O pojêciu wiedzy wspólnej
2. Iteracyjne ujêcie wiedzy wspólnej
I
stnieje wiele propozycji analizy iteracyjnego ujêcia wspólnej wiedzy grupy. Niektó-re z nich wykorzystuj¹ logikê epistemiczn¹. Przypomnijmy, logik¹ epistemiczn¹ na-zywa siê systemy modalne formalizuj¹ce znaczenia funktorów dotycz¹cych postaw s¹dzeniowych, miêdzy innymi funktorów „wiadomo, ¿e” i „wierzy siê, ¿e”, oraz ko-dyfikuj¹ce regu³y wnioskowania dotycz¹ce owych funktorów. Odró¿nia siê logiki epistemiczne jednopodmiotowe oraz wielopodmiotowe (ang. multiagent). W pierw-szych rozwa¿a siê postawy s¹dzeniowe jednego – wyidealizowanego – podmiotu, natomiast w drugich rozwa¿a siê postawy s¹dzeniowe wielu podmiotów. Tutaj interesowaæ nas bêd¹ te drugie, w których operuje siê wieloma funktorami wie-dzy K1, K2, …, Kn. Odnosz¹ siê one do wiedzy podmiotów oznaczonych liczbami 1, 2, …, n. Reprezentowanie prywatnej wiedzy poszczególnych podmiotów jest re-latywnie proste. Je¿eli podmiot j wie, ¿ej, to fakt ten mo¿emy reprezentowaæ7 G. Harman, Review of Linguistic Behaviour by Jonathan Benett, „Language” 1977, no. 53.
8 D. Lewis, Convention: A Philosophical Study, Cambridge MA 1969.
9 S. Schiffer, Meaning, Oxford 1972.
10R. Aumann, Agreeing to Disagreeing, „Annals of Statistics” 1976, no. 4.
11G. Harman, Review of Linguistic Behaviour…, op. cit.
12J. Barwise, On the Model Theory of Common Knowledge, w: idem, The Situation in Logic, CSLI Lecture Notes no. 17, Stanford 1989.
przez wyra¿enie Kjj. Fakty/zale¿noœci dotycz¹ce wielu ró¿nych podmiotów repre-zentuj¹ formu³y, na przyk³ad postaci: KiKjj (podmiot i wie, ¿e podmiot j wie, ¿e j) czy KjKij Ù ØKiKjj (podmiot j wie, ¿e podmiot i wie, ¿e j, lecz podmiot i nie wie, ¿e podmiot j wie, ¿ej). W celu reprezentowania wiedzy danej grupy osób G = {1, 2, …, n} mo¿na wprowadziæ osobne funktory. I tak, funktor E (lub EG) odpo-wiada wyra¿eniu „ka¿dy [w grupie G] wie, ¿e” (ang. everybody knows). Mo¿na go zdefiniowaæ za pomoc¹ nastêpuj¹cej równowa¿noœci:
Ej º K1j Ù K2j Ù … Ù Knj.
Jej praw¹ stronê mo¿na skróciæ, pisz¹c:"j Î G Kjj. Z kolei funktor C (lub CG) od-powiada wyra¿eniu „jest wspóln¹ wiedz¹ [grupy G]”13. Intuicyjnie,j jest wspóln¹ wiedz¹ grupy, gdy
• ka¿dy cz³onek grupy wie, ¿e j,
• ka¿dy cz³onek grupy wie, ¿e ka¿dy cz³onek grupy wie, ¿ej,
• ka¿dy cz³onek grupy wie, ¿e ka¿dy cz³onek grupy wie, ¿e ka¿dy cz³onek grupy wie, ¿ej,
i tak ad infinitum. Korzystaj¹c z funktora E, mo¿emy funktor C zdefiniowaæ nastê-puj¹co:
Cj º (Ej Ù EEj Ù EEEj Ù …)14.
Analizê semantyczn¹ wspólnej wiedzy grupy G = {1, 2, …, n} (to jest z³o¿onej z n podmiotów) mo¿na oprzeæ na modelach Kripkego15. Niech A bêdzie (niepustym)
13Ewentualnie funktor ów mo¿na czytaæ: wszyscy [razem w grupie G] wiedz¹, ¿e… Zwy-kle na terenie logiki uto¿samia siê zwroty „ka¿dy” i „wszyscy”. Jednak w jêzyku potocznym nie maj¹ one tego samego znaczenia. S³owo „ka¿dy” wystêpuje czêsto w znaczeniu „ka¿dy z osobna”, natomiast s³owo „wszyscy” wystêpuje w znaczeniu „wspólnie” lub „razem”
(a wiêc wskazuje na zbiór jako pewn¹ ca³oœæ, nie zaœ na jego poszczególne elementy). Mo¿-na ³atwo wyobraziæ sobie sytuacjê, w której powiedzenie, ¿e wszyscy to a to zrobiliœmy
(mo-¿emy zrobiæ) bêdzie prawdziwe, zaœ powiedzenie, ¿e ka¿dy owo coœ zrobi³ (mo¿e zrobiæ) bêdzie fa³szywe.
