamiltonianem Jaynesa-Cummingsa-Paula (14.57). W reprezentacji oddziaływania taki hamiltonian ma postać :

H^ = ( p^2/2M ) + ℘• u(r^ ) Є0( σ^a^† + σ^†a^ ) (19.1)

Gdzie operator p^2/2M opisuje energię kinetyczną ruchu środka masy, u(r^ ) – jest wartością funkcji modowej w punkcie o współrzędnej r atomu.

Zwróćmy uwagę, że obecnie w odróżnieniu od rozdziału 14 zmienne r i p odnoszą się do środka masy i są zapisane małymi literkami, a zmienne dynamiczne względem ruchu wyrażone są z pomocą momentu dipolowego ℘ i operatorów σ^ i σ^†. Wykorzystanie dla współrzędnych małych liter jest zgodne z oznaczeniami osi współrzędnych z rysunku 19.1

Rys. 19.1 Schemat urządzenia dla optyki atomowej. Atomowa fala propaguje się poprzez rezonator i oddziaływuje ( w sposób rezonansowy ) z jednym modem stojącym pola świetlnego. Przedstawiono tutaj sytuacje, kiedy atomowy pakiet falowy pokrywa wiele długości fal pola świetlnego i dlatego może być rozpatrywany jako fala płaska, propagująca się w z-kierunku. Przekrój rozkładu prawdopodobieństwa pokazano tylko dla jednej wartości z.

19.1.1 Dynamika

Ponieważ obecnie ruch środka masy jest kwantowy, to współrzędna r i pęd p są operatorami sprzężonymi i spełniają zależności komutacyjne :

[ rj , pk ] = ihδjk

Wektor stanu całkowitego układu. Zatem, dynamika wektora stanu | Φ > całkowitego układu, włączając w nią ruch środka masy, wewnętrzne stany atomu i stany pola EM, spełnia równanie Schrödingera :

ih d |Φ > /dt = H^ | Φ > (19.2)

Przedstawmy teraz wektor stanu | Φ > w postaci rozkładu :

gdzie

( amplituda prawdopodobieństwa tego, że w chwili czasu t atom ) Φa, m–1(r, t) ≡ ( znajduje się w punkcie r i w stanie wewnętrznym | a >, a pole w stanie z m – 1 fotonowym )

( amplituda prawdopodobieństwa tego, że w chwili czasu t atom ) Φb, m(r, t) ≡ ( znajduje się w punkcie r i w stanie wewnętrznym | b >, a pole w stanie z m fotonowym )

Uogólnienie równania Rabbiego. Podstawiając to wyrażenie do równania Schrödingera (19.1), otrzymujemy :

Wykorzystano tutaj zależności :

Aby otrzymać równanie ruchu dla amplitud prawdopodobieństwa Φa, m–1 i Φb, m pomnożymy (19.4) albo przez < a, n – 1 r | albo przez < b, n, r | i wykorzystamy zależności ortounormowania < a | b > = 0, < a | a > = < b | b > = 1 dla stanów wewnętrznych oraz relacje ortogonalności < r | r’ > = δ( r – r’ ) dla stanów ruchu środka masy.

W wyniku tego otrzymujemy :

Przypominając sobie otrzymane w zadaniu 2.3 wyrażenie :

dla elementu macierzowego kwadratu operatora pędu w reprezentacji współrzędnościowej, możemy zapisać :

Analogicznie otrzymujemy :

Zatem, równania ruchu (19.5) dla amplitud prawdopodobieństwa Φa, n–1 i Φb, n przyjmują postać :

Równania te przedstawiają sobą równania Rabbiego (15.19) znane nam już z modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula z uwzględnieniem operatora energii kinetycznej :

p^2/2M ≡ – (h2 /2M) ∆

Oprócz tego, teraz funkcja modowa zależna jest od współrzędnej r atomu, tj. od zmiennej sprzężonej do pędu.

19.1.2 Ewolucja w czasie amplitud prawdopodobieństwa.

W poprzednim podrozdziale sformułowaliśmy układ dwóch równań dla amplitud prawdopodobieństwa Φa, m–1 i Φb, m.

W niniejszym podrozdziale wprowadzimy „oddzielne stany”, które reprezentują sobą kombinacje liniowe tych amplitud i prowadzą do rozsprzężenia równań. W ten sposób amplitudy prawdopodobieństwa zachowują się podobnie do cząstki w określonym potencjale, który zadaje pole EM. Otrzymamy ten potencjał oraz odpowiednie warunki początkowe.