14Definicja ta wymaga jednak jakiejœ logiki infinitarnej, to jest dopuszczaj¹cej formu³y o nieskoñczonej d³ugoœci. W logice finitarnej funktor C trzeba scharakteryzowaæ aksjomatycz-nie. Ewentualnie mo¿na go scharakteryzowaæ za pomoc¹ równowa¿noœci: Cj º E(j Ù Cj), w której formu³a Cj jest punktem sta³ym.
15Zob. na przyk³ad: J. van der Hoek, J.J.Ch. Meyer, A Complete Epistemic Logic for Mul-tiple Agents: Combining Distributed and Common Knowledge, w: M.O.L. Bacharach, L.A. Gerard-Varet, P. Mongin, H.S. Shin (eds.), Epistemic Logic and the Theory of Games and Decision, Dordrecht 1997; J.J.Ch. Meyer, Epistemic Logic, w: L. Goble (ed.), The Black-well Guide to Philosophical Logic, Oxford 2002, s. 195-200. W literaturze przedmiotu do analizy wspólnej wiedzy grupy wykorzystuje siê te¿ innego typu semantyki, np. semantykê otoczeniow¹ (ang. neighbourhood semantics). W szczególnoœci w teorii gier i ekonomii matematycznej stosuje siê semantykê opart¹ na tzw. strukturach Aumanna (zob. np. R. Fa-gin, J.Y. Halpern, Y. Moses, M. Vardi, Reasoning About Knowledge, Cambridge MA 1995).
zbiorem podmiotów epistemicznych, a G wyró¿nion¹ wewn¹trz niego grup¹, to jest GÍ A. Aby nie komplikowaæ, przyjmijmy, ¿e G = A (to jest wszystkie podmioty tworz¹ grupê). Modelem Kripkego nazywamy uk³ad postaci:
M = áW, V, {Rj: jÎ G}, RE, RCñ, gdzie
• W jest niepustym zbiorem tzw. œwiatów mo¿liwych,
• V: P´ W ® {0,1} jest funkcj¹ wartoœciowania dla zmiennych zdaniowych, to jest poszczególnym zmiennym zdaniowym ze zbioru P i œwiatom mo¿liwym ze zbioru W przyporz¹dkowuje ona jedn¹ z wartoœci logicznych,
• R1, R2, … Rn, RE, RCs¹ binarnymi relacjami w zbiorze W, zwanymi relacjami (epistemicznej) osi¹galnoœci.
Relacjê spe³nianiaG4 formu³y j w œwiecie w modelu M definiuje siê nastêpuj¹co:
• Je¿eli pi Î P, to (M, w)G4 pi wtw V(w, pi) = 1.
• (M, w)G4 Øj wtw (M, w)G/4 j.
• (M, w)G4 j Ù y wtw (M, w)G4 j i (M, w)G4 y.
• (M, w)G4 j Ú y wtw (M, w)G4 j lub (M, w)G4 y.
Analogicznie dla implikacji i równowa¿noœci.
• Je¿elim = Kj, E lub C, to (M, w)G4 mj wtw (M, s)G4 j, dla ka¿dego s Î W takiego,
¿e Rm(w, s).
Wzór (M, w)G4 j mo¿emy czytaæ w sposób:
formu³a j jest prawdziwa w œwiecie w modelu M, œwiat w potwierdza formu³ê j w modelu M, œwiat w spe³nia formu³ê j w modelu M.
Zbiór ||j||M= {wÎ W: (M, w)G4 j} zazwyczaj uto¿samia siê z s¹dem wyra¿anym przez zdaniej (choæ nie jest to zbyt trafne). Zbiór Rm(w) = {sÎ W: Rm(w, s)} jest zbio-rem Rm-dostêpnych dla w mo¿liwoœci. Intuicyjnie relacjê Rj(dla jÎ G) interpretuje-my jako relacjê epistemicznej osi¹galnoœci podmiotu j. Wzór Rj(w, s) bywa czytany w sposób:
œwiat s jest mo¿liwy ze wzglêdu na œwiat w dla podmiotu j,
œwiat s jest osi¹galny (dostêpny, na przyk³ad myœlowo) ze œwiata w dla pod-miotu j,
s jest œwiatem alternatywnym do w dla podmiotu j.