Potencjał efektywny dla oddzielnych stanów. Uogólnione równania Rabbiego można rozczepić, przechodząc do kombinacji liniowych :

Φn(±) ≡ Φb, n ± Φa, n–1 (19.7)

które spełniają równania :

z potencjałami :

Zatem, amplitud prawdopodobieństw Φn(±) spełniają równanie Schrödingera dla cząstki o masie M, poruszającej się w potencjale Un(±). Potencjał ten ma postać iloczynu skalarnego momentu dipolowego ℘ i funkcji modowej u(r).

Oprócz tego, są one proporcjonalne do natężenia pola próżniowego Є0 i pierwiastka kwadratowego z liczby fotonów.

Specjalny przykład funkcji modowej. Dla ilustracji potencjałów Un(±) wykorzystamy mody rezonatora w formie pojemnika, które omawialiśmy w rozdziale 10. Mod :

otrzymywany z wyrażenia (10.34) przy łz = 1 prowadzi do potencjałów :

Un(±) = ± ℘ Є0 √n sin(kxx ) sin(πz /Lz ) (19.11)

gdzie ℘ ≡ ℘ • ey.

Na rysunku 19.2 pokazano potencjał Un(+) dla n = 1. Dla wyjaśnienia roli liczby fotonów, która wchodzi w postaci pierwiastka kwadratowego z n, na tym właśnie rysunku pokazano zależność potencjału od x dla różnych wartości n na nieciągłości przy z = ½ Lz. Ponieważ położenie węzłów potencjału nie zależy od liczby fotonów, a amplituda przestrzennej modulacji jest proporcjonalna do √n, to wraz z zwiększaniem n, potencjały Un(±) stają się krótsze. Potencjał Un(–) różni się od Un(+) tylko znakiem. I tak, amplitudy prawdopodobieństw Φn(±) ewoluują w potencjałach Un(±) zgodnie z równaniem Schrödingera. Jednakże jakie są warunki początkowe ?

Rys. 19.2 Modowa funkcja rezonatora (po lewej ) i potencjał oddzielnego stanu (po lewej). Modowa funkcja u(r) (19.10) wykonuje wiele oscylacji wzdłuż osi x, a na osi z istnieje tylko jedno maksimum. Potencjał oddzielnego stanu (19.11) odzwierciedla zachowanie funkcji modowej i posiada amplitudę, która określona jest przez pierwiastek kwadratowy z liczby fotonów n. Zależność potencjału od x dla różnych wartości n pokazano na nieciągłości z = ½ Lz tj. w środku rezonatora.

Warunki początkowe. Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozpatrzymy warunek początkowy dla | Φ >. Wektor stanu | Φ >

w chwili t = 0, tj. do oddziaływania, jest iloczynem prostym stanu atomowego :

| ψatom > ≡ | b >

w charakterze którego weźmiemy stan podstawowy, stanu polowego : ∞

| ψ > ≡

Σ

n=0

mającego postać superpozycji stanów Foka z amplitudami prawdopodobieństwa wn i stany ruchu środka masy :

| ψem > ≡

∫

unormowanego przez warunek :

< ψem | ψem > =

∫

Wtedy | Φ(t = 0 ) > ma postać :

Porównując ten stan początkowy z wyrażeniem (19.3) znajdujemy : Φb,n(r‘ , 0 ) = Ŧ(r’ ) wn

i

Φa, n–1(r’ ,0 ) = 0

Z uwzględnieniem (19.7) prowadzi to do następujących warunków początkowych :

Φn(±)(r , 0 ) = Ŧ(r ) wn (19.12)

Zatem, dynamika wektora stanu | Φ > połączonego układu, mającego trzy typy stopni swobody, a mianowicie stan wewnętrzny atomu, stan modu polowego i stan ruchu środka masy, określona jest przez zachowanie funkcji falowych Φn(±), opisujących ruch w potencjałach Un(±) i spełniających warunki początkowe (19.12). Ponieważ w przypadku ogólnym potencjał jest trójwymiarowy i może być bardzo złożony, rozwiązanie równania Schrödingera (19.8) dla Φn(±) staje się zagadnieniem wysoce nietrywialnym.