Je¿eli przyjmiemy, ¿e Rjjest relacj¹ równowa¿noœci, to zasadami interpretacji Kjbêd¹ prawa systemu S516. Musimy jeszcze ustaliæ zwi¹zek zachodz¹cy pomiê-dzy relacj¹ Rj(dla jÎ G) a relacjami REi RC. I tak, relacjê REuto¿samia siê z sum¹ relacji R1, R2, …, Rn, to jest RE =U{Rj: jÎ G}.
16Przypomnijmy: R jest relacj¹ równowa¿noœci w danym zbiorze, gdy jest ona zarazem zwrotna, symetryczna i przechodnia w tym zbiorze.
A zatem,
(M, w)G4 Ej wtw (M, w)G4 Kjj, dla ka¿dego j Î G.
Taka charakterystyka relacji RE gwarantuje, ¿e w ka¿dym modelu spe³niona jest równowa¿noœæ: Ej º "j Î G Kjj17. Z kolei RCmo¿emy uto¿samiæ z przechod-nim (i zwrotnym) domkniêciem relacji RE: RC= RE* = najmniejsza, ze wzglêdu na inkluzjê, relacja przechodnia zawieraj¹ca RE. Mówi¹c proœciej:
RC(w, s) wtw istnieje dowolnie d³ugi skoñczony ci¹g w = w1, w2, …, wk= s z³o¿ony z elementów zbioru W taki, ¿e s¹siaduj¹ce w nim œwiaty powi¹zane s¹ relacj¹ RE, czyli RE(wi, wi + 1), dla 1 £ i £ k – 1.
Intuicyjnie, RCwi¹¿e œwiat s z danym œwiatem w, gdy s jest osi¹galny ze œwiata w za pomoc¹ relacji REw dowolnej liczbie kroków; jeszcze inaczej rzecz ujmuj¹c (z uwagi na sposób zdefiniowania relacji RE): gdy s jest osi¹galny ze œwiata w za po-moc¹ jakiejkolwiek spoœród relacji R1, R2, …, Rnw dowolnej liczbie kroków18. Taka charakterystyka relacji RCw pewnym sensie „chwyta” intuicjê le¿¹c¹ za okreœleniem Cj jako nieskoñczonej koniunkcji Ej Ù EEj Ù EEEj Ù … . Symbolem Ekoznaczmy k-krotn¹ iteracjê funktora E19. Ostatni¹ uwagê potwierdzaj¹ nastêpuj¹ce dwa twierdzenia, które podajê tu bez dowodów:
(M, w)G4 Ekj wtw (M, s)G4 j, dla ka¿dego œwiata s, który jest dostêpny ze œwiata w za pomoc¹ relacji RE w k krokach.
(M, w)G4 Cj wtw (M, w)G4 Ekj, dla ka¿dego k = 1, 2, … .
Przyjête okreœlenie relacji RC(wraz z za³o¿eniem o równowa¿noœci relacji Rj, dla jÎ G) gwarantuje, ¿e w ka¿dym modelu spe³nione s¹ miêdzy innymi nastêpuj¹ce formu³y (cztery pierwsze z nich mo¿na uznaæ za aksjomaty dla C):
C(j ® y) ® (Cj ® Cy) (odpowiednik aksjomatu K),
Cj ® j (odpowiednik aksjomatu T: coœ, co jest wspóln¹ wiedz¹ grupy, jest prawdziwe), Cj ® ECj (je¿eli coœ jest wspóln¹ wiedz¹ grupy,
to ka¿dy w grupie wie, ¿e jest to wspóln¹ wiedz¹ grupy),
C(j ® Ej) ® (j ® Cj) (zasada indukcji dla C),
17Nie jest natomiast spe³niona zasada pozytywnej introspekcji: Ej ® EEj. Istotnie, to, i¿
ka¿dy w grupie wie, ¿ej nie poci¹ga, i¿ ka¿dy w grupie wie, ¿e ka¿dy w grupie wie, ¿e j (na-wet jeœli za³o¿ymy, ¿e ka¿dy poszczególny cz³onek grupy jest doskona³ym logikiem oraz ¿e uœwiadamia sobie to, co wie).
18Wiedza wspólna jest w³asnoœci¹ grupy definiowaln¹ na podstawie wiedzy poszczegól-nych jej cz³onków.
19E0j = j, E1j = Ej, E2j = EEj, …, Ekj = EEk–1j,... .
Cj ® Ej, (je¿eli coœ jest wspóln¹ wiedz¹ grupy, to ka¿dy w grupie owo coœ wie, ale nie na odwrót),
Cj ® CCj (zasada pozytywnej introspekcji dla C), ØCj ® CØCj (zasada negatywnej introspekcji dla C).
Charakterystykê C uzupe³nia (oprócz aksjomatów) regu³a Gödla postaci:/–j Þ /– Cj.
Dodajmy, ¿e zmiana w³asnoœci relacji osi¹galnoœci Rjzmieni sposób rozumie-nia funktorów epistemicznych, na przyk³ad jeœli przyjmiemy, ¿e Rjjest relacj¹ se-ryjn¹, przechodni¹ i euklidesow¹, to uzyskana logika bêdzie dotyczy³a przekonañ, a nie wiedzy (formu³y postaci Kjj powinny byæ wówczas czytane jako „j wierzy,
¿ej” lub „j jest przekonany, ¿e j”, zaœ formu³y Ej i Cj jako, odpowiednio, „ka¿dy [w grupie] wierzy, ¿ej” i „j jest wspólnym przekonaniem [grupy]”).
Zakoñczê ten paragraf rekonstrukcj¹ przedstawionej we wstêpie ³amig³ówki.
Zbiór œwiatów mo¿liwych W sk³ada siê z czterech elementów maj¹cych postaæ par uporz¹dkowanych, w których pierwsza pozycja reprezentuje stan Alfy, a druga – stan Bety (symbol „1” oznacza: brudny, a symbol „0” oznacza: czysty):
á1, 1ñ Alfa i Beta s¹ brudni.
á1, 0ñ Tylko Alfa jest brudny.
á0, 1ñ Tylko Beta jest brudny.
á0, 0ñ Alfa i Beta s¹ czyœci.
Œwiatá1, 1ñ jest wyró¿niony jako œwiat rzeczywisty. Niech At = {t1,t2, t} bêdzie zbiorem zdañ, w którym:
t1skraca zdanie postaci: Alfa jest brudny, t2skraca zdanie postaci: Beta jest brudny,
t skraca uwagê taty (mo¿na przyj¹æ, ¿e t = t1Ú t2).
Funkcjê V definiuje siê tak, aby spe³nione by³y nastepuj¹ce warunki ( jÎ {1, 2}):
(M,áx1, x2ñ)G4 tj wtw xj = 1.
(M,áx1, x2ñ)G4 t wtw x1= 1 lub x2 = 1.
£atwo sprawdziæ, ¿e na przyk³ad: (M,á1, 1ñ)G4 t1, (M,á1, 1ñ)G4 t2oraz (M,á1, 1ñ)G4 t.
S¹d wyra¿any przez zdanie t1 uzyskuje reprezentacjê w postaci zbioru {á1, 1ñ, á1, 0ñ}, przez zdanie t2– w postaci zbioru {á1, 1ñ, á0, 1ñ}, zaœ przez zdanie t (to jest s¹d, ¿e co najmniej jedno dziecko jest brudne) – w postaci zbioru {á1, 1ñ, á1, 0ñ, á0, 1ñ}. Relacjê epistemicznej osi¹galnoœci Rj, gdzie jÎ {1, 2} („1” reprezentuje Alfê, a „2” – Betê), okreœla nastêpuj¹cy warunek:
Rj(w, s) wtw w i s ró¿ni¹ siê co najwy¿ej na j-tej pozycji (to jest pozycji repre-zentuj¹cej stan dziecka j).
A zatem
R1= {áá1, 1ñ, á1, 1ññ, áá1, 0ñ, á1, 0ññ, áá0, 1ñ, á0, 1ññ, áá0, 0ñ, á0, 0ññ, áá1, 1ñ, á0, 1ññ, áá1, 0ñ, á0, 0ññ, áá0, 1ñ, á1, 1ññ, áá0, 0ñ, á1, 0ññ},
R2= {áá1, 1ñ, á1, 1ññ, áá1, 0ñ, á1, 0ññ, áá0, 1ñ, á0, 1ññ, áá0, 0ñ, á0, 0ññ, áá1, 1ñ, á1, 0ññ, áá1, 0ñ, á1, 1ññ, áá0, 1ñ, á0, 0ññ, áá0, 0ñ, á0, 1ññ}.
Wzór sÎ Rj(w) oznacza, ¿e œwiat s jest dla dziecka j dostêpny ze œwiata w (mo¿-liwy ze wzglêdu na w); intuicyjnie: dziecko j w œwiecie w mo¿e pomyœleæ sobie, ¿e jest mo¿liwe to, co ustanawia œwiat s. £atwo sprawdziæ, ¿e obie relacje R1i R2s¹ re-lacjami równowa¿noœci. Relacja REjest sum¹ relacji R1i R2. Dla relacji RC przyjmu-jemy:
RC(w, s) wtw œwiat s jest osi¹galny ze œwiata w w dowolnej liczbie kroków za pomoc¹ obojêtnie której spoœród relacji R1i R220.
£atwo sprawdziæ, ¿e na przyk³ad:
(M,á1, 1ñ)G4 K1t2; (M,á1, 1ñ)G4 ØK1t1; (M,á1, 1ñ)G4 Et;
(M, á1, 1ñ)G4 ØE2t, gdy¿t nie jest prawdziwe w œwiecie á0, 0ñ, który jest osi¹galny w dwóch krokach ze œwiataá1, 1ñ21. Mamy równie¿:
dla ka¿dego œwiata wÎ W, (M, w)G4 C(ti® Kjti), gdzie i, jÎ {1, 2} oraz i ¹ j;
dla ka¿dego œwiata wÎ W, (M, w)G4 C(Øti® KjØti), gdzie i, jÎ {1, 2} oraz i ¹ j.
To w zasadzie wyczerpuje charakterystykê modelu Kripkego dla rozwa¿anego przypadku. Dodajmy, ¿e struktury Kripkego maj¹ atrakcyjn¹ reprezentacjê w po-staci diagramów: wêz³y odpowiadaj¹ mo¿liwym œwiatom, strza³ki (krawêdzie)
³¹cz¹ te wêz³y, pomiêdzy którymi zachodzi relacja Rj(dla jÎ G). Diagramem roz-wa¿anej tu struktury jest poni¿szy rysunek:
20Je¿eli w kroku pierwszym œwiaty powi¹zane s¹ relacj¹ R1(R2), to mo¿emy powiedzieæ,
¿e œwiat s jest RC-dostêpny ze œwiata w dla podmiotu pierwszego (drugiego).
21W ogólnym przypadku, gdyby by³o n dzieci, z których m by³oby brudnych, wówczas zdanie Em− τ by³oby prawdziwe, zaœ zdanie Emτ by³oby fa³szywe, gdy¿ ka¿dy œwiat Rn-osi¹galny w (m – 1) krokach ma na co najmniej jednym miejscu 1, ale œwiatá0, …, 0ñ jest Rn-osi¹galny w m krokach.
Przed uwag¹ taty informacja, ¿e co najmniej jedno dziecko jest brudne, stanowi prywatn¹ wiedzê dzieci. Alfa wie, ¿e Beta ma brudne czo³o (bo go widzi). Nie wie tylko, czy sam jest brudny. Rozwa¿a wiêc (jako swoje) œwiaty:á1, 1ñ i á0, 1ñ. Beta znajduje siê w podobnej sytuacji; ró¿nica dotyczy tylko tego, ¿e rozwa¿a (jako swo-je) œwiaty:á1, 1ñ i á1, 0ñ. Skoro informacja, i¿ co najmniej jedno dziecko jest brudne, stanowi prywatn¹ wiedzê Alfy, mo¿e on mniemaæ, ¿e istnieje œwiat w (dostêpny z jego œwiata) taki, ¿eá0, 0ñ Î R2(w). Dopuszczony jest wiêc nastêpuj¹cy przypadek:
Alfa w œwiecieá1, 1ñ rozwa¿a jako mo¿liwy œwiat á0, 1ñ, w którym Beta rozwa¿a jako mo¿liwy œwiatá0, 0ñ. Innymi s³owy, Alfa myœli, ¿e jest mo¿liwe, ¿e Beta myœli,
¿e jest mo¿liwe, ¿eá0, 0ñ (to jest ¿e obaj nie s¹ brudni). Ilustruje to œcie¿ka:
1 1, ⎯ →⎯R 0 1, ⎯ →⎯R 0 0, .
Podobnie dla Bety. Sposób jego myœlenia ilustruje wówczas œcie¿ka:
1 1, ⎯ →⎯R 1 0, ⎯ →⎯R 0 0, .
O œwiecieá0, 0ñ mo¿na powiedzieæ, ¿e jest RC-dostêpny ze œwiataá1, 1ñ (dla obu podmiotów). Obie œcie¿ki staj¹ siê niew³aœciwe po uwadze taty – nale¿y je zrewi-dowaæ. Zmienia siê bowiem natura wiedzy dzieci: informacja, ¿e co najmniej jedno dziecko jest brudne, nie jest ju¿ tylko prywatn¹ wiedz¹ dzieci, lecz staje siê ich wspóln¹ wiedz¹. Alfa wie, ¿e Beta nie mo¿e ju¿ myœleæ, ¿e nikt nie jest brudny.
Równie¿ Beta wie, ¿e Alfa nie mo¿e ju¿ myœleæ, ¿e nikt nie jest brudny22. To prowa-dzi do usuniêcia przez obu krawêprowa-dzi koñcz¹cych siê w wierzcho³kuá0, 0ñ:
0 1, ⎯ →⎯R 0 0, oraz 1 0, ⎯ →⎯R 0 0, .
á0, 0ñ á0, 1ñ
á1, 0ñ á1, 1ñ
22Innymi s³owy, uwaga taty zmienia stan wiedzy z Et na Ct. To pozwala dzieciom wyde-dukowaæ, ¿e s¹ brudne.
Usuniêcie owych krawêdzi oznacza usuniêcie œwiataá0, 0ñ jako RC-dostêpnej mo¿liwoœci dla obu podmiotów. Tak wiêc Alfa nie mo¿e ju¿ mniemaæ, ¿e dla pew-nego dostêppew-nego dla niego œwiata w,á0, 0ñ Î R2(w) („2” oznacza Betê). Równie¿
Beta nie mo¿e ju¿ mniemaæ, ¿e dla pewnego dostêpnego dla niego œwiata w, á0, 0ñ Î R1(w) („1” oznacza Alfê). Graficznie:
1 1, ⎯ →⎯R 0 1, ……… 0 0, . 1 1, ⎯ →⎯R 1 0, ……… 0 0, .
Widaæ z tego, ¿e usuniêcie pewnych powi¹zañ oznacza usuniêcie pewnych epi-stemicznych mo¿liwoœci, to jest „okrojenie” zbioru RC-dostêpnych (dla podmio-tów) œwiatów. Owo okrawanie zbioru œwiatów jest sposobem reprezentowania wzrostu wiedzy przez epistemiczne podmioty. Wracaj¹c do ³amig³ówki, po pierw-szym pytaniu taty ani Alfa, ani Beta nie przyznaj¹ siê do winy. Robi¹ to dopiero po drugim pytaniu. Rozumowanie Alfy przebiega nastêpuj¹co: Je¿eli Beta widzi, ¿e jestem czysty, to powinien przyznaæ siê ju¿ po pierwszym pytaniu; tymczasem siê nie przyzna³. Nale¿y wiêc usun¹æ œwiat maj¹cy na pierwszym miejscu 0 wraz z prowadz¹c¹ do niego krawêdzi¹. Pozostaje zatem jedynie œwiatá1, 1ñ (jako jedy-na dostêpjedy-na mo¿liwoœæ). Podobnie rozumuje Beta (ale dochodzi do konkluzji, ¿e usun¹æ trzeba œwiat maj¹cy na drugim miejscu 0 wraz z prowadz¹c¹ do niego kra-wêdzi¹). A zatem brak przyznania siê do winy przez dzieci okrawa zbiór RC -dostêp-nych dla nich œwiatów i powoduje przyrost wiedzy u ka¿dego dziecka. Wiedza ta – mianowicie, ¿e obaj s¹ brudni – staje siê ich wspóln¹ wiedz¹.
Istniej¹ jeszcze inne, nierzadko bardziej wyrafinowane, systemy logiki formali-zuj¹ce znaczenie funktora wspólnej wiedzy grupy i wnioskowania z tym funkto-rem23. Na przyk³ad rozwa¿a siê logiki pozwalaj¹ce lepiej uchwyciæ moment zmia-ny prywatnej wiedzy cz³onków grupy na wspóln¹ wiedzê grupy, co pozwala na lepsz¹ rekonstrukcjê przedstawionej ³amig³ówki (przede wszystkim na lepsze uchwycenie roli oznajmienia taty).